1、带带*内容不做要求内容不做要求1.事件之间的关系与运算事件之间的关系与运算事件的包含事件的包含,事件的相等事件的相等;事件的和事件的和(并并);事件的积事件的积(交交);事件的差事件的差;互不相容事件互不相容事件(互斥互斥);对立事件对立事件.有有利利于于 的的基基本本事事件件数数()试试验验的的基基本本事事件件总总数数mAP An (1)所有可能的试验的结果只有有限个；所有可能的试验的结果只有有限个；(2)每一个结果出现的可能性相同每一个结果出现的可能性相同.2.古典古典概型概型3.加法公式加法公式,AB )()()(APBPABP ()()()()P ABP ABP AP AB ,互不相容
2、互不相容BA()()()()()()()()nnP AAAP AP AP A1212()()()P ABP AP B 互互不不相相容容nAAA,21)()()()(ABPBPAPBAP ()()()()P ABCP AP BP C ()()()()P ABP BCP ACP ABC 对立事件对立事件)(1)(APAP ;0)(P AAP0)(:注注,()1;P 必必然然事事件件4.条件概率条件概率,乘法公式乘法公式,事件的独立性事件的独立性)()()(APABPABP 0)(AP条件概率条件概率)()()(ABPAPABP,0)(BP)()()(BAPBPABP,0)(AP)()()()(AB
3、CPABPAPABCP)(21nAAAP)()()()(11213121 nnAAAPAAAPAAPAP乘法公式乘法公式),()()(BPAPABP)()(APBAP,独独立立与与 BA也也独独立立与与与与与与BABABA;,21相相互互独独立立nAAA()()()()nnP AAAP A P AP A 12121)()()()(2121nnAPAPAPAAAP 事件的独立性事件的独立性,独独立立与与 BA互斥互斥,AB)()()(BPAPBAP 独立独立),()()(BPAPABP)()(APBAP)()()()()(BPAPBPAPBAP )()(1BPAP 试验试验 E 的样本空间是的样
4、本空间是SnBBB,21是样本空间是样本空间S 的一个完备事件组的一个完备事件组.nkBPk,2,1,0)(nkkkBAPBPAP1)()()(A任任一一个个事事件件,0)(AP若若1()()()()()kkknkkkP BP A BP BAP BP A B 5.全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式（1 1）全概率公式）全概率公式（2 2）贝叶斯公式）贝叶斯公式6.n重贝努里试验重贝努里试验随随机机试试验验贝努里试验贝努里试验贝努里贝努里概型概型只有两个只有两个可能结果可能结果n次重复次重复相互独立相互独立贝努里定理：贝努里定理：设一次试验中事件设一次试验中事件A发生的概率为发生的概率
5、为p(0p1),则则n重贝努里试验中，重贝努里试验中，事件事件A恰好发生恰好发生k次次的概率为的概率为()(),.kkknnpkC ppkn 10 1 Xvrd.Xvrc.)(xf）（初等函数或分段函数（初等函数或分段函数0)(xf 1)(dxxf,2,1,kxXPpkkXP1pkp2p1x2xkx,2,1,0 kpk1 kkp1.概率函数（分布律）概率函数（分布律）1.密度函数密度函数),(x离散型随机变量离散型随机变量 连续型随机变量连续型随机变量Xvrd.c r v Xkpx1xnpkp1pkxnxf(x)0 x1.分分布布律律d r v X.概概率率密密度度c r v X xxXPxF
6、)(2.分布函数分布函数1)(,0)(*3 FF)(xF分布函数分布函数 的性质的性质:RxxF ,1)(0*1)()0(xFxF )(11aFaXPaXP )0()(aFaFaXP2*F(x)是是 x 单调不减的函数单调不减的函数;4*F(x)至多有可列个间断点至多有可列个间断点,且在其间断点处右连续且在其间断点处右连续,xdttfxF)()()()(xfxF )()(aFbFbXaP bxakkpbXaP badxxfbXaP)(0 cXP xxkkpxF)(F(x)的图形是一条阶梯曲线的图形是一条阶梯曲线,在在 处有跳跃间断点处有跳跃间断点,跃度为跃度为 ;kpkxx F(x)是连续函数
7、是连续函数,在在 f(x)的连续点处的连续点处,有有3.求概率求概率f(x)0 xx)(xFXvrd.Xvrc.f(x)x0ab()()F xx1kxx3x2xkpp3p2p11,2,1 kpxXPkk dxxxfXE)()()(xf4.期望期望,方差方差kkkpxXE 1)(kkkpxXE 22)(dxxfxXE)()(22)()(2XEXEXD 22)()(XEXE Xvrd.Xvrc.22()()()E XE XD X ()(),E CXCE X)()()(YEXEYXE ,)(CCE)(1111 niiniiXEnXnE)(2211nnXCXCXCE ,0)(CD),()(2XDCCX
8、D)()()(2211nnXECXECXEC ()()E X CE XC ()()D X CD X ),()()(YEXEXYE)()()()(2121nnXEXEXEXXXE()()(),D XYD XD Y )()()()(2121nnXDXDXDXXXD niiniiDXnXnD12111)(XgY )()()1(yXgPyFY )()()2(yFyfYY 5.随机变量函数的分布随机变量函数的分布(1)列出列出Y 的所有可能的所有可能取值取值;(2)求出取这些值的概率求出取这些值的概率.若有相同取值，相应的若有相同取值，相应的概率合并概率合并.Xvrd.Xvrc.()()XP Xh yF
9、h y 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 1)()(kkkpxgXgE dxxfxgXgE)()()(),(XgY 存存在在)(XgE6.几个重要分布几个重要分布分布名称分布名称概率分布概率分布期望期望方方差差分分布布10 XP01pqpqp 110ppq二项分布二项分布(,)(,)XB n p npnpq nkqpCkXPknkkn,2,1,0 分分布布()()PoissonXP ,2,1,0!kekkXPk 分分布布超超几几何何NNn1121 NnNNNNNn几几何何分分布布*p12pq分布名称分布名称概率分布概率分布期望期望方方差差),min(,2,1,0nMkCCCkXPn
10、NknMNkM ,2,11 kpqkXPk()()xf xe 22212正态分布正态分布),(2 NX0,x 2),(baUX均匀分布均匀分布 其它其它01)(bxaabxf2ba 12)(2ab 分布名称分布名称概率密度函数概率密度函数期望期望方方差差指指数数分分布布()()XExp 1 21,(),xexf xx 000NMp nkqpCCCCkXPknkknnNknMNkM,1,0 np knkknppC )1(ekk!说明及注意的问题说明及注意的问题:1 掌握上述几个分布的研究背景掌握上述几个分布的研究背景,分布函数；分布函数；2*几个随机变量之间的关系几个随机变量之间的关系:(1)N
11、 很大很大,n 相对于相对于N 较小较小,(2)n 较大较大,p 很小很小,1)(2 xxXP)()(abbXaP 0)(51)(5 xxxx，0)(105.00)(xxxxxxXP)1,0()1(NX3 正态分布查表正态分布查表 abbXaP()(,),则则()XNX 2230 11 ),()4(2 NX),(22 abaNbaX 2(2)(,)(0,1)XXNN ，,2,1,jipyYxXPijji),.(.YXvrd,2,1,0)1(jipij1)2(ijijpjyYP iijp()jp2 ),2,1(jixXP jijp()ip1 ),2,1(i1.联合概率分布联合概率分布,边缘分布边
12、缘分布 ),(AYXP ijijpAyxji),(XYixxx211y2yjy11p12pjp121p22pjp2.1 ip2ipijp.()p11()p12()ip1()p21()p22()jp2()ip1()jp2),.(.YXvrc,0),()1(yxf2),(Ryx 1),()2(dxdyyxf),(yxf dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(),(DYXP Ddxdyyxf),(边缘概率密度边缘概率密度计算概率计算概率联合概率密度联合概率密度*()(,),F x yxy 101*()(,)l li im m(,),(,)yF xF x yx 30),(,0),(lim
13、),(yyxFyFx1),(lim),(yxFFyx,0),(lim),(yxFFyx2.联合分布函数联合分布函数(2)*F(x,y)是是x 和和y 的不减函数；的不减函数；*()(,)(,),(,)(,),F xyF x yF x yF x y 400F(x,y)是每个变量的右连续函数；是每个变量的右连续函数；(5)对任意实数对任意实数 a,b,c,d,(a b,c d),(dbF),(daF),(cbF),(caF),(yxF xxyyijijp),.(.YXvrd),.(.YXvrc),(yxF xydsdttsf),(,dYcbXaP ,yYxXP )()(),(yFxFyxFYX 有
14、有,Ryx yYPxXP 3.随机变量的独立性随机变量的独立性则称随机变量则称随机变量X 与与Y 相互独立相互独立.),.(.YXvrd),.(.YXvrc()()()()ijijppp 12),2,1,(ji),(2Ryx)()(),(yfxfyxfYX X 与与Y 相互独立相互独立W=g(X)与与V=h(Y)相互独立相互独立g(),h()是连续函数是连续函数.4.多元随机变量的函数的分布多元随机变量的函数的分布),(211 NX),(222121 NYX),(222 NYX 与与Y 相互独立相互独立),(2iiiNX Xi1 niia).,(2121iniiiniiaaN ni,1 X1,
15、X2,Xn相互独立相互独立a1,an不全为零不全为零，),(2 N,11 niiXnX记记2(,),(,),XNn X1,Xn独立同正态分布独立同正态分布(0,1)/XNn 5.二元随机变量的数字特征二元随机变量的数字特征(1)数学期望数学期望*()(,)E Xxf x y dxdy *()(,)E Yyf x y dxdy 11)(ijijipxXE()()iiixp 11 dxxfxX)(11)(ijijjpyYE()()jjjyp 21 dyyfyY)(2)协方差协方差和相关系数和相关系数)()(),Cov(YEYXEXEYX )()(),Cov(YDXDYXXY )(XYE)()(YE
16、XE 1|XY)0(1 abaXYP,1|XY)()()(YDXDYXD (,)Cov X Y 0)()()(YEXEXYE XY=0,(X 与与 Y)X 与与 Y X 与与 Y 相互相互(1)李雅普诺夫中心极限定理李雅普诺夫中心极限定理,1nXX相互独立，相互独立，(),(),kkE X ()0 0(,),kkD Xk 21 2 6.中心极限定理中心极限定理令令(),(),nnkkS 1221)(2122xdtetx limlimnnkkkknnXPxS 11有有,Rx bXaPnkk1nkknbS 1nkknaS 1 xpnpnpPnn)1(lim(2)棣莫佛棣莫佛拉普拉斯定理拉普拉斯定理(,),(,),nB n p ),10(p有有,Rx )(2122xdtetx bXaP npa)1(pnp npb)1(pnp
