1、第二篇第二篇 数学物理方程数学物理方程第七章第七章 数学物理方程的定解问题数学物理方程的定解问题7.1 数学物理方程的导出数学物理方程的导出一、基本思路1.受力分析xx0Axgfs2.牛顿定律fxm 3.振动方程Axgxms 0 xmAgxs 1.目标：建立描述物理过程的微分方程。2.操作：物理过程由物理量的变化描述选取物理量，物理量的微分表示它的变化；物理过程服从物理规则（牛顿定律，库伦定 律等）建立微分方程。1.均匀弦的微小横振动),(),(txutxy),(txuxxyxx),(ttxxu变化),(),(ttxxuttxxy二、几种基本的方程A.弦的横振动)(xux0ABCx)(xuxx
2、 uu 1T12T2B.无穷小的一段弦 BC.受力分析和运动方程弦的原长xs现长xuxs22)()(弦长的变化产生回到原位置的张力)(xux0ABCx)(xuxx uu 1T12T20coscos1122TT沿x-方向，不出现平移dxdxds2)(dxm弦长质量密度B段的质量沿垂直于x-轴方向ttttmumydtydmf22ttudxTT)(sinsin11220coscos1122TTttudxTT)(sinsin1122小振动：.1cos,1cos,0,02121xxxuxu11tansin22sintanxxxu012TTttxxdxxxudxuTuT)(12ttxxdxxxudxuTu
3、T)(12ttxxdxxxudxuuT0ttxxuTu/2Ta 02xxttuau波动方程。波速xat1txx ta t 0122ttttuaauaD.受迫振动 在上式推导过程中，出现的力是弦内的张力，外力为零。在受到与弦垂直方向的周期力的作用时，弦运动为受迫振动。设单位长度上弦受力 ，则 dx 受力为 。),(txF/),(),(txFtxfttxxdxxxudxdxtxFuTuT)(),(12最后得受迫振动方程),(2txfuauxxtt2.均匀杆的纵振动A.杆的弹性力学基本力学方程：胡克定律LdLYSf Y：杨氏模量，单位面积上的应力。LSdLf杆中选 L=dx 长一段时刻时刻t，x 一
4、端位移 u，x+dx 一端位移 u+du。duuduudL)(xYSudxduYSf杆的伸长LSdLfB.运动方程xdxxxudxuduuduudL)(xYSudxduYSf更长的dx，两端的相对伸长和应力将不同，杆受力dxYSuYSuYSufffxxxdxxxdxx牛顿定律：ttuSdxf)(即02xxttuau/2Ya 为波速补充补充 连续性方程连续性方程连续分布的某种物理量，如介质：建立座标密度：单位容积中物理量的多少),(tzyxu流强度：单位时间通过单位面积的该物理量（v 为流速）vuq单位时间沿 x-方向净流入量净流入量xyz),(zyx),(dzzdyydxxdxdydzxqdx
5、xqdxdydzxqdydzqqxdxx)(单位时间净流入量等于由密度增加的量dxdydztu二者相等得连续性方程连续性方程dxdydztudxdydzxq0)(xuvxtu表示物质的总量守恒xyz),(zyx),(dzzdyydxxdxdydzxqdxxq3.流体力学与声学方程A.连续介质性质：当振动在液体和气体中传播时，液体和气体就成为传播振动的连续介质。在其中取一个小的立方体，可以定义介质在此的密度，速度 v 和压强 P。振动引起密度的疏密变化。例如，在静止的介质中，介质的速度为零，并且有压强 和密度 。当振动出现时，介质中各处有介质的振动速度 v，振动的传播速度声速；显然，v声速，声速
6、，并且设密度的相对变化 s 为0P000sB.拉普拉斯假定欧拉方程（流体动力学方程）fpvvvt1)(连续性方程0)(vt物态方程声传播为绝热过程：00pp)(fp 过程方程C.方程s,v 小量,f=0pvt010tts 0)(0vvtt0vst)1()1()(000000spsppppppvt01)1(0sppspvt00spvt000vst022sastt002pa4.真空电磁波方程电磁学的麦克斯韦方程（微分形式）ttDjHBBED,0,真空时：EDHBj00,0,0ttEHHHEE00,0,0tttEH0000ttEE,0tHEBABAABABBA)()()()()(EEEEEE)()(
7、)()()()(0)(2EaEtt0)(2HaHttEBA,5.扩散方程A.扩散现象系统的浓度 u(x)不均匀时，将出现物质从高浓度处到低浓度处的转移，叫扩散。B.菲克定律dxx)(xu)(dxxu浓度梯度浓度梯度：u扩散流强度扩散流强度：单位时间通过单位面积的物质的量quDq0)(xuvxtuvuqC.扩散方程0)()(xuDxtuxqtuuvxtuxxD 均匀0222xuatu三维0)()()(zuDzyuDyxuDxtu0)(2uatuDa 2连续性方程带入菲克定律建立微分方程的两类方法1.直接从方程出发麦克斯韦方程 0)(2EaEtt0)(2HaHtt菲克定律+连续性方程=扩散方程0)
8、(2uatu欧拉方程（流体动力学方程）fpvvvt1)(连续性方程0)(vt绝热过程00pp022sastt均匀杆的纵振动xdxxxudxuxYSudxduYSfttuSdxf)(02xxttuau2.从分析物理对象出发均匀弦的微小横振动ttttmumydtydmf2202xxttuau)(xux0ABCx)(xuxx uu 1T12T26.热传导方程热传导:热量从温度高的地方到温度低的地方转移。1ux2uq热力学问题。热力学第一定律热力学第一定律：dUdWdQUWQ热力学过程交换的热量热力学过程外界对系统做的功系统的内能热传导过程 dW=0，dUdQ 系统传导的热量就是内能的改变。),(tz
9、yxu系统的温度热流强度 ：单位时间通过单位面积的热量。能量守恒，满足连续性方程热流强度 ：单位时间通过单位面积的热量。傅立叶定律：ukqk热传导系数建立热传导与扩散间的对比浓度温度扩散流强度热流强度斐克定律傅立叶定律连续性方程热传导方程0222xuatu一维：ka 2三维0)()()(zuDzyuDyxuDxtu0)(2uatu它们形式完全相同，通称为扩散方程。扩散方程。7.稳定分布扩散方程扩散方程的解一般含时),(tzyxu不含时的解满足方程0)(2uatuuu0)(此为拉普拉斯方程拉普拉斯方程。即稳定的浓度分布和温度分布，其浓度和温度满足拉普拉斯方程。8.真空静电场高斯定理SVdVSdD
10、VVdVdVE01ED001E真空还有0又VE0E最后：0V9.薛定谔方程Vuumuit22扩散类方程7.2 定解条件定解条件一、常微分方程定解问题回顾对于某个未知函数，它的微分方程是它的导数满足的代数方程。解这个代数方程，得导数。由积分，从导数得出原函数。常微分方程求解就是积分。积分过程会出现积分常数。常微分方程定解问题就是确定积分常数。通常通过未知函数在自变量的一个特定值的值，如初值（u(t=0)）确定积分常数。从而定解。积分一次，出现一个积分常数；求解二阶常微分方程出现两个积分常数。二、数学物理方程的定解问题1.初始条件类似于常微分方程定解过程的初值。偏微分方程，对每个自变量的每次积分都
11、出现一个积分常数。复杂！复杂！t0:初始条件。x,y,z0，l:边界条件自变量特定值：),(),(0zyxtzyxut初始“位移”初始“速度”),(),(0zyxtzyxuttT的一次方程，只需要初始位移T的二次方程还需要初始速度。注注：和 是空间座标的函数，在系统的任何位置都是确定的！),(zyx),(zyx例如t=0:)()0,(xtxuhx)(1111)(lxllxlhlxlxhxxu1lxlx0 xhxhl)(1特定的时间，变化的空间。2.边界条件以一维情况为例特定的空间，变化的时间。边界划分系统和外界。系统和外界之间的不同的关系，决定了不同的边界条件。定解所需要的是自变量特定值的函数
12、与函数的导数两项。不同的边界条件决定了这两项的不同的组合，故可能出现几类边界条件。A.第一类边界条件只与函数在空间特定位置的值有关，与其导数无关。如如：a.两端固定的弦振动0),(0 xtxu0),(lxtxu和如上图b.细杆热传导0 xlx 0),(utxulx或随时间变化的温度)(),(tftxulx恒温c.扩散恒定浓度，或随时间变化的浓度。B.第二类边界条件第一类边界条件的基本形式：),(),(000,000tzyxftzyxuzyx边界速度确定。a.细杆的纵振动。当端点“自由”，即无应力。根据胡克定律，杆的相对伸长也为零：0),(lxxtxub.细杆热传导。端点绝热，热流强度为零：由傅
13、立叶定律：0),(lxxtxuC.第三类边界条件位移和速度的组合a.细杆热传导。端点“自由”冷却。牛顿冷却定律：)(TuhqT 为环境温度。nquT根据傅立叶定律，在x=l 处：)(Tuhkulxlxn负x方向0 xlx nn正x方向)(TuhkulxlxnTHuulxx)(THuulxx)(在x=0 处xnkuqxnkuq b.细杆纵振动。端点与固定点弹性连接。应力为弹性力胡克定律：xYSuf 弹性力：kuf 则在端点xYSuku 0)(lxxukYSu一般表达式：),()(000,000tzyxfHuuzyxx这些是最常见的，线性的边界条件。还要其它形式，需根据具体情况制定之。xlx k3
14、.衔接条件 系统中可能出现物理性质急剧变化的点跃变点。如两节具有不同的杨氏模量的细杆在 x=0 处连接，这一点就是跃变点。跃变点两边的物理过程因此不同。但在跃变点，某些物理量仍然可以是连续的，这就构成衔接条件。衔接条件更加依赖于具体的物理情况。横向力 作用于 点。)(tF0 x弦在 的左右斜率不同，但位移的极限值相同。)(tF例ux0 x0 x)0()0(00 xuxu又，横向力应与张力平衡：0sinsin)(21TTtF这两个等式就是衔接条件。求解数学物理方程方法：行波法驻波法积分变换格林函数法7.4 达朗贝尔公式 定解问题（一）波动方程的达朗贝尔公式达朗贝尔公式 0),()(22222tx
15、uxat将 和 看作如同数算子，可以加减乘除：t x0),()(txuxatxatxtatxatxA.坐标变换行波法因式分解0),()(22222txuxat0),()(txuxatxat当 a=1 沿 x 和 t 求导，变成沿对角线求导。变换：)(21x)(21atatxatxxt0atx0atxxxttxxttxta2121)(21xataxta2121)(21xata0),(4),()(22uatxuxatxat0),(2u即)(21x)(21atatxatx0),(2uB.通解对 积分：)(),(ftxu积分常数依赖于 再积分：)()()()(212fffdfu)()(21atxfat
16、xf为两个待定函数的和。tTatxX坐标变换：TXtx,新、旧坐标 时间同，新坐标的原点 X=0 在旧坐标中有坐标 ，在旧坐标中以速度 d 沿正向运动。atx f1(x+at)保持形状不变，以速度 d 运动沿 x 轴反方向运动。12()()uf xatfxat意义函数 f2(x-at)保持形状不变，以速度 d 运动沿 x 轴正方向运动。C.定解 达朗贝尔公式 确定待定函数待定函数的形式无限长，即无边界条件。设初始条件)(0 xut)(0 xutt)(x)()()(21xxfxf)()()(21xxafxaf)()()(1)()(0201210 xfxfdaxfxfxx12()()uf xatf
17、xat)()()(21xxfxf)()()(1)()(0201210 xfxfdaxfxfxx)()(21)(1)(21)(020110 xfxfdaxxfxx)()(21)(1)(21)(020120 xfxfdaxxfxx)()(21)(21)(21)(020110 xfxfdaatxatxfatxx)()(21)(1)(21)(020120 xfxfdaatxatxfatxxdaatxatxtxuatxatx)(21)()(21),()()(21atxfatxfu)()(21)(1)(21)()(21)(21)(210201020100 xfxfdaatxxfxfdaatxatxxatx
18、xdadaatxatxatxxatxx)(1)(21)(21)(2100daatxatxtxuatxatx)(21)()(21),(行波)(0 xut)(0 xutx一半一半00111()()()222x atx atx atx atdddaaa 例例2122112102111210,02,22,2)(xxorxxxxxxxxxxuxxxxxxxxux0)(x)(xx1x2x221xx 0u)(xx1x2x221xx 0ux0u)(21xx),(txu1x2xx)()(21),(atxatxtxu例例xxxxxxxx21210,0)(0)(x解解：dadadatxuatxatxatxatx)(
19、21)(21)(21),(1x2xx()x0daxx)(21)(设daxx)(21)(1xx dadaxxx021)(21)(21xxx2xx 1021)(21)(110ddadaxxxxx01021)(21)(22110dddadaxxxxxxx0)(210 xxa)(2120 xxa1x2xx)(x01x2xx)(x01x2xx0)(xdadadatxuatxatxatxatx)(21)(21)(21),(从达朗贝尔公式达朗贝尔公式 可以看出，波动方程度解，是初始条件的演化。方程本身并不可能产生出超出初始条件的，额外的形式来。而这种演化又受到边界条件的限制。这就说明了初始条件和边界条件在确
20、定波动方程度解时的重要性。daatxatxtxuatxatx)(21)()(21),(（二）端点的反射一个端点固定0),()(22222txuxat)0(x设初始条件为)(0 xut)(0 xutx边界条件00 xu达朗贝尔公式是无限长弦的公式。daatxatxtxuatxatx)(21)()(21),(daatxatxtxuatxatx)(21)()(21),(axt/上式中后两项无意义。必须将 u(x,t)延拓到0),0(tu作奇延拓：)()(xx)()(xx)0()()0()()(xxxxx)0()()0()()(xxxxxx0 x daatxatxtxuatxatx)(21)()(21
21、),()/()(21)()(21)/()(21)()(21),(axtdaatxatxaxtdaatxatxtxuatxxatatxatxatxatxatx 对称点axt/axt/axt/延拓)/()(21)()(21)/()(21)()(21),(axtdaatxatxaxtdaatxatxtxuatxxatatxatxdadadadadaaxtatxatxatxatxatxatx)(21)(21)(21)(21)(21)/(0000)()(21)(21)()(21)(21000)(0dadadadaxatatxatxatx半波损失0)(x一个端点自由0),()(22222txuxat)0(
22、x设初始条件为)(0 xut)(0 xutx边界条件00 xxu应该是偶延拓)0()()0()()(xxxxx)0()()0()()(xxxxxdaatxatxtxuatxatx)(21)()(21),(偶延拓)0()()0()()(xxxxx)0()()0()()(xxxxxdaatxatxtxuatxatx)(21)()(21),()/()(21)(21)()(21)/()(21)()(21),(00axtdadaxatatxaxtdaatxatxtxuxatatxatxatx)()(21)(21)()(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)/(000)(00000dada
23、dadadadadadadaaxtxatatxatxatxatxatxatxatxatxatx无半波损失（三）跃变点的反射 无限长杆，x0 两部分的杨氏模量和密度分别为 。x=0 是跃变点。IIIIIIYY,设有行波 从区域 I 向 x=0 点运动。到 x=0 产生反射和透射。)/(),(Iaxtftxu取此波在 t=0 时刻抵达 x=0 .)0()()0(,002xaxtfuxuauItIIxxItt)0(0,0)0(,0002xuuxuautIIttIIIIxxIItt0 xIIIIY,IIY,)/(Iaxtf)(IIaxthX)(Iaxtg衔接条件,0000 xIIxIIxIxIxIIx
24、IuYuYuu区域 I 中的行波：)0(),()(),(xaxtgaxtftxuIII0t0)(Iaxg)0(,0)(g区域 II 中，只有透射波)0()(),(xaxthtxuIIII0t0)(,0)(IIIIaxhaxh)0(0)(,0)(hh衔接条件)0()(1)()(1),()()(tthYatgtfYathtgtfIIIIII)0()()()(),()()(tthYatgtfYathtgtfIIIIII)0()()()(2)(fYaYaYaYagfYaYaYahIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII)()(2)(0)(IIIIIIIIIIIIIIIIIaxtaxtfYaYaYaaxtaxth)()()(0)(IIIIIIIIIIIIIIIIaxtaxtfYaYaYaYaaxtaxtg1222IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYaYaYaYaYaYaYa又2IIIIIIIIIIIIYaYaYaYa22IIIIIIIIIYaYaYa反射系数透射系数习题 7.4.1)()()(21)()(21)(21)()(21),(atxatxatxatxatxdaaatxatxtxuatxatx解：习题 7.4.60),()(22222txuxat)0(x设初始条件为)(0 xut和)(0 xutx边界条件tYSAuxxsin0
