1、空间地理信息的分形建模方法与应用1教学目标介绍分形理论的基本概念；介绍分形理论的基本概念；介绍点、线、面地理信息分维的实用计介绍点、线、面地理信息分维的实用计算方法；算方法；通过案例，初步掌握运用分形理论进行通过案例，初步掌握运用分形理论进行地理信息分形建模与应用的基本技能。地理信息分形建模与应用的基本技能。2分形起源：海岸线长度分形起源：海岸线长度问题问题：中国海岸线到底有多长？中国海岸线到底有多长？答案答案：中国自然地理中国自然地理：我国海岸线，北起鸭绿：我国海岸线，北起鸭绿江口，南到北仑河口，长江口，南到北仑河口，长1.81.8万多公里，加上万多公里，加上50005000多个岛屿，海岸线
2、总长多个岛屿，海岸线总长3.23.2万多公里。万多公里。难易程度难易程度：了解分形概念之后，发现问题并不简单。了解分形概念之后，发现问题并不简单。3分形起源：海岸线长度分形起源：海岸线长度海岸线蜿蜒曲折；海岸线蜿蜒曲折；传统观念认为海岸线传统观念认为海岸线长度是个定值；长度是个定值；1967年，美国科学家年，美国科学家曼 德 尔 布 罗 特曼 德 尔 布 罗 特（Mandelbrot）在）在Science发文质疑，发文质疑，挑战传统。挑战传统。Victorias Shipwreck Coast,Australia 4分形起源：英国海岸线长度分形起源：英国海岸线长度Mandelbrot使用不同尺
3、子量测英国大不列颠岛海岸线长度使用不同尺子量测英国大不列颠岛海岸线长度 文献文献：Mandelbrot BB.How long is the coast of Britain?Statistical self-similarity and fractional dimension.Science,1967,156(3775):636638 r=200miler=100miler=50miler=25mile5分形的起源：英国海岸线长度分形的起源：英国海岸线长度 海岸线非常不规则，其长度的精确测量十分困难；海岸线非常不规则，其长度的精确测量十分困难；海岸线长度依赖于测量时所使用的尺子长度；海岸线
4、长度依赖于测量时所使用的尺子长度；用公里作为测量单位来量算海岸线长度，则一些从几米到几用公里作为测量单位来量算海岸线长度，则一些从几米到几十米的海岸线弯曲会被忽略、遗漏；十米的海岸线弯曲会被忽略、遗漏；用米作为测量单位，虽然测量精度会明显提高，但是一些更用米作为测量单位，虽然测量精度会明显提高，但是一些更小的如厘米级的海岸线弯曲还是会被忽略、遗漏；小的如厘米级的海岸线弯曲还是会被忽略、遗漏；用厘米作为测量单位，那么几乎将测量出能够被肉眼看到的用厘米作为测量单位，那么几乎将测量出能够被肉眼看到的所有海岸线弯曲；所有海岸线弯曲；如果把测量海岸线长度的尺子想象成原子直径那样小，这种如果把测量海岸线长
5、度的尺子想象成原子直径那样小，这种情况下海岸线的长度必然庞大无比，其值就是个天文数字。情况下海岸线的长度必然庞大无比，其值就是个天文数字。6分形的起源：英国海岸线长度分形的起源：英国海岸线长度 测量海岸线长度的尺子越小，相应所得海岸线长度越长测量海岸线长度的尺子越小，相应所得海岸线长度越长；传统的长度这一参数并不是海岸线的一个完好量度，它确切传统的长度这一参数并不是海岸线的一个完好量度，它确切地说是一个变量，不是海岸线很好的定量描述参数。地说是一个变量，不是海岸线很好的定量描述参数。7r(mile)NL(mile)2007140010016.2516255040200025962400lgL=
6、-1.2632 lgr+3.7464R2=0.99980.500.700.901.101.301.501.701.902.101.001.502.002.50英国海岸线长度英国海岸线长度L与测量尺子与测量尺子r的关系的关系：lgL=-1.2632lgr+3.7464英国海岸线长度与尺子的关系英国海岸线长度与尺子的关系8分形理论产生的重要意义分形理论产生的重要意义Science上题为上题为英国海岸线究竟有多长？英国海岸线究竟有多长？一文成一文成为具有划时代意义的巨作，成为分形理论诞生的发轫；为具有划时代意义的巨作，成为分形理论诞生的发轫；分形理论成为二十世纪七十年代世界三大科学发现之一；分形理论
7、成为二十世纪七十年代世界三大科学发现之一；已被广泛地应用到包括天文、地理、生物、计算机、哲学已被广泛地应用到包括天文、地理、生物、计算机、哲学等在内的诸多研究领域之中，构成了当代科学前沿的一个等在内的诸多研究领域之中，构成了当代科学前沿的一个被广义地称为被广义地称为“分形学分形学”的学科范围十分广阔、研究成果的学科范围十分广阔、研究成果相当丰硕以及前景诱人的热门研究领域。相当丰硕以及前景诱人的热门研究领域。9什么是分形？什么是分形？集集具有精细结构具有精细结构 不规则性不能用传不规则性不能用传统几何语言描述统几何语言描述 具有统计自相似具有统计自相似 可通过迭代产生可通过迭代产生 不能用通常测
8、度量度不能用通常测度量度 分维一般大于拓扑数分维一般大于拓扑数 分形分形定义定义极极不不规规则则、支支离离破破碎碎的的各各种种形形状状 简单定义简单定义：局部与整体具有相似特征的一个集。：局部与整体具有相似特征的一个集。10分维：分形定量描述参数分维：分形定量描述参数.0维1维2维3维整数维整数维抽象多维空间抽象多维空间n维欧式几何欧式几何病态病态/妖魔妖魔分数维分数维分形几何分形几何11分形对传统几何的发展分形对传统几何的发展传统欧氏几何对于自然界中连绵群山、凹凸地表、蜿蜒江传统欧氏几何对于自然界中连绵群山、凹凸地表、蜿蜒江河、复杂多变云团等的描述无能为力，而正是由于在描述河、复杂多变云团等
9、的描述无能为力，而正是由于在描述这些复杂自然构型方面的无能为力，所以，传统几何将它这些复杂自然构型方面的无能为力，所以，传统几何将它们一概视作们一概视作“病态的病态的”或或“妖魔的妖魔的”的而不予考虑；的而不予考虑；传统欧氏几何中，点与线、线与面、面与体是性质全然不传统欧氏几何中，点与线、线与面、面与体是性质全然不同的几何对象，它们之间界限分明，而分形几何认为点与同的几何对象，它们之间界限分明，而分形几何认为点与线、线与面、面与体之间的界限并不绝对分明（康托集非线、线与面、面与体之间的界限并不绝对分明（康托集非点非线、亦点亦线，谢尔宾斯基地毯非线非面、亦线亦面，点非线、亦点亦线，谢尔宾斯基地毯
10、非线非面、亦线亦面，谢尔宾斯基海绵非面非体、亦面亦体）。谢尔宾斯基海绵非面非体、亦面亦体）。12分形与欧式几何的区别分形与欧式几何的区别欧氏几何欧氏几何 分形分形 时间时间 大于大于2000年年 20世纪世纪60年代以来年代以来尺度尺度 有特征尺度有特征尺度*无特征尺度无特征尺度 形状形状 适合简单的适合简单的人造物体人造物体 适合于大自然界创造的复杂的适合于大自然界创造的复杂的真实物体真实物体 公式公式 用数学公式描述用数学公式描述 用迭代语言描述用迭代语言描述 维数维数 0及正整数及正整数 一般是分数（正整数是特例）一般是分数（正整数是特例）*特征尺度：表示物体几何特征的量，例如圆的半径，
11、其改变不影响圆的几何性质。特征尺度：表示物体几何特征的量，例如圆的半径，其改变不影响圆的几何性质。13典型分形体：柯曲曲线典型分形体：柯曲曲线E0L L0 01 1E1L L1 14/34/3E2L L2 2(4/3)(4/3)2 2柯曲曲线柯曲曲线 L Lk(4/3)(4/3)k k14柯曲曲线生成演示柯曲曲线生成演示15柯曲曲线的性质柯曲曲线的性质考察用规则图形对柯曲曲线的近似。无法用考察用规则图形对柯曲曲线的近似。无法用传统几何中的规则图形去近似。传统几何中的规则图形去近似。考察柯曲曲线的长度考察柯曲曲线的长度 。柯曲曲线长度趋向于。柯曲曲线长度趋向于无穷大，没有长度这一传统特征尺度。无
12、穷大，没有长度这一传统特征尺度。16柯曲曲线的性质柯曲曲线的性质自相似性质。例如：把自相似性质。例如：把0，1/3、1/3，1/2 等部分图形放大等部分图形放大3倍，倍，和原来曲线完全相同；和原来曲线完全相同；精细结构。在任意小的比例下曲精细结构。在任意小的比例下曲线都含有丰富细节，柯曲曲线中线都含有丰富细节，柯曲曲线中60 的夹角始终存在；的夹角始终存在；几何性质难以用传统数学方法描几何性质难以用传统数学方法描述。柯曲曲线虽然处处连续，但述。柯曲曲线虽然处处连续，但是却不可微分，因为它的每一点是却不可微分，因为它的每一点都是尖点，其切线不存在；都是尖点，其切线不存在；长度为无穷大而面积为零；
13、长度为无穷大而面积为零；虽然复杂，但其结构简单，可以虽然复杂，但其结构简单，可以通过单位直线段迭代产生；通过单位直线段迭代产生；其拓扑维是其拓扑维是1，其分维等于，其分维等于1.2618，拓扑维小于其分维。拓扑维小于其分维。17典型分形体：康托集典型分形体：康托集第一章第一章康托康托集集L Lk(2/3)(2/3)k kE0L L0 01 1E1L L1 12/32/3E2L L2 2(2/3)(2/3)2 218第一章第一章E0S S0 0=1=1谢尔宾斯谢尔宾斯基地毯基地毯 S Sk k=(8/9)=(8/9)k k典型分形体：谢尔宾斯基地毯典型分形体：谢尔宾斯基地毯 E2S S2 2=(
14、8/9)=(8/9)2 2E1S S1 1=8/9=8/919分形的地理学意义分形的地理学意义关注不能用通常测度（长度、面积、体积）来表示或描述关注不能用通常测度（长度、面积、体积）来表示或描述的非规则几何体性质；分形与分维更适于描述大自然中真的非规则几何体性质；分形与分维更适于描述大自然中真实、复杂地理对象实、复杂地理对象;用更贴近自然的语言来描绘地理世界，来真实、全面刻画用更贴近自然的语言来描绘地理世界，来真实、全面刻画大自然几何复杂性，并逐渐建立数学语言与现实地理世界大自然几何复杂性，并逐渐建立数学语言与现实地理世界之间的深刻联系之间的深刻联系。Mandelbrot指出：指出：“大自然给
15、数学家们开了一个大大自然给数学家们开了一个大玩笑。玩笑。19世纪数学家未曾想到的自然界并非不存在。数学世纪数学家未曾想到的自然界并非不存在。数学家们为砸乱家们为砸乱19世纪自然主义的桎梏而费尽心机创造出来的世纪自然主义的桎梏而费尽心机创造出来的那些病态结构，原来正是他们周围熟视无睹的东西那些病态结构，原来正是他们周围熟视无睹的东西”。20分形的意义分形的意义整形与分形 规则与不规则 有限与无限 整数维与分数维 分形分形分维分维用贴近自然的语用贴近自然的语言来刻划大自然言来刻划大自然的几何复杂性的几何复杂性探讨地球信息探讨地球信息普适性规律的普适性规律的有力工具有力工具建立数学语言建立数学语言与
16、复杂地球信与复杂地球信息之间更为深息之间更为深刻的联系刻的联系21分维基本计算方法分维基本计算方法假设有一条长度为假设有一条长度为L的线段，如果用长度为的线段，如果用长度为r的的尺子去度量它，并且度量了尺子去度量它，并且度量了N次，它们之间的次，它们之间的关系可换算为：关系可换算为：u假设再有一块面积为假设再有一块面积为S的平面，如果用边长为的平面，如果用边长为r的单位小正方形去度量它，并且度量了的单位小正方形去度量它，并且度量了N次，次，这时它们之间的关系为：这时它们之间的关系为：n假设再有一块体积为假设再有一块体积为V的球，如果用半径为的球，如果用半径为r的的小球去度量它，并且度量了小球去
17、度量它，并且度量了N次，这时它们之次，这时它们之间的关系则为：间的关系则为：分维基本计算公式：分维基本计算公式：1 L/rrN22/rrSN 33/3rrVNDrrN)(式中：式中：r为量度的为量度的“尺子尺子”长度，长度，N为被量度客体的数目，为被量度客体的数目，D为分维。为分维。22典型分形体的分维典型分形体的分维2618.13log4log)/1log()(logrrND6309.03log2log)/1log()(logrrND8928.13log8log)/1log()(logrrND23分维基本计算方法分维基本计算方法365.15log3logaD5.14log8logbD24常用
18、分形建模方法常用分形建模方法:量规法（量规法（Divider method）基本过程使用不同长度的尺子去度量同一段海岸线等线体，海岸线等线体的长度L（r）由尺子长度r和尺子测量的次数N（r）来决定；将各个圆的圆心与线体的交点首尾相连，则得到尺子测量的次数N（r）25常用分形建模方法常用分形建模方法:量规法（量规法（Divider method）L（r）=M r1D lgL（r）=（1D）lgr+C 2630Yellow SeaNorth point of the Yangtze RiverHangzhou Bay1204020South China SeaEastChinaSeaTaiwanI
19、slandOluanpi280km0140LiaotieshanBohai SeaPenglaijiaoYangtze RiverChinaNNanaoIslandHainanIsland 110量规法在中国海岸线长度分形标定中的应用量规法在中国海岸线长度分形标定中的应用中国大陆海岸线中国大陆海岸线中国自然地理中国自然地理：我国海岸线，北起鸭我国海岸线，北起鸭绿江口，南到北仑河绿江口，南到北仑河口，长口，长1.8万多公里，万多公里，加上加上5000多个岛屿，多个岛屿，海岸线总长海岸线总长3.2万多万多公里。公里。27测量标度测量标度/km 测量次数测量次数/N海岸线长度海岸线长度/km差值差值
20、/km12.50528.006600.00标准值标准值25.00239.005975.00-62550.00103.205160.00-1440100.0046.104610.00-1990200.0021.604320.00-2280不同测量标度下中国大陆海岸线长度（不同测量标度下中国大陆海岸线长度（1：250万）万）量规法在中国海岸线长度分形标定中的应用量规法在中国海岸线长度分形标定中的应用文献文献：Zhu Xiaohua，Cai Yunlong，Yang Xiuchun.On Fractal Dimensions of Chinas Coastlines.Mathematical Geo
21、logy，2019，36（4）：447-46128lgL=-0.1597lgr+3.9929R2=0.98613.603.653.703.753.803.851.001.502.002.50lgrlgL中国大陆海岸线长度的分形标定（中国大陆海岸线长度的分形标定（1：250万）万）量规法在中国海岸线长度分形标定中的应用量规法在中国海岸线长度分形标定中的应用29Excel建模过程演示建模过程演示30过程演示动画过程演示动画31长江水系略图长江水系略图黄河水系略图黄河水系略图量规法在中国水系长度分形标定中的应用量规法在中国水系长度分形标定中的应用中国地理教科书中，关于长江：中国地理教科书中，关于长江
22、：“长江发源于我国西南部唐古拉山长江发源于我国西南部唐古拉山主峰各拉丹东雪山，蜿蜒东流注入主峰各拉丹东雪山，蜿蜒东流注入东海，全长东海，全长6300km，为我国最长，为我国最长的河流的河流”。黄河：黄河：“黄河流经九个省区，注黄河流经九个省区，注入渤海，全长入渤海，全长5464km”。32测量标度测量标度/km 测量次数测量次数/N长度长度/km15297.004455.0030141.704251.004593.304198.506067.904074.007552.003900.009042.503825.0010536.103790.5012030.503660.0015022.9035
23、40.00lgL=-0.0993lgr+3.7759R2=0.93953.543.563.583.603.623.643.663.681.001.502.002.50lg rlg L1：300万万量规法在长江长度分形标定中的应用量规法在长江长度分形标定中的应用文献文献：朱晓华，曹云刚.中国长江、黄河水系长度的分形标定.人民长江，2019，37（4）：75-7633量规法在黄河长度分形标定中的应用量规法在黄河长度分形标定中的应用测量标度测量标度/km 测量次数测量次数/N长度长度/km15282.704240.5030134.704041.004588.503982.506064.503870.
24、007549.803735.009040.103609.0010534.003570.0012028.803456.0015022.503375.00lgL=-0.1014lgr+3.7569R2=0.94363.523.543.563.583.603.623.643.661.001.502.002.50lg rlg L1：300万万34常用分形建模方法常用分形建模方法:网格法（网格法（Box counting method）基本过程通过正方形网格长度r与相应覆盖有被测对象的网格数目N（r）之间的系列关系来求得分维r35常用分形建模方法常用分形建模方法:网格法（网格法（Box counting
25、 method）N（r）=M r D lgN（r）=（D）lg r+C 36网格法在中国大陆断层系分维计算中的应用网格法在中国大陆断层系分维计算中的应用304011585活动断层0450km活动不明显断层中国断层系中国断层系37网格法在中国大陆断层系分维计算中的应用网格法在中国大陆断层系分维计算中的应用标度标度/km网格数目（个）网格数目（个）中国大陆活动断层中国大陆活动断层 中国大陆活动不明显断层中国大陆活动不明显断层 208726113674036014438801261143712066070316039441220027028024019820328015015132012212336
26、098100400818350059596004345文献文献：朱晓华.中国断层系分维及其灰色预测研究.地球科学进展，2019，21（5）：496-50338网格法在中国大陆断层系分维计算中的应用网格法在中国大陆断层系分维计算中的应用lgN=-1.5989lgr+6.096R2=0.99781.502.002.503.003.504.004.501.001.502.002.503.00lgrlgN活动断层活动断层lgN=-1.6755lgr+6.2983R2=0.99851.502.002.503.003.504.004.501.001.502.002.503.00lgrlgN活动不明显断层活
27、动不明显断层中国大陆断层系分维计算（中国大陆断层系分维计算（1：400万）万）39N（）=M D 网格法可用于线状，也可用于点状地理信息的分形建模网格法在中国大陆地震分维计算中的应用网格法在中国大陆地震分维计算中的应用40中国大陆地震活动空间分布图中国大陆地震活动空间分布图地震网格法在中国大陆地震分维计算中的应用网格法在中国大陆地震分维计算中的应用41网格法在中国大陆地震分维计算中的应用网格法在中国大陆地震分维计算中的应用标度标度r（km）60120180240300中国大陆中国大陆795337251170121东部季风区东部季风区3011781138058青藏高原区青藏高原区30217396
28、6140西北干旱区西北干旱区17299644636文献文献：朱晓华.地理空间信息的分形与分维.北京：测绘出版社，201942网格法在中国大陆地震分维计算中的应用网格法在中国大陆地震分维计算中的应用lgN=-1.0159lgr+4.3185R2=0.98361.601.701.801.902.002.102.202.302.402.502.601.502.002.503.00lgrlgN东部季风区lgN=-1.2493lgr+4.7585R2=0.971.501.701.902.102.302.502.701.502.002.503.00lgrlgN青藏高原区lgN=-1.1294lgr+4.9
29、061R2=0.99132.002.102.202.302.402.502.602.702.802.903.001.502.002.503.00lgrlgN中国大陆lgN=-0.9772lgr+3.9952R2=0.99281.501.601.701.801.902.002.102.202.301.502.002.503.00lgrlgN西北干旱区中国大陆地震分维计算中国大陆地震分维计算43常用分形建模方法常用分形建模方法:周长面积关系周长面积关系 各土地利用类型在空间上表现为大小不等、位置不同的系列图斑图斑44常用分维计算方法常用分维计算方法:周长面积关系周长面积关系 土地利用图斑信息土地利
30、用图斑信息45中国土地利用图（中国土地利用图（1：400万）万）A P2/DlgA=（2/D）lgP+C 周长周长-面积关系在中国各土类分维计算中的应用面积关系在中国各土类分维计算中的应用46地类地类图斑数（块）图斑数（块）地类地类图斑数（块）图斑数（块）水田水田2 473沙漠沙漠316水浇地水浇地973戈壁戈壁113旱地旱地2 548沼泽沼泽116用材林用材林2 259盐碱地盐碱地110经济林经济林230寒漠寒漠148疏林地疏林地1 198裸露地裸露地1 251灌丛灌丛1 247湖泊水库湖泊水库191草原草地草原草地669主要城市主要城市30丘陵山地草地丘陵山地草地1 475工矿用地工矿用地
31、6冰川永久雪地冰川永久雪地244盐场盐场17中国各地类图斑数（中国各地类图斑数（1：400万数据）万数据）文献文献：朱晓华，蔡运龙.中国土地利用空间分形结构及其机制.地理科学，2019，25（6）：671-677周长周长-面积关系在中国各土类分维计算中的应用面积关系在中国各土类分维计算中的应用47各土地类型系列斑块的周长各土地类型系列斑块的周长-面积分形模型面积分形模型4567891011122.54.56.58.5周长面积水田4567891011122.53.54.55.56.57.5周长面积水浇地456789101112132.54.56.58.5周长面积旱地456789101112132
32、.54.56.58.5周长面积用材林456789102.53.54.55.56.5周长面积经济林45678910112.54.56.58.5周长面积疏林地4567891011122.54.56.58.5周长面积灌丛456789101112132.54.56.58.510.5周长面积草原草地4567891011122.54.56.58.5周长面积丘陵山地456789102.53.54.55.56.5周长面积冰川永久雪地4567891011122.54.56.58.5周长面积沙漠4567891011122.54.56.58.5周长面积戈壁水田水浇地旱地用材林4877.588.599.544.555
33、.56周长面积沼泽66.577.588.599.51010.5114567周长面积盐碱地6789101145678周长面积寒漠678910113.54.55.56.57.5周长面积裸露地66.577.588.599.51010.53.54.55.56.5周长面积水域7.47.67.888.28.48.68.894.44.64.855.25.4周长面积主要城市7.57.67.77.87.988.18.28.38.44.34.44.54.64.74.8周长面积工矿用地7.47.67.888.28.48.68.84.24.44.64.855.2周长面积盐场各土地类型系列斑块的周长各土地类型系列斑块的
34、周长-面积分形模型面积分形模型49地类地类周长面积分形模型周长面积分形模型相关系数相关系数水田水田lg A=1.242 8 lg P+2.143 50.974 2水浇地水浇地lg A=1.281 1 lg P+1.995 30.974 9旱地旱地lg A=1.272 2 lg P+2.020 90.971 3用材林用材林lg A=1.325 3 lg P+1.808 00.974 4经济林经济林lg A=1.263 4 lg P+2.095 00.972 9疏林地疏林地lg A=1.261 0 lg P+2.111 30.969 4灌丛灌丛lg A=1.225 7 lg P+2.277 40.
35、976 0草原草地草原草地lg A=1.086 5 lg P+2.940 70.925 6丘陵山地草地丘陵山地草地lg A=1.254 9 lg P+2.103 10.974 3冰川永久雪地冰川永久雪地lg A=1.358 4 lg P+1.638 10.968 6沙漠沙漠lg A=1.369 3 lg P+1.605 30.967 6戈壁戈壁lg A=1.315 9 lg P+1.914 30.978 0沼泽沼泽lg A=1.227 2 lg P+2.248 80.965 7盐碱地盐碱地lg A=1.296 6 lg P+1.987 70.973 0寒漠寒漠lg A=1.169 9 lg P
36、+2.579 60.979 4裸露地裸露地lg A=1.201 1 lg P+2.423 10.971 7水域水域lg A=1.491 8 lg P+1.015 10.956 5主要城市主要城市lg A=1.114 8 lg P+2.961 70.680 1工矿用地工矿用地lg A=1.726 9 lg P+0.049 30.983 1盐场盐场lg A=1.801 1 lg P+0.398 50.887 7全部图斑全部图斑lg A=1.260 1 lg P+2.097 90.949 6各土地类型系列斑块的周长各土地类型系列斑块的周长-面积分形模型面积分形模型50分形地理研究现状分形地理研究现状
37、分形地学研究还处于发展阶段，地理现象分形性分形地学研究还处于发展阶段，地理现象分形性质的揭示、分维测算仍是当前质的揭示、分维测算仍是当前“分形地学分形地学”的主的主要任务；要任务；大多研究只关注单一尺度下地理对象的分形特征，大多研究只关注单一尺度下地理对象的分形特征，多尺度下的多分形特征研究尚未充分开展；多尺度下的多分形特征研究尚未充分开展；集中在对地理对象几何性质的关注，对于分形丰集中在对地理对象几何性质的关注，对于分形丰富的地学、生态学等内涵仍待发掘；富的地学、生态学等内涵仍待发掘；虽是当代非线性科学的重要分支之一，但是同传虽是当代非线性科学的重要分支之一，但是同传统数学比较而言，还有许多
38、待完善的地方，仍在统数学比较而言，还有许多待完善的地方，仍在引起争论。引起争论。51分形启示分形启示点、线、面等空间地理信息可以构建分形模型，点、线、面等空间地理信息可以构建分形模型，在地理创新研究过程中值得关注；在地理创新研究过程中值得关注；空间地理信息的分形模型表明：复杂地理信息中空间地理信息的分形模型表明：复杂地理信息中客观存在客观存在幂律关系幂律关系；由此揭示出：；由此揭示出：表面复杂的地理表面复杂的地理现象可能有着十分简单的内在机制现象可能有着十分简单的内在机制。52分形有用还是没用？分形有用还是没用？加拿大学者加拿大学者Kaye 指出：指出：“有时，人们会发现有时，人们会发现把系统
39、传统的描述转换成分形描述并没有本把系统传统的描述转换成分形描述并没有本质上的优越性。不过，在这种情况下，探索质上的优越性。不过，在这种情况下，探索用另一种方式描述某一体系所引发的智力上用另一种方式描述某一体系所引发的智力上的促进也是极为宝贵的经历，即使最终证明的促进也是极为宝贵的经历，即使最终证明分形几何对于描述这一体系并没有太大的助分形几何对于描述这一体系并没有太大的助益。抛开其他暂且不谈，益。抛开其他暂且不谈，从分形的角，从分形的角度去看待问题是充满乐趣的。度去看待问题是充满乐趣的。”文献文献：Bak P.How nature works.Copernicus Press,New York,2019
