1、一一.二重积分的计算二重积分的计算1.二重积分的性质二重积分的性质被积函数被积函数相同相同,且且非负非负,yxyxIyxdd1122yxyxIyxdd12yxyxIdd11113解解:321,III由它们的积分域范围可知由它们的积分域范围可知312III11xyo例例.比较下列积分值的大小关系比较下列积分值的大小关系:例例.设设D 是第二象限的一个有界闭域是第二象限的一个有界闭域,且且 0 y 1,则则,d31DxyI,d322DxyIDxyId3213的大小顺序为的大小顺序为().)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示提示:因因 0 y 0)的公共
2、部分的公共部分.提示提示:被积函数缺被积函数缺 x,y 原式原式=zDyx1ddzzzRzRd)2(2022zzRd202zDyx2ddzzRRd22zzRzRRd)(2222548059RRzyxo2Rzyxzyxfddd),(柱面坐标本质：投影法中的二重积分利用了极柱面坐标本质：投影法中的二重积分利用了极坐标计算坐标计算22()f xy积分区域为柱体区域或投影域适用极坐标表示;被积函数为型3、柱坐标代换柱坐标代换1212(,)|,()(),(,)(,)zzzz 若2211()(,)()(,)(cos,sin,)dzzddfzz 柱面坐标适用范围：柱面坐标适用范围：o oxyz例例.计算三重
3、积分解解:在柱面坐标系下h:hz42dhdh2022)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0(hhz所围成.与平面其中由抛物面24原式=,R),(3zyxM设),(z其柱坐标为就称为点M 的球坐标.,ZOMMoxyzzr(,)r 则0200rcossinrx sinsinry cosrz,rOM 令zyxzyxfddd),(sincos,sinsin,cos)f rrrdddsin2rr222:()f xyz适用范围积分区域为球形区域、被积函数为型4、球、球坐标代换坐标代换zyxzyxfddd),(222:()f xyz
4、适用范围 积分区域为球形区域、被积函数为型1212(,)|,()(),(,)(,)rrrr 若2211()(,)2()(,)(sincos,sinsin,cos)sindrrddf rrrrr 确定确定r,的变化范围的方法的变化范围的方法:：根据投影区域：从原点出发穿过立体的射线于z轴正向的夹角r：从原点出发穿过立体的射线于边界曲面的交例例.222(0)xyzaz a0cosra,2002,yzxarozyRx例例.2222(0)xyzRR:0,02,0rR:22zxy例：锥面2222Rzyx:所围立体所围立体.40Rr 020与球面与球面xyzo4Rr 例例.由球面x2+y2+z22Rz=0
5、和圆锥面cot2(x2+y2)=z2围成的立体。0yzxx2+y2+z22Rz=0:r=2Rcos cot2(x2+y2)=z2:=.0r2Rcos02，:0例例.0)0(,222222围成平面及zbayxazyxbz解解:两球面方程分别为:r=b和r=a,(a 0)的公共部分的公共部分.提示提示:原式原式=548059RRzyxo2R2 cos3rr2 cosrRrR或或=22223000cossinRddrrdr22cos2222003cossinRddrrdr22222000cossinRddrrdr2222202cos3cossinRRddrrdr例例(球坐标法球坐标法)2222xyz
6、22xyz及的公共部分的公共部分.解解:对称性对称性2zyxo122222000sinddrrdr2coscscr222sincosrrr或或=22coscsc222004sinddrrdr22224000sinddrrdr2222220coscsc4sinddrrdr(222)d d d0,xyyzxzx y z例例(球坐标法球坐标法):计算积分计算积分2()d d d,xyzx y z222dxyzV例例.,)0(,0)0(,)(存在设ffCuf，求)(1lim40tFtt)(tF解解:在球坐标系下trrrftF02020d)(dsind)(trrrf02d)(440)(limttFt利用
7、洛必达法则与导数定义,得3204)(4limtttftttft)(lim0)0(f0)0(Fzyxzyxftzyxddd)(2222222其中 0)0(f 5、利用三重积分的对称性利用三重积分的对称性(,)d0(,)z2(,)d(,)f x y zvf x y zf x y zvf x y z上关于 为奇函数关于z为偶函数(,)(),f x y zCxoy设且域 关于面对称 则当区域关于当区域关于yoz 轴对称轴对称,函数关于函数关于x 有奇偶性时有奇偶性时,当区域关于当区域关于xoz 轴对称轴对称,函数关于函数关于y 有奇偶性时有奇偶性时,仍仍有类似结果有类似结果.例例.计算计算,ddd)s
8、in5(2222zyxyxxyxI其中其中.4,1),(2122围成由zzyxz解解:zyxxIddd2利用对称性利用对称性zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241zrrz2032041ddd21214zxoy1zDzyxyxyxdddsin52220重积分计算的基本方法重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系选择合适的坐标系使积分域多为坐标面使积分域多为坐标面(线线)围成围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序选择易计算的积分序积分域分块要少积分域分块要少,累次积分易算为妙累次积分易算为妙.根据图形根据图形根据
9、方程根据方程3.掌握确定积分限的方法掌握确定积分限的方法 累次积分法累次积分法小结：小结：作业 1、利用投影法、截面法、柱坐标、球坐标四种方法计算：d d d,z x y z222(,)|4,z0.x y zxyz 其中 2、P170第5和8题三、重积分的应用三、重积分的应用1.几何方面几何方面面积面积(平面域或曲面域平面域或曲面域),体积体积,形心形心质量质量,转动惯量转动惯量,质心质心,引力引力 证明某些结论等证明某些结论等 2.物理方面物理方面3.其它方面其它方面注：一定要用对称性结论注：一定要用对称性结论一、一、几何方面几何方面 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面),(yxfz 则其体积为
10、DyxyxfVdd),(,),(Dyx 占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为zyxVddd例例.求球体22224azyx被圆柱面xayx222)0(a所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解解:设由对称性可知:02 cos,02Da2244ddDVa 20d42 cos2204daa d)sin1(3322033a)322(3323aoxyza222240:4axyDVdvdxdydz注的面积公式：221(,)(,)dxyxyDSfx yfx y曲面:(,),zf x y(,),xyx yD注：如果图不好画则可根据方程：注：如果图不好画则可根据方程：1先利用对称性：所有方程中若某个变量都是平
11、方先利用对称性：所有方程中若某个变量都是平方形式，则图形一定关于相应坐标面对称，利用对称性形式，则图形一定关于相应坐标面对称，利用对称性后只需考虑正半部分后只需考虑正半部分2求投影区域应利用所求曲面和其它相交求投影区域应利用所求曲面和其它相交含于球面2222xyza例例.求圆柱面22xyax)0(a部分的面积.oxyza22:xyax分析：14SS21:yaxx 找投影区域：找投影区域：220 xyaxz222222xyaxxyza220 xyaxx若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,),(yx为(,)d d1(,)d d(,)d dDDDxx yx yxxx yx ymx yx y
12、(,)d d1(,)d d(,)d dDDDyx yx yyyx yx ymx yx y,常数时d d,Dx x yxSd dDy x yyS(S为 D 的面积)得D 的形心坐标:则它的质心坐标为:其面密度 二、物体的质心二、物体的质心(,)d dd1(,)d dd(,)d ddxx y zxyzxxx y zxyzmx y zxyz推广:设物体占有空间域 ,(,),x y z有连续密度函数则其质心公式:(,)d dd1(,)d dd(,)d ddyx y zxyzyyx y zxyzmx y zxyz(,)d dd1(,)d dd(,)d ddzx y zxyzzzx y zxyzmx y
13、zxyz(,),x y z当常数时则得形心坐标：,dddVzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd的体积为zyxVddd4例例5.求位于两圆sin2rsin4r和的质心.2D解解:利用对称性可知0 x而DyxyAydd1Drrddsin312rr dsin4sin22dsin956042956dsin295620437之间均匀薄片0dsin3143212oyxCVzyxzzddd例例.一个炼钢炉为旋转体形一个炼钢炉为旋转体形,剖面壁线剖面壁线的方程为的方程为,30,)3(922zzzx内储有高为内储有高为 h 的均质钢液的均质钢液,解解:利用对称性可知质心在利用对称性可知质心在 z 轴
14、上，轴上，,0 yx采用柱坐标采用柱坐标,则炉壁方程为则炉壁方程为,)3(922zzrzyxVdddhzzz02d)3(9zDhyxzddd0因此因此故故自重自重,求它的质心求它的质心.oxzh若炉若炉不计炉体的不计炉体的其坐标为其坐标为hzzz022d)3(9zDhyxzzddd0zyxdzdd)51233(923hhh225409043060hhhhhzoxzh)41229(923hhhV三、物体的转动惯量三、物体的转动惯量设物体占有空间区域 ,有连续分布的密度函数.),(zyx该物体位于(x,y,z)处的微元 vzyxyxd),()(22因此物体 对 z 轴 的转动惯量:zyxzyxyx
15、Izddd),()(22zIdxyoz对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故 连续体的转动惯量可用积分计算.类似可得:zyxzyxIxddd),(zyxzyxIyddd),(zyxzyxIoddd),()(22zy)(22zx)(222zyx对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量如果物体是平面薄片,面密度为Dyxyx),(),(DxyxyxIdd),(DoyxyxIdd),(则转动惯量的表达式是二重积分.xDyo2y2x)(22yx DyyxyxIdd),(rraddsin0302例例.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径解解:建立坐标系如图,
16、0:222yayxDyxyIDxdd2Drrddsin23441a241aM半圆薄片的质量221aM 2212oxyDaa的转动惯量.)sinsincossin(222222rr解解:取球心为原点,z 轴为 l 轴,:2222azyx则zIzyxyxddd)(22552aMa252dddsin2rr olzxy132220d球体的质量334aM dsin03rrad04例例.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.设球 所占域为(用球坐标)222zyxr G 为引力常数四、物体的引力四、物体的引力设物体占有空间区域,，连续),(zyx物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,vrxzyxGFxd),(d3vryzyxGFyd),(d3vrzzyxGFzd),(d3在上积分即得各引力分量:其密度函数rzxvdyFd引力元素在三坐标轴上的投影分别为),(zyxFFFF vrxzyxGFxd),(3vryzyxGFyd),(3vrzzyxGFzd),(3对 xoy 面上的平面薄片D,它对原点处的单位质量质点的引力分量为,d),(3DxxyxGFDyyyxGFd),(3)(22yx
