1、2.4.2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质标准方程标准方程y y2 2=2px=2px(p0)(p0)y y2 2=-2px=-2px(p0)(p0)x x2 2=2py=2py(p0)(p0)x x2 2=-2py=-2py(p0)(p0)图象图象标准方程标准方程y y2 2=2px=2px(p0)(p0)y y2 2=-2px=-2px(p0)(p0)x x2 2=2py=2py(p0)(p0)x x2 2=-2py=-2py(p0)(p0)性性质质范围范围_对称轴对称轴_轴轴_轴轴顶点顶点_焦点焦点_准线准线_离心率离心率e=_e=
2、_x0,yRx0,yRx0,yRx0,yRxR,y0 xR,y0 xR,y0 xR,y0 x xy yO(0,0)O(0,0)pF(,0)2pF(,0)2pF(0,)2pF(0,)2px2 px2py2 py21 1判断判断:(:(正确的打正确的打“”,”,错误的打错误的打“”)”)(1)(1)抛物线的图象关于点抛物线的图象关于点(0,0)(0,0)对称对称.(.()(2)(2)抛物线没有渐近线抛物线没有渐近线.(.()(3)(3)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p.(p.()提示提示:(1)(1)错误错误.抛物线没有对称中心抛物线没有对称中心,它的图象
3、不关于点它的图象不关于点(0,0)(0,0)对称对称,因为因为y y2 2=2px=2px中中,同时把同时把x,yx,y换成换成-x,-y-x,-y,方程发生了变化方程发生了变化.(2)(2)正确正确.渐近线是圆锥曲线中双曲线的特有性质渐近线是圆锥曲线中双曲线的特有性质,抛物线没有抛物线没有渐近线渐近线.(3)(3)错误错误.把把x=x=代入代入y y2 2=2px(p0)=2px(p0)得得y=y=p,p,所以过焦点且垂所以过焦点且垂直于对称轴的弦长是直于对称轴的弦长是2p.2p.答案答案:(1)(1)(2)(2)(3)(3)p2【知识点拨【知识点拨】1.1.在标准方程形式下抛物线的性质与椭
4、圆、双曲线的比较在标准方程形式下抛物线的性质与椭圆、双曲线的比较椭圆椭圆双曲线双曲线抛物线抛物线对称轴对称轴x x轴和轴和y y轴轴x x轴或轴或y y轴轴对称中心对称中心(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)无无顶点顶点4 4个个2 2个个1 1个个(0,0)(0,0)焦点焦点2 2个个2 2个个1 1个个准线准线不研究不研究不研究不研究1 1条条渐近线渐近线无无2 2条条无无离心率离心率e(0,1)e(0,1)e(1,+)e(1,+)e=1e=12.2.参数参数p(pp(p0)0)对抛物线开口大小的影响对抛物线开口大小的影响因为过抛物线的焦点因为过抛物线的焦点F F且垂直于对称轴的弦的长
5、度是且垂直于对称轴的弦的长度是2p,2p,所以所以p p越大越大,开口越大开口越大.3.3.抛物线的图象具有的特征抛物线的图象具有的特征抛物线是轴对称图形抛物线是轴对称图形,其焦点其焦点F F和准线与对称轴的交点关于原和准线与对称轴的交点关于原点点O O对称对称,即若准线与对称轴的交点为即若准线与对称轴的交点为M,M,则则O O为为MFMF的中点的中点.4.4.点点P(xP(x0 0,y,y0 0)与抛物线与抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的位置关系的位置关系(1)P(x(1)P(x0 0,y,y0 0)在抛物线在抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)内部内部y
6、y0 02 22px0)=2px(p0)上上y y0 02 2=2px=2px0 0.(3)P(x(3)P(x0 0,y,y0 0)在抛物线在抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)外部外部y y0 02 22px2px0 0.类型类型 一一 焦半径和焦点弦问题焦半径和焦点弦问题 【典型例题【典型例题】1.(20131.(2013鹤岗高二检测鹤岗高二检测)抛物线抛物线y y2 2=8x=8x上一点上一点P P到到y y轴的距离是轴的距离是4,4,则点则点P P到该抛物线焦点的距离是到该抛物线焦点的距离是()A.4A.4B.6B.6C.8C.8D.12D.122.(20132.(201
7、3大理高二检测大理高二检测)若抛物线若抛物线y y2 2=-2px(p0)=-2px(p0)上有一点上有一点M,M,其横坐标为其横坐标为-9,-9,它到焦点的距离为它到焦点的距离为10,10,求抛物线方程和求抛物线方程和M M点的坐点的坐标标.【解题探究【解题探究】1.1.抛物线抛物线y y2 2=8x=8x的焦点坐标是什么的焦点坐标是什么?准线方程呢准线方程呢?2.2.抛物线上的点具有什么性质抛物线上的点具有什么性质?探究提示探究提示:1.1.焦点坐标为焦点坐标为(2,0),(2,0),准线方程为准线方程为x=-2.x=-2.2.2.抛物线上的点具有两点性质抛物线上的点具有两点性质:点的坐标
8、适合方程点的坐标适合方程;点满点满足定义条件足定义条件,即点即点P P到焦点的距离等于到准线的距离到焦点的距离等于到准线的距离.【解析【解析】1.1.选选B.B.抛物线抛物线y y2 2=8x=8x的准线是的准线是x=-2,x=-2,由条件知由条件知P P到到y y轴轴距离为距离为4,4,点点P P的横坐标的横坐标x xP P=4.=4.根据焦半径公式可得根据焦半径公式可得|PF|=4+2=6.|PF|=4+2=6.2.2.由抛物线定义知焦点坐标为由抛物线定义知焦点坐标为F(-,0),F(-,0),准线方程为准线方程为x=,x=,由题意设由题意设M M到准线的距离为到准线的距离为|MN|,|M
9、N|,则则|MN|=|MF|=10,|MN|=|MF|=10,即即 -(-9)=10,-(-9)=10,p=2,p=2,故抛物线方程为故抛物线方程为y y2 2=-4x,=-4x,将将M(-9,y)M(-9,y)代入代入y y2 2=-4x,=-4x,解得解得y=y=6,6,M(-9,6)M(-9,6)或或M(-9,-6).M(-9,-6).p2p2p2【拓展提升【拓展提升】1.1.抛物线的焦半径抛物线的焦半径(1)(1)抛物线的焦半径是指抛物线上任意一点与抛物线焦点为端抛物线的焦半径是指抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段点的线段.(2)(2)抛物线的焦半径公式抛物线的焦半径公式:抛物线
10、抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)|PF|=|x|PF|=|x0 0+|=+x+|=+x0 0抛物线抛物线y y2 2=-2px(p0)=-2px(p0)|PF|=|x|PF|=|x0 0-|=-x-|=-x0 0抛物线抛物线x x2 2=2py(p0)=2py(p0)|PF|=|y|PF|=|y0 0+|=+y+|=+y0 0抛物线抛物线x x2 2=-2py(p0)=-2py(p0)|PF|=|y|PF|=|y0 0-|=-y-|=-y0 0p2p2p2p2p2p2p2p22.2.过抛物线焦点的弦长过抛物线焦点的弦长设过抛物线焦点的弦的端点为设过抛物线焦点的弦的端点为A(x
11、A(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则:y y2 2=2px(p0)=2px(p0)|AB|=x|AB|=x1 1+x+x2 2+p+py y2 2=-2px(p0)=-2px(p0)|AB|=p-(x|AB|=p-(x1 1+x+x2 2)x x2 2=2py(p0)=2py(p0)|AB|=y|AB|=y1 1+y+y2 2+p+px x2 2=-2py(p0)=-2py(p0)|AB|=p-(y|AB|=p-(y1 1+y+y2 2)【变式训练【变式训练】抛物线的顶点在原点抛物线的顶点在原点,以以x x轴为对称轴轴为对称轴,经过焦点经过焦点且倾斜角
12、为且倾斜角为135135的直线被抛物线所截得的弦长为的直线被抛物线所截得的弦长为8,8,试求抛物试求抛物线的方程线的方程.【解题指南【解题指南】联立方程组联立方程组,由过焦点的弦长公式表示出弦长由过焦点的弦长公式表示出弦长,解方程求出参数值解方程求出参数值,从而得出抛物线的标准方程从而得出抛物线的标准方程.【解析【解析】若抛物线开口向右若抛物线开口向右,如图如图.设抛物线的方程为设抛物线的方程为y y2 2=2px(p0),=2px(p0),则直线方程为则直线方程为y=-x+p.y=-x+p.设直线交抛物线于设直线交抛物线于A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2
13、2)两点两点,则由抛物线定义得则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1 1+x+x2 2+,+,即即x x1 1+x+x2 2+p=8.+p=8.12p2p2又又A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2)是抛物线和直线的交点是抛物线和直线的交点,由由 消去消去y,y,得得x x2 2-3px+=0,-3px+=0,xx1 1+x+x2 2=3p.=3p.将其代入将其代入,得得p=2.p=2.所求抛物线的方程为所求抛物线的方程为y y2 2=4x.=4x.当抛物线的开口向左时当抛物线
14、的开口向左时,同理可求得抛物线的方程为同理可求得抛物线的方程为y y2 2=-4x.=-4x.综上综上,抛物线的方程为抛物线的方程为y y2 2=4x=4x或或y y2 2=-4x.=-4x.21yxp,2y2px ,2p4类型类型 二二 抛物线性质的应用抛物线性质的应用 【典型例题【典型例题】1.(20131.(2013唐山高二检测唐山高二检测)抛物线抛物线y=4xy=4x2 2上一点到直线上一点到直线y=4x-5y=4x-5的的距离最短距离最短,则该点的坐标是则该点的坐标是()A.(,1)B.(0,0)A.(,1)B.(0,0)C.(1,2)C.(1,2)D.(1,4)D.(1,4)2.2
15、.已知已知A,BA,B是抛物线是抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)上两点上两点,O,O为坐标原点为坐标原点,若若|OA|=|OB|,|OA|=|OB|,且且AOBAOB的垂心恰是此抛物线的焦点的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线求直线ABAB的的方程方程.12【解题探究【解题探究】1.1.题题1 1中求抛物线上的一点到已知直线的距离最中求抛物线上的一点到已知直线的距离最短的解题思路一般有哪些短的解题思路一般有哪些?2.2.以原点为一个顶点的三角形的以原点为一个顶点的三角形的“四心四心”在抛物线的对称轴在抛物线的对称轴上上,另两个顶点的位置关系如何另两个顶点的位置关系如何?探究提示探
16、究提示:1.1.一般有三种方法一般有三种方法:(1):(1)构造函数法构造函数法.(2).(2)数形结合法数形结合法.(3).(3)转化转化法法.2.2.根据抛物线的对称性根据抛物线的对称性,另两个顶点必定关于对称轴对称另两个顶点必定关于对称轴对称.【解析【解析】1.1.选选A.A.方法一方法一:设抛物线上点的坐标为设抛物线上点的坐标为(x,4x(x,4x2 2),),其中其中xRxR,由点到直线的距离公式得由点到直线的距离公式得当当x=x=时时,d,d最小最小.这时点的坐标为这时点的坐标为(,1).(,1).222214(x)44x4x52d17411212方法二方法二:设与设与y=4x-5
17、y=4x-5平行的抛物线平行的抛物线y=4xy=4x2 2的切线方程为的切线方程为y=4x+m,y=4x+m,由由 得得4x4x2 2-4x-m=0.-4x-m=0.再由再由=16-4=16-44 4(-m)=0(-m)=0得得m=-1.m=-1.这时切点为这时切点为(,1),(,1),切点切点(,1)(,1)到到y=4x-5y=4x-5的距离最小的距离最小.2y4xmy4x,12122.2.如图所示如图所示.设设A(xA(x0 0,y,y0 0),),由题意可知由题意可知B(xB(x0 0,-y,-y0 0),),又又F(,0)F(,0)是是AOBAOB的垂心的垂心,则则AFOB,kAFOB
18、,kAFAFk kOBOB=-1,=-1,即即 y y0 02 2=x=x0 0(x(x0 0-),-),又又y y0 02 2=2px=2px0 0,x,x0 0=2p+=.=2p+=.因此直线因此直线ABAB的方程为的方程为x=.x=.p20000yy()1,pxx2 p2p25p25p2【互动探究【互动探究】题题2 2中中,若把若把“垂心垂心”改为改为“重心重心”,AB,AB的方程如的方程如何何?【解析【解析】根据抛物线的对称性根据抛物线的对称性,因为因为F F为为OABOAB的重心的重心,所以所以A,BA,B两点关于两点关于x x轴对称轴对称.又根据重心的性质又根据重心的性质,|OF|
19、=,|OF|=,ABAB的方程应为的方程应为p2pp3xp.244【拓展提升【拓展提升】抛物线的主要性质及应用方向抛物线的主要性质及应用方向 类型类型 三三 抛物线中的证明问题抛物线中的证明问题 【典型例题【典型例题】1.1.证明以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切证明以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.2.2.已知过抛物线已知过抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的焦点的焦点F F的直线交抛物线于的直线交抛物线于A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2)两点两点.求证求证:(1)x:(1)x1 1x x2 2为定值为定值.(2)
20、(2)为定值为定值.11FAFB【解题探究【解题探究】1.1.判断直线与圆位置关系时最常用的方法是什判断直线与圆位置关系时最常用的方法是什么么?2.2.什么是定值什么是定值?探究提示探究提示:1.1.判断直线与圆的位置关系时判断直线与圆的位置关系时,一般利用几何法进行判断一般利用几何法进行判断,即即判断圆心到直线的距离与半径的大小判断圆心到直线的距离与半径的大小.2.2.定值就是代数式化简的结果与任何参数都无关定值就是代数式化简的结果与任何参数都无关.【证明【证明】1.1.如图如图,作作AAAA1 1l于于A A1 1,BB,BB1 1l于于B B1 1,M M为为ABAB的中点的中点,作作M
21、MMM1 1l于于M M1 1,则由抛物线的则由抛物线的定义可知定义可知|AA|AA1 1|=|AF|,|=|AF|,|BB|BB1 1|=|BF|,|=|BF|,在直角梯形在直角梯形BBBB1 1A A1 1A A中中,|MM|MM1 1|=(|AA|=(|AA1 1|+|BB|+|BB1 1|)=(|AF|+|BF|)=|AB|,|)=(|AF|+|BF|)=|AB|,故以抛物线的焦点弦为直径的圆故以抛物线的焦点弦为直径的圆,必与抛物线的准线相切必与抛物线的准线相切.1212122.(1)2.(1)抛物线抛物线y y2 2=2px=2px的焦点为的焦点为F(,0),F(,0),当当ABAB
22、不垂直于不垂直于x x轴时轴时,设直线设直线ABAB的方程为的方程为y=k(xy=k(x-)(k0).-)(k0).由由 消去消去y,y,得得k k2 2x x2 2-p(k-p(k2 2+2)x+=0.+2)x+=0.由根与系数的关系得由根与系数的关系得x x1 1x x2 2=(=(定值定值).).当当ABxABx轴时轴时,x,x1 1=x=x2 2=,x=,x1 1x x2 2=也成立也成立.p2p22pyk(x),2y2px,22k p42p4p22p4(2)(2)由抛物线的定义知由抛物线的定义知,|FA|=x,|FA|=x1 1+,|FB|=x+,|FB|=x2 2+.+.又由又由(
23、1)(1)得得x x1 1x x2 2=,=,所以所以=(=(定值定值).).p22p4p2121111ppFAFBxx22121222121212xxpxxpppppxxx xxx24221212xxp2ppxxp2【拓展提升【拓展提升】解决与抛物线有关的证明问题应注意的四点解决与抛物线有关的证明问题应注意的四点【变式训练【变式训练】如图如图,M,M是抛物线是抛物线y y2 2=x=x上的一点上的一点,动弦动弦ME,MFME,MF分别交分别交x x轴于轴于A,BA,B两点两点,且且|MA|=|MB|.|MA|=|MB|.若若M M为定点为定点.证明证明:直线直线EFEF的斜率为定值的斜率为定
24、值.【证明【证明】设设M(yM(y0 02 2,y,y0 0),),直线直线MEME的斜率为的斜率为k(kk(k0),0),则直线则直线MFMF的斜率为的斜率为-k,-k,直线直线MEME的方程为的方程为y-yy-y0 0=k(x-y=k(x-y0 02 2).).由由 消去消去x,x,得得kyky2 2-y+y-y+y0 0(1-ky(1-ky0 0)=0.)=0.解得解得2002yyk xy,yx,200EE21ky1kyy,x.kk同理可得同理可得=-(=-(定值定值).).直线直线EFEF的斜率为定值的斜率为定值.200FF21ky1kyy,x.kk00EFEF220EF002221k
25、y1ky2yykkkk4kyxx1ky1kykkk012y【易错误区【易错误区】抛物线最值问题中忽视范围致误抛物线最值问题中忽视范围致误【典例【典例】(2013(2013安阳高二检测安阳高二检测)若抛物线若抛物线x x2 2=2y=2y上距离点上距离点A(0,a)A(0,a)的最近点恰好是抛物线的顶点的最近点恰好是抛物线的顶点,则则a a的取值范围是的取值范围是()A.aA.a00 B.0a1B.00,a-10,即即a1a1时时,y=a-1,y=a-1时时d d2 2取到最小值取到最小值,不符合题意不符合题意.综上可知综上可知a1.a1.【误区警示【误区警示】【防范措施【防范措施】1.1.不要
26、忽视抛物线中范围不要忽视抛物线中范围抛物线中的变量是有范围的抛物线中的变量是有范围的,解题中若忽视了这一点解题中若忽视了这一点,会使讨会使讨论起来更加复杂论起来更加复杂,或解题中妄加猜测或解题中妄加猜测,如本例中如本例中y y的范围为的范围为0,+).0,+).2.2.分类讨论思想的应用分类讨论思想的应用求最值时求最值时,若对称轴与变量范围不确定时若对称轴与变量范围不确定时,需分类讨论需分类讨论,如本例如本例中中,因因y0,y0,故分故分a-10a-10或或a-10a-10两种情况讨论两种情况讨论.【类题试解【类题试解】设点设点A A的坐标为的坐标为(a,0)(aR),(a,0)(aR),则曲
27、线则曲线y y2 2=2x=2x上的点上的点到到A A点的距离的最小值为点的距离的最小值为.【解析【解析】设曲线设曲线y y2 2=2x=2x上的点到上的点到A A点的距离为点的距离为d,d,抛物线上任一点抛物线上任一点的坐标为的坐标为(x,y(x,y),),则则d d2 2=(x-a)=(x-a)2 2+y+y2 2=x=x2 2-(2a-2)x+a-(2a-2)x+a2 2=x-(a-1)=x-(a-1)2 2+(2a-1).+(2a-1).因为因为x0,+),x0,+),所以当所以当a1a1时时,d,dminmin2 2=2a-1,d=2a-1,dminmin=;=;当当a1a1时时,d
28、,dminmin2 2=a=a2 2,d,dminmin=|a|.=|a|.答案答案:或或|a|a|2a12a11.1.抛物线抛物线y=-xy=-x2 2上的点到直线上的点到直线4x+3y-8=04x+3y-8=0距离的最小值是距离的最小值是()A.A.B.B.C.C.D.3D.3【解析【解析】选选A.A.设抛物线设抛物线y=-xy=-x2 2上一点为上一点为(m,-m(m,-m2 2),),该点到直线该点到直线4x+3y-8=04x+3y-8=0的距离为的距离为 当当m=m=时时,取得最小值取得最小值为为 .4375852|4m3m8|5,43232.2.方程方程(3-m)y(3-m)y2
29、2=(m-1)x=(m-1)x表示抛物线表示抛物线,其中其中m m不能为不能为()A.1A.1 B.3 B.3 C.1 C.1或或3 3 D.1 D.1且且3 3【解析【解析】选选D.D.由条件知由条件知 ,解得解得m3m3且且m1,m1,故选故选D.D.3m0m 10 3.3.抛物线抛物线y y2 2=mx=mx的焦点为的焦点为F,F,点点P(2,2 )P(2,2 )在此抛物线上在此抛物线上,M,M为为线段线段PFPF的中点的中点,则点则点M M到该抛物线准线的距离为到该抛物线准线的距离为()A.1A.1 B.B.C.2 C.2 D.D.【解析【解析】选选D.D.点点P(2,2 )P(2,2
30、 )在抛物线在抛物线y y2 2=mx=mx上上,所以所以m=4,m=4,抛物线的准线为抛物线的准线为x=-1.x=-1.抛物线抛物线y y2 2=mx=mx的焦点为的焦点为F(1,0),MF(1,0),M为线段为线段PFPF的中点的中点,MM的坐标为的坐标为(),(),MM到抛物线的准线到抛物线的准线x=-1x=-1的距离的距离 .2325223,22524.4.抛物线抛物线y y2 2=8x=8x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为.【解析【解析】根据定义知根据定义知,抛物线上的点抛物线上的点P P到顶点的距离和到焦点到顶点的距离和到焦点的距离相等的距离
31、相等,P,P在在OFOF的中垂线上的中垂线上,F(2,0),F(2,0),点点P P的横坐标为的横坐标为1.1.把把x=1x=1代入代入y y2 2=8x=8x得得y=y=2 .2 .故故P(1,P(1,2 ).2 ).答案答案:(1,-2 )(1,-2 )和和(1,2 )(1,2 )22225.5.抛物线抛物线y y2 2=2x=2x上点上点P(1,-)P(1,-)到其焦点的距离为到其焦点的距离为.【解析【解析】焦点为焦点为F(,0),F(,0),d=d=故故P(1,-)P(1,-)到抛物线焦点的距离为到抛物线焦点的距离为 .答案答案:212213(1)2.22232326.6.已知抛物线的
32、焦点已知抛物线的焦点F F在在x x轴上轴上,直线直线l过过F F且垂直于且垂直于x x轴轴,l与抛物与抛物线交于线交于A,BA,B两点两点,O,O为坐标原点为坐标原点,若若OABOAB的面积等于的面积等于4,4,求此抛物求此抛物线的标准方程线的标准方程.【解析【解析】由题意由题意,抛物线方程为抛物线方程为y y2 2=2px(p0),=2px(p0),焦点焦点F F 直线直线l:x:x=,=,A,BA,B两点坐标为两点坐标为|AB|=2|p|.|AB|=2|p|.OABOAB的面积为的面积为4,4,2|p|=4,p=2|p|=4,p=2 2抛物线方程为抛物线方程为y y2 2=4 x.4 x.p(,0),2p2pp(,p),(,p),221p|222.2
