1、2020 年全国高考三轮复习信息卷 数数 学（理）学（理） （本试卷本试卷满分满分 150 分分，考试用时考试用时 120 分钟分钟） 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷 类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。 2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液
2、。不按以上要求作 答无效。 4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 第第卷（选择题卷（选择题) ) 一、单选题一、单选题：本大题共：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。符合题目要求的。 1已知集合 | 13Axx ，xN， |BC CA ，则集合B中元素的个数为( ) A6 B7 C8 D9 2已知 a 为实数，若复数 z(a21)(a1)i 为纯虚数，则 2016 i 1 i a ( ) A1 B0 C1i D1i 3已知实数 , ,x y
3、 z满足 0.5 4x ， 5 log 3y ，sin(2) 2 z ，则（ ） Az xy By zx Cz yx Dx zy 4如图的折线图是某公司 2018 年 1 月至 12 月份的收入与支出数据，若从 6 月至 11 月这 6 个月中 任意选 2 个月的数据进行分析，则这 2 个月的利润（利润收入支出）都不高于 40 万的概率为 （ ） A 1 5 B 2 5 C 3 5 D 4 5 5函数 2 41 x f xxxe的大致图象是（ ） A B C D 6安徽怀远石榴（Punicagranatum）自古就有“九州之奇树，天下之名果”的美称，今年又喜获丰收. 怀远一中数学兴趣小组进行社
4、会调查，了解到某石榴合作社为了实现100万元利润目标，准备制定 激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万 元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利 润的20%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是（ ） （参考数 据： 100 1.0154.432,lg11 1.041） A 0.04yx B 1.0151 x y C tan1 19 x y D 11 log310yx 7已知正项 等差数列 n a中，若 123 15aaa，若 1 2a ， 2 5a ， 3 13a 成等比数
5、列，则 10 a 等于（ ） A21 B23 C24 D25 8如图，在ABC中，若AB a ，AC b ， 4BCBD ，用, a b表示AD uuu v 为（ ） A 11 44 ADab B 51 44 ADab C 31 44 ADab D 51 44 ADab 9如图， 12 ,F F分别是双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点，过 1 7,0F 的直线l与 双曲线分别交于点,A B，若 2 ABF为等边三角形，则双曲线的方程为（ ） A 22 55 1 728 xy B 2 2 1 6 x y C 2 2 1 6 y x D 22 55 1 287 xy 10
6、 九章算术卷七盈不足中有如下问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不 足三.问人数、羊价各几何？”翻译为：“现有几个人一起买羊，若每人出五钱，还差四十五钱，若每 人出七钱，还差三钱，问人数、羊价分别是多少”.为了研究该问题，设置了如图所示的程序框图，若 要输出人数和羊价，则判断框中应该填（ ） A20k B21k C22k D23k 11已知一个棱长为 2 的正方体，被一个平面截后所得的几何体的三视图如图所示，则该几 何体的体积是（ ） A6 B 9 2 C15 4 D 17 3 12已知函数 1 1 ln ,01 ( ) 1 ,1 2x xx f x x ，若方程 2( ) (1)
7、 ( )0fxa f xa恰有三个不同的实数 根，则实数a的取值范围为 A( ,0) B(0,) C(1,) D(0,1) 第第卷（非选择题卷（非选择题) ) 二、填空题二、填空题：本大题共：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。把答案填在题中的横线上。分。把答案填在题中的横线上。 13 在数列 n a中， 1 0a ， * 1 22, nn aannN ， 前n项和为 n S， 则 4 2 S a =_。 14设 0,0,22xyxy，则xy的最大值为_. 15 设曲线 1 y x 在点(1,1)处的切线与曲线e1 x y 在点P处的切线垂直， 则点P的坐标为_
8、. 16已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，点 0 ( ,2 2)M x 0 () 2 p x 是抛物线C上一点，以 M为圆心的圆与线段MF相交于点A，且被直线 2 p x 截得的弦长为 3 MA，若2 MA AF ， 则|AF _ 三、解答题三、解答题：本大题共：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必做题题为必做题,每个考生都必须作答每个考生都必须作答.第第 22/23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题
9、：共 60 分分 17在锐角三角形ABC中，BC=1， 2AB ， 14 sin() 4 B . （1）求AC的值； （2）求sin()AB的值. 18如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，底面ABCD是菱形，2PAAB ， 60BAD （）求证：直线BD 平面PAC； （）求直线PB与平面PAD所成角的正切值； （） 设点M在线段PC上， 且二面角CMBA的余弦值为 5 7 ， 求点M到底面ABCD的距离 19设椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab 的左、右焦点分别为 12 FF、，过 2 F的直线交椭圆于A B，两 点，若椭圆 C 的离心率为 1 2 ， 1 ABF
10、的周长为 8. （）求椭圆 C 的方程； （）已知直线:2l ykx与椭圆 C 交于MN、两点，是否存在实数 k 使得以MN为直径的圆恰 好经过坐标原点？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由. 20设函数 2 ( )(ln1)f xxax. （1）当1a 时，求( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程； （2）当 2 e a 时，判断函数 ( )f x在区间0, 2 a 是否存在零点？并证明. 212019 年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策”.某路桥公司为掌握春节期间车 辆出行的高峰情况， 在某高速收费点处记录了大年初三上午 9:2010:40 这一时间段内通过
11、的车辆数， 统计发现这一时间段内共有 600 辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如 图所示，其中时间段 9:209：40 记作区间20,40)，9:4010:00 记作40,60)，10:0010:20 记作 60,80)，10:2010:40 记作80,100.比方：10 点 04 分，记作时刻 64. （1）估计这 600 辆车在 9:2010:40 时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该 组区间的中点值代表） ； （2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这 600 辆车中抽取 10 辆，再从这 10 辆车中随 机抽取 4 辆，记X为 9:20
12、10:00 之间通过的车辆数，求X的分布列与数学期望； （3）由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻T服从正态分布 2 ( ,)N ，其中 可用这 600 辆车在 9:2010:40 之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替， 2 可用样本的方差 近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） ，已知大年初五全天共有 1000 辆车通过该收 费点，估计在 9:4610:40 之间通过的车辆数（结果保留到整数）. 参考数据：若 2 ( ,)TNa，则0.6826PT， 220.9544PT，330.9974PT. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在请考生在 2
13、2,23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做如果多做,则按所做的第一题计则按所做的第一题计分分. 22选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程 2 3cos 2sin x y （为参数）.直线l的参数方程 3cos 1sin xt yt （t为参数）. （）求曲线C在直角坐标系中的普通方程； （）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C截直线l所得线段的中 点极坐标为2, 6 时，求直线l的倾斜角. 23选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) |23|21|f xxx 的最小值为M （1）若m， nM ， M 求证：2|4|mnmn
14、； （2）若a，(0,)b2abM，求 21 ab 的最小值 答案+全解全析 第卷（选择题第卷（选择题) ) 一、单选题：本大题共一、单选题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。符合题目要求的。 1已知集合 | 13Axx ，xN， |BC CA ，则集合B中元素的个数为( ) A6 B7 C8 D9 【答案】C 【分析】先根据题意解出集合A，再根据题意分析B中元素为A中的子集，可求出 【详解】 解：因为集合 | 13Axx ，xN， 所以 0A ，1，2， 因为 |
15、BC CA ， 所以B中的元素为A的子集个数，即B有 3 28个， 故选：C 【点睛】本题考查集合，集合子集个数，属于基础题 2已知 a 为实数，若复数 z(a21)(a1)i 为纯虚数，则 2016 i 1 i a ( ) A1 B0 C1i D1i 【答案】D 【解析】 因为 2 11 izaa 为纯虚数，所以 2 10,10aa ，得1a ，则有 2016 i 1 i a 2016 2 1 i1 i1 1 1 i 1 i1 i1 i 1 i ，故选 D. 3已知实数 , ,x y z满足 0.5 4x ， 5 log 3y ，sin(2) 2 z ，则（ ） Az xy By zx Cz
16、 yx Dx zy 【答案】C 【解析】 0.5 441x ， 555 01351logyloglog， 20 2 zsin 综上所述，故z yx 故选C 4如图的折线图是某公司 2018 年 1 月至 12 月份的收入与支出数据，若从 6 月至 11 月这 6 个月中 任意选 2 个月的数据进行分析，则这 2 个月的利润（利润收入支出）都不高于 40 万的概率为 （ ） A 1 5 B 2 5 C 3 5 D 4 5 【答案】B 【分析】从 7 月至 12 月这 6 个月中任意选 2 个月的数据进行分析，基本事件总数 2 6 15nC，由 折线图得 6 月至 11 月这 6 个月中利润（利润
17、收入支出）低于 40 万的有 6 月，9 月，10 月，由 此即可得到所求 【详解】如图的折线图是某公司 2017 年 1 月至 12 月份的收入与支出数据， 从 6 月至 11 月这 6 个月中任意选 2 个月的数据进行分析， 基本事件总数 2 6 15nC，由折线图得 6 月至 11 月这 6 个月中利润（利润收入支出）不高于 40 万的有 6 月，8 月，9 月，10 月， 这 2 个月的利润（利润收入支出）都不高于 40 万包含的基本事件个数 2 4 6mC， 这 2 个月的利润（利润收入支出）都低于 40 万的概率为 62 155 m P n ， 故选：B 【点睛】本题主要考查了古典
18、概型，考查了运算求解能力，属于中档题 5函数 2 41 x f xxxe 的大致图象是（ ） A B C D 【答案】A 【分析】用0x排除 B，C；用2x排除D；可得正确答案. 【详解】 解：当0x时， 2 410xx ，0 x e ， 所以 0f x ，故可排除 B，C； 当2x时， 2 230fe，故可排除 D 故选：A 【点睛】本题考查了函数图象，属基础题 6安徽怀远石榴（Punicagranatum）自古就有“九州之奇树，天下之名果”的美称，今年又喜获丰收. 怀远一中数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现100万元利润目标，准备制定 激励销售人员的奖励方案：在销售利润超
19、过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万 元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利 润的20%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是（ ） （参考数 据： 100 1.0154.432,lg11 1.041） A 0.04yx B 1.0151 x y C tan1 19 x y D 11 log310yx 【答案】D 【分析】根据奖励规则，函数必须满足：(6,100x，增函数，3,0.2yyx 【详解】 对于函数：0.04yx，当100x 时，43y 不合题意； 对于函数：1.0151 x y ，当100x 时
20、， 3.4323y 不合题意； 对于函数：tan1 19 x y ，不满足递增，不合题意； 对于函数： 11 log310yx，满足：(6,100x，增函数， 且 111111 log3 100 10log 290log 13313y ，结合图象： 符合题意 故选：D 【点睛】此题考查函数模型的应用，关键在于弄清题目给定规则，依次用四个函数逐一检验. 7已知正项 等差数列 n a中，若 123 15aaa，若 1 2a ， 2 5a ， 3 13a 成等比数列，则 10 a 等于（ ） A21 B23 C24 D25 【答案】A 【解析】正项等差数列 n a中， 123 15aaa， 2 5,
21、0ad， 123 2,5,13aaa构成 等比数列，即7,10,18dd构成等比数列，依题意，有718100dd，解得2d 或 13d （舍去） ， 102 1025 8 221aad ，故选 A. 8如图，在ABC中，若AB a ，AC b ， 4BCBD ，用, a b表示AD uuu v 为（ ） A 11 44 ADab B 51 44 ADab C 31 44 ADab D 51 44 ADab 【答案】C 【分析】根据向量的加减法运算和数乘运算来表示即可得到结果. 【详解】 113131 444444 ADABBDABBCABACABABACab 本题正确选项：C 【点睛】 本题考
22、查根据向量的线性运算，来利用已知向量表示所求向量；关键是能够熟练应用向量的加减法 运算和数乘运算法则. 9如图， 12 ,F F分别是双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点，过 1 7,0F 的直线l与 双曲线分别交于点,A B，若 2 ABF为等边三角形，则双曲线的方程为（ ） A 22 55 1 728 xy B 2 2 1 6 x y C 2 2 1 6 y x D 22 55 1 287 xy 【答案】C 【解析】根据双曲线的定义，可得|AF1|-|AF2|=2a， ABF2是等边三角形，即|AF2|=|AB| |BF1|=2a 又|BF2|-|BF1|=2a，
23、|BF2|=|BF1|+2a=4a， BF1F2中，|BF1|=2a，|BF2|=4a，F1BF2=120 |F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1|BF2|cos120 即 4c2=4a2+16a2-2 2a 4a （- 1 2 ） ）=28a2， 解得 c2=7a2，又 c= 7所以 22 1,6ab 方程为 2 2 1 6 y x 故选 C 点睛：本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质，考查了余弦定理解三角形，根据条件求出 a，b 的关系是解决本题的关键 10 九章算术卷七盈不足中有如下问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不 足三.问人数、羊价各几何？”翻译为：
24、“现有几个人一起买羊，若每人出五钱，还差四十五钱，若每 人出七钱，还差三钱，问人数、羊价分别是多少”.为了研究该问题，设置了如图所示的程序框图，若 要输出人数和羊价，则判断框中应该填（ ） A20k B21k C22k D23k 【答案】A 【分析】根据程序框图确定 , x y表示的含义，从而可利用方程组得到输出时x的值，从而得到输出 时k的取值，找到符合题意的判断条件. 【详解】 由程序框图可知，x表示人数，y表示养价 该程序必须输出的是方程组 545 37 xy yx 的解，则21x 21k 时输出结果 判断框中应填20k 本题正确选项：A 【点睛】本题考查根据循环框图输出结果填写判断框内
25、容的问题，关键是能够准确判断出输出结果 时k的取值，属于常考题型. 11已知一个棱长为 2 的正方体，被一个平面截后所得的几何体的三视图如图所示，则该几 何体的体积是（ ） A6 B 9 2 C15 4 D 17 3 【答案】D 【解析】该几何体是正方体截去一个三棱台所得，体积为 3 11117 2222 3223 V ， 故选 D 12已知函数 1 1 ln ,01 ( ) 1 ,1 2x xx f x x ，若方程 2( ) (1) ( )0fxa f xa恰有三个不同的实数 根，则实数a的取值范围为 A( ,0) B(0,) C(1,) D(0,1) 【答案】D 【分析】 2( ) (1
26、) ( )0fxa f xa等价于 f xa或 1f x ，由 1f x 有唯一解可得 f xa有 两个不同的根，转化为 ,yf xya的图象有两个交点，利用数形结合可得结果. 【详解】 2( ) (1) ( )0fxa f xa可变形为 ( ) ( ) 10f xaf x ， 即 f xa或 1f x ， 由题可知函数 ( )f x的定义域为(0,)，当 0,1x时， 函数 ( )f x单调递增；当 1,x时，函数 ( )f x单调递减， 画出函数 ( )f x的大致图象，如图所示， 当且仅当1x 时， 1f x ， 因为方程 2( ) (1) ( )0fxa f xa恰有三个不同的实数根，
27、 所以 f xa恰有两个不同的实数根， 即 ,yf xya的图象有两个交点， 由图可知01a时， ,yf xya的图象有两个交点， 所以实数a的取值范围为(0,1)，故选 D 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、方程的根与函数图象交点的关系，考查了数形结合思想 的应用，属于难题. 函数零点的几种等价形式：函数( )( )yf xg x的零点函数 ( )( )yf xg x 在x轴的交点方程( )( )0f xg x的根函数( )yf x与( )yg x的交点. 第卷（非选择题第卷（非选择题) ) 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20
28、分。把答案填在题中的横线上。分。把答案填在题中的横线上。 13 在数列 n a中， 1 0a ， * 1 22, nn aannN ， 前n项和为 n S， 则 4 2 S a =_。 【答案】15 2 【解析】由题意可得 1 2 n n a a ，故数列an为等比数列，且公比 q=2， 故 4 1 4 4 21 1 1151 q 1 q2 aq Sq aa qq 故答案为： 15 2 14设0, 0,22xyxy，则xy的最大值为_. 【答案】 1 2 【分析】 已知0x，0y ，22xy，直接利用基本不等式转化求解xy的最大值即可 【详解】 0x， 0y ，22 2xyxy，即2 2 2x
29、y，两边平方整理得 1 2 xy， 当且仅当1x ， 1 2 y 时取最大值 1 2 ； 故答案为： 1 2 【点睛】 本题考查基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，注意基本不等式成立的条件 15 设曲线 1 y x 在点(1,1)处的切线与曲线 e1 x y 在点P处的切线垂直， 则点P的坐标为_. 【答案】(0,2) 【分析】 分别求出 1 y x ， e1 x y 的导数，结合导数的几何意义及切线垂直可求. 【详解】 设 00 (,)P x y，因为 1 y x 的导数为 2 1 y x ，所以曲线 1 y x 在点(1,1)处的切线的斜率为 1；因 为e1 x y 的导数为exy
30、 ，曲线e1 x y 在点P处的切线斜率为 0 ex，所以 0 ( 1) e1 x ， 解得 0 0x ，代入e1 x y 可得 0 2y ，故(0,2)P. 【点睛】 本题主要考查导数的几何意义， 利用导数解决曲线的切线问题一般是考虑导数的几何意义， 侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养. 16已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，点 0 ( ,2 2)M x 0 () 2 p x 是抛物线C上一点，以 M为圆心的圆与线段MF相交于点A，且被直线 2 p x 截得的弦长为 3 MA，若2 MA AF ， 则|AF _ 【答案】1 【解析】将M点坐标代入抛物线方程得 0 82px
31、，解得 0 4 x p ，即 4 ,2 2M p ， 2 2 4 2 2 2 p MF p ，由于MA为圆的半径，而3DEMA，所以 2 3 DME， 6 BDM，故 411 223 p MBMAMF p ，即 2 2 414 2 2 232 pp pp ，两边平 方化简得 4 1 2 p p ，解得2p ，故3MF ， 1 1 3 AFMF. 【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查圆和直线的位置关系，考查特殊的等腰三角形 中解三角形的方法.首先M点是在抛物线上的，坐标满足抛物线的方程，由此求得 0 x的坐标，然后 根据直线截圆所得弦长，得到M点横坐标和圆半径的关系，由此列方程求解出p
32、的值. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤、证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必做题题为必做题,每个考生都必须作答每个考生都必须作答.第第 22/23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17在锐角三角形ABC中，BC=1， 2AB ， 14 sin() 4 B . （1）求AC的值； （2）求sin()AB的值. 【答案】 （1） 2（2） 14 8 【分析】 (1)由三角形 ABC 为锐角三角形,根据诱导
33、公式化简 14 sin() 4 B ,即可求出sinB的值,再利用同 角三角函数间的基本关系求出cosB的值,由 AB,BC 及cosB的值,利用余弦定理即可求出 AC 的长; (2)由 BC,AC 及sinB的值,利用正弦定理求出sin A的值,利用同角三角函数间的基本关系求出cosA 的值,然后利用两角差的正弦函数公式化简sin()AB后,把各自的值代入即可求出值. 【详解】 解： （1）ABC为锐角三角形， 14 sin() 4 B 14 sin 4 B 2 142 cos1 sin1 164 BB 在ABC中，由余弦定理得： 222 2cosACABBCAB BCB 22 2 ( 2)
34、122 1 4 2 2AC （2）在ABC中，由正弦定理得 sinsin BCAC AB 得 14 1 sin7 4 sin 42 BCB A AC 2 73 cos1 sin1 164 AA sin()sincoscossinABABAB 72314 4444 14 8 . 【点睛】 此题考查了三角函数的恒等变形,正弦定理及余弦定理,熟练掌握公式及定理是解本题的关键. 18如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，底面ABCD是菱形，2PAAB ， 60BAD （）求证：直线BD 平面PAC； （）求直线PB与平面PAD所成角的正切值； （） 设点M在线段PC上， 且二面角CMBA的余
35、弦值为 5 7 ， 求点M到底面ABCD的距离 【答案】()证明见解析；() 15 5 ；() 1 2 . 【分析】 ()由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论； ()建立空间直角坐标系， 分别求得直线的方向向量和平面的法向量， 然后求解线面角的正切值即可； ()设PM PC ，由题意结合空间直角坐标系求得的值即可确定点M到底面ABCD的距离 【详解】 ()由菱形的性质可知BDAC， 由线面垂直的定义可知：BDAP，且APACA， 由线面垂直的判定定理可得：直线BD 平面PAC； ()以点 A 为坐标原点，AD,AP 方向为 y 轴,z 轴正方向，如图所示，在平面 ABCD 内与 AD
36、 垂直的方 向为 x 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则：0,0,2 ,3,1,0 ,0,0,0 ,0,2,0PBAD， 则直线 PB 的方向向量3,1, 2PB ，很明显平面PAD的法向量为1,0,0m， 设直线PB与平面PAD所成角为， 则 3 sin 8 1 PB m PBm ， 5sin315 cos,tan cos585 . ()设, ,M x y z，且 01PMPC， 由于 0,0,2 ,3,3,0 ,3,1,0 ,0,0,0PCBA ， 故： , ,23,3, 2x y z ，据此可得： 3 3 22 x y z ， 即点 M 的坐标为 3 ,3 , 22M ，
37、 设平面 CMB 的法向量为： 1111 ,nx y z，则： 11111 1111 ,0, 2,020 ,33 ,1 3 ,220 n CBx y zy n MBx y z ， 据此可得平面 CMB 的一个法向量为： 1 2,0,3n ， 设平面 MBA 的法向量为： 2222 ,nxy z，则： 222222 2222 ,3,1,030 ,33 ,1 3 ,220 nABxyzxy nMBxyz ， 据此可得平面 MBA 的一个法向量为： 2 3 1,3, 1 n ， 二面角CMBA的余弦值为 5 7 ，故： 2 2 3 2 5 1 7 3 71 3 (1) ， 整理得 2 14196=0
38、 ， 解得： 16 = 27 或. 由点 M 的坐标易知点M到底面ABCD的距离为1或者 2 7 . 【点睛】 本题主要考查线面垂直的判定定理， 空间向量在立体几何中的应用， 立体几何中的探索问题等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19设椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab 的左、右焦点分别为 12 FF、，过 2 F的直线交椭圆于A B，两 点，若椭圆 C 的离心率为 1 2 ， 1 ABF的周长为 8. （）求椭圆 C 的方程； （）已知直线:2l ykx与椭圆 C 交于MN、两点，是否存在实数 k 使得以MN为直径的圆恰 好经过坐标原点？若存在，求出 k 的值
39、；若不存在，请说明理由. 【答案】 （） 22 1 43 xy （）存在， 2 3 3 k 【分析】 （I）根据椭圆离心率、椭圆的定义列方程组，解方程组求得, ,a b c的值，进而求得椭圆的标准方程. （II）设出,M N两点的坐标，联立直线l的方程和椭圆方程，计算判别式求得k的取值范围，并写 出根与系数关系，根据圆的几何性质得到 =0OM ON ，由此得到 1212 0x xy y，由此列方程，解 方程求得k的值. 【详解】 （I）由题意知 222 1 2 2 483 1 c a a ab abcc ，所以所求椭圆的标准方程是 22 1 43 xy . （II）假设存在这样的实数,k使得以
40、MN为直径的圆恰好经过原点. 设 1122 (x ,)(,)MyN xy、，联立方程组 22 1 43 2 xy ykx ， 消去y得 22 (34)1640kxkx， 由题意知， 12 ,x x是此方程的两个实数解， 所以 22 =(16 )16(34)0kk，解得 1 2 k 或 1 2 k ， 所以 1212 22 416 , 3434 k x xxx kk . 又因为以MN为直径的圆过原点，所以 =0OM ON ，所以 1212 0x xy y， 而 2 12121 212 2224y ykxkxk x xk xx， 2 12121212 12+4=0x xy ykx xk xx ，即
41、 2 2 22 432 1+)40 3434 k k kk （，解得 2 3 3 k . 故存在这样的直线使得以MN为直径的圆过原点. 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查圆的几何性质， 考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 20设函数 2 ( )(ln1)f xxax. （1）当1a 时，求( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程； （2）当 2 e a 时，判断函数 ( )f x在区间0, 2 a 是否存在零点？并证明. 【答案】 （1）1yx； （2）函数 ( )f x在0, 2 a 上存在零点，证明见解析. 【分析】 （1
42、）求导，求出(1), (1)ff ，即可求解； （2）根据( )fx 的正负判断0, 2 a 的单调性，结合零点存在性定理，即可求解. 【详解】 函数 ( )f x的定义域为(0,), 2 2 ( )2 axa fxx xx . （1）当1a 时， 2 ( )ln1,f xxx 2 121 ( )2 x fxx xx ， 又(1)0f，切点坐标为(1,0)，切线斜率为(1)1k f ， 所以切线方程为1yx； （2）当0, 2 a x 时， 2 2 ( )0 xa fx x ， 所以 ( )f x在0, 2 a 上单调递减， 当 2 e a 时，ln10 222 aaa f ， 又 11 0e
43、e a 11 ee2 a 1222 0 aa f eea ， 所以函数 ( )f x在0, 2 a 上存在零点. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查导数在函数中的应用，用导数判断函数的单调性，考查函 数零点的存在性的判断，属于中档题 212019 年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策”.某路桥公司为掌握春节期间车 辆出行的高峰情况， 在某高速收费点处记录了大年初三上午 9:2010:40 这一时间段内通过的车辆数， 统计发现这一时间段内共有 600 辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如 图所示，其中时间段 9:209：40 记作区间20,40)，9:4010:00 记作40,60)，10:0010:20 记作 60,80)，10:2010:40 记作80,100.比方：10 点 04 分，记作时刻 64. （1）估计这 600 辆车在 9:2010:40 时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该 组区间的中点值代表） ； （2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这 600
