1、汽车振动与噪声控制Control of Vibration and Noise in Road Vehicles2014.春内容安排 第1章 振动理论基础 第2章 声学理论基础 第3章 发动机振动分析与控制 第4章 动力传动及转向系统振动 第5章 汽车平顺性 第6章 发动机及动力总成噪声 第7章 底盘系统噪声 第8章 车身及整车噪声第一章 振动理论基础 引言 单自由度系统 双自由度系统 多自由系统 连续系统振动 随机振动分析基础问题 什么是振动？振动研究哪些问题？什么是机械振动，机械振动有哪些类型？一个机械振动系统由哪些部分构成？如何进行机械振动的分析研究？汽车振动包含哪些振动问题？什么是振动
2、 Vibration？物体以其平衡位置为中心所做的往复运动 Any motion that repeats itself after an interval of time 振动是自然界中常见的现象心脏的搏动、耳膜和声带的振动等 汽车、火车、飞机及机械设备的振动 家用电器、钟表的振动 地震以及声、电、磁、光的波动等等 股市的升跌和振荡等振动的危害 地震，海啸等灾害地震，海啸等灾害 运载工具的振动（车辆、船舶、航天器）运载工具的振动（车辆、船舶、航天器）机械设备以及土木结构的破坏机械设备以及土木结构的破坏(Tacoma Narrows Bridge)噪声噪声 降低机器及仪表的精度降低机器及仪表的
3、精度振动的用途 钟表钟表 琴弦振动琴弦振动 振动沉桩、拔桩、捣固、压路机振动沉桩、拔桩、捣固、压路机 振动给料机振动给料机 振动清筛机振动清筛机什么是机械振动 研究的物理量是位移、速度、加速度、应力、应变等机械量，在某一数值附近随着时间 t 变化。机械振动有哪些类型1.按振动系统所受的激励类型分类自由振动自由振动系统受初始干扰或原有的外激励取消后产生的振动；系统受初始干扰或原有的外激励取消后产生的振动；强迫振动强迫振动系统在外激励力作用下产生的振动；系统在外激励力作用下产生的振动；自激振动自激振动系统在输入和输出之间具有反馈特性，并有能源补充而系统在输入和输出之间具有反馈特性，并有能源补充而产
4、生的振动（架空电缆、机翼颤振、琴弦）产生的振动（架空电缆、机翼颤振、琴弦）参数振动参数振动 通过周期或随机地改变系统的特性参数而实现的振动通过周期或随机地改变系统的特性参数而实现的振动（秋千）（秋千）2.单自由度系统振动确定系统在振动过程中任何瞬时几何位置只需要一个独立坐标的振动；机械振动有哪些类型确定系统在振动过程中任何瞬时几何位置所需独立坐标的数目两自由度系统振动确定系统在振动过程中任何瞬时几何位置需要两个独立坐标的振动；2.机械振动有哪些类型多自由度系统振动确定系统在振动过程中任何瞬时几何位置需要多个独立坐标的振动；2.机械振动有哪些类型3.按系统的响应（输出振动规律）分类周期振动能用时
5、间的周期函数表示系统响应的振动；瞬态振动只能用时间的非周期衰减函数表示系统响应的振动；随机振动不能用简单函数或函数的组合表达运动规律，而只能用统计方法表示系统响应的振动。(汽车行驶在路面)()(nTtxtxtAtxsin)(机械振动有哪些类型4.按描述系统的微分方程分类线性振动能用常系数线性微分方程描述的振动；非线性振动只能用非线性微分方程描述的振动。本课程仅讨论线性振动机械振动有哪些类型振动研究的问题振动系统输入/激励输出/响应已知系统参数及外界激励求系统的响应(位移、速度、加速度和力的响应等）已知路面状况和车辆结构，分析驾驶人受到的振动振动研究的问题振动系统输入/激励输出/响应已知系统响应
6、和系统参数求系统的激励振动研究的问题振动系统输入/激励输出/响应已知系统响应和外界激励求系统的参数系统尚不存在，需要设计合理的系统参数，使系统在已知激励下达到给定的响应水平汽车产品开发过程中的正向设计振动研究的问题振动系统输入/激励输出/响应已知系统响应和外界激励求系统的参数系统已经存在，需要根据测量获得的激励和响应识别系统参数，以便更好地研究系统特性汽车产品开发过程中的对标 Benchmark振动研究的问题 振动隔离：汽车悬架、发动机悬置 在线控制：发动机故障监测诊断 动态性能分析：操稳和平顺性能 模态分析：车身模态分析（特征频率）研发产品2014-4-24一个振动系统由哪些部分构成 构成机
7、械振动系统的基本元素 惯性、恢复性和阻尼 质量(mass)弹簧(spring)阻尼(damping)量纲：量纲：m:kg k:N/m c:N.s/m如何进行机械振动的分析研究 理论分析实际实际系统系统力学原理微分微分方程方程数值数值解解解析解析解解计算机数学工具振动振动特性特性建立系统力学模型：将所研究的对象以及外界对其作用简化为一个即简单又能在动态特性方面与原来研究对象等效的力学模型建立运动微分方程并求解，得出响应规律 7个自由度2个自由度单自由度汽车模型4个自由度空间模型平面模型 实验研究：直接测量振系的响应并进行分析，以了解机械振动特性（振动分析）；用已知振源、激振对象，测取响应，以了解
8、系统特性（系统识别）理论分析和实验结合 1.用实验方法(如模态分析)识别出系统，建立系统特性模型 2.通过实验来验证理论分析的结果如何进行机械振动的分析研究简谐振动 机械系统的某个物理量(位移、速度或加速度)按时间的正弦(或余弦)函数规律变化的振动 研究其他形式振动的基础 可用函数表达式、矢量或复数等形式来表示，不同的表示方法运用于不同的场合(频域分析用复数表达法)sin()2sin()2sin(tAftAtTAx)cos(tAx xtAx22)sin(02xx 如果系统的运动方程可表示如此，该系统做简谐振动简谐振动描述振动的基本参数 振动的快慢：频率f(Hz)frequency(周期peri
9、od)振动的强度：振幅A-amplitude 振动与初始位置有关：相位phase(某时刻振动体与固定位置之间的关系或者是某个瞬间两个振动物体位置的相对关系)例题1.1 某振动的位移x(m)与时间t(s)的关系可以写成)3.015sin(2.0tx 求(1)振幅(2)振动圆频率(3)振动频率(4)振动周期(5)相位角)sin(tAxmA2.0rad/s15zfH39.22152sfT42.012.173.0rad简谐振动谐波分析 把一个周期函数展开成傅里叶级数，即一系列简谐函数之和称为谐波分析 将谐波分析法用于振动理论，可把一个周期振动分解为一系列简谐振动的叠加 振动的振幅和相位与频率之间的关系
10、用图形表示，即为振幅频谱图和相位频谱图自由度和广义坐标 物体在约束条件下运动时，用于确定其位置所需的独立坐标数就是该系统的自由度数 质点：3个自由度 刚体：6个自由度广义坐标 n个自由度的系统，可以用n个广义坐标来表示 广义坐标可以完全代表一个系统 系统上任何一个点的位置ri，均可以用这组广义坐标表示Tnqqqqq,321),()(321niiiqqqqrqrr车辆振动包含哪些振动问题 发动机和传动系：发动机在车架上的整机振动、曲轴系统的扭振 制动系：整车、制动器 转向系：前轮摆振、蛇行 悬架：平顺性 车身和车架：Engine发动机Suspension悬架Tire轮胎Transmission变
11、速箱Brake制动Chair座椅Body车身Steer转向课程的意义 振动理论是分析任何机器和结构的动态特性的理论基础之一 汽车的动态性能：汽车行驶的舒适性、操纵稳定性、车内噪声水平以及音质等。汽车的行驶平顺性、乘坐舒适性、发动机减振和隔振、车身结构的模态分析均以振动为基础。与课程汽车理论和汽车设计密切相关 与日后的工作或继续学习密切相关小结 了解车辆振动的研究内容、意义和作用 掌握车辆振动的主要概念 了解机械振动系统的基本构成元素的数学描述 正确理解自由度和广义坐标的概念振动分析的三类问题 固有特性问题 振动响应问题 振动的稳定性三类问题-固有特性 振动系统的固有频率、固有振型三类问题-系统
12、响应 振动系统受到外界激励作用后的振动响应 研究振动引起的结构动态变形，加速度是否超过允许值，产生的噪声水平 研究构件动态应力、结构疲劳强度、寿命三类问题-振动稳定性 研究影响系统稳定性的主要因素 确定稳定性临界条件振动设计/振动控制 振动分析的逆问题 在产品设计中采取必要措施来满足振动要求：避开共振，限制振动响应水平、不发生自激振动 一般仍然转化为振动分析问题来处理：先根据经验选取振系的质量，确定其刚度分布以及是否加装减振装置，再分析其固有特性、振动响应和振动稳定性问题 自由振动 强迫振动 对任意激励的响应1.2 单自由度系统的振动Vibration of Single Degree-of-
13、Freedom System1.2 单自由度系统的振动Vibration of Single Degree-of-Freedom System系统动力学方程的建立方法系统固有频率的计算方法 无阻尼系统自由振动响应的计算 有阻尼系统自由振动响应的计算 有阻尼系统强迫振动响应的计算 四分之一汽车振动模型的分析问题 什么是SDOF 系统？为什么研究SDOF系统？如何建立SDOF系统的振动微分方程？如何求解SDOF系统中的固有频率？如何进行SDOF系统的振动响应分析？什么是SDOF系统?振动过程中，振系的任一瞬间形态由一个独立坐标即可确定的系统。弹簧质量系统扭转摆振系统单摆系统为什么研究SDOF系统？
14、实践意义 为了满足工作性能的要求，某些机械系统只要研究在最低阶自由振动频率附近的振动特性，而且在某一方向的振动决定了该系统工作性能的好坏。为了分析其振动特性以改善机械系统工作性能，近似为SDOF。理论意义 最简单的振系，通过分析SDOF，能够简单明了地阐明振动学的一些基本概念、原理和方法。SDOF系统的微分方程 进行机械振动分析的关键 力学方法：牛顿第二定律，达朗贝尔原理 能量法xfxm&MJ&0 xmfx&0&JM0)(dtUTd具体步骤建立实际系统的力学模型实际系统的离散化 依依 据据 简化的程度取决于系统本身的复杂程度、外界对它的作用简化的程度取决于系统本身的复杂程度、外界对它的作用形式
15、和分析结果的精度要求等形式和分析结果的精度要求等 原原 则则 弹性较小而质量较大的构件弹性较小而质量较大的构件 质量元件质量元件 质量较小而弹性较大的构件质量较小而弹性较大的构件 弹性元件弹性元件 阻尼较大的部分阻尼较大的部分 阻尼元件阻尼元件 质量、弹性和阻尼均布质量、弹性和阻尼均布 质量、弹性、阻尼均有的单元质量、弹性、阻尼均有的单元弹性安装的柴油发电机组 机组质量集中为一个质机组质量集中为一个质量元件，弹性支承简化量元件，弹性支承简化成并联的弹簧和阻尼器。成并联的弹簧和阻尼器。线性系统 线性系统是在一定条件下对非线性系统的近似，微小振幅是线性化的重要前提 线性系统、线性方程满足叠加原理
16、用线性方程代替非线性方程，存在着误差)(sin61623sin振动微分方程的建立 例1.建立单摆作微小振动的运动方程1.建立广义坐标。单摆偏离建立广义坐标。单摆偏离平衡位置的转角平衡位置的转角，坐标零，坐标零位在铅垂位置，逆时针方向位在铅垂位置，逆时针方向为正。为正。2.隔离体受力分析隔离体受力分析 由动量矩原理由动量矩原理0sin2lmgml&sin0lg&是简谐振动吗？是简谐振动吗？振动微分方程的建立 例2 建立系统在铅垂方向振动的微分方程有阻尼单自由度系统 建立广义坐标。取质量元件沿建立广义坐标。取质量元件沿铅垂方向的位移作为广义坐标铅垂方向的位移作为广义坐标x。原点在系统的静平衡位置，
17、向原点在系统的静平衡位置，向下为正。下为正。隔离体受力分析隔离体受力分析 由力学原理得到由力学原理得到 xmtFmgxcxk&)()()(tFkxxcxm&振动微分方程的建立 能量方法 对于保守系统，能量为动能和势能，可以用能量法建立方程 建立广义坐标 写出系统的势能（规定零点）、动能1.2.1 单自由度系统SDOF的自由振动l Free vibration自由振动：只受到初始干扰，依靠系统本身的固有特性进行振动0kxxcxm&l Undamped无阻尼：阻尼c很小，可以不计l Damped 有阻尼：阻尼c不可忽略SDOF无阻尼自由振动分析 坐标原点选在系统的静平衡位置mkxdx mxk(x+
18、dx)mgxkmgdmgxkx)(d)(xkmgxmxd&0 kxxm&0 xmkx&02xxn&02xxn&stCetx)(steCstx2)(&0)(22nstsCe022ns特征方程，频率方程nistitinneCeCtx21)(tbtatiCCtCCtitCtitCnnnnnnnnsincossin)(cos)()sin(cos)sin(cos212121C1和C2 为共轭复数0 xa nxb0&txtxtxnnnsincos)(00&一个静止的系统要发生运动，必须有能量的输入，这种能量在自由振动时就表现为初始位移和初始速度，分别代表施加于系统的势能和动能。txtxtxnnnsinco
19、s)(00&)sin()(tAtxn2020nxxA&001tanxxn&mkn 线性系统自由振动的振幅的大小决定于施加在系统的 初始条件和系统本身的固有频率，与其他因素无关 线性系统自由振动的固有频率只取决于系统的本身参数，与初始条件无关如何求解SDOF系统中的固有频率？l 固有频率完全取决于振动系统的参数1.根据固有频率定义2.由等效质量和等效刚度3.能量法02xxn&eenmkmaxmaxUT振动系统的等效刚度l工程上常把复杂的振动系统进行简化，当作运动坐标上只存在一个质量和弹簧来处理，简化后得到的m和k，分别称为原系统的等效质量me和等效刚度ke。l 刚度k：使系统的某点沿指定方向产生
20、单位位移（线位移或角位移）在该点同方向上所要施加的力（或力矩）组合弹簧系统的等效刚度并联串联21111kkke21kkke从刚度的定义求解等效刚度质量质量m只能沿只能沿x方向移动，斜向方向移动，斜向布置的弹簧与布置的弹簧与x方向成角。方向成角。方向的位移方向的力xxkxecosFFxcosxx小时，与弹簧本身长度相比较当质量位移2coskxFkxxe等效系统的刚度coskFkFx能量法确定等效刚度 当实际系统比较复杂时，按照定义来求等效刚度比较困难，而按实际系统要转化的弹簧的弹性势能与等效系统弹簧势能相等原则来求等效刚度就比较容易221xkUUeea等效质量/转动惯量l 根据实际系统要转化的质
21、量的动能与等效质显动能相等原则确定等效质量eaTTl 汽车悬架中的钢板弹簧、螺旋弹簧的质量在分析时应予以考虑考虑弹簧本身质量的等效质量 在距离固定端x处的微元dx的质量为rdx，该微元的位移为xx/L，速度为vx/L，故其动能为202)3(21)(21xLdxLTLs&22)3(2121xLxmTa&221xmTee&33semmLmmmkLxd等效质量例例4 求图示系统对求图示系统对A点的等效质量点的等效质量 弹簧弹簧-杠杆杠杆-质量系统质量系统 等效前系统的动能 222)4(2122121xmmllxmxmTbabaa&等效后系统的动能 2ee21xmT&bammm4eSDOF有阻尼自由振
22、动l 临界阻尼和阻尼比 damping ratio0kxxcxm&stCetx)(02kcsmststseCeCtx2121)(ncm2mkm2ccccns)1(22,1ttnneCeCtx)1(2)1(122)(0222nnsscharacteristic equation1.SDOF欠阻尼自由振动Underdamped（01）特征方程有两个共轭复根，振动方程的解为：)sin()(tAetxdtn 周期性振动，振幅按照指数规律衰减nd21有阻尼固有频率sinATdnis)1(22,120020)(dnxxxA&000 xxxarctgnd&nd212021122TTndddndininTTt
23、tiieAeAeAA)(1212lnddnT2)2(11d对数衰减率 logarithmic decrement13221iiAAAAAAiiAA11d21sinAtnAe1A3A4A2Ad2212lnddnT2212)/ln(2(11)2(11AAd对数衰减率 logarithmic decrementsinAtnAe1A3A4A2A8.05.05.01）特征方程有两个不等实根:振动方程的解为：ttnneCeCtx)1(2)1(122)(非周期性运动按指数规律衰减ns)1(22,112)1(20201nnxxC&12)1(20202nnxxC&00.20.40.60.811.21.41.61
24、.8200.511.522.533.5过 阻 尼 系 统 自 由 振 动tx =1.05=1.2=1.800.20.40.60.811.21.41.61.82-0.500.511.522.533.5临 界 阻 尼 系 统 的 自 由 振 动tx v0=5m/sv0=0v0=-11m/sv0=-35m/s3.SDOF临界阻尼自由振动Critically damped（1）特征方程有两个相等实根：振动方程的解为：tnetCCtx)()(21 非周期性运动按指数规律衰减ns2,101xC 002xxCn&tnnetxxxtx)()(000&00.511.522.533.54-4-3-2-101234
25、各种阻尼下的单自由度系统自由振动的比较tx 无阻尼低阻尼=0.25临界阻尼=1过阻尼=1.2如图所示的自由振动系统，m=8kg，k=5N/mm，c=0.2N.s/mm，试确定m振动时的位移表达式mkcx系统的临界阻尼系数：系统的阻尼比：msNmkmcnc/4002215.0ccc)sin()(tAetxdtnsradnd/65.2112sradmkn/25)65.21sin()(5.12tAetxt其中振幅 A和相位由初始条件确定质量为2450kg的汽车用四个悬挂弹簧支承在四个车轮上，四个弹簧由于汽车自重引起的静态压缩变形量为15cm。为了能够迅速减少汽车垂直地面方向上的上下振动，在四个支承处
26、均安装了减振器。由实验测得2次振动后振幅减小到了10%。即A1/A3=10。试求：1）振动的对数衰减率2）衰减振动的周期3）若要汽车不振动，减振器的临界阻尼系数N/m16006715.08.92450stemgkdrad/s08.8mken10231AA151.1lnd1）2）212ndT18.01212ds79.03）Ns/m396002mkmcec1.2.2 单自由度振动系统的强迫振动 外部激励作用于系统，弥补阻尼所消耗的能量，维持系统的持续振动 系统在外界激励下响应的求解方法，取决于激励的类型n简谐激励：最基础，揭示振动规律，详细讨论n周期激励：傅立叶级数展开，谐波分析n非周期激励：单位
27、脉冲响应、卷积、拉普拉斯变换)(tfkxxcxm&1.谐波激励响应o 求解二阶常系数非齐次微分方程tFtfsin)(222)2()1(kFX)sin()(1tAetxdtn通解通解特解特解)sin()(2tXtx0)cos(sin()sin(cos)(2tFXtFmkXtFkxxcxmsin 212arctann频率比频率比Frequency ratio放大因子放大因子Magnification factor222)2()1(11.谐波激励响应o 求解二阶常系数非齐次微分方程222)2()1(kFX)sin()(1tAetxdtn通解通解特解特解)sin()(2tXtxtFkxxcxmsin
28、212arctan)sin(sin)cossin(11cossin)sincos()(2000tXttXetxxtxetxddtddndtnn伴随自由振动伴随自由振动)sin()2()1(1)(02222tkFtxo 系统在简谐激励下稳态响应 n 稳态响应也是简谐的，频率与激励频率相同n 振幅和相位不仅与系统特性有关，还与激振力的性质有关；与初始条件无关222)2()1(12sXX1max2Steady-state responsesXkF0)sincos()sin()(0001txxtxetAetxddndtdtnn瞬态响应 transient responseo 幅频和相频响应曲线n低频区
29、：振幅主要由弹簧k控制，相位差近似为0n高频区：振幅主要决定于系统惯性，相位差（隔振、惯性传感器理论基础）n共振区：共振幅度与有关，越小，振幅越大；相位差为/2n振幅在共振点前后相位发生突变，用来判断是否出现共振的依据mkc22.支座简谐运动引起的强迫振动很多情况下系统安装的支承或基础是运动的，引起系统振动典型的例子：汽车行驶在不平路面上产生的振动k/2cxk/2myYsint)()(yxcyxkxm kyyckxxcxm 复指数法tieXxtiYeyitiXeYeicmkickX2)sin(sin)(tXtXtx22222121YX)()()(2231)2(12tan传递率传递率2.支座简谐
30、运动引起的强迫振动k/2cxk/2myYsintggkxxckxxcxm 复指数法tXxggsingXcmkckX22222)()()(kcmkcarctanarctan2tiggeXx)(tiXexgiXickXekicm)()(2223)2(12arctan2222)2()1()2(1gXX)sin()sin(tXtXxg旋转不平衡质量引起的强迫振动机器中转子质心与旋转中心不重合引起的振动旋转机械（发动机、鼓风机、电动机等）中普遍存在emMk/2cxk/20)sin()(22kxxctexdtdmxmM tmekxxcxMsin2 222222220)2()1()2()1(MmekmeX)
31、sin()2()1()(2222tMmetxo 危害：使得机器振动，引起轴承、联轴器等过早损坏o 用途：破碎机、搅拌机在轴上加偏心质量达到破碎和搅拌效果幅频曲线小结 掌握系统动力学方程的建立方法、系统固有频率的计算方法 了解无阻尼系统自由振动响应的计算方法 了解有阻尼系统自由和强迫振动（简谐激励、周期激励、非周期激励）响应的计算方法 了解四分之一汽车振动模型的分析方法作业p62 习题1.1、1.6虚功原理和拉格朗日动力方程 拉格朗日动力方程：从系统的能量和功的角度出发，只考虑三个标量：动能、势能和虚功，考虑的是广义坐标和广义力，而非实际坐标和力。牛顿力学：以坐标和物体受力分析为基础。“矢量力学
32、”，对于复杂的系统，十分繁琐。虚功原理一个外力Fi，在施力点产生一个虚拟位移dri，这个力乘以这个位移即做的功，系统的功为：niiirFW1dd),()(321niiiqqqqrqrrnjjjinniiiiqqrqqrqqrqqrr12211ddddd ninjnijijjiinjjjiniiqQqqrFqqrFW11111)(ddddnjjiiiqrFQ1广义力拉格朗日动力方程 考虑系统运动的，有加速度，对第i个质点来说，其动力学方程为 对这样的动力系统，这一点的虚功可写成：iiirmF 0)(iiiirFrmd njjjinniiiiqqrqqrqqrqqrr12211ddddd0)(11
33、1njjjiinjjjiiinjjjiiiiqqrFqqrrmqqrFrmddd njjiiiqrFQ1injjiiiQqrrm1 拉格朗日动力方程)21()(2rmqqrrmqrrmdtdiiiiiiiii 221iiirmTninjjjijnjjiiniiniiqqrqqrmrmTT111121)(2121iiiiiiiiqTqrrmqTdtd)(niiiiiniiiniiiqTqTdtdqrrm111)(iiiiiQqTqTdtd)(iiiiiiQqUqTqTdtd)(目录 单自由度振动系统 等效刚度、质量、阻尼、外界阻尼 振动微分方程 牛顿第二定律、能量法 单自由度系统的自由振动 无阻
34、尼：固有频率求解 有阻尼：三种不同情况 单自由度系统的强迫振动 简谐激励 一般性周期激励 任意激励：卷积、付氏变换、拉氏变换目录1.概述2.无阻尼自由振动3.能量法4.有阻尼自由振动5.简谐激励下的强迫振动理论及应用 隔振 测振：位移传感器、速度传感器、加速度传感器6.非简谐激励作用下的系统响应 周期 非周期 mkcxF(t)mkLxd1.2.1 单自由度系统的自由振动 理解系统构成与振动运动特征之间的关系 振动系统的基本物理参数 等效的概念1.2.1 单自由度系统的自由振动 无阻尼自由振动运动微分方程1.2.1 单自由度系统的自由振动 有阻尼自由振动运动微分方程1.2.2 单自由度系统的强迫
35、振动 简谐激励：力、位移 一般周期激励：谐波分析、傅立叶级数1.2.3 单自由度系统任意激励 单位脉冲响应：任意非周期激励：杜哈梅积分Duhamels integral 频率响应函数和传递函数：傅立叶积分变换1.3 多自由度振动系统 自由振动微分方程：拉格朗日方程 模态分析1.3.1 多自由度系统振动微分方程 拉格朗日方程 广义坐标1.3.2 实模态分析 主振动 无阻尼实模态分析理论 阻尼实模态分析理论1.3.3 复模态分析1.3.4 实验模态分析1.4 连续系统振动 工具：偏微分方程 一维弹性体振动 梁的横向振动 薄板的横向振动 模态截断法1.4.1 一维弹性体振动 弦的横向振动 杆的纵向振动 杆的扭转振动1.4.2 梁的横向振动 梁弯曲振动 自由振动 振型函数的正交性1.4.3 薄板的横向振动 方程 自由振动 强迫振动1.4.4 模态叠加与截断 方程 自由振动 强迫振动1.5 随机振动分析基础 随机振动特点 相关函数 平稳随机过程 各态历经 功率谱密度函数 线性系统在平稳随机激励下的响应/10/29117.
