1、第第5章章 线性定常系统的综合线性定常系统的综合5.1 5.1 线性反馈控制系统的基本形式及其特性线性反馈控制系统的基本形式及其特性5.2 5.2 极点配置问题极点配置问题5.3 5.3 系统镇定问题系统镇定问题系统的分析与综合：l系统分析：已知系统的结构和参数及已知外输入作用，研究系统运动的定性行为(如能控性、能观测性、稳定性)和定量的变化规律(如系统的解)。相应问题称为系统分析问题。l系统综合：已知系统的结构和参数，以及所期望的系统运动形式或某些特征，要确定的则是需要施加于系统的外部输入作用即控制作用的规律(简称控制律)。相应问题称为系统综合问题。l一般控制作用(控制律)常取反馈的形式(状
2、态反馈或输出反馈)。一、综合问题一、综合问题 给定线性系统状态空间描述：给定线性系统状态空间描述：)1(0)0(,0 xxxCytxxBuA，A、B、C均为常阵且给定。再给出所期望的性能指标：(1)对系统状态运动期望形式所规定的某些特征量。(2)对其运动过程所规定的某种期望形式或需取极小（或极大）值的一个性能函数。综合：寻找一个控制作用 u，使得在其作用下，系统的运动行为满足所给出的期望性能指标。通常 u 可通过系统的实际响应（输出或状态）来构造。形式为：u=K x+v 状态反馈控制状态反馈控制 （2）u=H y+v 输出反馈控制输出反馈控制 （3）其中：v为参考输入向量，与输入u维数(r维)
3、相同。K 为 rn常阵，称为状态反馈矩阵。H为 rm常阵，称为输出反馈矩阵。二、性能指标的类型二、性能指标的类型 非优化型性能指标：是一类不等式型的指标，即只要性能达到或好于期望指标就算实现了综合目标。优化型性能指标：是一类极值型指标，综合的目的是要使性能指标在所有可能值中取为极小(或极大)值。性能指标1.常用的非优化型性能指标：(1)以渐近稳定性为性能指标，相应的综合问题称为镇定问题。(2)以一组期望的闭环系统极点作为性能指标，相应的综合问题为极点配置问题。系统运动的形态，即动态性能（如超调量、过渡过程）主要由极点的位置所决定。(3)以使系统的输出 y 无静差地跟踪一个外部信号y0(t)作为
4、性能指标，相应的综合问题为跟踪问题。(4)以使一个多输入-多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作为性能指标，相应的综合问题称为解耦控制问题。常常阵阵。正正定定对对称称或或半半正正定定对对称称正正定定对对称称常常阵阵；QRdtRuuQuJTT)()(0 xx2.优化型性能指标常取一个相对于状态 x 和控制 u 的二次型积分性能指标，其形式为：三、研究综合问题的思路三、研究综合问题的思路 1.建立可综合的条件。相对于给定的受控系统和给定的期望性能指标，建立使相应的控制存在并可实现综合目标所应满足的条件。2.建立起相应的用于综合控制规律的算法。利用这些算法，对满足可综合条件的问题，确定出满足要求
5、的控制规律，即确定出相应的状态反馈或输出反馈矩阵。四、工程实现中的一些理论问题四、工程实现中的一些理论问题 1.状态反馈的物理构成问题：(1)状态可直接测量：直接实现 (2)状态不可直接测量：间接实现，可通过可测量的输入和输出变量来估计系统状态“状态观测器”2.系统模型不准确和系统参数摄动问题（鲁棒控制理论来解决）。鲁棒控制：系统有一定的稳定性裕度(增益裕度、相位裕度等)，允许系统参数误差或摄动出现在模型参数的一个邻域内，系统仍保持稳定。3.对外部扰动影响的抑制问题本章主要学习和掌握内容：本章主要学习和掌握内容：1、反馈控制系统的两种基本形式、反馈控制系统的两种基本形式及其特点及其特点;2、极
6、点配置方法。、极点配置方法。5.1 5.1 线性反馈控制系统的基本形式及其特性线性反馈控制系统的基本形式及其特性主要学习和掌握内容：主要学习和掌握内容：1、学习和理解系统状态反馈和输出反馈的概念；、学习和理解系统状态反馈和输出反馈的概念；2、学习和了解反馈控制系统的基本结构；、学习和了解反馈控制系统的基本结构；3、学习和掌握状态反馈和输出反馈对系统能控性、学习和掌握状态反馈和输出反馈对系统能控性和能观性的影响。和能观性的影响。1 状态反馈控制系统的基本结构形式 (1)基本结构形式 (2)特点：采用对状态向量的线性反馈规律来构成闭环系统。(3)优点：不引入新的状态变量，维数不变。一、反馈控制系统
7、的基本结构形式(理论结构形式)DuCyBuADCBAxxx:),(0为为受受控控系系统统即即开开环环系系统统)(:维维向向量量：参参考考输输入入状状态态反反馈馈阵阵；：反反馈馈控控制制规规律律为为rvnrKvKux 闭环反馈系统的状态空间表达式？闭环反馈系统的状态空间表达式？D D，D DK K)(C C，B B，B BK K)(A A:闭闭环环系系统统k kD Du uC Cx xy yB Bu uA Ax xx xDvDvDK)xDK)x(C(Cy yBvBvBK)xBK)x(A(Ax xD D)C C,B B,(A A,:开开环环系系统统o o)为为输输入入v v(v vK Kx xu
8、u:系系统统闭闭环环k k系统维数不变，但极点可改变(可通过选择合适的K实现极点配置)；C Cx xy yB Bv vB BK K)x x(A Ax x，0 0当当D DB BK K)(A A闭闭环环系系统统特特征征值值为为B BB BK K)(A AC C s sW W(s s)C C，B B，B BK K)(A A1 1k kI2.输出反馈控制系统的基本结构形式 1）基本结构形式 2）特点：采用输出反馈。3）数学模型：.:)0(输输出出反反馈馈阵阵为为反反馈馈控控制制规规律律：设设受受控控系系统统为为mrHvHCvHyuCyBuADxxxx BBHCAsICsGCyBvBHCAC1)()(
9、)(数数矩矩阵阵：输输出出反反馈馈系系统统的的传传递递函函状状态态空空间间描描述述：输输出出反反馈馈后后闭闭环环系系统统的的xxx)()()()()()()(111sGHsGIsHGIsGsGBAsICsGOOOOCO则则闭闭环环传传递递函函数数为为：受受控控系系统统传传递递函函数数：二、反馈控制系统的通用结构形式(适用于工程实际)1.带有观测器的状态反馈（克服状态向量 x 不可能测量到的缺点，借助状态观测器实现状态重构）。1）结构图 2）观测器系统 x*是受控系统的状态 x 的重构 状态，x*是可直接量测的。x*与 x 虽不等，但渐近相等。l观测器系统的阶次低于受控系统的阶次。3）闭环系统阶
10、次等于受控系统阶次与观测器系统阶次之和。图图 利用观测器实现状态反馈利用观测器实现状态反馈（扩展状态反馈系统）（扩展状态反馈系统）2.带动态补偿器的输出反馈 克服基本结构形式不能随心所欲地任意配置闭环系统的极点的缺点，借助动态补偿器来实现闭环系统的任意配置。1）结构图 2）补偿器系统 补偿器系统的阶次低于受控系统的阶次。3）闭环系统阶次等于受控系统阶次与补偿器系统阶次之和。图图 带动态补偿器的输出反馈（扩展输出反馈系统）带动态补偿器的输出反馈（扩展输出反馈系统）三、状态反馈和输出反馈对系统能控性和能观测性的影响 结论结论1 1：状态反馈的引入，不改变系统的能控性，但可能改：状态反馈的引入，不改
11、变系统的能控性，但可能改变系统的能观测性。变系统的能观测性。B B B BK K)(A AB BK K)B B(A A B BQ Q:的的能能控控性性判判阵阵反反馈馈系系统统B B A AA AB B B BQ Q：的的能能控控性性判判阵阵受受控控系系统统控控性性。的的引引入入不不改改变变系系统统的的能能证证明明：先先证证明明状状态态反反馈馈1 1n nc ck kc ck k1 1n nc c0 0。向向量量的的线线性性组组合合来来表表示示B B 的的列列A AB BA AA AB B,B B的的列列向向量量可可由由 B B,B BK K)(A A，以以此此类类推推 合合表表示示。B B 的
12、的列列向向量量的的线线性性组组A AA AB B,B B的的列列向向量量可可由由 B B,B BK K)(A A故故，K KB BK KB B)B B(K KA AB BA AB B(K KB B)B BA AB BK KB BK KB BB BK KA AB BA AB BK KB BB BA AB BK KB B)B BK K)(A AB B(A AB BK K)B BB BK K)(A A(A AB BB BK K)(A A中中，Q Q第第三三分分块块：在在 的的线线性性组组合合来来表表示示。向向量量列列各各的的中中A AB B 可可由由 B B,向向量量列列各各的的中中B BK K)B
13、 B故故(A A，B B(K KB B)A AB BB BK KB BA AB BB BK K)B B(A A中中，Q Q第第二二分分块块：在在 ：第第一一分分块块相相同同；Q Q和和Q Q比比较较1 1n n2 21 1n n2 22 22 22 22 2c ck kc ck kc ck kc c证证毕毕。的的能能控控性性等等价价的的能能控控性性与与。从从而而，r ra an nk kQ Qr ra an nk kQ Q因因此此有有阵阵秩秩，因因初初等等变变换换不不改改变变矩矩经经过过列列初初等等变变换换得得到到的的Q Q可可看看作作是是由由因因此此Q Q c cc ck kc ck kc
14、cc cc ck k再证状态反馈系统不一定能保持能观测性。通过举例说明：。不不完完全全能能观观测测因因此此，2 2n n1 1r ra an nk kQ Q1 11 11 11 1B BK K)C C(A AC CQ Q：能能观观测测性性判判别别阵阵x x1 11 1y yv v1 10 0 x x1 10 02 21 1B Bv vB BK K)x x(A Ax x：则则反反馈馈系系统统4 4 0 0K K状状态态反反馈馈阵阵为为：且且取取，引引入入状状态态反反馈馈能能观观测测。故故n n2 2r ra an nk kQ Q5 51 11 11 1C CA AC CQ Q:能能观观测测性性判
15、判别别阵阵x x1 11 1y yu u1 10 0 x x3 30 02 21 1x xk kc ck kc ck kk ko oo oo oo o。完完全全能能观观测测则则反反馈馈系系统统2 2r ra an nk kQ Q0 01 11 11 1B BK K)C C(A AC CQ Q5 5-0 0K K状状态态反反馈馈阵阵为为：若若取取k kc ck kc ck k结论2：输出反馈的引入能同时不改变系统的能控性和能观测性，即闭环输出反馈系统F的能控性及能观测性与开环受控系统o的能控性及能观测性一致。（证明略）。上例说明状态反馈可能改变系统的能观测性。这时因为上例说明状态反馈可能改变系统
16、的能观测性。这时因为状态反馈会改变系统的极点状态反馈会改变系统的极点(不改变零点不改变零点)，这就有可能使传，这就有可能使传递函数出现递函数出现(或消除或消除)零极点对消，从而改变系统的能观测性。零极点对消，从而改变系统的能观测性。四、状态反馈和输出反馈的比较1.状态反馈为系统结构信息的完全反馈，输出反馈则是系统结构信息不完全反馈。2.状态反馈系统的系统矩阵为(A+BK)，其中K为rn维状态反馈阵。输出反馈系统的系统矩阵为(A+BHC)，其中H为rm维输出反馈阵，这里HC相当于状态反馈阵中的K阵，但K选择的自由度大，而由于mn，H选择的自由度小，因而输出反馈只能相当于一种部分状态反馈，其对系统
17、的影响效果要比状态反馈小得多，所以输出反馈对改善闭环系统的控制特性要比状态反馈差一些。3.输出反馈是在物理上可实现的，状态反馈是在物理上通常是不能实现的。基此，输出反馈优于状态反馈。4.状态反馈能保持受控系统的能控性，但不一定能保持受控系统的能观测性。输出反馈能同时保持受控系统的能控性和能观测性。5.状态反馈和输出反馈的基本结构形式(理论结构)均不太适用于工程实际问题。状态反馈和输出反馈的通用结构形式较适用于工程实际问题。带状态观测器的状态反馈系统，可解决系统状态不能测量时的状态重构问题；带动态补偿器的输出反馈系统，可解决输出反馈基本结构形式不能任意配置极点的问题。6.扩展状态反馈(即带状态观
18、测器状态反馈系统)和扩展输出反馈(即带动态补偿器的输出反馈系统)在作用上是等价的。5.2 5.2 极点配置问题极点配置问题:单输入系统单输入系统主要学习和掌握内容：主要学习和掌握内容：1、学习、理解和掌握状态反馈配置极点的学习、理解和掌握状态反馈配置极点的条件、方法和特点。条件、方法和特点。2、学习和理解和掌握输出反馈配置极点的、学习和理解和掌握输出反馈配置极点的条件、方法和特点。条件、方法和特点。一、状态反馈的极点配置问题一、状态反馈的极点配置问题 状态反馈的极点配置问题：就是对给定的受控系统，确定状态反馈律 u=Kxu=Kx+v+v,v 为参考输入，即确定一个 rn 的状态反馈增益矩阵K，
19、使所导出的状态反馈闭环系统 的极点为期望极点 。BuBKAxx)(*n*2*1,解决上述极点配置问题，需要解决两个问题：1）建立可配置条件问题，即利用状态反馈而任意地配置其闭环极点所应遵循的条件。2）建立相应的算法，即用以确定满足极点配置要求的状态反馈增益矩阵K的算法。1 10 00 0b bT Tb b;b bb bb bc cT Tc ca aa aa a0 0A AT TT TA A1 1c c1 11 1n n1 10 0c c1 11 1n n1 10 01 1n nc c1 11 1c c1 1I;u ub bx xA Ax xx xT Tx xc c1 1型型能能控控标标准准其其
20、出出写写则则可可，能能控控若若：)充充分分条条件件证证明明(o oI二、极点配置条件二、极点配置条件定理定理:采用状态反馈对系采用状态反馈对系统统o=(A,b,c)任意配置任意配置其所有极点的充要条件是其所有极点的充要条件是o=(A,b,c)完全能控完全能控。1 1n n1 10 0k kk kk kK K统统的的状状态态反反馈馈阵阵为为：型型系系设设该该能能控控标标准准Ix xc cy yv vb bx x)K Kb bA A(x x状状态态反反馈馈系系统统闭闭环环系系统统，即即*0 0*1 11 1n n*1 1n nn nn n1 1i i*i i*a aa aa a)()f f(又又：
21、)k k(a a)k k(a a)k k(a a0 0k kk kk k1 10 00 0a aa aa a0 0)K Kb bA A(1 1n n1 1n n1 11 10 00 01 1n n1 1n n1 10 01 1n n1 10 01 1n nII)k k(a a)k k(a a)k k(a a)k k(a a)K Kb bA A(b bK K)(A Af f0 00 01 11 12 2n n2 2n n2 2n n1 1n n1 1n n1 1n nn nII)(:I为为式式多多项项特特征征型型，则则其其标标准准易易知知闭闭环环系系统统仍仍为为能能控控。为为特特征征值值的的特特
22、征征多多项项式式表表示示以以期期望望极极点点)f f(*n n*2 2*1 1*,.,:系系统统的的系系统统矩矩阵阵为为闭闭环环*0 00 00 0*1 11 11 1*2 2n n2 2n n2 2n n*1 1n n1 1n n1 1n na aa ak ka aa ak ka aa ak ka aa ak k:比比较较系系数数得得1 1c c1 11 1c c1 11 1c c1 1c c1 1T TK KK KK Kx xx xK Kx xT TK Kx xK Kx xK Kv vK Kx xv vu ux xT Tx xx xT Tx x)k k(a(a)k k(a(a)k k(a(
23、a)k k(a(aa aa aa aa a)()f f：即即f(f(),),)f(f(望极点相符，需满足：望极点相符，需满足：要使闭环系统极点与期要使闭环系统极点与期0 00 01 11 12 2n n2 2n n2 2n n1 1n n1 1n n1 1n nn n*0 0*1 12 2n n*2 2n n1 1n n*1 1n nn nn n1 1i i*i i*实实现现极极点点配配置置。证证毕毕。，可可得得反反馈馈阵阵可可求求出出若若系系统统能能控控，则则可可由由此此，即即：对对给给定定期期望望极极点点Kkii*?KxKx对对应应的的变变为为对对应应的的如如何何将将.即即为为所所求求状状
24、态态反反馈馈阵阵K*0 0*1 11 1n n*1 1n nn nn n1 1i i*i i*a aa aa a)()f f()k k(a a)k k(a a)k k(a a)k k(a af f0 00 01 11 12 2n n2 2n n2 2n n1 1n n1 1n n1 1n nn n)(0 00 01 10 0b bb bb bc c ,1 10 00 0b b,3 32 20 01 10 00 00 01 10 0a aa aa a1 10 00 00 01 10 0A A:实实现现型型直直接接写写出出能能控控标标准准可可:解解2 21 10 02 21 10 0I)k k(0
25、 0)k k(2 2)k k(3 3)k k(a a)k k(a a)k k(a a)K Kb bA A(f f()0 01 12 22 23 30 00 01 11 12 22 22 23 3Ij1 12 2,使使闭闭环环极极点点为为设设计计状状态态反反馈馈控控制制器器，2 2s s3 3s ss s1 10 02 2)1 1)(s ss s(s s1 10 0W W(s s)：2 25 5例例2 23 32 21 10 0k kk kk kK K设设4 46 64 4 j j)1 1j j)(1 12 2)()f f(2 23 3*1 14 44 4K K1 1k k4 4k k ，4 4
26、k k4 4k k0 06 6k k2 24 4k k3 32 21 10 00 01 12 2)()(*ff第二步：计算由期望极点 所决定的多项式f(*)，。，期期望望的的极极点点值值，即即：阵阵的的特特征征值值为为，使使维维的的状状态态反反馈馈增增益益矩矩阵阵确确定定一一个个，和和一一组组期期望望的的闭闭环环极极点点给给定定能能控控系系统统的的矩矩阵阵对对),2,1()(1,),(*2*1nibKAbKAKnbAiin第四步：计算变换阵0111)det()(aaaAIfnnn*2*1,n*0*11*1*1*)()()(aaafnnnn,*11*11*00nnaaaaaaK111,11111
27、nnncaaabAbbAT0 011cTKK第五步：所求状态反馈阵为能控标准能控标准I型变换阵型变换阵三、单输入系统极点配置问题的通用算法三、单输入系统极点配置问题的通用算法(仅对能控系统仅对能控系统)能控能控I型下的反馈阵型下的反馈阵 第一步：计算A的特征多项式f()，即第三步：计算反馈阵j j1 1，j j1 1，2 2征征值值为为给给定定期期望望的的一一组组闭闭环环特特u u0 00 01 1x x1 12 21 10 00 06 61 10 00 00 0 x x常常系系统统例例：给给定定单单输输入入线线性性定定补补充充*3 3*2 2*1 1464)1)(1)(2()()()(233
28、1*iijjffff：决决定定的的特特征征多多项项式式再再计计算算给给定定期期望望极极点点所所7 72 21 18 81 12 21 10 00 06 61 10 00 0A A)(：)(特特征征多多项项式式计计算算A A的的，可可任任意意配配置置极极点点完完全全能能控控，系系统统3 31 10 00 06 61 10 00 00 01 1r ra an nk kr ra an nk kQ Q能能控控性性判判断断解解：系系统统2 23 3c cI122018614144181121010014664144181121010000101121187211872011800100101610010
29、100114664464)1)(1)(2()()(1111212211*22*11*002331*cccciiTKKKTbAbbATTaaaaaaKKjjff为为反反馈馈增增益益阵阵因因此此，所所要要确确定定的的状状态态，因因此此：计计算算变变换换阵阵：比比较较同同类类项项可可求求；7 72 21 18 8)(由由：2 23 3第三步：比较第三步：比较f()和和f(*)的同类项，解方程组可求得反馈阵的同类项，解方程组可求得反馈阵K。易知易知解该方程组可求得各待定系数解该方程组可求得各待定系数k1，k2，kn，从而可得，从而可得K。第一步：计算闭环系统的系统矩阵第一步：计算闭环系统的系统矩阵A+
30、bK的特征多项式，即的特征多项式，即0111)(det)(aaabKAIfnnn多多项项式式，即即所所决决定定的的特特征征期期望望极极点点第第二二步步：计计算算由由给给定定的的,*2*1n说明：系统阶数较低时，也可简化极点配置算法，直接计说明：系统阶数较低时，也可简化极点配置算法，直接计算状态反馈矩阵算状态反馈矩阵K K。简化算法步骤如下：。简化算法步骤如下：1,.,1,0,*niaaii*0*11*1*1*)()()(aaafnnnn的的式式子子。中中各各个个元元素素包包含含了了反反馈馈阵阵是是，其其中中，状状态态反反馈馈矩矩阵阵nnnkkkKaaakkkK,.,.,),.,(2111021
31、该算法可用于求解不能控系统的极点配置问题！该算法可用于求解不能控系统的极点配置问题！若若K Ki i无解？无解？2 2k kk kk k1 11 10 00 01 10 0k kk kk k1 10 00 02 20 00 01 11 10 00 01 10 0b bK KA A2 21 10 02 21 10 0如下：如下：采用串联法实现采用串联法实现起见，起见，为实现易为实现易，状态信息较难检测状态信息较难检测需需但所但所，)免去了状态的线性变换免去了状态的线性变换型直接求K(型直接求K(2一开始采用能控标准2一开始采用能控标准-例5例5I2 2s s1 11 1s s1 1s s1 10
32、 0w w(s s)阵阵为为，则则闭闭环环系系统统的的系系统统矩矩k kk kk kK K设设状状态态反反馈馈阵阵为为求求解解：利利用用极极点点配配置置简简化化算算法法2 21 10 0j1 1，2 2期望闭环极点为期望闭环极点为x x0 00 01 10 0y yu u1 10 00 0 x xx xx x2 20 00 01 11 10 00 01 10 0 x xx xx x3 32 21 13 32 21 14 46 64 4j)j)1 1j)(j)(1 12)(2)()f(f(，则，则1 1，2 2期望闭环极点为期望闭环极点为2 23 3*j2 21 10 03 32 21 13 3
33、2 21 1k kk kk kK K设设状状态态反反馈馈阵阵u u1 10 00 0 x xx xx x2 20 00 01 11 10 00 01 10 0 x xx xx x受受控控系系统统为为：0 01 12 22 22 23 32 21 10 02 21 10 0k k)k kk k(2(2)k k(3(32 2k kk kk k1 11 10 00 01 1bK)bK)(A(Af(f()则则;2 2k kk kk k1 11 10 00 01 10 0bKbKA A统矩阵为：统矩阵为：闭环反馈控制系统的系闭环反馈控制系统的系I1 13 34 4-K K-1 1k k-3 3k k-4
34、 4k k，解解得得4 4k k6 6k kk k2 24 4k k3 3得得：)f f(f f()由由2 21 10 00 01 12 22 2*关于状态反馈极点配置的说明一、选择期望极点时需要注意：1、对一个n维系统，必须指定n个实数极点或共轭复数极点(共轭极点必须成对给出)；2、极点位置的确定，应考虑其对系统性能的主导影响及其与系统零点分布状况的关系。极点的配置有可能产生零极点对消，导致系统不能观测。二、即使系统不完全能控，也有可能利用状态反馈实现极点配置，只是不能进行任意极点配置(开环系统不能控部分的极点无法改变)。此类系统需采用前述简化算法直接计算状态反馈矩阵K，如K可求出，说明给出
35、的期望极点是可配置的。三、前述极点配置算法也适用于多输入系统，但实际设计更困难，如将综合指标化为期望极点需工程处理、化为能控标准型较麻烦、反馈阵K的解非唯一、可能改变系统零点形态等。四、输出反馈的极点配置四、输出反馈的极点配置连续时间线性时不变受控系统：xxxCyBuA控制作用u取为：vHyu H为rm反馈矩阵，v为参考输入。输出反馈极点配置就是：对任意给定极点组确定一个反馈矩阵H，使导出的输出反馈闭环系统,*2*1n),2,1()(*niBHCAiixxCyBvBHCAx)(的所有特征值实现期望的配置，即有采用输出反馈：，只能使闭环系统极点配置到根轨迹上，而不能配置到根轨迹以外位置上。输出反
36、馈极点配置条件：输出反馈极点配置条件：对完全能控n维单输入单输出连续时间线性时不变受控系统：1.输出反馈局限性：一般地说，利用输出反馈 (v 为参考输入)，不能任意地配置系统的全部极点。vHyuxxxcybuAhcxvhyvu)(/)()()()()()(100ssbAsIcswswss：开开环环系系统统的的传传递递函函数数为为则则多多项项式式和和分分子子多多项项式式，的的分分母母开开环环传传递递函函数数分分别别为为和和证证明明：设设的一组根轨迹上。的一组根轨迹上。无穷远零点为“终点”无穷远零点为“终点”始点”和以开环零点与始点”和以开环零点与开环极点为“起开环极点为“起统的极点只能分布于以统
37、的极点只能分布于以输出反馈系统，闭环系输出反馈系统，闭环系根轨迹法知，对根轨迹法知，对极点和开环零点。根据极点和开环零点。根据的极点和零点，即开环的极点和零点，即开环数数分别为开环系统传递函分别为开环系统传递函的根的根和和又知满足又知满足)(0)(0)(0swsss的的一一组组根根轨轨迹迹。为为参参量量已已知知时时闭闭环环极极点点落落在在以以可可知知，当当。，则则闭闭环环极极点点满满足足闭闭环环系系统统特特征征方方程程为为数数为为：，则则闭闭环环系系统统的的传传递递函函标标量量维维对对单单输输入入单单输输出出系系统统为为输输出出反反馈馈阵阵为为根根据据输输出出反反馈馈结结构构，若若)0()(1
38、)(0)()()()()()(1)()()11(0000hswshwshsshssshwswswhc2.对于能控和能观测的受控系统(A,B,C)，若系统的维数为 n，且 rankB=r，rankC=m，则采用非动态线性输出反馈 ，可对数目为 minn,r+m-1个闭环极点进行“任意地接近”式配置，即可使它们任意地接近于指定的期望极点位置。vHyu3.如果在引入输出反馈的同时，附加引入动态补偿器，那么通过适当选取和综合补偿器的结构和特性，将可对所导出的输出反馈系统的全部极点进行任意地配置。5.3 5.3 系统镇定问题系统镇定问题主要学习和掌握内容：主要学习和掌握内容：1、学习和理解系统镇定的概念
39、；、学习和理解系统镇定的概念；2、学习、理解和掌握利用状态反馈实现系统、学习、理解和掌握利用状态反馈实现系统镇定的条件、方法和特点。镇定的条件、方法和特点。对线性定常系统 ，如果存在状态反馈控制规律：使所导出的状态反馈闭环系统 为渐近稳定，即闭环系统的特征值均具有负实部，则称此系统是状态反馈能镇定的。),(0CBA 为参考输入为参考输入为反馈增益矩阵，为反馈增益矩阵，vKvKxu,BvxBKAx)(一一.状态反馈能镇定性定义：状态反馈能镇定性定义：二二.镇定问题属性镇定问题属性 镇定问题实质上属于极点区域配置问题。为为不不能能控控部部分分。为为能能控控部部分分，其其中中分分解解变变换换阵阵为为
40、结结构构，)0,(),(001121ccccccABATBBTBAAAATTA 证明：对不完全能控系统 ，对其按能控性进行分解，使之化为 ，系数矩阵如下：1.可镇定充要条件充要条件：设有线性定常系统 ，当且仅当其不能控部分为渐近稳定时，则该系统就是状态反馈能镇定的。),(0CBA ),(0CBA 的的状状态态方方程程分分别别为为：与与后后的的闭闭环环系系统统统统引引入入状状态态反反馈馈的的状状态态反反馈馈阵阵，则则两两系系与与分分别别为为与与设设ccooKK),(0CBABvxBKAxc)(：。，且有：且有：21KKKTKvBxKBAxc)(：三三.系统可镇定的条件系统可镇定的条件毕毕。是是状
41、状态态反反馈馈能能镇镇定定。证证近近稳稳定定，因因而而系系统统馈馈构构成成的的闭闭环环系系统统必必渐渐时时，引引入入状状态态反反)稳稳定定即即不不能能控控子子系系统统为为渐渐近近的的特特征征值值都都具具有有负负实实部部仅仅当当为为不不能能控控子子系系统统，当当且且)，(而而的的特特征征值值具具有有负负实实部部；)(使使可可或或适适的的状状态态反反馈馈阵阵极极点点配配置置定定理理，选选择择合合为为完完全全能能控控子子系系统统，据据)，(具具有有负负实实部部。因因近近稳稳定定，需需所所有有特特征征值值分分析析：欲欲使使闭闭环环系系统统渐渐合合。不不能能控控部部分分的的特特征征值值集集值值即即原原系
42、系统统能能控控部部分分和和可可见见，闭闭环环系系统统的的特特征征01(0ccccccAAKBAKKBAccccccccccAIKBAIAIKBAKBAIKKBAAAIKBAIBKAI0)(00121212112，因因此此：点点，即即特特征征多多项项式式相相同同具具有有相相同同的的期期望望闭闭环环极极与与cc。，21KKKTK0012cccBBAAAA，BvxBKAxc)(：vBxKBAxc)(：2.可镇定的充分条件充分条件 如果 状态完全能控，那么该系统必然是状态反馈能镇定的。但逆命题不一定成立，即一个状态反馈能镇定的系统，却不一定是状态完全能控的。),(0CBA 给定A，b，且其满足可镇定条
43、件，则镇定问题中综合状态反馈增益矩阵K的计算步骤如下：。，其其中中：，：和和不不能能控控子子系系统统其其能能控控子子系系统统，并并导导出出：构构造造变变换换阵阵按按能能控控性性进进行行结结构构分分解解对对步步。入入第第若若系系统统完完全全能能控控，则则转转全全能能控控，进进入入下下一一步步；的的能能控控性性，若若系系统统不不完完判判断断211121dimdim00)0,(),(),()2()5(),()1(nAnAbbTbAAAATTAAbATbAbAcccccccc四.镇定问题算法(针对单输入系统)阵阵。算算法法结结束束。即即为为所所求求的的状状态态反反馈馈矩矩）此此时时，（。反反馈馈矩矩阵
44、阵镇镇定定状状态态算算，按按极极点点配配置置算算法法，计计特特征征值值个个实实部部为为负负的的期期望望闭闭环环，任任意意指指定定对对步步。，并并转转到到第第状状态态反反馈馈矩矩阵阵维维镇镇定定，并并计计算算维维矩矩阵阵构构成成）利利用用（。维维极极点点配配置置状状态态反反馈馈矩矩阵阵算算，按按极极点点配配置置算算法法，计计闭闭环环特特征征值值个个实实部部为为负负的的期期望望，任任意意指指定定）对对能能控控子子系系统统（KKnnbATKKnKKnKnKnbAnncc61,),()5()6(1),(14)1(,),(3*2*1*111111*2*1*110注：单纯从镇定角度看，使系统镇定就是将受控系统位于右半复平面极点通过状态反馈调整到左半复平面。而镇定算法就是从极点配置的角度确定镇定状态反馈矩阵，因此镇定问题也可看作是极点配置问题的一个特例。
