1、第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论7-1 概述概述7-2 平面应力状态的应力分析平面应力状态的应力分析主应力主应力7-3 空间应力状态的概念空间应力状态的概念7-4 应力与应变间的关系应力与应变间的关系7-5 空间应力状态下的应变能密度空间应力状态下的应变能密度7-6 强度理论及其相当应力强度理论及其相当应力7-8 各种强度理论的应用各种强度理论的应用*7-7 莫尔强度理论及其相当应力莫尔强度理论及其相当应力第七章第七章 应力状态
2、和强度理论应力状态和强度理论7-1 概概 述述一、一、一点处的应力状态一点处的应力状态轴向拉压轴向拉压基本变形形式下杆件横截面上的应力：基本变形形式下杆件横截面上的应力：F F F F F F mmFNmmFNxAFN第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论圆轴扭转圆轴扭转tmaxtmaxpITtOdtTtmaxtmaxODdTtgMe Me j第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论对称弯曲对称弯曲FS xF F xMFa F alaF zIMybISFzz*Stzytmax 可见受力构件横截面上的应力一般是随着点的可见受力构件横截面上的应力一般是随着点的位置变化而改变的
3、。位置变化而改变的。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 构件内一点处各方向上的应力情况的集合，称构件内一点处各方向上的应力情况的集合，称为该点的为该点的应力状态应力状态。20cost2sin20t2sintt2cosefdabcttttxntF F kkt轴向拉（压）及圆轴扭转时斜截面上的应力：轴向拉（压）及圆轴扭转时斜截面上的应力：可见受力构件内一点处的应力也是随着截面方位可见受力构件内一点处的应力也是随着截面方位的变化而改变的。的变化而改变的。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论进行应力状态研究的目的进行应力状态研究的目的 通过应力状态分析求出受力构件内某点处
4、的通过应力状态分析求出受力构件内某点处的 max、t tmax 及其作用面，从而更好地进行强度分析。及其作用面，从而更好地进行强度分析。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论可由围绕该点的一个可由围绕该点的一个单元体单元体各面上的应力表示各面上的应力表示一点处的应力状态。一点处的应力状态。即在研究点的周围，即在研究点的周围，取一个由取一个由三对互相三对互相垂直的平面构成的垂直的平面构成的六面体，六面体，用各面上用各面上的应力来代表周围的应力来代表周围材料对该点的作用，材料对该点的作用，如图所示。如图所示。Me Me xyzabOcddxdydztttt如何表示一点处的应力状态？如何
5、表示一点处的应力状态？第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论各边长均为无穷小量各边长均为无穷小量每个面上应力均布；每个面上应力均布；每对相互平行面上的性质相同的应力大小相等；每对相互平行面上的性质相同的应力大小相等；可用截面法求任一截面上的应力。可用截面法求任一截面上的应力。xyzabOcddxdydz单元体的特点单元体的特点第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论单元体实例单元体实例 轴向拉压杆件轴向拉压杆件F注意：注意：这两个单元体反映的是同一点的应力状态。这两个单元体反映的是同一点的应力状态。F45t4545t45第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论M
6、e Me xyzabOcddxdydztttt单元体实例单元体实例 圆轴扭转圆轴扭转第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论Dmax CmaxGtFtEtmax单元体实例单元体实例 对称弯曲对称弯曲ABF lCFEGDFsFxFlM x第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论单元体实例单元体实例 弯曲与扭转组合作用下的圆轴弯曲与扭转组合作用下的圆轴 C1C2C3C4C1 t t t tC2 t t t t第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论D 单元体实例单元体实例 薄壁圆筒压力容器薄壁圆筒压力容器 第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论113322
7、(b)(a)F单元体实例单元体实例 钢轨的轨头受车轮的静荷作用钢轨的轨头受车轮的静荷作用第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论单元体实例单元体实例 空间应力状态的普遍情形空间应力状态的普遍情形xyzOdxdydztxytxzxtyxytyztzyztzxtxyxtxztzyztzxtyxytyz第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论二、二、强度理论强度理论maxtt max maxF F 已建立的强度条件已建立的强度条件 对单轴或纯剪切应力状态，可由实验测得的相对单轴或纯剪切应力状态，可由实验测得的相应的材料许用应力来建立正应力和切应力强度条件。应的材料许用应力来建立正
8、应力和切应力强度条件。tmaxMe Me 第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论Cmax DmaxEtmaxFtmax max ttmax正应力强度条件正应力强度条件(点点C、D)切应力强度条件切应力强度条件(点点E、F)Emml/2qGHCDFlql2/8ql/2ql/2第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论Emml/2qGHCDFlql2/8ql/2ql/2GtHt 当一点处的应力状态较为复杂时，因应力的组合当一点处的应力状态较为复杂时，因应力的组合形式有无限多的可能性，不可能由实验的方法来确定形式有无限多的可能性，不可能由实验的方法来确定每一应力组合下材料的极限应
9、力，因此需确定引起材每一应力组合下材料的极限应力，因此需确定引起材料破坏的共同因素。料破坏的共同因素。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 关于材料破坏的共同因素（即破坏规律）的假说，关于材料破坏的共同因素（即破坏规律）的假说，即称为即称为强度理论强度理论。在复杂应力状态下可根据强度理论。在复杂应力状态下可根据强度理论来建立强度条件。来建立强度条件。本章将介绍四个常见强度理论。本章将介绍四个常见强度理论。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论7-2 平面应力状态分析平面应力状态分析 主应力主应力 对图对图a所示悬臂梁上所示悬臂梁上A点处单元体上的应力分点处单元体上的应
10、力分布（图布（图b）可见：有一对平面上的应力等于零，而）可见：有一对平面上的应力等于零，而不等于零的应力分量都处于同一坐标平面内。不等于零的应力分量都处于同一坐标平面内。ttttAF(a)adcbAabdc(b)adcbAtttt 该应力状态则称为该应力状态则称为平面平面应力状态应力状态，其单元体可简化，其单元体可简化为左图所示情形。为左图所示情形。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论1、斜截面上的应力已知如下图已知如下图a（或图（或图b）所示的一平面应力状态：）所示的一平面应力状态：efnxyzabcdtxty(a)xytyyxtxdabctxtytxx(b)xxyytyy 可
11、由截面法求与前、后两平面垂直的斜截面可由截面法求与前、后两平面垂直的斜截面上上应力。应力。如图如图b所示，斜截面所示，斜截面ef 的的外法线外法线与与x轴间的夹轴间的夹角为角为，称为，称为 截面。截面。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论应力的正负和斜截面夹角的正负规定：应力的正负和斜截面夹角的正负规定：1）正应力）正应力 :拉为正，压为负；拉为正，压为负；2）切应力）切应力t t:使单元体产生顺时针旋转趋势为正；反使单元体产生顺时针旋转趋势为正；反之为负；之为负；3）对）对 角，角，x轴逆时针旋转这一角度而与斜截面外法轴逆时针旋转这一角度而与斜截面外法线重合时，其值为正；反之为
12、负。线重合时，其值为正；反之为负。取图取图c所示分离体进行分析。图所示分离体进行分析。图c中所示斜截面中所示斜截面上应力和斜截面夹角均为正。上应力和斜截面夹角均为正。efbtytxt(c)xyx第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 0nF0cossindsinsindsincosdcoscosddttAAAAAyyxx 由图由图d所示体元上各面上的力的平衡，参考法线所示体元上各面上的力的平衡，参考法线n 和切线和切线t 方向可得：方向可得：ntydAsin(d)bftydAsintdAtxdAcosedAxdAcos第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论t2sin2c
13、os22xyxyx由此可得，任一斜截面上的应力分量为：由此可得，任一斜截面上的应力分量为：0tF0sinsindcossindcoscosdsincosddtttAAAAAyyxx其中其中dA为斜截面为斜截面ef的面积。的面积。tt2cos2sin2xyx第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论7-3 空间应力状态的概念 下图所示单元体的应力状态是最普遍的情况，下图所示单元体的应力状态是最普遍的情况，称为一般的称为一般的空间应力状态空间应力状态。图中图中x平面有：平面有：xzxyxtt,图中图中y平面有：平面有：yzyxytt,图中图中z平面有：平面有：zyzxztt,在切应力的下标
14、中，第一个表示所在平面，第在切应力的下标中，第一个表示所在平面，第二个表示应力的方向。二个表示应力的方向。xyzOd xdyd ztxytxzxtyxytyztzyztzxtxyxtxztzyztzxtyxytyz第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论zxyzxyzyxttt,空间应力状态共有空间应力状态共有9个分量，然而，根据切应个分量，然而，根据切应力互等定理可知，独立的分量只有力互等定理可知，独立的分量只有6个，即：个，即：xyzOdxdydztxytxzxtyxytyztzyztzxtxyxtxztzyztzxtyxytyz 可以证明，对上述应力状态一定可找到一个可以证明，
15、对上述应力状态一定可找到一个单元体，其三对相互垂直的面都是主平面，其上单元体，其三对相互垂直的面都是主平面，其上应力分别为：应力分别为：321,121332(a)第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论考虑图考虑图a所示主单元体中斜截面上的应力。所示主单元体中斜截面上的应力。对与对与 3平行的斜截面平行的斜截面：同理：同理：和和 2平行的斜截面上平行的斜截面上应力与应力与 2无关，由无关，由 1、3的的应力应力圆确定；圆确定；和和 1平行的斜截面上应力与平行的斜截面上应力与 1无关无关，由由 2、3的的应力圆确定。应力圆确定。下面分析空间应力状态下的最大正应力和切应力。下面分析空间应
16、力状态下的最大正应力和切应力。133(b)2121332(a)由图由图b可知，该面上应力可知，该面上应力 、t t 与与 3无关，由无关，由 1、2的应力的应力圆来确定。圆来确定。t t 第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论cab121332(a)进一步研究表明，一般斜截面进一步研究表明，一般斜截面abc面上应力面上应力位于图位于图c所示的阴影部分内。所示的阴影部分内。tO321BDA(c)第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论1max3min231maxt t tmax作用面为与作用面为与 2平行，与平行，与 1和和 3各各成成45角角的斜截面的斜截面。所以，由所以
17、，由 1、3构成的应构成的应力圆最大，力圆最大，t tmax作用点位作用点位于该圆上，其值为：于该圆上，其值为：因为：因为：tO321maxBDAtmax(c)第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论tO321maxBDAtmax(c)121332tmax 注意：注意：t tmax作用面上作用面上 一般不为零，一般不为零，其值为：其值为：=(1+3)/2第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论例：用应力圆求图例：用应力圆求图a所示应力状态的主应力、主平面，所示应力状态的主应力、主平面，最大切应力最大切应力t tmax及作用面。及作用面。解：由图示应力状态可知解：由图示应力状
18、态可知 z=20MPa为一主应力，为一主应力，则与该应力平行的斜截面上的应力与其无关。可由则与该应力平行的斜截面上的应力与其无关。可由图图b所示的平面应力状态来确定另两个主应力。所示的平面应力状态来确定另两个主应力。202040(b)(a)20MPa20MPa40MPa20MPaxyz第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论202040(b)31tOACDyDx(c)图图b所示平面应力状态对应的应力圆如图所示平面应力状态对应的应力圆如图c。MPa461MPa202MPa263由此可得：由此可得：第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论MPa461MPa202MPa263最后
19、依据三个主应力值可绘出三个应力圆，如图最后依据三个主应力值可绘出三个应力圆，如图d。tOtmax321BACDyDx20(d)第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论MPa36max BCt 作用面与作用面与 2平行而与平行而与 1逆时针成逆时针成45角，如图角，如图e所示。所示。最大切应力对应于最大切应力对应于B点的点的纵坐标，即纵坐标，即t45maxx(e)32117tOtmax321BACDyDx20(d)(a)20MPa20MPa40MPa20MPaxyz第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论例：对下列图示应力状态，求切应力最大值。例：对下列图示应力状态，求切应力
20、最大值。21maxt21maxt23maxt12123第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论02231maxt601402403MPa50231maxt=60t=40可求得：可求得：t102t3tt231maxt第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论7-4 应力与应变之间的关系1、各向同性材料的广义胡克定律 p时，时，ExEyEz2 2）纯剪应力状态：）纯剪应力状态：Gxxytgptt1 1）单向应力状态：）单向应力状态：横向线应变：横向线应变：txgxy时，时，第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论3 3）空间应力状态：）空间应力状态：对图示空间应力状态：
21、对图示空间应力状态：;,zyx六个独立的应力分量，六个独立的应力分量，zxyzxyttt ,d xdyd ztxytxzxtyxytyztzyztzxtxyxtxztzyztzxtyxytyz对应的六个应变分量，对应的六个应变分量，zxyzxyzyxggg,第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 正应变分量同前，正应变分量同前，拉为正、压为负；切应拉为正、压为负；切应变分量以使直角减小为变分量以使直角减小为正，反之为负。正，反之为负。正负号规定：正负号规定：正应力分量同前，拉为正、压正应力分量同前，拉为正、压为负；切应力分量重新规定，为负；切应力分量重新规定，正面（外法线与坐正面（
22、外法线与坐标轴指向一致）上切应力矢与坐标轴正向一致或标轴指向一致）上切应力矢与坐标轴正向一致或负面上切应力矢与坐标轴负向一致时，切应力为负面上切应力矢与坐标轴负向一致时，切应力为正，反之为负。正，反之为负。d xdyd ztxytxzxtyxytyztzyztzxtxyxtxztzyztzxtyxytyz第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 对各向同性材料，在线弹性、小变形条件下，对各向同性材料，在线弹性、小变形条件下，正应力只引起线应变，切应力只引起切应变，应力正应力只引起线应变，切应力只引起切应变，应力分量和应变分量的关系可由叠加原理求得：分量和应变分量的关系可由叠加原理求得
23、：xyxzzy(a)txytxztyxtyztzytzxtxytxztzytzxtyxtyz(b)第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论三个正应力分量单独作用时，三个正应力分量单独作用时，x方向的线应变为：方向的线应变为：ExxEyx Ezx xyxzzy(a)zyxxxxxE 1则可得：则可得：yxzzE1zxyyE1同理可得：同理可得：第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论对切应力分量与切应变的关系，有：对切应力分量与切应变的关系，有：GxyxytgGyzyztgGzxzxtgtxytxztyxtyztzytzxtxytxztzytzxtyxtyz(b)第七章第七章
24、 应力状态和强度理论应力状态和强度理论zyxxE1yxzzE1zxyyE1GxyxytgGyzyztgGzxzxtgd xdyd ztxytxzxtyxytyztzyztzxtxyxtxztzyztzxtyxytyz 上述六个关系式即为空间应力状态下，线弹性上述六个关系式即为空间应力状态下，线弹性和小变形条件下和小变形条件下各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论对平面应力状态：设对平面应力状态：设 z=0，t txz=0，t tyz=0，有：，有：yxzEyxxE1xyyE1xyxyGtg1xtxyy一般形式：一般形式：901E
25、第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论若用主应力和主应变来表示广义胡克定律，有：若用主应力和主应变来表示广义胡克定律，有：213331223211111EEE121332第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论21312221111EEE二向应力状态：二向应力状态：,03设设有有1212EG可见，即使可见，即使 3=0，但，但 3 0，而且各向同性材料有，而且各向同性材料有第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论例：已知一受力构件自由表面上某点处的两主应变例：已知一受力构件自由表面上某点处的两主应变值为值为 1=24010-6，3=16010-6。材料的弹性模量
26、。材料的弹性模量E=210GPa，泊松比，泊松比 =0.3。求该点处的主应力值。求该点处的主应力值数，并求另一应变数，并求另一应变 2的数值和方向。的数值和方向。解：因主应力和主应变相对应，则由题意可得：解：因主应力和主应变相对应，则由题意可得：02即为平面应力状态，有即为平面应力状态，有3111E1331E联立两式可解得联立两式可解得 1，3。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论MPa3.44101603.02403.011021016233121EMPa3.20102403.01603.011021016231323E663312103.34103.203.44102103.
27、0E主应变主应变 2为：为：其方向必与其方向必与 1和和 3垂直，沿构件表面的法线方向。垂直，沿构件表面的法线方向。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论2 平面应力状态下的电测法yxzxyyyxxEEE11一般形式：一般形式：901E 对各向同性材料图示平面应力状态，在对各向同性材料图示平面应力状态，在线弹性、线弹性、小变形条件下，小变形条件下，x、y与与切应变无关，即有：切应变无关，即有：由此可见，可通过测量相应的线应变来确定一由此可见，可通过测量相应的线应变来确定一点的应力状态。点的应力状态。xtxyy第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 1、已知主应力方向的平
28、面应力状态 只需测出主应力方向上的主应变只需测出主应力方向上的主应变 1、2即可求即可求得主应力。得主应力。t LH第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论例：已知图示简支梁例：已知图示简支梁C点点45方向的线应变方向的线应变，材料，材料的弹性模量为的弹性模量为E，求载荷，求载荷F。其中。其中kIzzmaxSl/32l/3FC45b第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论tttEEE1113145解：解：C点的应力状态为图示纯剪应力状态。点的应力状态为图示纯剪应力状态。tCtt3210，453t1t主应力方向如图中红线所示，一主应力方向的应主应力方向如图中红线所示，一主应力
29、方向的应变已知，并且变已知，并且l/32l/3FC45b第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论l/32l/3FC45bbkFbISFzz3maxStbkFE31t 13bkEF而：而：所以：所以：tE145第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论一般用三个方向上的应变测量一般用三个方向上的应变测量来求得应力值，如：来求得应力值，如：2、主应力方向未知的平面应力状态606060或或：xy4545ytxx第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论xyyyxxEE2211 对下图所示平面应力状态，对对下图所示平面应力状态，对45应变花，应变花，在在x、y方向有：方向有：
30、ytxxxy4545yx,解出第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论ytxx13545451Exy4545利用应力圆可得：利用应力圆可得：xyxt2145xyxt21135tODyDxCA2A120D45D-45由此可得：由此可得：4521tyxxE第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论若是若是135 应变花：应变花：xyxt2145xyxt21135451351351E可得：可得：21135yxxEt 由此可见，通过上述三个方向线应变的测量由此可见，通过上述三个方向线应变的测量即可求出该点的应力状态。即可求出该点的应力状态。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强
31、度理论例：构件表面某点例：构件表面某点O，实验测得该点沿，实验测得该点沿0、45和和 90方位的正应变分别为方位的正应变分别为 0=45010-6，45=35010-6，90=10010-6，已知已知E=200 GPa，=0.3，试求该点处的主试求该点处的主应力应力。解：显然，有：解：显然，有：6010450 x69010100y64510350由此可得：由此可得：MPa5.10512yxxEMPa6.5112xyyEMPa3.422145tyxxE第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论进而可得：进而可得：221128.8MPa22xyxyxt22228.4MPa22xyxyxt第
32、七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论VV每单位体积的体积改变，称为每单位体积的体积改变，称为体积应变体积应变，即：，即：zyxVddd zyxzyxVddd1d1d1d1321321所以：所以：3213、各向同性材料的体应变对图示主单元体：对图示主单元体：而变形后单元体体积为：而变形后单元体体积为：321dxdzdy32121E可见，可见，任一点处的体积应变与三主应力之和成正比。任一点处的体积应变与三主应力之和成正比。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论对平面纯剪应力状态：对平面纯剪应力状态：0231t；xy021321E 即在小变形条件下，切应力不引起各向同性材料即
33、在小变形条件下，切应力不引起各向同性材料的体积改变。的体积改变。txy第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论d xdyd ztxytxzxtyxytyztzyztzxtxyxtxztzyztzxtyxytyzxyxzzy(a)txytxztyxtyztzytzxtxytxztzytzxtyxtyz(b)在小变形，空间应力在小变形，空间应力状态下，材料的体积应变状态下，材料的体积应变只与三个线应变有关，并只与三个线应变有关，并有：有：zyxE21第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论7-5 空间应力状态下的应变能密度VVvdd单位体积的应变能，称为单位体积的应变能，称为应
34、变能密度应变能密度，即：，即：1、单向应力状态dzdydx2222121ddd)/2d)(dd(ddEEzyxxzyVVv第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论2、纯剪切应力状态、纯剪切应力状态 ()pttxzyVddd21dgtzyxddd21tgVVvddtgtg21dddddd21zyxzyxgtGGv22t22gGv xyzabOcdxddydzttttg第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论3、三向应力状态 比例加载：比例加载：图示主单元体中，各面上的应力图示主单元体中，各面上的应力按同一比例增加直至最终值。按同一比例增加直至最终值。dzdydx213 在线弹
35、性范围和小变在线弹性范围和小变形条件下，应变能与加载形条件下，应变能与加载顺序无关，只取决于外力顺序无关，只取决于外力(变形变形)的最终值。的最终值。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 zyxzyxyxzxzyVddd21ddd21ddd21ddd21d332211332211dzdydx213 比例加载比例加载时，对每一主应时，对每一主应力，其对应的应变能仅与对应力，其对应的应变能仅与对应的主应变有关，而其它主应力的主应变有关，而其它主应力在该主应变上不做功，同时考在该主应变上不做功，同时考虑三个主应力，有：虑三个主应力，有：第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论
36、33221121ddVVv由前述广义胡克定律由前述广义胡克定律213331223211111EEE有：有：313221232221221Ev则应变能密度为：则应变能密度为：zyxVdddd而主单元体体积为：而主单元体体积为：第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论321m314、形状改变比能一般情况，单元体有体积改变，也有形状改变。一般情况，单元体有体积改变，也有形状改变。1=+主单元体分解为图示两种单元体的叠加，有主单元体分解为图示两种单元体的叠加，有23(a)mmm(b)2m21m13m3(c)平均应力：平均应力：第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论1=+23(a)
37、mmm(b)2m21m13m3(c)则则体积不变，仅发生形状改变体积不变，仅发生形状改变。0321 在在 m作用下，作用下，图图b无形状改变，且其无形状改变，且其体积应变同体积应变同图图a，而对，而对图图c，因为：，因为：第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 与此对应，图与此对应，图a的体积改变能密度等于图的体积改变能密度等于图b的应变的应变能密度，而图能密度，而图a的形状改变能密度等于图的形状改变能密度等于图c所示单元体所示单元体的应变能密度，即：的应变能密度，即：mmmmm3m21m211EE而：而：3mmm2m1mmV212121v1=+23(a)mmm(b)2m21m13
38、m3(c)第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论mmmmm3m21m211EE而：而：3mmm2m1mmV212121v1=+23(a)mmm(b)2m21m13m3(c)所以：所以：23212m1mmV621221323EEv第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论213331223211111EEE332211d212121v而：而：另外，由图另外，由图c可得：可得：1=+23(a)mmm(b)2m21m13m3(c)61231232221dEv第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论231232221d61EvdVvvv可证明：可证明：1=+23(a)mm
39、m(b)2m21m13m3(c)2321V621Ev313221232221221Ev第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 对一般空间应力状态的单元体，应变能密度可对一般空间应力状态的单元体，应变能密度可由六个应力分量和对应的应变分量来表示，即为：由六个应力分量和对应的应变分量来表示，即为：zxzxyzyzxyxyzzyyxxvgtgtgt21xyzOd xdyd ztxytxzxtyxytyztzyztzxtxyxtxztzyztzxtyxytyz第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论例：证明例：证明12EG证明：对图示纯剪应力状态有：证明：对图示纯剪应力状态有：g
40、xytxydzdydxtxy应变能密度为应变能密度为GVVvxy221ddt第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论xyt102xyt3而对纯剪切应力状态，其主应力为：而对纯剪切应力状态，其主应力为：txy1txy3txy1txy 故由主应力和主应变表示故由主应力和主应变表示的应变能密度为：的应变能密度为：332211212121vxyEEt11311xyEEt11133又由于：又由于：第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论所以：所以：21121121xyxyxyxyxyEEEvtttttGExyxy2122tt由此可得：由此可得：GE211最后证得：最后证得：12EG结
41、合前式，有：结合前式，有：第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论7-6 强度理论及其相当应力1 1、概述、概述 umaxn 1 1）单向应力状态：）单向应力状态：图示拉伸或压缩的单向应力状态，材料的破图示拉伸或压缩的单向应力状态，材料的破坏有两种形式：坏有两种形式：塑性屈服：极限应力为塑性屈服：极限应力为2.0psu或脆性断裂：极限应力为脆性断裂：极限应力为bu 此时，此时，s、p0.2和和 b可由实验测得。由此可建可由实验测得。由此可建立如下强度条件：立如下强度条件：其中其中n为安全因数。为安全因数。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论umaxtttnt2)2)纯剪
42、应力状态：纯剪应力状态：图示纯剪应力状态，材料的破图示纯剪应力状态，材料的破坏有两种形式：坏有两种形式：塑性屈服：极限应力为塑性屈服：极限应力为sutt脆性断裂：极限应力为脆性断裂：极限应力为butt 其中，其中，t t s和和t t b可由实验测得。由此可建立如可由实验测得。由此可建立如下强度条件：下强度条件：第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 前述强度条件对材料破坏的原因并不深究。例如，前述强度条件对材料破坏的原因并不深究。例如，图示低碳钢拉图示低碳钢拉(压压)时的强度条件为：时的强度条件为：2maxmaxtmaxFF 然而，其屈服是由于然而，其屈服是由于t tmax引起的
43、，对图示单向引起的，对图示单向应力状态，有：应力状态，有：nnsumax依照切应力强度条件，有：依照切应力强度条件，有：nsmaxmax2ttsu与与usus22tt或相当相当(等效等效)。可见，可见，第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论maxtt3 3）复杂应力状态）复杂应力状态txx来建立，因为来建立，因为 与与t t 之间会之间会相互影响。相互影响。研究复杂应力状态下材料破坏的原因，根据一研究复杂应力状态下材料破坏的原因，根据一定的假设来确定破坏条件，从而建立强度条件，这定的假设来确定破坏条件，从而建立强度条件，这就是强度理论的研究内容。就是强度理论的研究内容。对图示平面应
44、力状态，不能分别用对图示平面应力状态，不能分别用max第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论4 4）材料破坏的形式）材料破坏的形式 塑性屈服型：塑性屈服型：常温、静载时材料的破坏形式大致可分为：常温、静载时材料的破坏形式大致可分为：脆性断裂型：脆性断裂型：铸铁：拉伸、扭转等；铸铁：拉伸、扭转等；低碳钢：三向拉应力状态。低碳钢：三向拉应力状态。低碳钢：拉伸、扭转等；低碳钢：拉伸、扭转等；铸铁：三向压缩应力状态。铸铁：三向压缩应力状态。例如：例如：例如：例如：可见：可见：材料破坏的形式不仅与材料有关，还与材料破坏的形式不仅与材料有关，还与应力状态有关。应力状态有关。第七章第七章 应力状
45、态和强度理论应力状态和强度理论 根据一些实验资料，针对上述两种破坏形式，根据一些实验资料，针对上述两种破坏形式，分别针对它们发生破坏的原因提出假说，并认为不分别针对它们发生破坏的原因提出假说，并认为不论材料处于何种应力状态，某种类型的破坏都是由论材料处于何种应力状态，某种类型的破坏都是由同一因素引起，此即为同一因素引起，此即为强度理论强度理论。maxt脆性断裂：脆性断裂：maxt塑性断裂：塑性断裂：maxtdv5 5）强度理论）强度理论常用的破坏判据有：常用的破坏判据有：下面将讨论常用的、基于上述四种破坏判据的下面将讨论常用的、基于上述四种破坏判据的强度理论。强度理论。第七章第七章 应力状态和
46、强度理论应力状态和强度理论2、四个常用的强度理论 u1强度条件：强度条件：u1n1 1）最大拉应力理论）最大拉应力理论(第一强度理论第一强度理论)假设最大拉应力假设最大拉应力 1是引起材料脆性断裂的因是引起材料脆性断裂的因素。不论在什么样的应力状态下，只要三个主应素。不论在什么样的应力状态下，只要三个主应力中的最大拉应力力中的最大拉应力 1达到极限应力达到极限应力 u，材料就发，材料就发生脆性断裂，即：生脆性断裂，即：可见：可见：a)与与 2、3无关；无关；b)极限应力极限应力 u可用单向拉伸试样发生脆性断可用单向拉伸试样发生脆性断裂的试验来确定。裂的试验来确定。第七章第七章 应力状态和强度理
47、论应力状态和强度理论实验验证：实验验证：铸铁：单拉、纯剪应力状态下的破坏与铸铁：单拉、纯剪应力状态下的破坏与该理论相符；平面应力状态下的破坏和该理论基本该理论相符；平面应力状态下的破坏和该理论基本相符。相符。存在问题：存在问题：没有考虑没有考虑 2、3对脆断的影响，无法解对脆断的影响，无法解释石料单压时的纵向开裂现象。释石料单压时的纵向开裂现象。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 假设最大伸长线应变假设最大伸长线应变 1是引起脆性破坏的主要是引起脆性破坏的主要因素，则：因素，则：u1 u用单向拉伸测定，即：用单向拉伸测定，即：Euu2 2）最大伸长线应变理论）最大伸长线应变理论
48、(第二强度理论第二强度理论)因此有破坏条件：因此有破坏条件：u321强度条件为：强度条件为：u321n32111E因为：因为：第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论实验验证：实验验证：a)可解释大理石单压时的纵向裂缝；可解释大理石单压时的纵向裂缝；b)铸铁二向、三向拉应力状态下的实验不符；铸铁二向、三向拉应力状态下的实验不符；c)对铸铁一向拉、一向压的二向应力状态偏于对铸铁一向拉、一向压的二向应力状态偏于 安全，但可用。安全，但可用。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论231maxtumaxtt 对低碳钢等塑性材料，单向拉伸时的屈服是对低碳钢等塑性材料，单向拉伸时的屈
49、服是由由45斜截面上的切应力斜截面上的切应力t tmax引起的，因而极限应引起的，因而极限应力力t tu可由单拉时的屈服应力可由单拉时的屈服应力 s求得求得，即：，即：常数2sut3 3）最大切应力理论）最大切应力理论(第三强度理论第三强度理论)假设最大切应力假设最大切应力t tmax是引起材料塑性屈服的因是引起材料塑性屈服的因素，即：素，即：因为：因为：故破坏条件为：故破坏条件为：13s=第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论实验验证：实验验证：c)二向应力状态基本符合，偏于安全。二向应力状态基本符合，偏于安全。b)仅适用于拉压性能相同的材料。仅适用于拉压性能相同的材料。由此可得
50、，强度条件为：由此可得，强度条件为：s31na)仅适用于拉压性能相同的材料；仅适用于拉压性能相同的材料；b)低碳钢单拉低碳钢单拉(压压)对对45 滑移线吻合；滑移线吻合；存在问题：存在问题：a)没考虑没考虑 2对屈服的影响，偏于安全，对屈服的影响，偏于安全，但误差较大；但误差较大；第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 假设形状改变能密度假设形状改变能密度vd是引起材料塑性屈服的是引起材料塑性屈服的因素，即：因素，即：dudvv s10324 4）形状改变能密度理论）形状改变能密度理论(第四强度理论第四强度理论)因为材料单拉屈服时有：因为材料单拉屈服时有：duv可通过单拉试验来确定
