1、理科数学试题 第 页(共 页) 年普通高等学校招生全国统一考试(猜想卷) 理科数学 (考试时间: 分钟试卷满分: 分) 注意事项: . 答卷前考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上 . 回答选择题时选出每小题答案后用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑 如需改动用橡皮擦干净 后再选涂其他答案标号 回答非选择题时将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效 . 考试结束后将本试卷和答题卡一并交回 第卷(选择题 共 分) 一、选择题:本题共 小题每小题 分共 分. 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. . 已知集合 . . . 三角锥垛 . 古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点(或
2、圆球)在等距的排列下可以形成正三角 形的数如 . 我国宋元时期数学家朱世杰在四元玉鉴中所记载的“垛积 术”其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛(如图所示顶上一层 个球下一层 个球再下一层 个球). 若一“落一形”三角锥垛有 层则该堆垛总共 球的个数为( ) . . . . . 下列图象中不可能是函数 () ( )( )()的图象的是 ( ) 理科数学试题 第 页(共 页) . 用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一计数形式有纵式和横式两种如图 所示. 金元时期的数学家李 冶在测圆海镜中记载:用“天元术”列方程就是用算筹来表示方程中各项的系数. 所谓“天元术”即是一种 用数学
3、符号列方程的方法“立天元一为某某”意即“设 为某某”. 如图 所示的天元式表示方程 其中 表示方程各项的系数均为筹算数码在常数项旁边记一 “太”字或在一次项旁边记一“元”字“太”或“元”向上每层减少一次幂向下每层增加一次幂. 试根据上述数学史料判断图 所示的天元式表示的方程是( ) . . . . . 执行如图所示的程序框图输出结果 ( ) . . . . . 已知单位向量 的夹角为 且 若向量 则 ( ) . . . 或 . 已知( )( ) 的展开式中 的系数是 则常数 应当满足的条件是 ( ) . . . . . 已知椭圆 : ( )的左、右焦点分别为 过 的直线与椭圆 交于 两点. 若
4、 则椭圆 的离心率为( ) . . . . . 已知函数 () ( )( )( ) () ()( ) 其中 ( )( )有下述四个结论: () ( ) ! ( ) . 其中所有正确结论的编号是( ) . . . . . 设定义在 上的函数 ()满足 () ( )且当 )时() ( ). 若对任意 )不等式 () 恒成立则实数 的最小值是( ) . . . . 理科数学试题 第 页(共 页) 第卷(非选择题 共 分) 二、填空题:本题共 小题每小题 分共 分. . 已知数列是等差数列是其前 项和. 若 则 . . 在平面区域 内随机取一点()使二次函数 () 在 上无零点的概率为 . . 甲、乙
5、两人进行象棋比赛采取五局三胜制(当一人先赢 局时获胜比赛结束). 棋局以红棋与黑棋对阵两 人执色轮流交换执红棋者先走. 假设甲执红棋时取胜的概率为 执黑棋时取胜的概率为 各局比赛结果 相互独立且没有和局. 若比赛开始甲执红棋开局则甲以 获胜的概率为. . 中国古代数学家刘徽在九章算术注中记述:羡除隧道也其形体上面平而下面斜一 面与地面垂直并用“分割法”加以剖分求其体积. 如图所示的五面体 是一个羡 除两个梯形侧面 与 相互垂直. 若 梯形 与 的高分别为 和 则该羡除的体积 由此归纳出求 羡除体积的一般公式为 . 三、解答题:共 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 题为必考题每
6、个试题考生都必须 作答. 第 、 题为选考题考生根据要求作答. (一)必考题:共 分. . ( 分)已知在 中三个内角 所对的边分别为 且 . ()求 的外接圆半径 ()若 求 的面积 的最大值. . ( 分)已知 分别是 的边 上的一点且 ( )的右焦点为 半焦距 点 到右准线 的距离为 过点 作双曲线 的两条互相垂直的弦 设 的中点分别为 . ()求双曲线 的标准方程 ()证明: 直线 必过定点并求出此定点坐标. . ( 分)已知函数 () ( ). ()证明: ()在( )上有唯一零点 ()若对任意 ( ) 恒成立求实数 的取值范围. (二)选考题:共 分. 请考生在第 、 题中任选一题
7、作答. 如果多做则按所做的第一题计分. . 选修 :坐标系与参数方程( 分) 已知在平面直角坐标系 中曲线 的参数方程为 ( 为参数)直线 的参数方程为 ( 为参数). ()若 求曲线 与直线 的两个交点之间的距离 ()若曲线 上的点到直线 的距离的最大值为 求 的值. . 选修 :不等式选讲( 分) 已知函数 () . ()当 时解不等式 () ()若不等式 () 恒成立求实数 的取值范围. 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（猜想卷）理科数学 普通高等学校招生全国统一考试（猜想卷） 理科数学 （考试时间:120 分钟;试卷满分:150 分） 注意事项: 1.请留意本科考试的时间范围，
8、只能在此时间范围内作答； 2.选择题直接点选答案； 3.非选择题请在纸上作答后，然后拍照上传； 4. 确认选择题全部点完毕，非选择题作答内容上传后，然后点击“交作业”，完成试卷提交。 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 = | 1 c B.bac C.cab D.acb 【答案】A 【解析】 【分析】 命题意图本题考查三角函数、对数、指数等知识. 【详解】 解题思路 = (tan 2 5 )0.1 (tan 2 5 )0= 1， = log32 (0,1), = log2
9、(cos 3 7 ) 0)的左、右焦点分别为1,2,过2的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点.若|AB| = |12|,|1| = 1 2|1|,则椭圆 C 的离心率为（ ） A.1+145 20 B.1451 20 C.1451 18 D.1+145 18 【答案】D 【解析】 【分析】 命题意图本题考查椭圆、离心率等知识及运算能力. 【详解】 解题思路设椭圆的焦点坐标1(,0),2(,0)，则|12| = 2,| = |12| = 2，由|1| + |2| = 2，|1| + |2| = 2，| = |12|，|1| = 1 2|1|容易求得|1| = 84 3 ，|1| = 42 3 ，
10、|2| = 2+2 3 ，|2| = 42 3 . 在AF1F2和BF1F2中，由余弦定理的推论得， cos12 = (2)2+(2+2 3 )2(42 3 )2 22(2+2 3 ) = 3 2 ， cos12 = (2)2+ (4 2 3 )2 (8 4 3 )2 2 2 (4 2 3 ) = 32+452 2(2) . 因为21+ 21= ，所以3 2 + 32+452 2(2) = 0，化简得92 42= 0. 设椭圆的离心率为，则92 4 = 0，解得 = 1+145 18 或 = 1145 18 （舍去） ，即椭圆的离心率 = 1+145 18 .故选 D. 11.已知函数（）=
11、( 1)( 2)( + 1) = 1 + 22+ + ,() = ()( ) = 1 + 22+ + +1+1,其中 N,R R( = 1,2,), R R( = 1,2, + 1),有下述四个结论: 1+ 2+ + = 1+ 2+ + ( 2); 1= (1)!; = 1 ( = 2,3,); 1+ 2+ 23+ + 1= . 其中所有正确结论的编号是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 命题意图本题考查多项式函数与数列、递推关系等知识及运算求解能力. 【详解】 解题思路由() = ( 1)( 2)( + 1) = 1 + 22+ + ，当 2时，令 = 1得1+
12、2+ + = 0，由 () = ()( ) = 1 + 22+ + +1+1，令 = 1得1+ 2+ + + +1= 0，而+1= 1，所以1+ 2+ + = 1，故错误； () = ()( ) = (1 + 22+ + 11+ + + )( ) = 1 + (1 2)2+ + (1 )+ + (1 )+ +1= 1 + 22+ + +1+1，所以，1= 1， （1） 2= 1 2， （2） = 1 ， （） = 1 ， （） +1= ，( + 1) 而1= (1) (2) ( 1) = (1)1( 1)!，所以1= (1)!，故正确； 将第（2）式两边同时乘，第（3）式两边同时乘2，第()式
13、两边同时乘1，再将（1）到()这个等式累加得1+ 2+ 23+ + 1= = .故正确. 故选 B. 12.设定义在 R R 上的函数()满足() = 2( + 1),且当 -1,0）时,() = ( + 1).若对任意 ,+),不等式() 3 4 恒成立,则实数的最小值是（ ） A. 17 8 B. 9 4 C. 11 4 D. 23 8 【答案】B 【解析】 【分析】 命题意图本题考查函数的零点、不等式、变换等知识及数形结合思想的应用. 【详解】 解题思路由已知() = 2( + 1)，当 1,0)时，() = ( + 1)可得， 当 2,1)时，() = 2( + 1) = 2( + 1
14、)( + 2)； 当 3,2)时，() = 2( + 1) = 4( + 2)( + 3)； 画出函数草图，令4( + 2)( + 3) = 3 4，化简得16 2+ 80 + 99 = 0，解得1 = 9 4,2 = 11 4 ，由图可知，当 9 4时，不等 式() 3 4恒成立.故选 B. 第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知数列是等差数列,是其前 n项和.若36+ 9= 3,11= 22,则8=_ 【答案】4 【解析】 【分析】 命题意图本题考查数列递推公式、数列及其求和等运算能力. 【详解】 解题思路由11= 116=
15、 22，得6= 2.又36+ 9= 3，即(6 3)6+ 6+ 3 = 3，解得 = 1.所以8= 6+ 2 = 4. 14.在平面区域 2 2 1, 2, 1 内随机取一点(a,b),使二次函数() = 2+ 2 + 2在 R 上无零点的概率为_. 【答案】8 49 【解析】 【分析】 命题意图本题考查简单线性规划、几何概型等知识及数形结合思想. 【详解】 解题思路不等式组表示的平面区域为如图所示的ABC的内部及边界，(2, 5 2),( 3 2,1),(2,1)，则 = 1 2 7 2 7 2 = 49 8 ，而二次函数() = 2+ 2 + 2在 R 上无零点，则 0,(2)2 4( +
16、 2) 0)的右焦点为 F,半焦距 = 2,点 F 到右准线 = 2 的距离为1 2,过点 F 作双曲线 C 的两条互相垂直的弦 AB,CD,设 AB,CD的中点分别为 M,N. （）求双曲线 C 的标准方程； （）证明: 直线 MN必过定点,并求出此定点坐标. 【答案】 （） 2 3 2= 1； （）证明见解析 【解析】 【分析】 命题意图本题主要考查双曲线方程、直线方程等综合知识以及逻辑思维能力与运算能力. 【详解】 解题思路（）由题设可得 2 = 1 2, = 2，所以 2 = 3,2= 2 2= 1. 所以双曲线的标准方程为 2 3 2= 1.（4分） （）证明：点坐标为(2,0)，设
17、过点的弦所在的直线方程为 = + 2,(1,1),(2,2)，则有(1+2) 2 + 2, 1+2 2 ).联 立 2 3 2= 1, = + 2, 得(2 3)2+ 4 + 1 = 0. 因为弦与双曲线有两个交点，所以2 3 0，所以1+ 2= 4 32.所以( 6 32 , 2 32).（8 分） （1）当 = 0时，点即是点，此时，直线为轴. （2）当 0时，将上式点坐标中的换成 1 ，同理可得( 62 321, 2 321). 当直线不垂直于轴时，直线的斜率= 2 32+ 2 321 6 32 62 321 = 2 3(21)，将点代入方程得 2 32 = 2 3(21)( 6 32)
18、，化简得 = 2 3(21)( 3)，所以直线过定点(3,0)； 当直线垂直轴时， 6 32 = 62 321，此时， = 1，直线也过定点(3,0). 综上所述，直线必过定点(3,0).（12 分） 21.（12 分）已知函数() = 222+ ln( 0). （）证明: ()在(0,+）上有唯一零点; （）若对任意 (0,+）,2 ln 1 恒成立,求实数 a的取值范围. 【答案】 （）证明见解析； （） 2 【解析】 【分析】 命题意图本题考查导数的应用、零点、不等式等知识以及转化与化归思想. 【详解】 解题思路（）证明：() = 22e2+ ln( 0)， 则() = 4(2+ )e2
19、+ 1 0， 所以() = 222+ ln在(0,+)上单调递增. 因为(1) = 22 0,(1 4) = 8 2ln2 0)， 则() = 222+ln 2 = () 2 . 由（）知，()在(0,+)上单调递增，且有唯一零点0. 所以，当0 0.因此，当0 0，所以 ()在(0,0)上单调递减，在(0,+)上单调递增， 所以() (0).（8 分） 由(0) = 20 220 + ln0= 0， 得2020= ln0 0 = ln 1 0 ln 1 0. 令() = ( 0)，则() = ( + 1) 0，所以()在(0,+)上单调递增，由于2020= ln 1 0 ln 1 0等价于(
20、20) = (ln 1 0)，所以20 = ln 1 0，于是有 20 = 1 0，所以() (0) = 20 ln0+1 0 = 1 0 ln0+1 0 = ln0 0 = ln 1 0 0 = 20 0 = 2，所以 2.（12 分） （二）选考题:共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.选修 4-4:坐标系与参数方程（10 分） 已知在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 = 2cos, = 3sin （为参数）,直线 l 的参数方程为 = 2, = 1 + （t 为参数）. （）若 = 1,求曲线 C与直线 l 的两
21、个交点之间的距离； （）若曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为25,求 m的值. 【答案】 （）105 4 ;（） = 4或 = 8. 【解析】 【分析】 命题意图本题考查极坐标与参数方程的有关知识. 【详解】 解题思路（）若 = 1，的参数方程为 = 1 2, = 1 + , （为参数）. 即 = 1 25 5 , = 1 + 5 5 （为参数） ，与曲线联立得， 16 5 2 45 5 5 = 0，则 1+ 2= 5 4 , 1 2= 25 16, 所以曲线与直线的两交点间的距离为|1 2| = (1 2)2= (1+ 2)2 41 2= 105 4 . （4分） （）直线的普通方
22、程为 + 2 2 = 0，故曲线上的点(2cos,3sin)到直线的距离 = |2cos+23sin2| 5 = |4sin(+ 6)2| 5 . （6 分） 当 2时，的最大值为4+2 5 ， 由题设得4+2 5 = 25，解得 = 4； 当 2时，的最大值为42 5 ， 由题设得42 5 = 25，所以 = 8. 综上， = 4或 = 8.（10 分） 23.选修 4-5:不等式选讲（10 分） 已知函数() = | + | + | 1| 2, R R. （）当 = 1时,解不等式() 2; （）若不等式() 2 0恒成立,求实数 t 的取值范围. 【答案】 （） 2或 2； （）(, 5 2 【解析】 【
