1、.纯弯曲纯弯曲 梁的横截面上只有弯矩而无梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲（横截面上只有正应剪力的弯曲（横截面上只有正应力而无剪应力的弯曲）。力而无剪应力的弯曲）。2.2.横力弯曲（剪切弯曲）横力弯曲（剪切弯曲）aaFBAFMxFaFsxFF 梁的横截面上既有弯矩又有梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲（横截面上既有正应剪力的弯曲（横截面上既有正应力又有剪应力的弯曲）。力又有剪应力的弯曲）。一、一、纯弯曲和横力弯曲的概念纯弯曲和横力弯曲的概念11.1 纯弯曲时纯弯曲时梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力二二、纯弯曲梁横截面上的正应力公式、纯弯曲梁横截面上的正应力公式1)1)观察实验：观察实验：a
2、bcdabcdMM2)2)变形规律：变形规律：横向线横向线：仍为直线，只是：仍为直线，只是相对转动了一个角度且仍相对转动了一个角度且仍与纵向线正交。与纵向线正交。纵向线纵向线：由直线变为曲线，：由直线变为曲线，且靠近上部的纤维缩短，且靠近上部的纤维缩短，靠近下部的纤维伸长。靠近下部的纤维伸长。1 1、几何变形关系：、几何变形关系：3)3)假设：假设：弯曲平面假设：弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平面，梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转动且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转动了一个角度。了一个角度。abcdab
3、cdMM纵向纤维假设：纵向纤维假设：梁是由许梁是由许多纵向纤维组成的，且各多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。纵向纤维之间无挤压。凹入一侧纤维缩短凹入一侧纤维缩短突出一侧纤维伸长突出一侧纤维伸长凹入一侧纤维缩短凹入一侧纤维缩短突出一侧纤维伸长突出一侧纤维伸长 根据变形的连续性可知，根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变必有一层纵向无长度改变的过渡层的过渡层-称为称为中中性层性层。中间层与横截面中间层与横截面的交线的交线中性轴中性轴 梁的弯曲变形实际上是
4、各截面绕各自的中性轴转梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。Aabcdyxd A4 4）线应变的变化规律：）线应变的变化规律：ydxyoo1在弹性范围内，在弹性范围内，ABABBA111111OOOOBAdddy)(yE（二）物理关系：（二）物理关系：由纵向线应变的变化规律由纵向线应变的变化规律 正应力的分布规律。正应力的分布规律。EyEabcd EyE应力的分布图：应力的分布图：MZymaxmax中性轴的位置？中性轴的位置？中中性性层层的的曲曲率率 1为梁弯曲变形后的曲率为梁弯曲变形后的曲率1yx
5、MZANdAF)1(00zzAASSEydAEdAyE（中性轴（中性轴Z轴为形心轴）轴为形心轴）AydAzM)2(00yzyzAAIIEyzdAEzdAyE（y轴为对称轴，自然满足轴为对称轴，自然满足）AAzdAyM)3(MIEdAyEydAyEzAA2弯曲变形计算的基本公式弯曲变形计算的基本公式Z1EIM（三）、静力方面：（三）、静力方面：由横截面上的弯矩和由横截面上的弯矩和正应力的关系正应力的关系正应力正应力的计算公式。的计算公式。ZyzIMy弯曲正应力计算公式。弯曲正应力计算公式。弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。当当M 0时，下拉上压；
6、时，下拉上压；当当M 5（细长梁细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。力弯曲近似成立。弯曲正应力公式弯曲正应力公式ZIMy可推广应用于横力弯曲和小曲率梁可推广应用于横力弯曲和小曲率梁1m2mBA截面关于中性轴对称截面关于中性轴对称zctWMmaxmaxmax截面关于中性轴不对称截面关于中性轴不对称(最大拉应力、最大压应力可能发生在不同的截面内最大拉应力、最大压应力可能发生在不同的截面内)ZmaxmaxmaxIyM横力弯曲梁上的最大正应力横力弯曲梁上的最大正应力BAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120K1.1.C 截面上截面上K点正应力点正
7、应力2.2.C 截面上截面上最大最大正应力正应力3.3.全梁全梁上上最大最大正应力正应力4.4.已知已知E=200GPa，C 截面的曲率半径截面的曲率半径 FSx90kN90kNmkN605.0160190CM1.求支反力求支反力kN90AyFkN90ByF4533Zm10832.51218.012.012bhIMPa7.61Pa107.6110832.510)302180(10606533ZKCKIyM（压应力）（压应力）解：解：m67.5kN8/2qlx M2.C 截面上截面上K点正应力点正应力例例1、BAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120K FSx90kN90kN3.C
8、 截面最大正应力截面最大正应力C 截面弯矩mkN60CM45Zm10832.5IMPa55.92Pa1055.9210832.510218010606533ZmaxmaxIyMCCm67.5kN8/2qlx MBAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120K FSx90kN90kN4.全梁最大正应力全梁最大正应力最大弯矩最大弯矩mkN5.67maxM45m10832.5zIMPa17.104Pa1017.10410832.5102180105.676533ZmaxmaxmaxIyMm67.5kN8/2qlx MBAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120K FSx90kN
9、90kN5.C 截面曲率半径截面曲率半径C 截面弯矩截面弯矩mkN60CM45Zm10832.5Im4.194106010832.510200359CZCMEIEIM1m67.5kN8/2qlx M例例2：求图示悬臂梁的最大、压应力。已知：,/6,1mkNqml10槽钢槽钢q解：解：1）画弯矩图）画弯矩图kNmqlM35.0|2max2）查型钢表：）查型钢表：cmycmIcmbz52.1,6.25,8.414cmy28.352.18.423）求应力）求应力：1maxyIMzt6106.2552.13000MPa1782maxyIMzc6106.2528.33000MPa384MPaMPact3
10、84,178maxmaxbz1yy2ycmaxtmaxbz1yy2yM二、梁的正应力强度条件二、梁的正应力强度条件材料的许用弯曲正应力材料的许用弯曲正应力 max zWMmax中性轴为横截面对称轴的等直梁中性轴为横截面对称轴的等直梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁tmaxtcmaxcOzyytmaxycmax弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件 max zWMmaxmax 1 1、强度校核、强度校核 2 2、设计截面尺寸、设计截面尺寸 3 3、确定外荷载、确定外荷载 max；max MWz ;max zWM tmaxmaxmax zttIyMcm
11、axmaxmax zccIyM解：1)求约束反力求约束反力.5.10,5.2kNFkNFBYAY)(5.2下下拉拉、上上压压kNmMC（上上拉拉、下下压压）kNmMB4 例例3、T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的 t=30 M Pa，c=60 M Pa.其截面形心位于其截面形心位于C点，点，y1=52mm，y2=88mm，I z=763cm4，试校核此梁的强度。，试校核此梁的强度。y 2y 1C Cz1m1m1mABCD2.5kNm-4k N m2 2）画弯矩图）画弯矩图AyFByFxkNF91kNF423 3）求应力）求应力B截面截面（上拉下压）（上拉下压）
12、MC截面截面（下拉上压）（下拉上压）zCCtIyM2maxC截面截面（下拉上压）（下拉上压）:y 2y 1C Cz1m1m1mABCDF 2=4kNF 1=9kN tt2.28maxcc2.46maxMPa2.281076310885.246zCCIyMc1maxMPa04.174)4)强度校核强度校核A1A2A3A446.2MPa27.2MPa28.2MPaB截面截面（上拉下压）（上拉下压）:,2.271076310524461maxMPaIyMzBBtMPaIyMzBBc2.461076310884462max最大拉、压应力不在同一截面上最大拉、压应力不在同一截面上2.5kNm-4k N
13、mxM17.04MPaA1A2y 2y 1C CzA3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa结论结论对对Z轴对称截面的弯曲梁，只计算轴对称截面的弯曲梁，只计算一个截面一个截面：对对Z轴不对称截面的弯曲梁，必须计算轴不对称截面的弯曲梁，必须计算两个截面两个截面：maxMmaxmax;MM17.04MPazybh11.3 弯曲切应力简介弯曲切应力简介一、一、矩形截面梁横截面上的切应力矩形截面梁横截面上的切应力1 1、假设：、假设：横截面上各点的切应力方向与剪力的方向相同。横截面上各点的切应力方向与剪力的方向相同。切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴
14、等距离的各点切应力大小相等）。点切应力大小相等）。2 2、公式及强度条件、公式及强度条件xd x图图ayFs横截面上任一点的切应力计算公式横截面上任一点的切应力计算公式bISFzzszybh bISFzzs强度条件：强度条件：注意注意：Fs 为横截面的剪力；为横截面的剪力；Iz 为整个横截面对为整个横截面对 z 轴的惯性矩；轴的惯性矩；b 为所求点对应位置截面的宽度；为所求点对应位置截面的宽度；为所求点对应位置以外的面积对为所求点对应位置以外的面积对Z轴的静矩。轴的静矩。*zS5.123maxAFs)4(222yhIFzs矩3 3、矩形截面剪应力的分布：、矩形截面剪应力的分布：)4(2)2(2
15、222yhbyhbyhAyScz bISFzzs zyhbBsF)2(*yhbA*cymaxsF11 沿截面高度按二次抛物线规律变化；沿截面高度按二次抛物线规律变化；(2)同一横截面上的最大切应力同一横截面上的最大切应力 max在中性轴处在中性轴处(y=0)；(3)上下边缘处上下边缘处（y=h/2)，切应力为零切应力为零。二、提高梁承载能力的措施二、提高梁承载能力的措施 zWMmaxmax bISQzzmaxmaxmax1、合理安排梁的受力，减小弯矩。、合理安排梁的受力，减小弯矩。ABq=F/LMmax=FL/8q=F/LMmax=FL/400.2L0.2LFABL/2L/2Mmax=PL/4
16、F/2Mmax=FL/8L/4L/4F/2F合理截面形状应该是截面面积合理截面形状应该是截面面积A A较小，而抗弯截面模量大的截面。较小，而抗弯截面模量大的截面。2、合理安排梁的截面，提高抗弯截面模量。、合理安排梁的截面，提高抗弯截面模量。,121bhWWzz竖放比横放要好。竖放比横放要好。1）放置方式）放置方式：62bhWZ左62hbWZ右2）抗弯截面模量）抗弯截面模量/截面面积截面面积AWz截面形状截面形状 圆形圆形矩形矩形槽钢槽钢工字钢工字钢d125.0h167.0h)31.027.0(h)31.027.0(Z3 3）根据材料特性选择截面形状）根据材料特性选择截面形状 对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：轴靠近上端。如下图：采用变截面梁，如右图：PX )()()(maxxWxMx bxMxh)(6)(若为等宽度矩形截面，则高为若为等宽度矩形截面，则高为 b5.1)(,bh(x)Fs1.5=maxFsxh 同时同时3、设计等强度梁。、设计等强度梁。
