1、第四章第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入目录目录第第1课时课时向量的概念及线性运算向量的概念及线性运算目录2014高考导航高考导航考纲展示备考指南1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.1.平面向量的线性运算是考查重点.2.共线向量定理的理解和应用是重点，也是难点.3.题型以选择题、填空题为主，常与解析几何相联系.本节目录本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现知能演练轻松
2、闯关目录教材回顾夯实双基基础梳理1.向量的有关概念(1)向量：既有_又有_的量向量的大小叫做向量的_(或模)(2)零向量：长度为0的向量，其方向是_的(3)单位向量：长度等于_的向量(4)平行向量：方向_的非零向量(5)相等向量：长度_且方向_的向量(6)相反向量：长度_且方向_的向量大小方向长度任意1个单位长度相同或相反相等相同相等相反目录2.向量的加法与减法向量的加法与减法(1)加法法则：服从三角形法则和平行四边形法则性质：ab_(交换律)；(ab)ca(bc)(结合律)；a00aa.(2)减法：减法与加法互为逆运算，服从三角形法则ba目录3.实数与向量的积(1)|a|a|.(2)当_时,
3、a与a的方向相同；当_时,a与a的方向相反；当0时，a0.(3)运算律：设，R，则：(a)_；()a_；(ab)_4.两个向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得_00()aaaabba目录目录思考探究如何用向量法证明三点A、B、C共线？提示：首先求出AB、AC，然后证明ABAC(R)，即AB与AC共线即可 目录课前热身1.设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列结论中正确的是()Aa0b0Ba0b01C|a0|b0|2D|a0b0|2解析：选C.因为是单位向量，所以|a0|1，|b0|1.目录2.已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2
4、ACCB0，则OC等于()A2OAOB BOA2 OB C.23OA13OB D13OA23OB 答案：A目录3.如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()A.ABDC B.ADABAC C.ABADBD D.ADCB0 解析：选C.A显然正确，由平行四边形法则知B正确 C中ABADDB，所以错误 D中ADCBADDA0.目录4.已知|a|1，|b|2，ab，则等于_ 解析：因为ab，所以|a|b|，即12|，所以12.答案：12 目录5.若a“向东走8 km”，b“向北走8 km”，则|ab|_；ab的方向是_ 解析：根据向量加法的几何意义，|ab|表示以8 km为边长的正方形
5、的对角线长，|ab|8 2，ab的方向是东北方向 答案：8 2 东北方向 目录考点探究讲练互动例1考点突破考点1 平面向量的基本概念 有向线段就是向量，向量就是有向线段；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；向量AB与向量CD共线，则A、B、C、D四点共线；如果ab，bc，那么ac.以上命题中正确的个数为()A1 B2 C3 D0 目录【解析】【解析】不正确不正确，向量可以用有向线段表示向量可以用有向线段表示，但向量不但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以
6、平行；不正确，如果b0时时，则则a与与c不一定共线不一定共线所以应选D.【答案】D目录目录【题后感悟】准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关键共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关两个向量方向相同且长度相等，才是相等向量共线向量和相等向量均与向量起点无关目录跟踪训练1.给出下列命题：(1)两个具有公共终点的向量，一定是共线向量(2)两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小(3)a0(为实数)，则必为零(4)，为实数，若ab，则a与b共线其中错误命题的个数为()A1B2C3D4目录目录解析解析:选选C.(1)错误两向量共线要看其方向而
7、不是起点与终点.(2)正确因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小小，但它们的模均为实数但它们的模均为实数，故可以比较大小故可以比较大小(3)错误当a0时，不论为何值，a0.(4)错误当0时时，ab,此时此时,a与与b可以是任意向量可以是任意向量目录例2考点2 平面向量的线性运算 如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么EF()A.12AB13AD B.14AB12AD C.13AB12DA D.12AB23AD 目录目录【解析】在CEF中，有EFECCF.因为点E为DC的中点，所以EC12DC.因为点F为BC的一个三等分点，所以CF23CB.所以EF12
8、DC23CB12AB23DA12AB23AD，故选D.【答案】【答案】D目录目录【方法提炼】【方法提炼】三角形法则和平行四边形法则是向量线性运三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量和用平行四边形法则，差用三算的主要方法，共起点的向量和用平行四边形法则，差用三角形法则；在角形法则；在ABC中，当中，当M为为BC中点时，中点时，AM12(ABAC)应作为公式记住应作为公式记住 目录跟踪训练2.在ABC中，ABc，ACb，若点D满足BD2DC，则AD()A.23b13c B.53c23b C.23b13c D.13b23c 解析：选A.BD2 DC，ADAB2(ACAD)，
9、3 AD2 ACAB，AD23AC13AB23b13c.目录例3考点3 平面向量共线定理的应用 已知非零向量e1，e2不共线(1)如果ABe1e2，BC2e18e2，CD3(e1e2)，求证：A、B、D三点共线；(2)欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值 目录目录【解】【解】(1)证明：证明：ABe1e2，BDBCCD2 e18 e23 e13 e25(e1e2)5 AB，AB与与BD共线，且有公共点共线，且有公共点B，A、B、D三点共线三点共线(2)ke1e2与与e1ke2共线，共线，存在，使ke1e2(e1ke2)，则则(k)e1(k1)e2.由于e1与与e2不共线，不共线，只
10、能有?k0，k10，k1.目录目录【名师点评】【名师点评】(1)向量共线是指存在实数使两向量能互相表示.(2)向量共线的充要条件中，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用(3)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线目录跟踪训练3.已知向量a2 e13 e2，b2 e13 e2，其中e1、e2不共线，向量c2 e19 e2.问是否存在这样的实数、，使向量dab与c共线？解：d(2 e13e2)(2 e13e2)(2 2 )e1(3 3 )e2，要使d与c共线，则应有实数k，使d
11、kc，即(2 2 )e1(3 3 )e22ke19 ke2，即?22 2 k，3 3 9 k，得2 .故存在这样的实数、，只要2，就能使d与c共线 目录方法感悟1.共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反当然向量所在的直线可以平行，也可以重合其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义实际上，共线向量有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量目录2.向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱
12、形、三角形等，可多记忆一些有关的结论3.对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解为位置(共线或不共线)与向量等式之间所建立的对应关系用向量共线定理可以证明几何中的三点共线和直线平行问题但是向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况也就是说，要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式ba，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置目录破解平面向量中的新定义问题(2012高考广东卷)对任意两个非零的平面向量和,定义 若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角?4，2，且ab和ba都在集合 中则ab()A.52 B.32 C1 D.12 名师讲坛精彩呈现名师讲坛精彩呈现例12难
13、题易解难题易解?n2|nZ 目录抓信息 破难点 定义等式右边是数量积运算，从而可知是实数；由于ab和ba都在集合n2|nZ，可设两数为n2，m2，两式相乘，可判断14mn的范围 12目录【解析】ababb2|a|b|b|2cos|a|b|cos，ba|b|a|cos.因为|a|0，|b|0，0cos 22，且ab、ba?n2|nZ，所以|a|b|cos n2，|b|a|cos m2，其中m、nN*，两式相乘，得m n4cos2.因为0cos 22，所以0cos212，得到0m n2，故mn1，即ab12，故选D.【答案】D目录目录【方法提炼】【方法提炼】解答这类问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义信息题难点的关键所在目录跟踪训练4.(2013泰安十校联考)定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的a(m，n)，b(p，q),令abmqnp，下面说法错误的是()A若a与b共线，则ab0 Babba C对任意的R，有(a)b(ab)D(ab)2(ab)2|a|2|b|2 解析：选B.abmqnp，bapnqm，只有当mqnp0时，abba，故B错误目录目录知能演练轻松闯关知能演练轻松闯关目录本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
