1、三、状态和状态变量状态状态动力学系统的状态是表征系统运动的信息。只要知道t0的状态和tt0的输入，就能完全确 定tt0的 行为。状态变量状态变量是确定系统状态的最小一组变量。eg：x1(t),x2(t),x n(t)是一组状态变量。*状态变量并不一定是物理上可测或可观察的量。但为最佳控制规律需要把所有这些状态变量反馈，故最好为测量。状态向量状态向量将几个状态变量看作是向量Z(t)的各个分量，Z(t)就叫做状态变量。状态空间状态空间由x1轴，x2轴,，xn轴所组成的n维空间叫做 状态空间，任意状态则为其中一个点。例：VLViCLLRcidtdvCVVRidtdiLcccvi01011.量矩阵方程
2、表示：为状态变量。和间表达式这就是该系统的状态空)()(tvti)(tv)(tvcRL)(ti3-2 系统状态空间的表达式 线性微分方程作用函数中不含有导数项的n阶系统的状态空间表达式：y(n)+a1y(n-1)+an-1+any=u由数学知识知，若y(0),(0),y(n-1)(0)和t0时u(t)则系统未来的行为就可知。设：)1(21nnyxyxyx则微分方程可表示为：uxaxaxaxxxxxxxnnnnnn121113221uxaxaxaxuxxxxxuxxxxxuxxxxxnnnnnnn121132113212321100000001000000或者：BuAxX.nxxxX211211
3、00001000010aaaaAnnn1000B输出方程为：nxxxY21001或者：Y=CZ 001C例：设系统方程为 求状态空间表达式。解：设状态变量为：uyyyy66116.y-输出；u-输入。yxyxyx 321故有 uxxxxxxxyx6611632133221 321321321001Y6006116100010 xxxuxxxxxxs1-11s1-66s1-6uy2x1x3x所以标准形式：CxyBuAax 状态变量的非唯一性：假设x,x,x是一组状态变量，则可取任一组函数。)x,x,x(X=x )x,x,x(X=x )x,x,x(X=x n21nn212n211作为另一组状态变量
4、，若对每一组，值都对应于唯一的一组 的值，反之也成立。则：也是一个状态变量。P是非奇异的。nxxx,21nxxx,21PXX 阶矩阵A的特征值：nn即：|I-A|=0的根。6116100010A设：特征方程：61161001|AI6116230)3)(2)(1(矩阵A的特征值为-1，-2，-3。例：上例中：假设一组新变量Z1，Z2，Z3作如下变换 321321941321111ZZZxxxBUAPZZPBUAXPZXPZX则代入将即：5.05.111435.05.23,941321111111PPBUPAPZPZ其中：即：321321321111363300020001zzzCPZYUzzzZ
5、ZZ得特征值的不变性：证明：|I-P-1AP|=|P-1P-P-1AP|=|P-1(I-A)P|=|P-1|I-A|P|=|P-1|P|I-A|=|P-1 P|I-A|=|I-A|若 q将nn阶矩阵化成对角线矩阵：121100001000010aaaaAnnn具有互不相同的特征值。nAPP00211 式中：112112222121111nnnnnnP为A的n个特征值。i若A 含有多重特征值，则A不能化为对角矩阵，而只能化为约当标准型矩阵。比如：3111000001ASS231213121101Suyyyy66116 332613)3)(2)(1(661166)()(23ssssssssssUs
6、Y例：解：)(33)()(26)()(u13)()(33)(26)(13)(321sussxsussxsssxsUssUssUssY因此：令：32133221133623xxxYuxxuxxuxx 321321321111363300020001xxxYuxxxxxx3s1-33s1-1-6s1-2uy2x1x3x 具有r个作用函数的线性微分方程描述的n阶系统的 状态空间表达式：线性对象输出元件1u2uru1x2xrx1y2yry状态向量nxxxxUtDxtCyUtBxtAx21,)()()()()(tBdt)(tC)(tA)(tDuyx xq作用函数含有导数项的线性微分方程所描述的n阶线性系
7、统的状态空间表达式：这时就不能把)1(,nyyyy 当作一组状态变量，并且也不能采用前面的简洁方法。这是因为n个一阶微分方程。21xx 32xx ubububxaxaxaxnnnnnnn)1(1)(01211un1-n1)-(n1(n)0n1-n1)-(n1(n)bubububyayayay在 时，可能得不到唯一的解。q作为一状态变量必须是能消去状态方程中u的导数项。取：yx 1uxuuuuyxuxuuuyxuxuuyxuyxnnnnnnnn1112)2(2)1(0)1(2221031110201 0111103122133021122011100nnnnnaaabaaabaababb式中：就
8、能保证状态方程解的存在性和唯一性。由上述可得：uxxxyuxxxxaaaaxxxxnnnnnnnnnn02111121121121001100001000010DUCxyBUAxx或：nnnnnnnnasasasbsbsbsbsUsYsG1111110)()()(该表达式表示了传递函数：例、研究图所示的控制系统，闭环传递函数为：64019218)4(160)()()(23sssssUsYsGuuyyyy64016064019218 解：对应的微分方程为：uxuuuyxuuxuuyxuyyx222103110201)0180(00 令：16)4(4ss)2(40ssuy2240160019201
9、816000180003122133021122011100aaabaababb其中：3213213210012240160018192640100010 xxxyuxxxxxx3-3 定常系统状态方程的解法 齐次状态方程的解法：axx（纯量微分方程）假设x(t)为：将所设解代入方程中可得：kktbtbtbbtx2210)()(32221012321kkkktbtbtbbatkbtbtbb显然有：!232003302201kbabbabbababbkk的值可将t=0代入方程求得，即：方程的解x(t)可写为：0b0)0(bx)0()0()!1!211()(22xextaktaattxatkk现在
10、来解矩阵微分方程：式中 x=n维向量，A=nn常系数矩阵设方程解为t的向量幂级数形式，即：AXX kktbtbtbbtX2210)(要求t的同幂项系数相等，即：!232003302201kbAbbAbbAbAbbkk 将t=0代入方程中可得：0)0(bx方程的解：)0()0()!1!21()(22xextAktAAtItxAtkk矩阵指数：一个nn阶矩阵A的矩阵指数：0!kkkAtktAe对于所有有限时间是绝对收敛的。微分性：AsAtstAAtAteeeAeedtd)(.,)(AtAtttAAtAteeIeeets的逆为有时当BtAttBABtAttBAAtAteeeBAABeeeBAABee
11、)()(.,*，那么如果那么如果为非奇异矩阵的逆总是存在的，由于 齐次状态方程的拉普拉氏解法。首先考虑纯量状态方程：axx)0()()0()()0()()()0()(1xetxxasasxsXsaXxssXat对方程取拉氏变换：)()(tAxtx将推广到)0()()()0()()()()0()(:1XASIsXXsXAsIsAXXssXLT322111)()0()()(SASASIASIZASILtx)0()(X!3!2)(332211XetetAtAAIAsILAtAt 状态转移矩阵：AxX 的解写成为 x(t)=(t)x(0)式中(t)是nn阶矩阵，且是：ItAt)0(,)()(的唯一解。
12、由上可知：)()(1AsILetAt注意：)()(1tetAt)(t状态转移矩阵状态转移矩阵的性质)()()()()(5)()(4)()()()()(3)()()()()(2)0(112010201121221)(2111102121ttttttttttntttttteeettttteetIenAtAtttAAtAtA，或，21213210 xxxx)(t例：求系统的状态转移矩阵 和状态转移矩阵的逆)(1t3210A解：)()(11ASILetAt由于：3213210sssoosASIssssASIAASIAASIAASIAASIadjAASI213)2)(1(1)(221221111tttt
13、ttttAteeeeeeeeASIet2222112222)()(ttttttttAteeeeeeeettt222211222e2)()()(非齐次状态方程的解对纯量方程：dbuextxetbuetxedtdtantxebuaxxbuaxxatatatatatetat)()0()()()()()(00 dbueexetxattatat)()0()(0或：零状态响应零输入响应dbueexeattatat)()0(0非齐次状态方程：BUAxx阶常系数矩阵阶常系数矩阵维向量维向量式中rnBnnArUnx:AttetdButxttx)(:)()()0()()(0式中同理可求出：非齐次状态方程的拉普拉斯
14、变换解法：BUAXXdBuexetxtAtAt)()0()()(0略解得：时：当初始时刻为0tdBuetxetxtAttttA)()()()(0)(00)(1)(1032102121ttuuxxxx解：103210BA由上例：ttttttttAteeeeeeeeet22222222)(如果初始条件为零：deeeeeeeexetxtttttttttAt102222)0()()(2)()(2)()(2)()(2)(0tttteeeetxtx22212121)()(如果初始条件为零：3-4传递矩阵传递矩阵是传递函数的推广，传递函数：)()()()()()0()(sDUsCXsYsBUsAXZsSXD
15、UCxyBUAxx)()()(sUsYsG状态方程为：)()()()()()(,0)0(11sUDBASICsYSBUASIsXX有当.)(,)()()(1的多项式为SsQASIsQDBASICsG的极点相等。的特征值与的特征多项式，即等于)()(sGAsGAsI 例：如图所示的传达室递函数：解：由图状态方程：5s1-22s1-2uy3-121x1x 2x2x 2121221125325xxyUxxxUxxx知阵表达式：21212121521315xxyuxxxx)4)(2(591252131521)()(11sssssBASICsG所以，传递函数：传递矩阵G（s）：Y（s）=G(s)U(s)
16、（1）若ur 维向量，ym 维向量，A则为m.r矩阵。则式展开为：)()()()()()()()()(2122221112112121sGsGsGsGsGsGsGsGsGuuuyyymrmmrrrm)(sGij表示第i个输出，j个输入的传递函数，即)()()(susysGjiij传递函数矩阵为 DBASICsG1)()(s)E(s)H(s)G=H(s)Y(s)=B(s)0如多变量控制的方框图为：)(0 sG)(sH)(sU)(sE)(sY)(sBH(s)Y(s)-(s)U(s)G=B(s)-(s)U(s)G=Y(s)00(s)U(s)G=s)(s)H(s)Y(G+I00(s)U(s)G(s)H
17、(s)G+I=Y(s)01-0(s)G (s)H(s)G+I=G(s)00多输入多输出系统消除交链的问题：设对象的传递函数阵为 （n*n阶矩阵），现设计一组补偿器 （也是n阶矩阵），使得n个输入和n个输出是相互独立的。即)(sGc)(000)(000)()(2211sGsGsGsGnnb)(sGp则闭环传递矩阵：(s)G(s)G (s)G(s)G+H(s)=(s)Gcpcpb现考虑反馈矩阵H(s)为单位矩阵，则：(s)G (s)G+I=(s)G01-0b其中：)()()(0sGsGsGcp(s)G=(s)G(s)G+I0b0(s)G=(s)G-(s)IGbb0或：(s)G-I(s)G=(s)G
18、1-bb0由于 是对角阵，所以 也是对角阵。)(sGb)(sGIb)(sGo也是一个对角阵。例：现有一如图所是示的系统，试确定一组补偿器的传递矩阵，使得闭环传递矩阵为：1510011)(sssGb121s1y1)(11sGc11s)(22sGc)(21sGc)(12sGc2y1r2r1u2u解：由于(s)G-I(s)G=(s)G1-bb0ssssssss510015150011510011)()(1110121)()(2121sususssYsY)()()()()()()()()()(22112221121121sYsRsYsRsGsGsGsGsusucccc)()()()()()()()(1
19、100121)()(22112221121121sYsRsYsRsGsGsGsGsssYsYcccc)()()()(510012211sYsRsYsRsssssssGsGsGsGsGccccc510011110121)()()()()(122211211sssssss51)12)(1(01235 线形时变系统 状态空间法可适用于线形的时变系统。只要将转移矩阵 改为 ，前面 大部分都适用于时变系统的分析。但对时变系统而言，转移矩阵通常是不能用矩阵函数给出的。时变系统状态方程的解法：1、对纯量微分方程：)(t),(0ttxtax)(其解为：)()(0)(0txetxttda状态转移矩阵函数为：tt
20、daett0)(0),(v这个结果不能用于矩阵微分方程。2状态方程 xtAx)(维列向量ntx)(阶矩阵，其各元素在 tt0内是t的分段连续函数 nntA)(解为：)(),()(00txtttx式中),()(),(00tttAttItt),(00为非奇异矩阵矩阵 就是由状态方程所描述的时变系统的状态转移矩阵。),(0tt时变系统的状态转移矩阵 当 和 是可交换时，状态转移矩阵 才可用矩阵指数表示。)(tAttdA0)(),(0tt为了能用数值计算方法计算 ，可将 展开成级数形式：),(0tt),(0tttttttddAAdAItt001012210)()()(),(通常,不能用封闭形式给出 。
21、),(0tt例如：求时变系统 的 。2121010 xxtxx)0,(t解：采用上述方程的形式：200010)(200ttddAtt8060200010010010431211011202011ttdddtt82106180602001001)0,(423432ttttttttt状态转移矩阵 的一些性质),(0tt),(),(),(020112tttttt),(),(10101tttt线形时变状态方程的解法：状态方程：utBxtAx)()(式中 x=n 维向量 u=r 维向量矩阵为矩阵为nntBnntA)()(设 、的各元素都是在时间 间隔内分段连续。方程的解为：)(tA)(tB10tttttttduBttxttduBttttxtttx00)()(),()(),()()(),(),()(),()(0001000
