1、北师大版北师大版 数学数学 七年级七年级 下册下册 王敏王敏同学去商店买了单价是同学去商店买了单价是9.8元元/千克的糖果千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，王敏就说出应付千克，售货员刚拿起计算器，王敏就说出应付99.96元，元，结果与售货员计算出的结果相吻合结果与售货员计算出的结果相吻合.售货员很惊讶地说：售货员很惊讶地说：“你好你好像像是个神童，怎么算得这么快？是个神童，怎么算得这么快？”王敏王敏同学说：同学说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过奖了，我利用了在数学上刚学过的一个公式过的一个公式.”你你知道王敏同学用的是一个什么样的公式吗？知道王敏同学用的是一个什么样的公式吗？导入新
2、知导入新知1.了解了解平方差公式的推导平方差公式的推导过程，过程，掌握掌握平方差平方差公式公式.2.能利用能利用平方差公式平方差公式进行进行计算计算.素养目标素养目标3.培养学生观察能力和培养学生观察能力和符号意识符号意识.计算下列各题：计算下列各题：（1）(x+2)(x-2)；（2）(1+3a)(1-3a)；（3）(x+5y)(x-5y)；（；（4）(2y+z)(2y-z)（1）x2-4；探究新知探究新知知识点 平方差公式平方差公式思考：思考：1 1、观察算式结构，你发现了什么规律？、观察算式结构，你发现了什么规律？2 2、计算结果后，你又发现了什么规律？、计算结果后，你又发现了什么规律？（
3、2）1-9a2；（3）x2-25y 2；（4）4y2-z2(a+b)(ab)=a2b2两数两数和和与这两数与这两数差差的积的积,等于等于这两数的这两数的平方差平方差.u公式变形公式变形:1.（a b)(a+b)=a2-b22.（b+a)(-b+a)=a2-b2平方差公式平方差公式探究新知探究新知平方差公式平方差公式注：注：这里的两数可以是两个这里的两数可以是两个也可以是两个也可以是两个等等 (a+b)(a-b)=(a)2-(b)2 相同为相同为a 相反为相反为b，-b适当交换适当交换合理加括号合理加括号探究新知探究新知右边是相同项的平方右边是相同项的平方减去减去相反项的平方相反项的平方.(1+
4、x)(1-x)(-3+a)(-3-a)(0.3x-1)(1+0.3x)(1+a)(-1+a)填一填：填一填：aba2-b21x-3a12-x2(-3)2-a2a1a2-12 0.3x1(0.3x)2-12探究新知探究新知练一练：练一练：口答下列各题：口答下列各题：(1)(-a+b)(a+b)=_.(2)(a-b)(b+a)=_.(3)(-a-b)(-a+b)=_.(4)(a-b)(-a-b)=_.a2-b2a2-b2b2-a2b2-a2探究新知探究新知探究新知探究新知 利用利用平方差公式计算：平方差公式计算：（1）(5+6x)(5-6x)；（2）(x-2y)(x+2y)；（3）(-m+n)(-
5、m-n)例1解：解：（1）(5+6 x)(5-6 x)=52-(6 x)2（2）(x-2y)(x+2 y)=x2-(2 y)2（3）(-m+n)(-m-n)=(-m)2-n2素养考点素养考点 1利用平方差公式进行运算利用平方差公式进行运算=25-36x2；=x2-4y2；=m2-n2 方法方法总结总结探究新知探究新知应用应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同相同，另一项互为，另一项互为相反数相反数；(2)2)右边是右边是相同项的平方减去相反项
6、的平方相同项的平方减去相反项的平方；(3)3)公式中的公式中的a和和b可以是具体数，也可以是可以是具体数，也可以是单项式或多项式单项式或多项式利用平方差公式计算：利用平方差公式计算：(1)(1)(3x5)(3x5)；(2)(2)(2ab)(b2a)；(3)(3)(7m8n)(8n7m)解：解：(1)(1)原式原式=(3x)2-52=9x2-25；(2)(2)原式原式=(-2a)2-b2=4a2-b2；(3)(3)原式原式=(-7m)2-(8n)2=49m2-64n2；巩固练习巩固练习变式训练变式训练探究新知探究新知 利用利用平方差公式计算：平方差公式计算：（1）；（2）(ab+8)(ab-8)
7、11()()44xyxy例2解：解：（1）（2）(ab+8)(ab-8)=(ab)2-6422116xy 221()4xy 11()()44x yx y =a2b2-64 (2)(a+3)(a2+9)(a-3).111()().22ab c cab1111(c)()()()2222abcabab cab c 2 2214a bc.计算：计算：巩固练习巩固练习变式训练变式训练221()2abc(2)(2)原式原式=(a+3)(a-3)(a2+9)=(a2-9)(a2+9)=(a2)2-92 =a4-81.解：解：(1)(1)例例3 3 先化简，再求值：先化简，再求值：(2x-y)(y+2x)-(
8、2y+x)(2y-x)，其中其中x=1，y=2.解：解：原式原式4x2-y2-(4y2-x2)原式原式51252215.4x2-y2-4y2+x25x2-5y2.当当x=1，y=2时时，探究新知探究新知利用平方差公式进行化简求值利用平方差公式进行化简求值素养考点素养考点 2先化简先化简,再求值再求值:(3-x)(3+x)+2(x+1)(x-1),其中其中x=2.巩固练习巩固练习解：解：(3-x)(3+x)+2(x+1)(x-1)=9-x2+2(x2-1)=9-x2+2x2-2 =7+x2当当x=2时时，原式原式=7+22 =7+4 =11变式训练变式训练1.（2020 杭州杭州）（）（1+y）
9、（）（1y）（）A1+y2B1y2C1y2D1+y22.（2020 临沂临沂）若若a+b1，则则a2b2+2b2 C-1连接中考连接中考1.下列运算中，可用平方差公式计算的是下列运算中，可用平方差公式计算的是()A(xy)(xy)B(xy)(xy)C(xy)(yx)D(xy)(xy)C2.计算计算（2x+1）（）（2x-1）等于等于（）（）A4x2-1 B2x2-1 C4x-1 D4x2+1 A3.两个正方形的边长之和为两个正方形的边长之和为5，边长之差为，边长之差为2，那么用较大的，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_10基 础 巩
10、固 题基 础 巩 固 题课堂检测课堂检测（1）(a+3b)(a-3b)；=4a2-9；=4x4y2.解：解：原式原式=(2a+3)(2a-3)=a2-9b2；=(2a)2-32 解：解：原式原式=(-2x2)2y2 解：解：原式原式=(a)2-(3b)2（2）(3+2a)(-3+2a)；（3）(-2x2-y)(-2x2+y).4.利用平方差公式计算：利用平方差公式计算：基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题课堂检测课堂检测先化简，再求值：先化简，再求值：(x+1)(x-1)x2(1-x)+x3，其中其中x2.解：解：原式原式=x2-1+x2-x3+x3=2x2-1.将将x2代入上式，代入上式，原
11、式原式=222-1=7.能 力 提 升 题能 力 提 升 题课堂检测课堂检测已知已知x1，计算：计算：(1+x)(1-x)1-x2，(1-x)(1+x+x2)1-x3，(1-x)(1+x+x2+x3)1-x4(1)观察以上各式并猜想：观察以上各式并猜想：(1-x)(1+x+x2+xn)_；(n为正整数为正整数)(2)根据你的猜想计算根据你的猜想计算：(1-2)(1+2+22+23+24+25)_；2+22+23+2n_(n为正整数为正整数)；(x-1)(x99+x98+x97+x2+x+1)_；1-xn+1-632n+1-2x100-1课堂检测课堂检测拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题(3)
12、通过以上规律请你进行下面的探索：通过以上规律请你进行下面的探索：(a-b)(a+b)_；(a-b)(a2+ab+b2)_；(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)_a2-b2a3-b3a4-b4课堂检测课堂检测平方差平方差公式公式内容内容注意注意两个数的和与这两个数的差的积两个数的和与这两个数的差的积，等，等于这两个数的平方差于这两个数的平方差符号表示符号表示：（a+b)(a-b)=a2-b2紧紧抓住紧紧抓住“一同一反一同一反”这一特征，在这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用式的，可能要经过变形才可以应用课堂小结课堂小结课后作业课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取从课后习题中选取自主安排配套练习册练习配套练习册练习
