1、10.2 无界函数的反常积分无界函数的反常积分2022年年12月月16日星期五日星期五1 本节讨论把定积分概念在另一个本节讨论把定积分概念在另一个方面进行拓广方面进行拓广,即假定积分区间即假定积分区间 仍为有限仍为有限,但被积函数在区间但被积函数在区间 上上是是无界无界的的.这种情况下的积分称为无界这种情况下的积分称为无界函数的反常积分函数的反常积分(瑕积分瑕积分).ba,ba,引言引言10.2 无界函数的反常积分无界函数的反常积分2022年年12月月16日星期五日星期五2一、无界函数的广义积分一、无界函数的广义积分概念概念二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分性质性质三、无界函数的广义
2、积分三、无界函数的广义积分收敛收敛 判别法判别法四、无界函数的广义积分四、无界函数的广义积分主值主值主要内容主要内容10.2 无界函数的反常积分无界函数的反常积分2022年年12月月16日星期五日星期五31.定义定义:设函数 f(x)在区间(a,b上连续,badxxf)(lim0存在,则称此极限为函数 f(x)在(a,b上的广义积分广义积分.即仍然记作,)(badxxfbabadxxfdxxf)(lim)(0这时也称广义积分 收敛收敛.badxxf)(badxxf)(一一.无界函数反常积分无界函数反常积分(瑕积分瑕积分)的概念的概念注意区间左端点而在点 a 的右邻域内无界无界,取 0.如果极限
3、如果上述极限不存在,就称广义积分发散发散.10.2 无界函数的反常积分无界函数的反常积分2022年年12月月16日星期五日星期五4.f xab同理，可定义函数（）在，上的反常积分2.定义定义:设函数 f(x)在区间 上连续,存在,则称此极限为函数 f(x)在 上的广义积分广义积分.ba,+0lim()baf x dxba,以上定义中的以上定义中的a，b称为函数称为函数 的的奇点奇点或或瑕点瑕点.)(xf)(xfba,注意区间右端点注意区间右端点而在点 b的左邻域内无界无界,取 0.如果极限 （即函数（即函数 在区间在区间 上的不连续点）上的不连续点）10.2 无界函数的反常积分无界函数的反常积
4、分2022年年12月月16日星期五日星期五5 若若 在在 内部有一个内部有一个奇点奇点c，acb,()()cbacf x dxf x dx和()baf x dx)(xfba,()()()bcbaacf x dxf x dxf x dxlimlim.bcbaacf x dxf x dxf x dx即（）（）（）00(0)与 各自独立的3.定义定义:奇点在区间内部奇点在区间内部ac，cb，则则 收敛收敛,且有且有且且 都收敛都收敛,10.2 无界函数的反常积分无界函数的反常积分2022年年12月月16日星期五日星期五6例例1:0.bpadxpxa讨论积分（）的收敛性（）解解:0.pxa当时，是积函
5、数的奇点被时，当1p11|1bp bapadxx ax ap（）（）+0lim()bpadxx a11(),11,1pb appp111.1ppbap（）10.2 无界函数的反常积分无界函数的反常积分2022年年12月月16日星期五日星期五7ln()|bbaadxxaxa,1时当p111,();11,ppb app时积分收敛于时积分发散.所以所以ln()lnba(0).10.2 无界函数的反常积分无界函数的反常积分2022年年12月月16日星期五日星期五8.bpadxbx对于积分的收敛性也有相仿）的结论（0),bpqadxpqxabx（，（）（并且由此可得）积分.,1,1其他情形都发散时收敛只
6、有当qp例例2：.1102的敛散性讨论积分 xdx解：解：积分是瑕积分，是被积函数的奇点，此1x11020arcsin1dxxx0limarcsin 1.2（）10.2 无界函数的反常积分无界函数的反常积分2022年年12月月16日星期五日星期五9二二.无界函数反常积分无界函数反常积分(瑕积分瑕积分)的性质的性质 和无穷积分相仿，瑕积分也有定积和无穷积分相仿，瑕积分也有定积分具有的性质分具有的性质,包括包括分部分部积分法和积分法和换元换元法法对于瑕积分也成立对于瑕积分也成立.瑕积分同样可以引进瑕积分同样可以引进绝对收敛绝对收敛和和条条件收敛件收敛的概念，的概念，并且也有：绝对收敛必收敛，并且也
7、有：绝对收敛必收敛，但反之未必但反之未必.10.2 无界函数的反常积分无界函数的反常积分2022年年12月月16日星期五日星期五10性质性质12()()bbaafx dxfx dx则当瑕积分与都收敛时1 122()(),bak f xk fx dx瑕积分也收敛 且b1 12 21122()()()().bbaaak f xk f x dx kf x dx kf x dx1212xx,ffxak k若（）与（）的瑕点同为，为任意常数10.2 无界函数的反常积分无界函数的反常积分2022年年12月月16日星期五日星期五11(,)bfxaa若 的瑕点为为，c任意常数c()(),abaff xxdxd
8、x则瑕积分与同敛态 且()().(cabbacf x dxf x dxf x dx性质性质2（瑕积分）（瑕积分）（定积分）（定积分）10.2 无界函数的反常积分无界函数的反常积分2022年年12月月16日星期五日星期五12性质性质,u b 上可积.(),afx dxb必 收 敛 且()().bbaafx dxfx dx(,fxafa b若 函 数的 瑕 点 为，在的 任 一 内 闭 区 间()bafx dx则当收敛时，bufx dx.即（）存在10.2 无界函数的反常积分无界函数的反常积分2022年年12月月16日星期五日星期五13注注:().)bbaaf x dxf x dx当收绝敛时 称为
9、对收敛,性质说明绝对收敛的积分自身一定收敛性质说明绝对收敛的积分自身一定收敛 我们称收敛而不绝对收敛的积分为我们称收敛而不绝对收敛的积分为条件收敛条件收敛（这里的结论与级数中有关结论相似注意比较）（这里的结论与级数中有关结论相似注意比较）但自身收敛的积分不一定绝对收敛但自身收敛的积分不一定绝对收敛10.2 无界函数的反常积分无界函数的反常积分2022年年12月月16日星期五日星期五14性质性质4(柯西收敛原理柯西收敛原理)收敛）（有奇点，）在（若badxxfaxxf,0,0,0时当.aadxxf）（总有等价叙述为：等价叙述为：():baf x dx a瑕积分为瑕点 收敛的充要条件是120,0,
10、uua a只要便有.)(21uudxxf10.2 无界函数的反常积分无界函数的反常积分2022年年12月月16日星期五日星期五15柯西判别法柯西判别法lim()().pxaxaf xk设1(),1();()bpaf xpf x dxxa若且0 则收敛,1(),1()()bpaf xpf x dxxa若,则发散.极限形式极限形式(),1,();baikpf x dx若0+收敛则()0,1,(),().baiikpf xf x dx在 a b 不变号则发散,(),xaf x设是的奇点这里关键是记清楚条件中的这里关键是记清楚条件中的p p、k k关系问题关系问题.10.2 无界函数的反常积分无界函数
11、的反常积分2022年年12月月16日星期五日星期五16无穷积分与瑕积分的联系：无穷积分与瑕积分的联系：）的奇点，（是中）（设xfaxdxxfba1yxa作变换，121bab af ayf xdxdyy（）（），则瑕积分无穷积分无穷积分两种积分的关系通过上述等式就联系起来了两种积分的关系通过上述等式就联系起来了.10.2 无界函数的反常积分无界函数的反常积分2022年年12月月16日星期五日星期五17例例3：.ln10的收敛性讨论dxxx解：解：,0是被积函数的瑕点x340lnlim(0)xxxx因为a=,1,30，k=0,由柯西判别法极限形式 这里p=4.ln10收敛所以瑕积分dxxx140l
12、imln0,xxx10.2 无界函数的反常积分无界函数的反常积分2022年年12月月16日星期五日星期五18)0(:4022axadxa计算广义积分例2201lim:xaax因为解所以,x=a为被积函数的无穷间断点.于是:aaxadxxadx0220022lim 21arcsinoyx a-a1221xay加加a-+00=limxarcsinaa-+00=lima-arcsin-0a10.2 无界函数的反常积分无界函数的反常积分2022年年12月月16日星期五日星期五19.:5112的收敛性讨论广义积分例xdx由于01200121lim 1dxxdxx101limx)11(lim0112012
13、.,发散所以广义积分发散即广义积分xdxxdx解：解：，被积函数奇点为0 x加加1201dxx（不需计算即可判断）作业作业:P 70 1、2（1、3、5、7）10.2 无界函数的反常积分无界函数的反常积分2022年年12月月16日星期五日星期五20三三.瑕积分收敛的判别法瑕积分收敛的判别法*1.阿贝尔判别法阿贝尔判别法badxxfaxxf;)().1(,)(收敛若有奇点在设,)().2(单调有界xg.)()(收敛则积分badxxgxf（记清条件和结论会用）（记清条件和结论会用）10.2 无界函数的反常积分无界函数的反常积分2022年年12月月16日星期五日星期五21*2.狄利克雷判别法狄利克雷
14、判别法(),f xxa设在有奇点(1).();baf x dx若是 的有界函数,0)(lim)(.2xgxgax单调且）（.)()(收敛则积分badxxgxf（记清条件和结论会用）（记清条件和结论会用）10.2 无界函数的反常积分无界函数的反常积分2022年年12月月16日星期五日星期五22101sin.xdxx判别广义积分的收敛性解解也收敛也收敛从而从而dxxx 101sin11sin1,dxxxxx而收敛，收敛，收敛，dxxx 101sin根据比较判别法根据比较判别法,加加10.2 无界函数的反常积分无界函数的反常积分2022年年12月月16日星期五日星期五23.ln31的的收收敛敛性性判
15、判别别广广义义积积分分 xdx解解的左邻域内无界的左邻域内无界被积函数在点被积函数在点1 x由洛必达法则知由洛必达法则知xxxxx11limln1)1(lim0101 ,01 根据柯西判别法极限形式根据柯西判别法极限形式,所给广义积分发散所给广义积分发散.a=1这里这里 k=1，p=1加加10.2 无界函数的反常积分无界函数的反常积分2022年年12月月16日星期五日星期五24四四.广义积分（无穷积分广义积分（无穷积分.瑕积分瑕积分)的主值的主值1.瑕积分的柯西主值瑕积分的柯西主值:),bcacbaxf是唯一奇点（内无界，）在（设存在，）（）（若cabcdxxfdxxf0lim是同一个正数）中
16、的与（注意：cc.baf xdx则称此极限值为瑕积分（的柯西主值）0.()limbcbaacPVf x dxf x dxf x dx（）（）记作10.2 无界函数的反常积分无界函数的反常积分2022年年12月月16日星期五日星期五252.无穷积分的柯西主值无穷积分的柯西主值:.()limAAAPVf x dxf xdx（）例例6：.,的主值求设bacxdxbca解：解：0.limbcbaacdxdxdxPVxcxcxcbccacxxc)ln()ln(lim0.lnaccb作业作业:P 71 4（2、4、5）6（1、2）10.2 无界函数的反常积分无界函数的反常积分2022年年12月月16日星期
17、五日星期五26)0()(01 sdxxessx定义定义特点特点:1.积分区间为无穷积分区间为无穷;.001.2右领域内无界右领域内无界的的时被积函数在点时被积函数在点当当 xs,1121011 dxxeIdxxeIsxsx设设;,1)1(1是常义积分是常义积分时时当当Is ,10时时当当 s 函 数10.2 无界函数的反常积分无界函数的反常积分2022年年12月月16日星期五日星期五27,111111sxssxxexxe .,2,111收收敛敛根根据据比比较较审审敛敛法法而而Is ,0lim)(lim)2(112 xsxsxxexxex.,12也也收收敛敛根根据据极极限限审审敛敛法法I.0)2
18、(),1(01均收敛均收敛对对知知由由 sdxxesxs)(s o10.2 无界函数的反常积分无界函数的反常积分2022年年12月月16日星期五日星期五28 函数的几个重要性质：函数的几个重要性质：).0()()1(ssss递推公式递推公式.)(0 ss时，时，当当).10(sin)1()(3 ssss余元公式余元公式.2)()(0122012 duuesuxdxxessusx有有，中，作代换中，作代换在在 10.2 无界函数的反常积分无界函数的反常积分2022年年12月月16日星期五日星期五29小结小结一一.瑕积分的性质瑕积分的性质二二.暇积分收敛的判别法暇积分收敛的判别法.柯西准则柯西准则.比较原则比较原则.柯西判别法柯西判别法.狄利克雷判别法狄利克雷判别法.阿贝尔判别法阿贝尔判别法作业作业P70:
