1、特殊与一般思想特殊与一般思想人们认识世界人们认识世界总是从特殊到一般，总是从特殊到一般，再由一般到特殊再由一般到特殊，数学研究也不例，数学研究也不例外，由特殊到一般，外，由特殊到一般，再由一般到特再由一般到特殊殊的基本认识过程，就是数学研究的基本认识过程，就是数学研究中的中的特殊与一般特殊与一般思想思想.特殊与一般思想特殊与一般思想数式规律型数式规律型 1.（20152015郴州）请观察下列等式的规律：郴州）请观察下列等式的规律：31121311513121531715121751917121971,751531311101991 则则751531311)12)(12(1nn 10110150
2、501 12n2nn n 2 2(2015重庆重庆)下列图形中都是由同样大小的小圆圈按一下列图形中都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第定规律组成的，其中第1个图形中一共有个图形中一共有6个小圆圈，第个小圆圈，第2个图形个图形中一共有中一共有9个小圆圈，第个小圆圈，第3个图形中一共有个图形中一共有12个小圆圈，个小圆圈，按，按此规律排列：此规律排列：图形规律型图形规律型(1)(1)第第7 7个图形有个图形有_个小圆圈个小圆圈 (2)(2)第第n n个图形有个图形有_ _ 个小圆圈个小圆圈(3)(3)第几个图形中有第几个图形中有20162016个小圆圈？说明理由个小圆圈？说明理由 33
3、n24671n201633n 3.（20152015德州）德州）（1 1）问题）问题 如图如图1 1，在四边形，在四边形ABCDABCD中，点中，点P P为为ABAB上一点，上一点，DPC=A=B=90DPC=A=B=90，求证：，求证：ADBC=APBPADBC=APBP 类比归纳猜想型类比归纳猜想型APBDC图图1 1 （2 2）探究）探究 如图如图2 2，在四边形，在四边形ABCDABCD中，点中，点P P为为ABAB上一点，当上一点，当DPC=A=B=DPC=A=B=时，上述结论是否依然成立？说明时，上述结论是否依然成立？说明理由理由APBDC图图2 2类比归纳猜想型类比归纳猜想型AB
4、PEFC 55用特殊方法解决一般性问题用特殊方法解决一般性问题5例例1.1.（1 1）已知等腰直角三角形的两直角边）已知等腰直角三角形的两直角边AB=AC=5，P是斜边是斜边B BC上一个的动点，过上一个的动点，过P作作PEAB于于E，PFAC于于F，则，则PE+PF=_=_.（2）若等腰直角三角形改成等腰三角形，且两若等腰直角三角形改成等腰三角形，且两腰腰AB=AC=5，底边，底边BC=6，245过过B作作BD AC于于D，则，则BD=_.过过P作作PEAB于于E,PFAC于于F，则，则PE+PF=_.245ABCD P EF G 565用特殊方法解决一般问题型用特殊方法解决一般问题型H特殊
5、或（简单）特殊或（简单）问题的解法问题的解法一般性问题一般性问题的解法的解法ABPEFC ABCD P EF 用特殊方法解决一般问题型用特殊方法解决一般问题型通过通过等面积法等面积法解决问题。解决问题。思想方法：思想方法：转化思想转化思想（3）已知已知P为边长为为边长为a的等边三角形的等边三角形ABC内任意一点，内任意一点，到三边的距离分别到三边的距离分别PD,PE,PF,则则PD+PE+PF=_.32aCABEFD P用特殊方法解决一般问题型用特殊方法解决一般问题型 例例2.（2015南昌）我们把两条中线互相垂直的三南昌）我们把两条中线互相垂直的三角形称为角形称为“中垂三角形中垂三角形”.例
6、如图例如图1，图，图2，图，图3中，中，AF，BE是是ABC的中线，的中线，AFBE,垂足为垂足为P.像像ABC这样的三角形均为这样的三角形均为“中垂三角形中垂三角形”.设设BC=,AC=,AB=.a4c如图如图2 2，当，当ABE=30ABE=30，时，时，（1 1）如图）如图1 1，当，当ABE=45ABE=45，时，时，22c_;_,ba_;_,babc用特殊方法解决一般问题型用特殊方法解决一般问题型CEAFBP图图145 52521327222B图图2CEFAP30 4归纳归纳 证明证明 （2 2）请你观察（）请你观察（1 1）中的计算结果，猜想）中的计算结果，猜想 三者之间的关系，用
7、等式表示出来，并利用图三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3 3证明证明你发现的关系式；你发现的关系式；222,cba用特殊化方法解决一般问题型用特殊化方法解决一般问题型CEFAB图图3 3P一种思想：一种思想：特殊与一般思想二种方法：二种方法：1.用特殊性结果归纳出一般性结论.2.特殊化方法解决一般性问题.四种类型：四种类型：数式规律型、图形规律型、类比归纳猜想型、用特殊方法解决一般问题型.归纳总结归纳总结是初中数学的一种重要的是初中数学的一种重要的数学思想和方法，在解决问题时，以特殊问数学思想和方法，在解决问题时，以特殊问题为起点，抓住数学问题的特点，逐步分析、题为起点，抓住数学问题的特点，逐步分析、比较、讨论，层层深入，揭示规律，并由此比较、讨论，层层深入，揭示规律，并由此推广到一般，从解决特殊问题的规律中，寻推广到一般，从解决特殊问题的规律中，寻求解决一般问题的方法和规律，又用以指导求解决一般问题的方法和规律，又用以指导特殊问题的解决，从而进一步加深对特殊问特殊问题的解决，从而进一步加深对特殊问题与一般问题相互联系的认识和理解题与一般问题相互联系的认识和理解.归纳总结归纳总结
