1、1概率论的发展n16世纪，意大利的学者吉罗拉莫卡尔达诺（Girolamo Cardano，15011576）开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。n17世纪中叶，当时的法国宫廷贵族里盛行着掷骰子游戏，游戏规则是玩家连续掷 4 次骰子，如果其中没有 6 点出现，玩家赢，如果出现一次 6 点，则庄家（相当于现在的赌场）赢。按照这一游戏规则，从长期来看，庄家扮演赢家的角色，而玩家大部分时间是输家，因为庄家总是要靠此为生的，因此当时人们也就接受了这种现象。后来为了使游戏更刺激，游戏规则发生了些许变化。n1651年的夏天，法国数学家兼物理学家布莱瑟布莱瑟帕斯卡帕斯卡(Blaise Pascul,1623
2、1662)在前往浦挨托镇的旅行途中，偶然遇到了一位名叫梅雷梅雷的贵族公子哥儿，他是一位赌场的好手。为了消磨旅途的寂寞，他同帕斯卡谈起了他曾经在赌博中遇到的问题，这是一个十分有趣的“分赌注”的问题。n梅雷说有一次他和赌友掷骰子时各押32个金币的赌注，双方约定如果梅雷先掷出三次6点，或者双方先掷出三次4点，就算赢了对方。结果当梅雷两次掷出6点，赌友一次掷出4点时，梅雷因有事赌博只好中断。剩下的问题是两人如何分这64个金币，他俩因这个问题产生了争执。赌友说，他要再碰上两次4点，或梅雷要再碰上一次6点就算赢，所以他有权分得梅雷的一半，即梅雷分64个金币的2/3，自己分64个金币的1/3。梅雷则认为即使
3、下一次赌友掷出了4点，他还可以得1/2，即32个金币，再加上下一次他还有一半希望得到16个金币，所以他应该分得64个金币的3/4，赌友只能分得64个金币的1/4。两人到底谁说得对呢？n梅雷提出的“分赌注”的问题，把帕斯卡这位神童数学家难住了。他苦苦思考，不得要领。一直过了两三年，到1654年才想出点眉目。于是他写信给好友费尔马费尔马（Pierre Fermat,16011665）讨论这个问题，两人讨论取得了一致的意见：认为梅雷的分法是对的，他应得64个金币的3/4，赌友应得64个金币的1/4。2概率论的发展3概率论的发展Blaise Pascal(1623-1662Pierre Fermat(
4、1607-16654概率论的发展尽管18,19世纪,概率论在理论和应用方面得到了很多成果,但与其它数学分支比较,概率论的发展是缓慢的.甚至直到20世纪以前概率论还未进入主流数学.其基本原因是概率论缺乏严密的逻辑基础.1902年,勒贝格勒贝格(H.Lebesgue)的论文积分、长度和面积建立了测度论的基础,经过玻雷尔(E.Borel)、拉东(J.Radon)、弗雷歇(M.Frchet)、斯泰因豪斯(H.Steinhaus)等人的努力,到1930年勒贝格的理论发展到了严格表述概率论公理化所必须的程度.1933年柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫(A.Kolmogorvo)的著作概率论基础正式出版,给出了概率
5、论公理化的完整结构.从此,概率论才正式成为真正的数学分支.勒贝格勒贝格6生活中的概率论n六合彩：在六合彩（49选6）中，一共有13,983,816种可能性，如果每周都买一个不相同的号，一年有52周，最后可以在268919年后获得头等奖。事实上，即使每周买相同的号，获得头奖的概率也是相同的。n同生日概率：在一个足球场上有23个人，不可思议的是，在这23人当中至少有两个人的生日是在同一天的机率要大于50。n广泛应用于自然科学，社会科学中，如：工程，基因，现代经济学，管理，天气预测，人类行为学，法律等，医学等.7日常生活中的概率论n电脑：键盘的设计、操做系统的人性化设计、芯片结构的设计n宿舍物品的放
6、置n公交车间隔时间的设计8研究背景研究背景n确定性现象确定性现象n随机现象随机现象 概率论和数理统计就是研究和揭示概率论和数理统计就是研究和揭示统计规律性统计规律性的一门学科。的一门学科。9概率论一一基本概念基本概念二二随机变量及其分布随机变量及其分布三三多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布四四随机变量的数字特征随机变量的数字特征五五大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理10基本术语n随机试验随机试验n样本空间，样本点样本空间，样本点n(随机随机)事件事件11试验试验E1：抛一枚硬币，观察正面：抛一枚硬币，观察正面H、反面、反面T出现的情况。出现的情况。E2：将一枚硬币抛掷三次，观察
7、正面：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面、反面T出现的情出现的情况况E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数E4：抛一颗骰：抛一颗骰(tou)子，观察出现的点数子，观察出现的点数E5：记录一个班级：记录一个班级85人考试的平均成绩（假定成绩为整人考试的平均成绩（假定成绩为整数）数）E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命E7：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度E8：记录每次上概率论课程的人数：记录每次上概率论课程的人数12随机试验随机试验(E)如果一个试验具有以下三个特
8、点：如果一个试验具有以下三个特点：1.可以在相同的条件下可以在相同的条件下重复地重复地进行进行；2.每次试验的可能结果每次试验的可能结果不止一个不止一个，并且能，并且能事先事先明确明确试验的试验的所有可能结果所有可能结果；3.进行一次进行一次试验之前试验之前不能确定不能确定哪一个结果会出哪一个结果会出现现我们称之为我们称之为随机试验随机试验。用。用E 表示随机试验。表示随机试验。样本空间，样本点样本空间，样本点S.结果结果1结果结果2结果结果n样本点样本点样本空间样本空间.随机试验随机试验E 的所有可能结果组成的集合称的所有可能结果组成的集合称为为E 的的样本空间样本空间，记为，记为S 样本空
9、间的元素，即样本空间的元素，即E 的每个结果，称为的每个结果，称为样本点样本点14集合的表示与特征n集合的表示方法n列举法(列元素法)：A=a,e,i,o,u n叙述法(概括法，概括原则)：S=x|P(x)n集合的几个特征：n互异性：元素不重复出现n无序性：集合中元素可随意排序15写出下列试验的样本空间并计数写出下列试验的样本空间并计数E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面、反面T出现的情况出现的情况E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数数E4：抛一颗骰子，观察出现的点数：抛一颗骰子，观察出现的点数E5：记录：记录8
10、5个同学考试的平均成绩（假定成绩为个同学考试的平均成绩（假定成绩为整数）整数）练习:16事件事件n试验试验E的样本空间的样本空间S 的的子集子集为为E 的的随机事件随机事件，简称，简称事件事件n在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一点出现时，称这一事件发生事件发生。n由一个样本点组成的单点集，称为由一个样本点组成的单点集，称为基本事件基本事件。(相相对于观察目的不可再分解的事件对于观察目的不可再分解的事件)n样本空间样本空间S 包含所有的样本点，在每次试验中它包含所有的样本点，在每次试验中它总是发生的，称为总是发生的，称为必然事件必
11、然事件。n空集空集，不包含任何样本点，不包含任何样本点，在每次试验中它总在每次试验中它总是不发生，称为是不发生，称为不可能事件。不可能事件。17事件与集合n事件是一个集合；事件是一个集合；全集全集元素元素子集子集空集空集集合名词集合名词事件名词事件名词样本空间样本空间(必然事件必然事件)基本事件基本事件事件事件不可能事件不可能事件18讨论下列事件：掷骰子A=掷出掷出1点点=B=掷出奇数点掷出奇数点=C=掷出点数小于掷出点数小于7=D=掷出点数掷出点数8=样本空间样本空间:1,2,3,4,5,619写出下列事件的集合在在“E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面、
12、反面T出现出现的情况的情况”中，中，事件事件A1：“第一次出现的是第一次出现的是H”；事件事件A2：“三次出现同一面三次出现同一面”。在在“E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命”中，中，事件事件A3：“寿命小于寿命小于1000小时小时”。在在“E7：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度”中，中，事件事件A4：“最高温度与最低温度相差最高温度与最低温度相差10摄氏度摄氏度”。练习：20事件与集合n事件是一个集合；事件是一个集合；n集合之间的关系集合之间的关系 事件间的关系事件间的关系n集合运算集合运算 事件的运算事
13、件的运算全集全集元素元素子集子集空集空集集合名词集合名词事件名词事件名词样本空间样本空间(必然事件必然事件)基本事件基本事件事件事件不可能事件不可能事件21事件间的关系1.若若A B，则称事件，则称事件B包含包含事件事件A。若若A B，且，且B A，即，即AB,则称事件则称事件A与事件与事件B相等相等2.事件事件A B=x|x A 或或 x B 称为事件称为事件A与事件与事件B的的和事件和事件3.事件事件A B=x|x A且且x B 称为事件称为事件A与事件与事件B的的积积事件事件A B也记为也记为AB。ABABBAB22事件间的关系（续）4.事件事件A-B=x|x A且且x B 称为事件称为
14、事件A与事件与事件B的的差差事件事件5.若若A B=,则则称为事件称为事件A与与B是是互不相容（互斥）互不相容（互斥）的。基本事件是两两互不相容的。的。基本事件是两两互不相容的。6.若若A B=,且且A B=S,则则称为事件称为事件A与事件与事件B互为互为逆（对立）事件逆（对立）事件。A的对立事件记为的对立事件记为 .=S-A AABAAABA23判断对不对1.A=(A-B)B2.A=(A B)-B3.A=(A-B)AB4.=A5.xABABABABA练习:事件间的运算定律 ,ABCABCA BCAB C ABAB,ABAB ABCABAC A BCABAC ;.ABBAABBA（1）交换律交
15、换律（2）结合律）结合律（3）分配律）分配律（4）德）德摩根律（对偶律）摩根律（对偶律）25复杂事件表示设设A，B，C为三事件，用为三事件，用A，B，C的运算关系的运算关系表示下列各事件：表示下列各事件：1.A 发生，发生，B 与与C 不发生不发生2.A，B，C 中至少有一个发生中至少有一个发生3.A，B，C 中至少有两个发生中至少有两个发生4.A，B，C 中不多于两个发生中不多于两个发生练习：26事件关系及运算试验：将一枚硬币抛掷三次，观察正面试验：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面反面T出现的情况出现的情况”事件事件A1：“第一次出现的是第一次出现的是H”事件事件A2：“三次出现同一面三
16、次出现同一面”求：求：A1 A2,A1 A2,A1-A2,12A A练习：27小结随机试验随机试验样本空间，随机事件，事件发生样本空间，随机事件，事件发生基本事件，必然事件，不可能事件基本事件，必然事件，不可能事件事件间的关系事件间的关系(几何表示几何表示)：包含，和事件，积事件，包含，和事件，积事件，差事件，互不相容，逆事件差事件，互不相容，逆事件事件的运算事件的运算交换律，结合律，分配律，德交换律，结合律，分配律，德摩根律（对偶律）摩根律（对偶律）28 研究随机现象，不仅关心试验中会研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能
17、性大小。那么出现的可能性大小。那么事件出现的可事件出现的可能性大小能性大小如何表征呢？如何表征呢？29第三节第三节 频率与概率频率与概率 频率频率-尝试尝试1 概率三公理概率三公理 概率的性质概率的性质30n一个盒子中有3个相同的球，其中有白色的，也有黑色的，可否通过摸球实验推断白球和黑球的个数各是多少？n求定积分的概率方法。31 Monte Carlo均值法求积分 Monte Carlo成功-失败法求积分32一、一、频率频率尝试尝试1 nfA .AnnfAn定义定义:在相同的条件下，进行了在相同的条件下，进行了n次试验，次试验，在这在这n次试验中，事件次试验中，事件A发生的次数发生的次数nA
18、称称为事件为事件A发生的发生的频数频数比值比值nA/n 称为事件称为事件A发生的发生的频率频率，并记成，并记成 33频率具有的三个基本性质：频率具有的三个基本性质：(1)0 f(A)1;(2)f(S)=1;(3)设设A1,A2,Ak是两两互斥事件，则是两两互斥事件，则 f(A1 A2 Ak)=f(A1)+f(A2)+fn(A1)尝试：频率能否表征事件发生可能性大小？尝试：频率能否表征事件发生可能性大小？抛掷次数抛掷次数n=5n=50n=50010.40.440.50220.60.500.49830.20.420.51241.00.500.50650.20.480.50260.40.420.49
19、270.80.360.48880.40.480.51690.60.540.524100.60.620.494抛硬币试验数据抛硬币试验数据123456789100.20.30.40.50.60.70.80.91抛币次数抛币次数n 频率频率fn(H)20840.518140400.5069120000.5016240000.5005实验实验序号序号fn(H)35n当当n较小时较小时n频率随机波动的幅度较大频率随机波动的幅度较大.表征事件发生表征事件发生可能性的大小不合适可能性的大小不合适.n当当n非常大时非常大时n逐渐稳定表征事件发生可能性的大小比逐渐稳定表征事件发生可能性的大小比较较合适合适n但
20、但需做大量的试验，需做大量的试验，不现实；不现实；理论研究也理论研究也不方便。不方便。频率的两个特点36概率概率 定义定义 设设E是随机试验，是随机试验，S是它的样本空是它的样本空间对于间对于E的每一事件的每一事件A赋于一个实数，记为赋于一个实数，记为P(A)，如果集合函数，如果集合函数P()满足下列条件：满足下列条件：1.非负性：非负性：对于每一个事件对于每一个事件A，有，有P(A)0；2.规范性：规范性：对于必然事件对于必然事件S，有，有P(S)=1；3.可列可加性：可列可加性：设设A1,A2,是两两互不相容的是两两互不相容的事件，即对于事件，即对于i j,Ai Aj=,i，j=1,2,则
21、有则有P(A1 A2)=P(A1)+P(A2)+则称则称P(A)为事件为事件A的概率的概率.二、概率三公理二、概率三公理频率与概率n概率是随机事件自身的一个属性，是客观存在的!n频率既有随机性（每人每次试验都是变化的），又有规律性（也就是稳定性），即随机事件发生的频率的稳定值就是概率.n可以说“频率是概率的估计”、“频率的稳定值就是概率”。3738概率的常规性质n性质性质1 P()=0;n性质性质2 (有限可加性有限可加性)设设A1,A2,An是两两是两两互不相容的事件，则有互不相容的事件，则有 P(A1 A2 An)=P(A1)+P(A2)+P(An)n性质性质3 设设A，B是两个事件，若是
22、两个事件，若A B，则，则有有 P(B-A)=P(B)-P(A);P(B)P(A).n性质性质4 对于任一事件对于任一事件A，P(A)1;BAB39概率的重要性质n性质性质5 (逆事件的概率逆事件的概率)对于任一事件对于任一事件A，有有P()=1-P(A)n性质性质6 (加法公式加法公式)对于任意两事件对于任意两事件A，B有有P(A B)=P(A)+P(B)-P(AB)ASBAAB例例:在在12000的整数中随机地取一个数，问的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被取到的整数既不能被6整除，又不能被整除，又不能被8整除整除的概率是多少的概率是多少?重要定理应用加法公式的推广()()()()
23、-()-()-()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC()()()()P ABP AP BP ABASBCBCABACABC1112121()()()().(1)(.)nniiijiiij nnijknij k nPAP AP A AP A A AP A AA 42 小小 结结n频率频率 概率概率 n概率重要性质：概率重要性质：n逆事件概率逆事件概率n加法定理加法定理43第四节第四节 等可能概型等可能概型(古典概型古典概型)古典概型的定义古典概型的定义古典概率的求解古典概率的求解44 若随机试验满足下述两个条件：若随机试验满足下述两个条件：(1)试验的样本空间只包
24、含试验的样本空间只包含有限个元素有限个元素；(2)试验中每个基本事件发生的试验中每个基本事件发生的可能性相同可能性相同.称这种试验为称这种试验为等可能概型等可能概型或或古典概型古典概型.45 “等可能性等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的或样本点是等可能的.请注意：请注意：E1：抛一枚硬币，观察正面：抛一枚硬币，观察正面H、反面、反面T出现的情况出现的情况E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面、反面T出现的出现的情况情况E
25、3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数46()()n AAP An SS包含的基本事件数中的基本事件总数 1.列举法列举法2.乘法原理，排列组合乘法原理，排列组合计算方法计算方法 解解:此试验的样本空间为此试验的样本空间为 .TTT,TTH,THT,THH,HTT,HTH,HHT,HHHS ,TTH,THT,HTTA 1而而 所以所以 1AP.83 2AP.87 .TTH,THT,THH,HTT,HTH,HHT,HHHA 2列举法列举法：例例1 将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次(1)设事件设事件A1 为为“恰有一次出现正面恰有一次出现正面”，求，
26、求P(A1)；(2)设事件设事件A2 为为“至少有一次出现正面至少有一次出现正面”，求，求P(A2)所以所以 基础知识回顾基础知识回顾从从N个元素取个元素取n个个排列排列 从从N个元素取个元素取n个进行排列个进行排列乘法原理乘法原理!()!nNNNCnn Nn(1)(1)nNAN NNn12nn将将N个不同元素分为个不同元素分为k组，第组，第i组为组为ni个，个，i=1,2,k1111212.!.!kkkNnnNNnNnnnn nnN个元素被分成了个元素被分成了k组，每组中有组，每组中有ni个元素，现从个元素，现从N个元素个元素中选择中选择r个元素，每组中选择个元素，每组中选择ri个个1212
27、.kknnnrrr1kiinN1kiinN1kiirr组组合合例例2(袋中取球问题袋中取球问题)(a)放回抽样放回抽样(b)不放回抽样不放回抽样取取2球，试分别就上面两种情况求：球，试分别就上面两种情况求：(1)取到两白球的概率；取到两白球的概率；(2)取到两球颜色相同的概率；取到两球颜色相同的概率；(3)取到两只球中至少有一只白球的概率取到两只球中至少有一只白球的概率4白2红6只球只球例例3 (分房问题分房问题)n个人，每个人都以相同的概率个人，每个人都以相同的概率 1/N(Nn)被分在被分在 N 间房的每一间中，求间房的每一间中，求（1）所有人不同房间的概率（恰好有）所有人不同房间的概率（
28、恰好有n个房间，其中各住个房间，其中各住一个人）；一个人）；（2）指定的）指定的n个房间各有一人住。个房间各有一人住。n个人个人N个房子个房子求求n(n 365)个人的生日互不相同的概率个人的生日互不相同的概率.1.将将n只球随机地放人只球随机地放人N(Nn)个盒子中去，试求每个个盒子中去，试求每个盒子至多有一只球的概率盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限设盒子的容量不限)2.有有n个旅客，乘火车途经个旅客，乘火车途经N个车个车站，设每个人在每站，设每个人在每站下车的概率为站下车的概率为1/N(N n)，求每个站至多一人下，求每个站至多一人下车的概率车的概率.52例例4 （产品抽样问题产品
29、抽样问题）设有）设有N件产品，其中有件产品，其中有D件件次品，现从这次品，现从这N件中任取件中任取n件，求其中恰有件，求其中恰有k(k D)件次品的概率件次品的概率.次品次品(D件件)正品正品(N-D件件)超几何分布：就是已经知道某个事件的发生概率，判断从中取出一个小样本，该事件以某一个机率出现的概率问题。求第求第i(i=1,2,k)个人取到白球的概率个人取到白球的概率(k a+b).例例5 (抽签抽奖问题抽签抽奖问题)(1)放回抽样放回抽样(2)不放回抽样不放回抽样a白b红a+b只球只球k个人说明：在抽奖游戏中先抽后抽一个样；有放回无放回一个样！i白例例6 将将15名新生随机地平均分配到三个
30、班级中去，这名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中有名新生中有3名是优秀生问：名是优秀生问：(1)每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少?(2)3名优秀生分配在同一班级的概率是多少名优秀生分配在同一班级的概率是多少?班级班级1班级班级2班级班级3注意：在用排列组合公式计算古典概率时，必须注注意：在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏意不要重复计数，也不要遗漏.例例7：从：从5双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取4只，这只，这4只鞋子中只鞋子中“至少有两只配成一双至少有两只配成一双”的概率是多少？的概率是多少？973
31、21456810注意：在用排列组合公式计算古典概率时，必须注注意：在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏意不要重复计数，也不要遗漏.例例7：从：从5双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取4只，这只，这4只鞋子中只鞋子中“至少有两只配成一双至少有两只配成一双”的概率是多少？的概率是多少？下面的算法对不对？下面的算法对不对？1258410()C CP AC错在同样的错在同样的“4只配成两双只配成两双”算了两次算了两次.97321456810从从5双中取双中取1双，双，从剩下的从剩下的 8只中只中取取2只只如果采用逆事件求解如果采用逆事件求解,不易出错不易出错!1225854
32、10()C CCP AC4454102()1CP AC 57实际推断原理(小概率原理)n例8某接待站在某一周曾接待过12次来访,已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的？58思考题n甲掷硬币N+1次，乙N次，求甲正面向上次数比乙多的概率。nn个有编号(1-n)的房间，n个有编号(1-n)的同学，求所有同学都分配到与自己编号不同的房间的(记为事件B)的概率。解 令甲正=甲掷出的正面数甲反=甲掷出的反面数乙正=乙掷出的正面数乙反=乙掷出的反面数于是所求的事件的概率为P（甲正乙正），另一方面显然有 S-（甲正乙正）=（甲正乙正）=（甲反乙反）因为硬币是均匀的，又对
33、称性知P（甲正乙正）=P（甲反乙反）由此即得P（甲正乙正）=1/2例例3 某人一次写了某人一次写了n封信封信,又写了又写了n个信封如果个信封如果他任意地将他任意地将n张信纸装入张信纸装入n个信封中个信封中.问至少有问至少有一封信的信纸和信封是一致的概率是多少一封信的信纸和信封是一致的概率是多少?解解 令令=第第i张信纸恰好装进第张信纸恰好装进第i个信封个信封iAniiAP1则所求概率为则所求概率为 ,易知有易知有同理可得同理可得11211()3(1)(2)3!11()!ijkij k nnnP A A An nnnP A AAn nn !21)1(12)()()1(1)(1)(,1)(11nj
34、ijijiniiinnnAAPjinnAAPAPnAP111111(1)2!3!nniiPAn 由概率的加法公式得到由概率的加法公式得到63古典概型的定义：古典概型的定义：古典概型的求解公式：古典概型的求解公式：古典概率的求解：古典概率的求解：列举列举乘法原理，排列组合乘法原理，排列组合()()n AAP An SS包含的基本事件数中的基本事件总数64课后作业课后作业32:1，2，3，5，8，9，12下堂课预习内容：下堂课预习内容：第五节第五节 条件概率条件概率 第六节第六节 独立性独立性休息片刻继续休息片刻继续第一章 预习考虑题1.频率和概率的性质有哪些？2.古典概型的特点是什么？3.全概率
35、公式和贝叶斯公式的应用背景是什么？当n=2时，这两个公式又可表示为哪种形式？4.P(A/C)与P(C/A)有什么关系吗？5.三个事件相互独立的条件是什么？一般情况下，怎样判断事件的独立性？概率与必然事件、不可能事件的关系概率与必然事件、不可能事件的关系n在古典概型中,概率为零的事件一定是不可能事件；在几何概型中,概率为零的事件未必是一个不可能事件.由对立事件知,概率为1 的事件未必是必然事件.n例如:向平面内投一质点,该质点落在平面内任一点都是等可能的,分别求落在平面内点A 的概率和落在平面内除点A 处以外的概率.这是求随机事件概率问题,是一个典型的几何概型问题,但前者的概率为0,后者的概率为1.发生上述情形的原因在于概率有一个测度,有测度为0 的不可数集存在,并且对于连续函数来说,在一点处的积分为零.
