1、2022-12-9序结构：数的大小，次序拓扑结构：平面几何，立体几何（欧氏空间）代数结构：群2022-12-9Chapter 4Algebra System2022-12-94.1 代数系统的引入 (1)一个代数系统需要满足下面三个条件：（1）有一个非空集合 S；（2）有一些建立在 S 上的运算；（3）这些运算在集合 S 上是封闭的。2022-12-94.2 运算 (1)4.2.1 4.2.1 运算的概念运算的概念定义定义 假设 A 是一个集合，AA 到 A 的映射称为 A 上的二元运算。一般地，An 到 A 的映射称为 A 上的 n 元运算。2022-12-94.2 运算 (2)4.2.2
2、4.2.2 运算的性质运算的性质（1 1）封闭性）封闭性 如果如果 SA，对任意的对任意的 a,bS，有有a*bS，则称则称 S 对运算对运算*是封闭的是封闭的。假设*,+都是集合 A 上的运算2022-12-94.2 运算 (3)4.2.2 4.2.2 运算的性质运算的性质（2 2）交换律）交换律 如果对任意的如果对任意的 a,bA，都有，都有 a*b=b*a，则，则称运算称运算*是可交换的。是可交换的。（3 3）结合律）结合律 如果对任意的如果对任意的 a,b,cA，都有，都有(a*b)*c=a*(b*c)，则称运算，则称运算 *是可结合的。是可结合的。2022-12-94.2 运算 (4
3、)（4 4）分配律）分配律 如果对任意的如果对任意的 a,b,cA，都有都有a*(b+c)=(a*b)+(a*c)则称则称 *对对 +运算满足左分配；运算满足左分配；如果对任意的如果对任意的a,b,c A，都有，都有(b+c)*a=(b*a)+(c*a)则称则称 *对对 +运算满足右分配。运算满足右分配。如果运算如果运算 *对对 +既满足左分配又满足右分配，既满足左分配又满足右分配，则称运算则称运算 *对对 +满足分配律。满足分配律。2022-12-94.2 运算 (5)（5 5）消去律）消去律 如果对任意的如果对任意的 a,b,cA，当，当 a*b=a*c，必有必有 b=c，则称运算，则称运
4、算 *满足左消去律；满足左消去律；如果对任意的如果对任意的 a,b,cA，当，当 b*a=c*a，必有必有 b=c，则称运算，则称运算 *满足右消去律；满足右消去律；如果运算如果运算 *既满足左消去律又满足右消去既满足左消去律又满足右消去律，则称运算律，则称运算 *满足消去律。满足消去律。2022-12-94.2 运算 (6)（6 6）吸收律）吸收律 如果对任意的如果对任意的 a,bA，都有，都有a*(a+b)=a，则称运算则称运算 *关于运算关于运算 +满足吸收律。满足吸收律。（7 7）等幂律）等幂律 如果对任意的如果对任意的 aA，都有，都有 a*a=a，则称运算则称运算 *满足等幂律。满
5、足等幂律。2022-12-94.2 运算 (7)b a c a b c c b a a c b b a c 2022-12-94.3 代数系统 (1)4.3.1 4.3.1 代数系统的概念代数系统的概念定义定义 假设假设 A A 是一个非空集合，是一个非空集合，f1,f2,fn 是是 A 上的运算（运算的元素可以是不相同的），则称上的运算（运算的元素可以是不相同的），则称 A 在运算在运算 f1,f2,fn 下构成一个代数系统，记下构成一个代数系统，记为：为：2022-12-94.3 代数系统 (2)4.3.1 4.3.1 代数系统的概念代数系统的概念定义定义 假设假设 是一个代数系统，是一个
6、代数系统，SA，如果如果 S 对对*是封闭的，则称是封闭的，则称 为为 的子代数系统。的子代数系统。2022-12-94.3 代数系统 (3)4.3.2 4.3.2 代数系统中的特殊元素代数系统中的特殊元素（1 1）单位元（幺元）单位元（幺元）假设假设 是一个代数系统，如果是一个代数系统，如果 eLA,对于对于任意元素任意元素 xA，都有，都有 eL*x=x,则称则称 eL为为 A 中关于运中关于运算算*的左单位元的左单位元;如果如果 erA,对于任意元素对于任意元素 xA，都有，都有 x*er=x,则称则称 er 为为 A 中关于运算中关于运算*的右单位元的右单位元;如果如果 A 中一个元素
7、中一个元素 e 既是左单位元又是右单位元，既是左单位元又是右单位元，则称则称 e 为为 A 中关于运算中关于运算*的单位元。的单位元。2022-12-94.3 代数系统 (4)b a c a b c c b a a c b b a c b a c a b c c b a c b a c b a b a c a b c a a a b b b c c c 2022-12-94.3 代数系统 (5)4.3.2 4.3.2 代数系统中的特殊元素代数系统中的特殊元素（1 1）单位元（幺元）单位元（幺元）定理定理 假设假设 是代数系统，并且是代数系统，并且 A 关于运关于运算算*有左单位元有左单位元 e
8、L和右单位元和右单位元 er，则，则 eL=er=e 并且单位元唯一。并且单位元唯一。2022-12-94.3 代数系统 (6)4.3.2 4.3.2 代数系统中的特殊元素代数系统中的特殊元素（2 2）零元）零元 假设假设 是一个代数系统，如果是一个代数系统，如果 LA,对于任意对于任意元素元素 xA，都有，都有 L*x=L,则称则称 L为为 A 中关于运算中关于运算*的的左零元左零元;如果如果 rA,对于任意元素对于任意元素 xA，都有，都有 x*r=r,则称则称 r 为为 A 中关于运算中关于运算*的右零元的右零元;如果如果 A 中一个元素中一个元素 既是左零元又是右零元，则称既是左零元又
9、是右零元，则称 为为 A 中关于运算中关于运算*的零元。的零元。2022-12-9 b a c a b c c b a b b b b b c b a c a b c c b a c b a c b a b a c a b c a a a b b b c c c 4.3 代数系统 (7)2022-12-94.3 代数系统 (8)4.3.2 4.3.2 代数系统中的特殊元素代数系统中的特殊元素（2 2）零元）零元 定理定理 假设假设 是代数系统，并且是代数系统，并且 A 关于运关于运算算*有左零元有左零元 L 和右零元和右零元 r，则，则 L=r=并并且零元唯一。且零元唯一。2022-12-94
10、.3 代数系统 (9)4.3.2 4.3.2 代数系统中的特殊元素代数系统中的特殊元素（3 3）逆元）逆元 假设假设 是一个代数系统，是一个代数系统，e 是是 的单位的单位元。对于元素元。对于元素 aA，如果存在，如果存在 bA，使得，使得 b*a=e，则，则称称 a 为左可逆的，为左可逆的，b 为为 a 的左逆元；如果存在的左逆元；如果存在 cA，使得使得 a*c=e，则称元素，则称元素 a 是右可逆的，是右可逆的，c 为为 a 的右逆的右逆元。如果存在元。如果存在 a A，使得，使得 a*a=a*a=e，则称，则称 a 是是可逆的，可逆的，a 为为 a 的逆元。的逆元。a 的逆元记为：的逆
11、元记为：a-1。2022-12-9 b a c a b c c b a a c b b a c 4.3 代数系统 (10)2022-12-94.3 代数系统 (11)4.3.2 4.3.2 代数系统中的特殊元素代数系统中的特殊元素（3 3）逆元）逆元 定理定理 设设 是一个代数系统，且是一个代数系统，且 A 中存在中存在单位元单位元 e，每个元素都存在左逆元。如果运算，每个元素都存在左逆元。如果运算*是可结合的，那么，任何一个元素的左逆元是可结合的，那么，任何一个元素的左逆元也一定是该元素的右逆元，且每个元素的逆元也一定是该元素的右逆元，且每个元素的逆元唯一。唯一。2022-12-94.3 代
12、数系统 (12)4.3.2 4.3.2 代数系统中的特殊元素代数系统中的特殊元素（4 4）幂等元）幂等元 定义：定义：在代数系统在代数系统中，如果元素中，如果元素 a 满足满足a*a=a，那么称，那么称 a 是是 A 中的幂等元。中的幂等元。2022-12-9 运算 4 运算 3 运算 2 运算 1 b a*c a b c c b a a c b b a c b a*c a b c c b a c a b c c c b a*c a b c c b a c b a c b a b a*c a b c c b a c b b b c c 4.3 代数系统 (12)2022-12-94.4 同态与
13、同构 (1)4.4.1 4.4.1 基本概念基本概念定义定义 设设 和和 是代数系统，是代数系统，f:AB,如 果如 果 f 保 持 运 算，即 对保 持 运 算，即 对 x,y A,有有f(x*y)=f(x)f(y)。称。称 f 为代数系统为代数系统 到到 的同态映射，简称同态。也称之为两的同态映射，简称同态。也称之为两代数系统同态。代数系统同态。2022-12-94.4 同态与同构 (2)4.4.1 4.4.1 基本概念基本概念定义定义 设设 和和 是代数系统，是代数系统，f 是是 A 到到 B 的同态。如果的同态。如果 f 是单射的，称是单射的，称 f 为为单同态单同态；如果如果 f 是
14、满射的，称是满射的，称 f 为为满同态满同态；如果如果 f 是双射的，称是双射的，称 f 为同构映射，简称为为同构映射，简称为同构同构。2022-12-94.4 同态与同构 (3)4.4.1 4.4.1 基本概念基本概念定义 设设 是代数系统，若存在函数是代数系统，若存在函数f:AA,并且并且对对 x,yA,有有 f(x*y)=f(x)*f(y)。称称 f 为为 的自同态；如果的自同态；如果 f 是双射的，是双射的，则称则称 f 为为 的自同构。的自同构。2022-12-94.4 同态与同构 (4)4.4.2 4.4.2 同态、同构的性质同态、同构的性质（1）如果两函数是同态、同构的，则复合函
15、数也如果两函数是同态、同构的，则复合函数也是同态、同构的。是同态、同构的。定理 假设假设 f 是是 到到 的同态，的同态，g是是 到到 的同态，则的同态，则gf是是 到到 的同态；如果的同态；如果 f 和和 g 是单同态、满同态、是单同态、满同态、同构时，则同构时，则gf也是单同态、满同态和同构。也是单同态、满同态和同构。2022-12-94.4 同态与同构 (5)4.4.2 4.4.2 同态、同构的性质同态、同构的性质（2）满同态保持结合律满同态保持结合律 定理 假设假设 f 是是 到到 的满同态。如的满同态。如果果*运算满足结合律，则运算满足结合律，则 运算运算也满足结合也满足结合律，即满
16、同态保持结合律。律，即满同态保持结合律。（3）满同态保持交换律满同态保持交换律 2022-12-94.4 同态与同构 (6)4.4.2 4.4.2 同态、同构的性质同态、同构的性质定理 假设假设 f 是是 到到 的满同态。的满同态。e 是是 的单位元，则的单位元，则 f(e)是是的单位的单位元。元。（4）满同态保持单位元满同态保持单位元 2022-12-94.4 同态与同构 (7)4.4.2 4.4.2 同态、同构的性质同态、同构的性质定理 假设假设 f 是是到到的满同态。的满同态。eA和和 eB 分别是分别是和和的单位元，如果的单位元，如果 A 中元素中元素 x 和和 x 互逆，则互逆，则
17、B 中元素中元素 f(x)和和 f(x)也互逆。也互逆。（5）满同态保持逆元满同态保持逆元 2022-12-94.4 同态与同构 (8)4.4.2 4.4.2 同态、同构的性质同态、同构的性质定理 假设假设 f 是是 到到 的满同态。的满同态。是是 的零元，则的零元，则 f()是是的零元。的零元。（6）满同态保持零元满同态保持零元 2022-12-94.4 同态与同构 (9)4.4.2 4.4.2 同态、同构的性质同态、同构的性质定理 假设假设 f 是是到到的满同态。并且的满同态。并且xA是是的幂等元，则的幂等元，则 f(x)B 是是的幂等元。的幂等元。（7）满同态保持幂等元满同态保持幂等元
18、2022-12-94.4 同态与同构 (10)4.4.2 4.4.2 同态、同构的性质同态、同构的性质定理 假设假设 f 是是 到到 的同构映射。的同构映射。则则 f-1是是 到到 的同构映射。的同构映射。（8）同构映射运算性质双向保持同构映射运算性质双向保持 2022-12-94.5 同余关系与商代数 选讲4.5.1 4.5.1 同余关系同余关系定义 假设假设 是一个代数系统，是一个代数系统，E 是是 A 上上的等价关系。如果对的等价关系。如果对x1,x2,y1,y2A，当，当x1Ex2,y1Ey2时，必有时，必有(x1*y1)E(x2*y2)，则称，则称 E 是是 A 上的同余关系。上的同
19、余关系。2022-12-94.6 直积 (1)定义：定义：设设 和和 为两个代数系统，为两个代数系统，称为两代数系统的直积。其中称为两代数系统的直积。其中 AB 是是 A 和和 B 的笛卡尔乘积，的笛卡尔乘积，定义如下：定义如下：对任意的对任意的,AB，=。2022-12-94.6 直积 (2)定理：定理：假设假设 和和 为两个代数为两个代数系统，且分别有单位元系统，且分别有单位元 eA,eB，在两代数，在两代数系统的直积系统的直积中存在子代数系统中存在子代数系统 S,T，使得，使得 ，。2022-12-9Chapter 5Group theory2022-12-95.1 半群 (1)5.1.
20、1 5.1.1 半群的定义半群的定义 定义：定义：设设 是一个代数系统，如果是一个代数系统，如果*运算满足结合律，则称运算满足结合律，则称 是一是一个半群。个半群。2022-12-95.1 半群 (2)例：假设例：假设S=a,b,c，在，在S上定义运算上定义运算，如，如运算表给出。证明运算表给出。证明是半群。是半群。b a c a b c c b a c b a c b a 2022-12-95.1 半群 (3)5.1.1 5.1.1 半群的定义半群的定义 定义：定义：假设假设 是一个半群，是一个半群，aS，n 是正整数，则是正整数，则 an 表示表示 n 个个 a 的计算结的计算结果，即果，
21、即 an=a*a*a。对任意的正整数对任意的正整数 m,n，am*an=am+n，(am)n=amn。2022-12-95.1 半群 (4)5.1.2 交换半群 定义：如果半群如果半群 中的中的*运算满足运算满足交换律，则称交换律，则称 为交换半群。为交换半群。在交换半群在交换半群 中，若中，若a,bS，n 是任意正整数，则是任意正整数，则(a*b)n=an*bn 2022-12-95.1 半群 (5)5.1.3 5.1.3 独异点（含幺半群）独异点（含幺半群）定义：假设假设 是一个半群，如果是一个半群，如果 中有单位元，则称中有单位元，则称 是独异点，或含是独异点，或含幺半群。幺半群。202
22、2-12-95.1 半群 (6)5.1.3 5.1.3 独异点（含幺半群）独异点（含幺半群）定理：定理：假设假设 是独异点，如果是独异点，如果a,bS，并且并且 a,b 有逆元有逆元 a-1,b-1存在，则：存在，则：（1）(a-1)-1=a；（2）(a*b)-1=b-1*a-1。2022-12-95.1 半群 (7)5.1.4 5.1.4 子半群子半群 定义：假设假设 是一个半群，若是一个半群，若 TS，且在且在*运算下也构成半群，则称运算下也构成半群，则称 是是 的子半群。的子半群。2022-12-95.1 半群 (8)假设假设A=a,b，是一个含幺半群是一个含幺半群。a,b a,b b
23、a a b a b a b a b a,b 若若B=a则则P(B)P(A)并且并且构成半群，是构成半群，是的子的子半群。半群。2022-12-95.1 半群 (9)5.1.4 5.1.4 子半群子半群 定义：定义：设设 是含幺半群，若是含幺半群，若 是是它的子半群，并且它的子半群，并且 的单位元的单位元 e 也也是是 单位元，则称单位元，则称 是是 的子含幺半群。的子含幺半群。2022-12-95.1 半群 (10)例：设例：设是可交换的含幺半群，是可交换的含幺半群，T=a|aS，且，且a*a=a，则，则是是的子含幺半群。的子含幺半群。2022-12-95.2 群的概念及其性质 (1)5.2.
24、1 5.2.1 群的基本概念群的基本概念 定义：设设 是一代数系统，如果满足以下几点：是一代数系统，如果满足以下几点：(1)运算是可结合的；运算是可结合的；(2)存在单位元存在单位元 e；(3)对任意元素对任意元素 a 都存在逆元都存在逆元 a-1；则称则称 是一个群。是一个群。2022-12-95.2 群的概念及其性质 (2)例：例：假设R=0,60,120,180,240,300表示平面几何上图形绕形心顺时针旋转的角度集合。*是定义在R上的运算。定义如下：对任意的a,bR，a*b表示图形顺时针旋转a角度，再顺时针旋转b角度得到的总旋转度数。并规定旋转360度等于原来的状态，即该运算是模36
25、0的。整个运算可以用运算表表示。2022-12-95.2 群的概念及其性质 (3)180 180 60 0 120 120 60 0 300 240 240 300 180 180 120 60*0 180 120 60 240 180 120 240 300 240 300 0 240 300 240 300 300 0 0 60 60 120 300 0 60 120 180 0 60 120 180 240 2022-12-95.2 群的概念及其性质 (4)5.2.1 5.2.1 群的基本概念群的基本概念 一个群如果运算满足交换律，一个群如果运算满足交换律，则称该群为交换群，或则称该群为
26、交换群，或Abel群。群。2022-12-95.2 群的概念及其性质 (5)5.2.2 5.2.2 群的性质群的性质(1)(1)任何群都没有零元。任何群都没有零元。(2)(2)设设 是群，则是群，则 G 中消去律成立。中消去律成立。(3)(3)设设 是群，单位元是是群，单位元是 G 中的唯中的唯一等幂元。一等幂元。2022-12-95.2 群的概念及其性质 (6)5.2.2 5.2.2 群的性质群的性质(4)设设,是群，是群，f是是 G 到到 H 的同态，的同态，若若 e 为为的单位元，则的单位元，则 f(e)是是 的单位元，并且对任意的单位元，并且对任意 aG，有，有 f(a-1)=f(a)
27、-1。(5)设设是群，是群，是任意代数系统，若是任意代数系统，若存在存在 G 到到 H 的满同态映射，则的满同态映射，则必是群。必是群。2022-12-95.2 群的概念及其性质 (7)5.2.3 5.2.3 半群与群半群与群(1)(1)假设假设是半群，并且是半群，并且 中有一左单位元中有一左单位元 e，使得对任意，使得对任意 的的 aG，有，有 e*a=a；中任意元素中任意元素 a 都有都有“左逆元左逆元”a-1，使得使得 a-1*a=e。则则 是群。是群。2022-12-95.2 群的概念及其性质 (8)5.2.3 5.2.3 半群与群半群与群(2)假设假设 是半群，对任意的是半群，对任意
28、的 a,bG，方程方程 a*x=b，y*a=b 都在都在 G 中有解。中有解。则则 是群。是群。(3)有限半群，如果消去律成立，则必为群。有限半群，如果消去律成立，则必为群。2022-12-95.2 群的概念及其性质 (9)5.2.4 5.2.4 有限群的性质有限群的性质 定理：设设 是一个是一个 n 阶有限群，它阶有限群，它的运算表中的每一行（每一列）都是的运算表中的每一行（每一列）都是 G 中元素的一个全排列。中元素的一个全排列。2022-12-95.2 群的概念及其性质 (10)5.2.4 5.2.4 有限群的性质有限群的性质 e e e*a a a e e e*a e a b b b
29、a a b a e e e*b e e a 2022-12-9 e c c b a c c a b b a a b a e e e*a e b c c e b a c c b e c c e b b a a b a e e e*a e b c c a b b c c e a c c a b b a a b a e e e*a b b c c e e 5.2 群的概念及其性质 (11)5.2.4 5.2.4 有限群的性质有限群的性质 2022-12-95.2 群的概念及其性质 (12)例：假设例：假设是一个二阶群，则是一个二阶群，则是一个是一个Klein群。群。*2022-12-95.3 子群与
30、元素周期 (1)5.3.1 子群 定义：设设 是一个群，非空集合是一个群，非空集合 HG。如果。如果 H 在在 G 的运算下也构成的运算下也构成群，则称群，则称 是是 的子群。的子群。2022-12-9 e c c b a c c a b b a a b a e e e*a e b c c e b 5.3 子群与元素周期2022-12-95.3 子群与元素周期 (2)5.3.1 子群 定理：定理：设设 是是 的子群，则的子群，则 (1)的单位元的单位元 eH 一定是一定是 的的 单位元，即单位元，即 eH=eG。(2)对对 aH，a 在在 H 中的逆元中的逆元 a，一定是，一定是 a 在在 G
31、 中的逆元。中的逆元。2022-12-95.3 子群与元素周期 (3)5.3.2 由子集构成子群的条件(1)设设 H 是群是群 中中 G 的非空子的非空子 集，则集，则 H构成构成 子群的充要条子群的充要条 件是：件是：对对 a,bH，有，有 a*bH；对对 aH，有有a-1H。2022-12-95.3 子群与元素周期 (4)5.3.2 由子集构成子群的条件(2)推论 假设假设 是群，是群，H 是是 G 的非空的非空子集，则子集，则 是是 子群的充子群的充要条件是：要条件是：对对 a,bH，有，有 a*b-1H。2022-12-95.3 子群与元素周期 (5)5.3.2 由子集构成子群的条件(
32、3)(3)假设假设 是一个群，是一个群，H 是是 G 的非空有限子集，则的非空有限子集，则 是是 子群的充要条件是：子群的充要条件是：对对 a,bH，有有 a*bH。2022-12-95.3 子群与元素周期 (6)5.3.3 元素的周期（1）群中元素的幂运算 假设假设 是一个群，是一个群，aG。则则 a0=e；ai+1=ai*a；a-i=(a-1)i (i 0)；am*an=am+n；(am)n=amn（m,n为整数）。为整数）。2022-12-95.3 子群与元素周期 (7)5.3.3 元素的周期（2）元素的周期 定义：定义：设设是一个群，是一个群，aG。若存在正。若存在正整数整数 n，使得
33、，使得an=e，则将满足该条件的最，则将满足该条件的最小正整数小正整数 n 称为元素称为元素 a 的周期或阶。若这的周期或阶。若这样的样的 n 不存在，则称元素不存在，则称元素 a 的周期无限。的周期无限。元素元素 a 的周期记为：的周期记为：|a|。2022-12-95.3 子群与元素周期 3 2 1 0 2 3 0 1 3 3 1 2 1 2 1 0 0+4 1 2 2 3 3 0 0 例例3：是一个群，是一个群，其中其中Z4=0,1,2,3，其运算表如右图。其运算表如右图。0=0|0|=114=0|1|=422=0|2|=2 34=0|3|=42022-12-95.3 子群与元素周期 (
34、8)5.3.3 元素的周期（3）元素周期的性质设设是一个群，是一个群，aG。a 的周期等于的周期等于 a 生成的循环子群生成的循环子群(a)的阶。的阶。即即|a|=|(a)|；若若 a 的周期为的周期为 n，则，则 am=e 的充分必的充分必要条件是要条件是 n|m。2022-12-95.3 子群与元素周期 (9)5.3.3 元素的周期（3）元素周期的性质推论：推论：设设 是一个群，是一个群，aG。若。若 a的周期为的周期为 n，则，则 (a)=a0,a1,.,an-1。2022-12-95.4 循环群 (1)5.4.1 定义 设设 是一个群，若在是一个群，若在 G 中存在中存在一个元素一个元
35、素 a，使得，使得 G 中任意元素都由中任意元素都由 a 的幂组成，即的幂组成，即 G=(a)=ai|iZ，则则称该群为循环群，元素称该群为循环群，元素 a 称为循环群的生称为循环群的生成元。成元。2022-12-95.4 循环群 (2)5.4.2 循环群的性质（1）设 是一个循环群。若若 是是 n 阶有限群，则阶有限群，则 ；若若 是无限群，则是无限群，则 。2022-12-95.4 循环群 (3)5.4.2 循环群的性质（2）循环群的子群必为循环群（3）设 是 n 阶循环群，m 是正整 数，并且 m|n，则 G 中存在唯一一个 m 阶子群。2022-12-95.4 循环群 (3)设有一个由
36、a生成的循环群 ,则我们有若a的周期无限,则 与 同构。若a的周期为m,则 与 同构。,G,G,GmmN,2022-12-95.5 置换群 (1)5.5.1 置换及其运算 （1）有限集有限集 S 到其自身的双射称为到其自身的双射称为 S 上上 的一个置换。当的一个置换。当|S|=n 时，时，S 上的上的 置换称为置换称为 n 次置换。次置换。2022-12-95.5 置换群 (2)5.5.1 置换及其运算 （2）定义：设 S 上有如下置换 称该置换为循环置换，记称该置换为循环置换，记为(a1,a2,ai)，i为循环长度。当为循环长度。当i=2 时称为对换。单位置换，即时称为对换。单位置换，即恒
37、等映射也视为循环置换，记为恒等映射也视为循环置换，记为（1）或或（n）。niiniiiaaaaaaaaaaaaf.113211212022-12-95.5 置换群 (3)5.5.2 置换群 （1）定义：一个阶为一个阶为n的有限集合的有限集合S上上所有的置换所组成的集合所有的置换所组成的集合Sn及其复合运算及其复合运算构成群构成群,称称 为为 n 次对称群次对称群(Symmetric group of degree n)，而，而 的的任意子群称为任意子群称为 n 次置换群。次置换群。n 次对称群的阶？次对称群的阶？|Sn|=？2022-12-95.5 置换群 (4)5.5.2 置换群 例1：假设
38、假设 S=1,2,3，写出，写出 S 的的 3 次对称群次对称群和所有的和所有的 3 次置换群。次置换群。解：解：S3=f1,f2,f3,f4,f5,f6，并且并且 f1=(1),f2=(1,2),f3=(1,3),f4=(2,3),f5=(1,2,3),f6=(1,3,2)2022-12-9213321)2,3,1(,132321)3,2,1(,231321)3,2(,123321)3,1(,312321)2,1(,321321)1(654321ffffff f6 f5 f4 f3 f2 f3 f2 f4 f1 f6 f5 f6 f4 f4 f3 f2 f1 f1 f2 f3 f5 f6 f
39、5 f5 f1 f6 f4 f3 f1 f6 f5 f2 f4 f6 f5 f1 f3 f2 f2 f4 f3 f1 f6 f4 f3 f2 f5 f1 2022-12-9f1是单位元，（是单位元，（f1）=f1f2，f3，f4，的阶是，的阶是2，（f2）=f2，=f1，f2（f3）=f3，=f1，f3（f4）=f4，=f1，f4 f5，f6 的阶是的阶是3,（f5）=f5，,=f1，f5,f6（f6）=f6，,=f1，f5,f6 f1,f1，f2,f1，f3,f1，f4f1，f5,f6是子群，即是子群，即3次置换群次置换群22f23f24f25f35f26f36f2022-12-9例：有那些
40、对称群是可交换群（例：有那些对称群是可交换群（ABEL群）？群）？2022-12-95.5 置换群 (6)5.5.2 置换群 （2）性质：（Cayley 凯利定理）任意任意 n 阶群必同构于一个阶群必同构于一个 n 次置换群。次置换群。例例2：给定一个正四边形，给定一个正四边形，如图所示。四个顶点的集如图所示。四个顶点的集合为合为 S=1,2,3,4。B B A A 3 2 4 1 2022-12-95.6 陪集 (1)5.6.1 左同余关系（左陪集关系）定义：设设是一个群，是一个群，是其子群。利用是其子群。利用 H 在在 G 上定义关系：上定义关系：RH=|a,bG,b-1*aH RH=|a
41、,bG,a*b-1H则称则称 RH 为为 G 上的模上的模 H 左同余关系（左陪集关系）；左同余关系（左陪集关系）；RH为为 G 上的模上的模 H 右同余关系（右陪集关系）。右同余关系（右陪集关系）。2022-12-95.6 陪集 (2)5.6.1 左同余关系（左陪集关系）定理：设设 是是 的一个子群，的一个子群，则则 G 中模中模 H 左同余关系是等价关系。左同余关系是等价关系。2022-12-95.6 陪集 (3)5.6.2 左陪集 定义：设设 是是 的一个子群，则的一个子群，则 aG 为代表元的模为代表元的模 H 同余关系的等价类同余关系的等价类a=a*h|hH，称为，称为 H 在在 G
42、 内由内由 a 确定的左陪集。简记为：确定的左陪集。简记为：aH=a。2022-12-95.6 陪集 (4)5.6.2 左陪集 定理：设设 是是 的一个子群，则：的一个子群，则：(1)eH=H；(2)对a,bH，aH=bH b-1*aH(3)对aG，aH=H aH2022-12-95.6 陪集 (5)5.6.2 左陪集 例：例：G=e,a,b,c,d,e,f。1、写出子群（a）2、证明（a）*c=c*（a）3、找出所有两个元素的子群4、求（d）的有陪集2022-12-95.6 陪集 (5)5.6.2 左陪集 例：设例：设是一个群，是一个群，Z6=0,1,2,3,4,5,试写出试写出中每个子群及
43、相应的左陪集。中每个子群及相应的左陪集。5 4 3 2 1 2 1 3 0 5 4 5 3 3 2 1 0 0+1 2 4 5 4 3 2 4 0 5 4 3 5 1 0 5 4 0 2 1 0 5 1 3 2 1 0 2 4 3 2022-12-95.6 陪集 (6)5.6.3 左商集和右商集 定义：设设 是是 的一个子群，由的一个子群，由 H 所确所确定的定的 G 上所有元素的左陪集构成的集合称为上所有元素的左陪集构成的集合称为 G对对 H 的左商集，记为的左商集，记为:SL=aH|aG;所有右所有右陪集构成的集合称为陪集构成的集合称为 G 对对 H 的右商集，记为的右商集，记为:SR=H
44、a|aG。2022-12-95.6 陪集设设 是群是群 的子群。的子群。（1）利用）利用 H 定义定义 G 上的关系上的关系 RH=|a,bG,b-1*aH RH=|a,bG,a*b-1H 则称则称 RH 和和 RH分别为分别为 G 上的模上的模 H 左同余关系（左陪集关左同余关系（左陪集关系）和右同余关系（右陪集关系）。系）和右同余关系（右陪集关系）。（2）H 在在 G 内由内由 a 确定的左、右陪集简记为：确定的左、右陪集简记为：aH=a=a*h|hH=ah|h H Ha=a=h*a|hH=ha|h H （3）左、右商集）左、右商集SL=aH|aG、SR=Ha|aG2022-12-95.6
45、 陪集 (7)5.6.3 左商集和右商集 定理：设设 是任意群是任意群 的子群，的子群，则则 G 关于关于 H 的左、右商集必等势。的左、右商集必等势。定义映射定义映射 f:SLSR,对对aG，f(aH)=Ha-12022-12-9例：设例：设是一个群，是一个群，Z6=0,1,2,3,4,5,运算表如下：运算表如下：5 4 3 2 1 2 1 3 0 5 4 5 3 3 2 1 0 0+1 2 4 5 4 3 2 4 0 5 4 3 5 1 0 5 4 0 2 1 0 5 1 3 2 1 0 2 4 3 群群的子群的子群5.6 陪集2022-12-9,H1=0,SL=0H1,1H1,2H1,3
46、H1,4H1,5H1 SR=H10,H11,H12,H13,H14,H15,H2=0,3,SL=0H2,1H2,2H2 SR=H20,H21,H22 所以所以SL与与SR等势等势5.6 陪集2022-12-95.6 陪集 (8)5.6.3 左商集和右商集 定义：设设 是群是群 的子群，的子群，SL的基数称为的基数称为 H 在在G 内的指数。记为：内的指数。记为：G:H=|SL|。2022-12-95.6 陪集 (9)5.6.3 左商集和右商集 定理：设设 是群是群 的子群，的子群，H 的任意左陪集（右陪集）与的任意左陪集（右陪集）与 H 等势。势。2022-12-95.6 陪集 (10)5.6
47、.4 Lagrange 定理定理定理：假设假设 是有限群，是有限群，是是 的子群，则的子群，则 H 的阶必整除的阶必整除 G 的的阶，并且阶，并且|G|=G:H|H|。n阶群的阶群的子群的子群的阶一定是阶一定是 n的因子的因子。2022-12-95.6 陪集 (11)5.6.4 Lagrange 定理定理（1）任何素数阶的群不可能有非平凡的子群。任何素数阶的群不可能有非平凡的子群。（2）素数阶的群必为循环群素数阶的群必为循环群。（3）假设假设是是 n 阶有限群，则对阶有限群，则对 aG,|a|n（形象表示？）。（4）假设假设是是 n 阶有限群，则对阶有限群，则对 aG,an=e。2022-12
48、-95.7 正规子群 (1)5.7.1 正规子群的定义 设设 是群是群 的子群，的子群，如果对如果对 aG 有有 aH=Ha，则称，则称 是是 的正规子群（不变的正规子群（不变子群）。子群）。2022-12-95.7 正规子群 (2)例：假设例：假设 S=1,2,3,S3=f1,f2,.,f6 213321,132321,231321123321,312321,321321654321ffffff f6 f5 f4 f3 f2 f3 f2 f4 f1 f6 f5 f6 f4 f4 f3 f2 f1 f1 f2 f3 f5 f6 f5 f5 f1 f6 f4 f3 f1 f6 f5 f2 f4
49、f6 f5 f1 f3 f2 f2 f4 f3 f1 f6 f4 f3 f2 f5 f1 2022-12-95.7 正规子群 (3),是三次置换群，是三次对称群的子群，是否为正规子群？213321,132321,231321123321,312321,321321654321ffffff2022-12-95.7 正规子群 (3)H1=f1,aS3 是否都有是否都有 aH1=H1af1f1,f2=f1,f2=f2f1,f2,f1,f2f1=f1,f2=f1,f2f2f3f1,f2=f3,f5=f5f1,f2,f1,f2f3=f3,f6=f1,f2f6f4f1,f2=f4,f6=f6f1,f2,f
50、1,f2f4=f4,f5=f1,f2f5 f6 f5 f4 f3 f2 f3 f2 f4 f1 f6 f5 f6 f4 f4 f3 f2 f1 f1 f2 f3 f5 f6 f5 f5 f1 f6 f4 f3 f1 f6 f5 f2 f4 f6 f5 f1 f3 f2 f2 f4 f3 f1 f6 f4 f3 f2 f5 f1 2022-12-95.7 正规子群 (4)5.7.2 判定正规子群的条件定理：定理：设设 是群是群的一个子群，则以下的一个子群，则以下条件满足：条件满足：(1)对对aG,aH=Ha (2)对对aG,hH,必存在必存在hH,使使 h*a=a*h (3)对对aG,hH,a*
