1、因式分解-大赛获奖课件-公开课一等奖课件学习目标学习目标1.解掌握因式分解的意义，会判断一个变形是否为因式分解.（重点）2.理解因式分解与整式乘法之间的联系与区别.（难点）导入新课导入新课复习引复习引入入问题1：21能被哪些数整除？1，3，7，21.问题2：你是怎样想到的？因为21=121=37.思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项式可以分解成几个整式的积吗？可以.因式分解的概念因式分解的概念一讲授新课讲授新课问题：993-99能被100整除这个吗？所以，993-99能被100整除.32299-999999-99199(99-1)9998009899100 想一想想一想:993-9
2、9还能被哪些整数还能被哪些整数整除整除?探究引探究引入入问题探究问题探究如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？abcm方法一：m(a+b+c)方法二：ma+mb+mcm(a+b+c)=ma+mb+mc整式乘法?完成下列题目：x(x-2)=_(x+y)(x-y)=_(x+1)2=_x2-2xx2-y2x2+2x+1根据左空，解决下列问题：x2-2x=()()x2-y2=()()x2+2x+1=()2xx-2x+yx-yx+1做一做做一做联系：左右两式是同一多项式的不同表现形式.区别：左边一栏是多项式的乘法，右边一栏是把多项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的.问题
3、2：右边一栏表示的正是多项式的因式分解，你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？问题1：观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系？总结归纳总结归纳 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式.其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：辩一辩辩一辩 A.x(ab)=axbx B.x21+y2=(x1)(x+1)+y2 C.y21=(y+1)(y1)D.ax+by+c=x(a+b)+c E.2a3b=a22ab F.(x+3)(x3)=x29提示：判定一个变形是因式分解的条件：(1)左边是多项式(2)右边是积的形式.(3
4、)右边的因式全是整式.做一做做一做根据左面算式填空:(1)3x2-3x=_(2)ma+mb+mc=_(3)m2-16=_(4)x2-6x+9=_(5)a3-a=_计算下列各式:(1)3x(x-1)=_,(2)m(a+b+c)=_,(3)(m+4)(m-4)=_,(4)(x-3)2=,(5)a(a+1)(a-1)=_,3x2 -3xma+mb+mcm2-16x2-6x+9a3-a3x(x-1)m(a+b+c)(m+4)(m-4)(x-3)2a(a+1)(a-1)想一想：由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算?由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同?由a(a+1)(
5、a-1)得到a3-a的变形是整式乘法,由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形互为逆过程.因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法的关系二x2-1 (x+1)(x-1)因式分解整式乘法x2-1=(x+1)(x-1)等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？是互为相反的变形，即例 若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a（x2）（x+3），求a，b的值.解：x2+ax+b=a（x2）（x+3）=ax2+ax-6a.a=1，b=6a=6.典例精析典例精析方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结
6、果乘开，再与多项式的各项系数对应比较即可.下列多项式中，分解因式的结果为-(x+y)(x-y)的是（）Ax2y2 Bx2+y2Cx2+y2 Dx2y2B练一练练一练当堂练习当堂练习2.下列从左到右的变形中，是因式分解的有_.24x2y=4x6xy （x+5）（x5）=x225 x2+2x3=（x+3）（x1）9x26x+1=3x（x2）+1 x2+1=x（x+）3xn+2+27xn=3xn（x2+9）1.下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（）A.a(a+b-1)=a2+ab-a B.a2-a-2=a(a-1)-2C.-4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b)D.2x+1=x(2+)
7、Cx13.把多项式x2+4mx+5因式分解得(x+5)(x+n)，则m+n的值为 解析：由题意可得 x2+4mx+5=(x+5)(x+n)=x2+(n+5)x+5n，5n=5，4m=n+5 解得n=1，m=，m+n=1+=.52523232 4.20042+2004能被2005整除吗?解:20042+2004=2004(2004+1)=2004 2005 20042+2004能被2005整除5.若多项式x4+mx3+nx16含有因式(x2)和(x1)，求mn的值.解：x4+mx3+nx16的最高次数是4，可设x4+mx3+nx16=(x-1)(x-2)(x2+ax+b)，则x4+mx3+nx-
8、16=x4+(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b 比较系数得 2b=-16，b-3a+2=0，a-3=m，2a-3b=n 解得a=-2，b=-8，m=-5，n=20.mn=520=1006.甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1）(x+9)，求a+b的值.解：分解因式甲看错了b，但a是正确的，其分解结果为x2+ax+b=(x+2)(x+4)=x2+6x+8，a=6，同理，乙看错了a，但b是正确的，分解结果为x2+ax+b=(x+1)(x+9)=x2+10 x+9，b=9，a+b=15课堂小结课堂
9、小结因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的_的形式，叫做因式分解，也可称为_.其中，每个整式叫做这个多项式的_.与多项式乘法运算的关系 的变形过程.前者是把一个多项式化为几个整式的_，后者是把几个整式的_化为一个_.积 分解因式 因式 相反 多项式 乘积 乘积 见学练优本课时练习课后作业课后作业1.3 线段的垂直平分线第一章 三角形的证明导入新课导入新课讲授新课讲授新课当堂练习当堂练习课堂小结课堂小结 第1课时 线段的垂直平分线 1.理解线段垂直平分线的概念；2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；（重点）3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算.（难点）学习目标学习目标导入新课
10、导入新课问题引入问题引入某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ABC观察：已知点A与点A关于直线l 对称，如果线段AA沿直线l折叠，则点A与点A重合，AD=AD，1=2=90，即直线l 既平分线段AA，又垂直线段AA.lAAD21(A)讲授新课讲授新课线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质一 我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.知识要点知识要点如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，是l 上的点，请你量一量线段
11、P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，到点A 与点B 的距离之间的数量关系ABlP1P2P3探究发现探究发现P1A _P1BP2A _ P2BP3A _ P3B 作关于直线l 的轴反射（即沿直线l 对折），由于l 是线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合.从而线段PA与线段PB重合，于是PA=PB.(A)(B)B APl活动探究活动探究 猜想：点P1，P2，P3，到点A 与点B 的距离分别相等 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.由此你能得到什么结论？你能验证这一结论吗？如图，直线lAB，垂足为C，AC=CB，点P 在
12、l 上求证：PA=PB证明：lAB，PCA=PCB又 AC=CB，PC=PC，PCA PCB（SAS）PA=PBPABlC验证结论验证结论微课微课-证明线段垂直平分线的性质证明线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.线段垂直平分线的性质定理：总结归纳总结归纳例1 如图，在ABC中，ABAC20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若DBC的周长为35cm，则BC的长为()A5cmB10cmC15cmD17.5cm典例精析典例精析C解析：DBC的周长为BCBDCD35cm，又DE垂直平分AB，ADBD，故BCADCD35cm.ACADDC20cm，BC35
13、2015(cm).故选C.方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长练一练：1.如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（）A.6 B.5 C.4 D.32.如图所示，在ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E,BCE的周长等于18cm,则AC的长是 .B10cmPABCD图图ABCDE图图定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.逆命题到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.它是真命题吗？你能证明吗？线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的判定
14、二想一想：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？记得要分点P在线段AB上及线段AB外两种情况来讨论（1）当点P在线段AB上时，PA=PB，点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上；（2）当点P在线段AB外时，如右图所示.PA=PB，PAB是等腰三角形.过顶点P作PCAB，垂足为点C，底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.即 PCAB，且AC=BC.直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上.微课微课-线段垂直平分线的逆命题线段垂直平分线的逆命题 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.线段垂直平分线的性质定理的逆定
15、理：应用格式：PA=PB，点P 在AB 的垂直平分线上PAB作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.总结归纳总结归纳例2：已知：如图ABC中，AB=AC，O是ABC内一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.证明：AB=AC，A在线段BC的垂直平分线（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.同理，点O在线段BC的垂直平分线.直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.你还有其他证明方法吗？利用三角形的全等证明证明：延长AO交BC于点D，ABAC，AOAO，OBOC ，ABOACO（SSS）.BAO=CAO，AB=AC，AOBCOBOC ，ODOD ，RT
16、DBORTDCO（HL）.BDCD.直线AO垂直平分线段BC.试一试：已知：如图，点E是AOB的平分线上一点，ECOA,EDOB,垂足分别为C,D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.ABOEDC证明：OE平分AOB,ECOA,EDOB,DE=CE(角平分线上的点到角的两边的距离相等）.OE是CD的垂直平分线.当堂练习当堂练习1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是 （）AAB垂直平分CD；B CD垂直平分AB；CAB与CD互相垂直平分；DCD平分 ACB A2.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DADB，EAEB,FAFB，这样的点的组合共有种.无数3.下列说
17、法：若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EAEB，PAPB；若PAPB，EAEB，则直线PE垂直平分线段AB；若PAPB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；若EAEB，则经过点E的直线垂直平分线段AB其中正确的有 （填序号）.4.如图，ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则BCE的周长是 cm.ABCDE165.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC=BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.求证：AO=BO.证明：AC=BC，AD=BD，点C和点D在线段AB的垂直平分线上，CD为线段AB的垂直平分线.又 AB与CD相交于点O，AO
18、=BO.课堂小结课堂小结线段的垂直平分的性质和判定性 质到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 内 容判 定内 容作 用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 作 用见垂直平分线，得线段相等判断一个点是否在线段的垂直平分线上见学练优本课时练习课后作业课后作业1.3 线段的垂直平分线第一章 三角形的证明导入新课导入新课讲授新课讲授新课当堂练习当堂练习课堂小结课堂小结 第1课时 线段的垂直平分线 1.理解线段垂直平分线的概念；2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；（重点）3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算.（难点）学习目标学习目标导入新课导入新课问题引入问题
19、引入某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ABC观察：已知点A与点A关于直线l 对称，如果线段AA沿直线l折叠，则点A与点A重合，AD=AD，1=2=90，即直线l 既平分线段AA，又垂直线段AA.lAAD21(A)讲授新课讲授新课线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质一 我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.知识要点知识要点如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2
20、A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，到点A 与点B 的距离之间的数量关系ABlP1P2P3探究发现探究发现P1A _P1BP2A _ P2BP3A _ P3B 作关于直线l 的轴反射（即沿直线l 对折），由于l 是线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合.从而线段PA与线段PB重合，于是PA=PB.(A)(B)B APl活动探究活动探究 猜想：点P1，P2，P3，到点A 与点B 的距离分别相等 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.由此你能得到什么结论？你能验证这一结论吗？如图，直线lAB，垂足为C，AC=CB，点P 在l 上求证：PA=P
21、B证明：lAB，PCA=PCB又 AC=CB，PC=PC，PCA PCB（SAS）PA=PBPABlC验证结论验证结论微课微课-证明线段垂直平分线的性质证明线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.线段垂直平分线的性质定理：总结归纳总结归纳例1 如图，在ABC中，ABAC20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若DBC的周长为35cm，则BC的长为()A5cmB10cmC15cmD17.5cm典例精析典例精析C解析：DBC的周长为BCBDCD35cm，又DE垂直平分AB，ADBD，故BCADCD35cm.ACADDC20cm，BC352015(cm).故
22、选C.方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长练一练：1.如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（）A.6 B.5 C.4 D.32.如图所示，在ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E,BCE的周长等于18cm,则AC的长是 .B10cmPABCD图图ABCDE图图定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.逆命题到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.它是真命题吗？你能证明吗？线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的判定二想一想：如果PA=
23、PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？记得要分点P在线段AB上及线段AB外两种情况来讨论（1）当点P在线段AB上时，PA=PB，点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上；（2）当点P在线段AB外时，如右图所示.PA=PB，PAB是等腰三角形.过顶点P作PCAB，垂足为点C，底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.即 PCAB，且AC=BC.直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上.微课微课-线段垂直平分线的逆命题线段垂直平分线的逆命题 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：应用格式：PA=
24、PB，点P 在AB 的垂直平分线上PAB作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.总结归纳总结归纳例2：已知：如图ABC中，AB=AC，O是ABC内一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.证明：AB=AC，A在线段BC的垂直平分线（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.同理，点O在线段BC的垂直平分线.直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.你还有其他证明方法吗？利用三角形的全等证明证明：延长AO交BC于点D，ABAC，AOAO，OBOC ，ABOACO（SSS）.BAO=CAO，AB=AC，AOBCOBOC ，ODOD ，RTDBORTDCO（H
25、L）.BDCD.直线AO垂直平分线段BC.试一试：已知：如图，点E是AOB的平分线上一点，ECOA,EDOB,垂足分别为C,D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.ABOEDC证明：OE平分AOB,ECOA,EDOB,DE=CE(角平分线上的点到角的两边的距离相等）.OE是CD的垂直平分线.当堂练习当堂练习1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是 （）AAB垂直平分CD；B CD垂直平分AB；CAB与CD互相垂直平分；DCD平分 ACB A2.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DADB，EAEB,FAFB，这样的点的组合共有种.无数3.下列说法：若点P、E是线段
26、AB的垂直平分线上两点，则EAEB，PAPB；若PAPB，EAEB，则直线PE垂直平分线段AB；若PAPB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；若EAEB，则经过点E的直线垂直平分线段AB其中正确的有 （填序号）.4.如图，ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则BCE的周长是 cm.ABCDE165.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC=BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.求证：AO=BO.证明：AC=BC，AD=BD，点C和点D在线段AB的垂直平分线上，CD为线段AB的垂直平分线.又 AB与CD相交于点O，AO=BO.课堂小结课堂
27、小结线段的垂直平分的性质和判定性 质到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 内 容判 定内 容作 用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 作 用见垂直平分线，得线段相等判断一个点是否在线段的垂直平分线上见学练优本课时练习课后作业课后作业小魔方站作品小魔方站作品 盗版必究盗版必究语文语文附赠 中高考状元学习方法 前前 言言 高考状元是一个特殊的群体，在许多高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实际上他们和我的星星那样遥不可及。但实际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们们每一个同
28、学都一样平凡而普通，但他们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方面有一些独到的个性，又有就是在学习方面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校的同学尤其是着一些共性，而这些对在校的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。青春风采北京市文科状元北京市文科状元 阳光女孩阳光女孩-何旋何旋 高考总分：高考总分：692分分(含含20分加分分加分)语文语文131分分 数学数学145分分英语英语141分分 文综文综255分分毕业学校：北京二中毕业学校：北京二中报考高校：报考高校：北京大学光华管理学北京大学光华管理
29、学院院来自北京二中，高考成绩672分，还有20分加分。“何旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的笑声。”班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。“她是学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她的成绩应该是692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后，她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。班主任：我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的，何旋是一个特别充满自信
30、，充满阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。小魔方站作品小魔方站作品 盗版必究盗版必究语文语文附赠 中高考状元学习方法 前前 言言 高考状元是一个特殊的群体，在许多高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实际上他们和我的星星那样遥不可及。但实际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们们每一个同学都一样平凡而普通，但他们有是不平凡不普通的
31、，他们的不平凡之处有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方面有一些独到的个性，又有就是在学习方面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校的同学尤其是着一些共性，而这些对在校的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。青春风采北京市文科状元北京市文科状元 阳光女孩阳光女孩-何旋何旋 高考总分：高考总分：692分分(含含20分加分分加分)语文语文131分分 数学数学145分分英语英语141分分 文综文综255分分毕业学校：北京二中毕业学校：北京二中报考高校：报考高校：北京大学光华管理学北京大学光华管理学院院来自北京二中，高考成绩672分，还有2
32、0分加分。“何旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的笑声。”班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。“她是学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她的成绩应该是692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后，她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。班主任：我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的，何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。高考总分高考总分:711分分毕业学校毕业学校:北京八中北京八中语文语文139分分 数学数学140分分英语英语141分分 理综理综291分分报考高校：报考高校：北京大学光华管理学院北京大学光华管理学院北京市理科状元杨蕙心北京市理科状元杨蕙心
