1、第3章 动态系统特性的时域分析 l 概述l 随机过程和时间序列l 时间序列的统计分析l 线性时间序列模型及其应用l 工况状态变化趋势性模型分析机械故障诊断理论与方法机械故障诊断理论与方法2022-12-151特征分析的目的：去伪存真 去粗取精特征分析的手段：时域 频域及其各种变换域 时频域1、概述、概述2022-12-152涉及：数字信号处理、概率论与数理统计、随机过程随机过程、时间序列分析时间序列分析、信息理论、图像处理及人工智能等 随机过程的基本概念：实现、随机过程、随机变量 2、随机过程和时间序列、随机过程和时间序列2022-12-153l 实现(Realizaition)：在时间tT范
2、围内，每进行一次实验所得的观测结果，称为一次实现。多次实现记为若为一次实现简记为 ，离散数据序列通常都是一次实现，简记为 。,kx t,wk=1,2,nk为实现次数。x t tx2、随机过程和时间序列、随机过程和时间序列2022-12-154l 随机过程(Stochastic process)：在时间tT范围内，k次实验的总体样本函数称为随机过程。其中，离散数据序列记为,kx t,wk=1,2,ntxtT；2、随机过程和时间序列、随机过程和时间序列2022-12-155l 随机变量(Stochastic variable)：每次实现的观测值称为随机过程在该时刻的随机变量。每次观测到的结果是不相
3、同的，它表明了随机过程的观测值不能重复（重要事实）123,iiix t,wx t,wx t,w实现、随机过程、随机变量 三者的关系实 现 1实 现 2实 现 4实 现 3时 间 t观测值 x(t)t=kx(k,1)x(k,2)x(k,4)x(k,3)样本空间上的随机变量2022-12-156 F xP xxt P xx xxp xxt,随机变量的分布函数 随机变量xt的分布函数：若存在非负函数p(x)，使得x0时：对任意的x(-,+)成立，则称p(x)为随机变量 xt的概率密度函数。p xx12222exp2,txN 正态分布的概率密度函数：2022-12-157 随机过程的数字特征 随机过程
4、在各时刻对应的随机变量的联合概率密度函数可以完整地描述随机过程的性质。但对于工程领域中的随机过程，其各时刻随机其各时刻随机变量的概率密度函数以及过程本身的联合概率变量的概率密度函数以及过程本身的联合概率密度函数通常难以确定密度函数通常难以确定，因此有必要引入随机过程的某些数字特征进行描述。2022-12-15800 ttttxtt903060120150时间 t 0.80.60.40.2 -0.2 -0.4-0.8xtttE xxp x dxttttE xE xxp x dx222q 均值与方差2022-12-159意义：意义：随机变量的均值反映了 的随机变化中心，方差则反应了随机变量不同的样
5、本函数对均值的平均偏离程度。tx MxE xx p x dxokttkk MxE xE xxp x dxcktttktkk 阶原点矩 k 阶中心矩q 矩函数2022-12-1510由定义可见，随机变量的均值均值即为一阶原点矩，方差方差即为二阶中心距。cov(,),tsttssttsststsx xExExxExxxp x xdx dx l自相关函数（系数）q 自协方差函数和自相关函数l自协方差函数 ststststdxdxxxpxxxxEstr,t sr t sr t t r s s,2022-12-1511二元对称nittnniiExxEtt11,cov工程中，通常对随机变量进行零均值处理，
6、此时：),(),cov(strxxstq 高阶自协方差函数和高阶自相关函数nitnnixEttr11,2022-12-1512平稳过程：随机过程的分布函数或概率密度函数(若存在)不随时间t的变化而变化。平稳平稳随机过程及其性质严平稳过程：constantkttkoxExM constantktttkcxExExMnntt,cov1nnttr,1和与t无关。2022-12-1513宽平稳随机过程条件：constanttxEE xt2 E x xrtt一般，随机过程的严平稳性严平稳性与宽平稳性宽平稳性没有确定的因果关系，严平稳性条件通常较宽平稳性条件严格，若严平稳过程具有二阶矩，则其也必为宽平稳过
7、程。特别地，对于正态随机过程，严平稳与宽平稳相互等价。2022-12-1514均值：二阶原点矩：自协方差：具有遍历性的随机过程必为平稳过程；但平稳过程未必是遍历的；遍历性是工程信号统计分析方法的基础。q 平稳随机过程的遍历性 所谓随机过程的遍历性，通俗地说，就是：在下标集T上，随机过程按其分布函数遍历 其所有的可能状态。对遍历性随机过程而言，过程的集合平均等 于其任何一个样本在时间T上的平均 2022-12-1515 =11limNttNtExxN3、时间序列的统计分析、时间序列的统计分析统计分析统计分析：基于时间序列的平稳性和遍历性假设，根据观测样本对时间序列的各种数字特征或分布函数作出某种
8、切合实际的估计。时间序列时间序列：按时间顺序排列的一组数据。在时间序列分析领域，通常指一组时间或空间有序的随机数据，为深入分析，偶尔也涉及确定性数据。2022-12-1516 NktkttkttxxkNxxEkr11ExNxtttN1122211E xExNxttttN 均值和方差估计,rkkNkx xxnntt kt ktNkn111111 自协方差（相关）函数估计 高阶自协方差（相关）函数估计kkknmax,112022-12-1517,=1,Ntx t设 为平稳平稳遍历时间序列的观测样本 K值可正可负 313311NttxNxEg 偏度系数和峭度系数012345-1-2-3-4-500.
9、10.20.30.40.5p(x)g111 0gg 0=0 x偏度系数：2022-12-1518012345-1-2-3-4-500.20.40.60.8g23g23 g23xp(x)峭度系数：NttxNxEg1444212022-12-1519 概率密度函数的估计xxxtxxPxprx)(lim)(0TTxxtxxPxTrlim)(niixtT1xx+x0 x(t)t1t2t3t4tT0 xp(x)2022-12-15200100200300400 x时间 tx(t)KN18710 4.区间的数目：2022-12-15214、线性时间序列模型分析及其应用、线性时间序列模型分析及其应用 动态过
10、程十分复杂，从观测数据不能直接分析系统的变化规律数学模型。动态过程状态的变化，反映在其数学模型的结构、参数和特征函数的变化。模型可以用于对系统的未来状态和发展趋势进行预报和控制。研究动态系统时域模型是研究动态系统时域模型是工况监视与故障诊断工况监视与故障诊断的重要方法和手段之一的重要方法和手段之一根据观测值直接建模根据观测值直接建模,无需知道无需知道系统输入系统输入和和传递传递函数函数2022-12-15224.1 时间序列模型的结构特征 观测数据特点(机械设备运行中)动态过程是随机过程 系统的输入无法确知 机械系统相互耦合 时间序列模型（时间序列模型（time series modeling
11、）时间序列数据有一个时间上的顺序 是指仅用它的过去值及随机扰动项所建立起来的模型模型，其一般形式为 Xt=F(Xt-1,Xt-2,t)建立具体的时间序列模型，需解决如下三个问题：(1)模型的具体形式(2)时序变量的滞后期(3)随机扰动项的结构2022-12-15234.2 时间序列建模方法 主要时序模型 自回归滑动平均模型自回归滑动平均模型(ARMA模型模型):平稳正态 双线性模型:门限自回归模型:非线性自激振荡 指数自回归模型:复现非线性现象 状态依赖模型:预处理 平稳性检验 正态性检验 随机趋势检验和处理2022-12-15244.3 自回归过程(Auto-regressive model
12、,AR)如果一个随机过程可表达为如果一个随机过程可表达为其中其中i,i=1,n 是自回归参数，是自回归参数，ut是白噪声是白噪声（指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声）过程，则称过程，则称xt为为n阶自回阶自回归过程，用归过程，用AR(n)表示。表示。xt 是由它的是由它的n个滞后变量的加权和个滞后变量的加权和以及以及ut 相加而成。相加而成。若用滞后算子表示若用滞后算子表示 其中其中 称为特征多项式或称为特征多项式或自回归算子。自回归算子。tntntttuxxxx2211tttnnuxBxBBB)()1(221)1()(221nnBBBB2022-12-1525 与自回归模型常联系在一起的
13、是平稳性问题。对于自回归过程AR(p)，如果其特征方程 的所有根的绝对值都大于1，则AR(n)是一个平稳的随机过程。AR(n)过程中最常用的是AR(1)、AR(2)过程，xt=1 xt-1+ut 保持其平稳性的条件是特征方程 (1-1 B)=0 根的绝对值必须大于1，满足|1/1|1，也就是：|1|kkn2022-12-1530一般在工程中滑动平均部分的阶数总是小于自回归部分，故有：()()BBABABABBiiiniiiikiii kn 11111)1(0110jjjinkiikijjiiiBABA ABABiijikjjiiji knjj110101()物理不可实现2022-12-1531
14、从工程应用来看，只有当k=n，且|i|1，即|i|m,如果AR部分具有n个不相等的特征根，则：xgBatiiint11jtjnijiitjjjiniiagaBg 0101格林函数：jiniijgG1giin mijjmilll in111()()2022-12-1535q 自协方差函数与格林函数的关系00()()xtt kit ijt kjijr kEx xEGaG a 002)(00ijajkijiijjktitjiGGaaEGGkkajkjjajkjjaGGGGGG20202)()(krkrxx2022-12-15364.5 自协方差函数的估计 检测数据是有限的,只能从有限长度的样本值xt
15、来求自协方差函数的估计值 和)(krxNtkttNkttxxxNxxEkr11lim)()0(xrNtkttxxxNkr11)()0()()(xxkxrkrk自相关函数:自协方差函数:2022-12-1537 AR(n)、MA(m)、ARMA(n,m)模型的估计方法较多，大体上分为大体上分为3类：类：（1）最小二乘估计；）最小二乘估计；（2）矩估计；）矩估计；（3）利用自相关函数的直接估计）利用自相关函数的直接估计。结构阶数模型识别确定估计参数4.6 时间序列模型的估计2022-12-1538五、工况状态变化趋势性及其预报时间，t时间，t时间，t时间，tx(t)x(t)x(t)x(t)线性趋势
16、多项式趋势衰减的周期趋势多项式与周期趋势发现隐含趋势的形成和发展,预知工况状态的变化2022-12-1539时间序列的典型趋势性q 适用于含确定性趋势序列的组合模型wsxttt ts xtwt非平稳观测时序确定性趋势序列平稳随机序列2022-12-1540q 适用于含随机趋势序列的ARIMA(自回归-求和-滑动平均)模型11BBsdARIMA型季节性乘积模型：特征多项式含有形如 的因子，或者说，这类模型具有一个或多个分布在单位圆上的特征根。1 Bs1 Bd随机季节性趋势,适于季节性变化趋势随机多项式趋势,适于多项式变化趋势2022-12-1541q 平稳时间序列的预报:从现在和过去的行为预测其
17、未来发展趋势tt+llttxltx)(let)tx过去过去未来现在现在实际数据曲线实际数据曲线)(lxt)95%95%置信限置信限95%95%置信限置信限2022-12-1542时间序列预报的出发点是使预报误差均方值误差均方值达到最小。并称相应的预报值为平稳线性最小方差预报。22)()(lxxEleEtltt BjltljjAjltljjjltjjltaGaGaGx1002022-12-1543上式中，A部分包含了未来时刻的白噪声at+l,at+l-1,at+l-2,at+1，在当前时刻 t 无法对未来的白噪声进行预测，即A属于不可预测部分。而B部分所含的白噪声均为确定的、可以计算的。因此，B
18、部分即为xt+l的预报值 。易见，向前 l 步的预测误差为未来 l 个白噪声的线性组合。预测误差方差为：)(lxt2)()(varlexEletltt)1(2122212laGGG2022-12-1544可以证明上述预报结果为最小方差预报。易见，向前 l 步的预报误差仅与预报步距 l 有关，而与预报的起点无关。这一点说明了时间序列预报的平稳性，还可看出步距 l 愈大，预报误差也愈大。可以证明：最小方差长期预报值趋于零，即趋于时间序列 xt 的均值。长期预报误差的方差等于时间序列本身的方差。2022-12-1545对于ARMA(n,m)模型：nimjtjtjititaaxx11nimjltjlt
19、jiltiltaaxx11nimjltjltjiltilttaEaExExElx11)(2022-12-1546ARMA(n,m)模型的预报方程对Ext+l-n求期望对Eat+l-m求期望mtmttntttttaaaxxxxEx112111211 )1(mtmtntnttttaaxxxxEx222212 )1()2(tmtnttmttanmxmxmxxEmx)()2()1()(21)(,)()(1mlilxxElxnitiltt2022-12-1547按照上式可以得到l=1,m的各步预报:令m0，则根据ARMA(n,m)模型的预报公式可直接获得AR(n)模型得最小方差预报：)0(,)()(1lilxlxnitit即：,)1(1121ntntttxxxx,)1()2(221ntntttxxxxtnnttxxnxnxnx)1()2()1()(121)(,)()(1nlilxlxnitit2022-12-1548
