1、自动控制原理 第二章系统数学模型第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型n2-1 引言引言n2-2 微分方程（时域模型）微分方程（时域模型）n2-3 传递函数（复域模型）传递函数（复域模型）n2-4 结构图和信号流图（图形描述）结构图和信号流图（图形描述）n2-5 小结小结2-1 引言引言n1.数学模型的概念数学模型的概念描述系统内部变量之间关系的表达式，自控系描述系统内部变量之间关系的表达式，自控系统分析与设计的基础。统分析与设计的基础。n2.数学模型的研究意义数学模型的研究意义能够比定性分析更加精细准确，从理论上对系能够比定性分析更加精细准确，从理论上对系统的系统的性能进行定量的
2、分析和计算。统的系统的性能进行定量的分析和计算。许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示。以一个模型分析一类系统。程来表示。以一个模型分析一类系统。n3.数学模型的种类数学模型的种类静态模型：静态条件下各变量之间的关系静态模型：静态条件下各变量之间的关系动态模型：描述变量各阶导数关系的微分方程动态模型：描述变量各阶导数关系的微分方程n4.数学模型的建立方法数学模型的建立方法分析法（白箱模型）分析法（白箱模型）u对系统各部分的运动机理进行分析，根据物理、化对系统各部
3、分的运动机理进行分析，根据物理、化学规律列写相应的运动方程，如基尔霍夫定律、牛学规律列写相应的运动方程，如基尔霍夫定律、牛顿定律、热力学关系等等顿定律、热力学关系等等实验法（黑箱模型）实验法（黑箱模型）u人为给系统施加某种测试信号，记录其响应，并用人为给系统施加某种测试信号，记录其响应，并用恰当的数学模型进行逼近，形成一个独立学科：系恰当的数学模型进行逼近，形成一个独立学科：系统辨识统辨识综合法（灰箱法）综合法（灰箱法）u但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰盒，但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰盒，可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便可以分析计算法与工程实验法一起用
4、，较准确而方便地建立系统的数学模型。实际控制系统的数学模型往地建立系统的数学模型。实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化，响较小的因素来简化，u但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型变的不准确，也不能过分追求准确化，而使数学模型变的不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过于复杂。性，使系统的数学模型过于复杂。n数学模型的形式数学模型的形式时域时域(t):微分方程微分方程复数域复数域(s)：传递函数：传递函数频域频域(w w
5、)：频率特性：频率特性三种数学模型之间的关系三种数学模型之间的关系线性系统线性系统传递函数传递函数微分方程微分方程频率特性频率特性拉氏拉氏变换变换傅氏傅氏变换变换2-2 控制系统时域模型控制系统时域模型1.1.微分方程的建立微分方程的建立例1.RLC电路：研究在输入电压ur(t)作用下，电容上电压uc(t)的变化。RLCur(t)uc(t)i(t)依据电学中的基尔霍夫定律依据电学中的基尔霍夫定律 ()()()(),1rcdi tu tRi tLu tdt（）1()(),(2)Cuti t dtC()()Cduti tCdt)()()()(22tudttudLCdttduRCtuCCCr(2)式
6、两边求导消去中间变量式两边求导消去中间变量i(t)RLCur(t)uc(t)i(t)()()()()CCCrLCutRCututu t整理成规范形式整理成规范形式n例2-2.机械平移系统 求在外力F(t)作用下，物体的运动轨迹。kF(t)x(t)位移阻尼系数f阻尼器弹簧m首先确定：输入F(t),输出x(t)其次：理论依据1.牛顿第二定律 物体所受的合外力等于物体质量与加速度的乘积 2.牛顿第三定律 作用力等于反作用力,现在我们单独取出m进行分析maFtx fFtkxF而)()(21)()()()()()(21txmtx ftkxtFmaFFtFtxa 代入上式得写微分方程时，常习惯于把输出写在
7、方程的写微分方程时，常习惯于把输出写在方程的左边，输入写在方程右边，而且微分的次数左边，输入写在方程右边，而且微分的次数由高到低排列由高到低排列。机械平移系统的微分方程为：机械平移系统的微分方程为：)()()()(tFtkxtx ftxm)()()()(tututuRCtuLCrCCC 这两个式子很相似，故可用电子线路来模拟这两个式子很相似，故可用电子线路来模拟机械平移系统，机械平移系统，这也证明了我们前面讲到的，这也证明了我们前面讲到的，看似完全不同的系统，具有相同的运动规律，看似完全不同的系统，具有相同的运动规律，可用相同的数学模型来描述。（相似系统）可用相同的数学模型来描述。（相似系统）
8、讨论：讨论：)()()()(tFtkxtx ftxm n微分方程是控制系统最基本的数学模型，微分方程是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运动，必须列写系统的微分要研究系统的运动，必须列写系统的微分方程。方程。n列写微分方程的基本步骤：列写微分方程的基本步骤：确定系统的输入量和输出量确定系统的输入量和输出量将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节的线性化原始方程。律，列出各环节的线性化原始方程。消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的消去中间变量，写出仅包含输
9、入、输出变量的微分方程式，并且化为标准形式。微分方程式，并且化为标准形式。3.线性系统的性质线性系统的性质n1）定义）定义如果系统的数学模型是线性微分方程，这样的系统就是线性系统具有迭加性和齐次性的元件称为线性元件。n2）性质：满足叠加原理）性质：满足叠加原理叠加性叠加性齐次性齐次性设元件输入为设元件输入为r(t)、r1(t)、r2(t)，对应的输出为对应的输出为c(t)、c1(t)、c2(t)如果如果 r(t)=r1(t)+r2(t)时，时，c(t)=c1(t)+c2(t)满足满足迭加性迭加性如果如果 r(t)=ar1(t)时，时，c(t)=ac1(t)满足满足齐次性齐次性 a为任意实常数。
10、为任意实常数。满足迭加性和齐次性的元件才是线性元件满足迭加性和齐次性的元件才是线性元件n3）叠加原理的意义）叠加原理的意义对线性系统可以应用迭加性和齐次性，对研究对线性系统可以应用迭加性和齐次性，对研究带来了极大的方便。带来了极大的方便。迭加性：迭加性：欲求系统在几个输入信号和干扰信号欲求系统在几个输入信号和干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几个外作用单同时作用下的总响应，只要对这几个外作用单独求响应，然后加起来就是总响应。独求响应，然后加起来就是总响应。齐次性表明齐次性表明：当外作用的数值增大若干倍时，：当外作用的数值增大若干倍时，其响应的数值也增加若干倍。这样，我们可以其响应的数值也增加
11、若干倍。这样，我们可以采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡等）对系统进行分析单位斜坡等）对系统进行分析简化了问题简化了问题4.4.非线性系统的线性化非线性系统的线性化n1）实际物理系统都是非线性的）实际物理系统都是非线性的n2）常见的非线性）常见的非线性000输入输出输入输出输入输出ab饱和（放大器）死区（电机）间隙（齿轮）n3）线性化方法）线性化方法非线性微分方程的求解困难，一定条件下可以近似地转化为线性微分方程，使系统的动态特性分析大为简化，有很大的实际意义。方法一：忽略弱非线性环节 如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围以内，
12、则它们对系统的影响很小，就可以忽略方法二：偏微法(小偏差法，切线法，增量线性化法)假设控制系统的整个调节过程中，各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化，而这段区域是线性的。符合许多控制系统实际工作情况的。0 xy饱和（放大器）y0 x0y=f(x)A(x0,y0)A(x0,y0)平衡点，函数在平衡点处连续可微，则可将函数在平衡点附近展开成泰勒级数 忽略二次以上的各项，上式可以写成 这就是非线性元件的线性化数学模型202200)(!21)()(00 xxdxydxxdxdyyxfyxxxky0yyy0 xxx0 xdxdykn方法三：平均斜率法 如果一非线性元件输入输出关系如图所示
13、此时不能用偏微分法，可用平均斜率法得线性化方程为 kxy 11xyk 0 xyx1y1-x1-y1(死区)电机 注意：这几种方法只适用于一些非线性程度较低的系统，对于某些严重的非线性，如 不能作线性化处理，一般用相平面法及描述函数法进行分析。0继电特性0饱和特性n例例4：水位自动控制系统，输入量为：水位自动控制系统，输入量为Q1,输输出量为水位出量为水位H，求水箱的微分方程，水箱的，求水箱的微分方程，水箱的横截面积为横截面积为C，R表示流阻。表示流阻。阀门阀门水水H(t)H(t)Q Q1 1Q Q2 2Q Q1 1单位时间进水量单位时间进水量Q Q2 2单位时间出水量单位时间出水量02010
14、QQ此时水位为此时水位为H H0 0解：解：dt时间中水箱内流体增加时间中水箱内流体增加(或减少或减少)CdH应与水总量应与水总量(Q1 Q2)dt相等。即：相等。即：CdH=(Q1 Q2)dtRHQ2R 121ddQQtHC据托里拆利定理，出水量与水位高度平方根成正比，据托里拆利定理，出水量与水位高度平方根成正比，则有则有其中其中为比例系数。为比例系数。显然上式为非线性关系，在工作点(Q10,H10)附近进行台劳级数展开。取一 次项得：)(2100202HHRHQQRHR021ddQRHtHRC为流阻。则为流阻。则于是水箱的线性于是水箱的线性化微分方程为化微分方程为记记)(10202HHRQ
15、Q)(1dd0201HHRQQtHC2-2复域数学模型：传递函数复域数学模型：传递函数n时域数学模型：微分方程时域数学模型：微分方程优点：直观，易于分析系统响应优点：直观，易于分析系统响应缺点缺点:结构改变或者参数变化时，必须重新列结构改变或者参数变化时，必须重新列写微分方程，不便于系统分析和设计写微分方程，不便于系统分析和设计n复数域数学模型：传递函数复数域数学模型：传递函数经典控制理论中最基本最重要的概念经典控制理论中最基本最重要的概念n补充内容：拉普拉斯变换（拉氏变换）补充内容：拉普拉斯变换（拉氏变换）1.拉氏变换的定义拉氏变换的定义n设函数设函数f(t t)当当t t=0=0时有定义，
16、而且积分时有定义，而且积分 存在，则称存在，则称F(F(s)是是f f(t t)的的拉普拉斯变换，简称拉氏变换。拉普拉斯变换，简称拉氏变换。记法记法 f(t t)称为称为F(s)F(s)的拉氏反变换的拉氏反变换 记为记为 0)()(dtetfsFst)()(tfLsF)()(1sFLtfn2.常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换(1)例例1.求阶跃函数求阶跃函数f(t)=A1(t)的拉氏变换。的拉氏变换。单位阶跃函数单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为的拉氏变换为 。(2)例例2.求单位脉冲函数求单位脉冲函数f(t)=d d(t)的拉氏变换。的拉氏变换。sAesAdtAesFstst00
17、)(1)!2!111(1)1(111)()(220000000limlimlimlimsssesesdtedtetsFsstststds1n （3）例）例3.求指数函数求指数函数 f(t)=e-at 的拉氏变换的拉氏变换n几个重要的拉氏变换几个重要的拉氏变换aseasdtedteesFtastsastat11)(0)(0)(0f(t)F(s)f(t)F(s)d d(t)1sinw wt1(t)1/scosw wtt(t)1/s2e-at sinw wte-at1/(s+a)e-at cosw wt)(22wws)(22wss22)(ww as22)(wasasn3.拉氏变换的基本性质拉氏变换的
18、基本性质 (1)线性性质线性性质 原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。变换之和。(2)微分性质微分性质 若若 ，则有，则有 f(0)为原函数为原函数f(t)在在t=0时的初始值时的初始值。)()()()(2121tfbLtfaLtbftafL)()(sFtfL)0()()(fssFtfL 证：根据拉氏变换的定义有证：根据拉氏变换的定义有 原函数二阶导数的拉氏变换原函数二阶导数的拉氏变换依次类推，可得到原函数依次类推，可得到原函数n阶导数的拉氏变换阶导数的拉氏变换)0()()()()()(000fssFetfdtetfsdtetftfLststs
19、t)0()0()()0()0()()0()()(2fsfsFsffssFsftfsLtfL)0()0()0()()()1(21)(nnnnnffsfssFstfL(3)积分性质积分性质 若若 则则式中式中 为积分为积分 当当t=0时的值。时的值。证：设证：设 则有则有 由上述微分定理由上述微分定理dttfth)()()()(sFtfLsfssFdttfL)0()()()1(dttf)()0()1(f)()(tfth)0()()(hthsLthL)0(1)(1)0(1)(1)0(1)(1)()1(fssFshstfLshsthLsthL即：即：同理，对同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为的二重
20、积分的拉氏变换为若原函数若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于及其各重积分的初始值都等于0则有则有 即原函数即原函数 f(t)的的n重积分的拉氏变换等于其象重积分的拉氏变换等于其象函数除以函数除以 。sfssFdttfL)0()()()1()(1)(sFsdttfLnn)0(1)0(1)(1)()2()1(222fsfssFsdttfLns（4）.终值定理终值定理原函数的终值等于其象函数乘以原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。的初值。证：由微分定理，有证：由微分定理，有等式两边对等式两边对s趋向于趋向于0取极限取极限)(lim)(lim0ssFtfst)0()()()(0fssFdtet
21、ftfLst)(lim)(lim)0()(lim)0()(lim)0()(lim)()()(lim)(lim000000000ssFtffssFfssFftftfdttfdtetfdtetfstsststssts右边左边注：若注：若 时时f(t)极限极限 不存在，不存在，则不能用终值定理。如对正弦函数和余弦则不能用终值定理。如对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理。函数就不能应用终值定理。(5)初值定理：初值定理：证明方法同上。只是要将证明方法同上。只是要将 取极限。取极限。(6)位移定理：位移定理：a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延实域中的位移定理，若原函数在时间上延迟迟 ，则其象函数
22、应乘以，则其象函数应乘以t)(limtft)(lim)(lim0ssFtfst)()(sFetfLs sesb.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，原函数应乘以原函数应乘以 即：即：(7)时间比例尺定理时间比例尺定理(相似定理相似定理)原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，则象函数及其自变量都增加（或减小）同则象函数及其自变量都增加（或减小）同样倍数。即：样倍数。即：证：证：)()(asFtfeLat)()(asaFatfL00()()/,()()stsattL ffedtt aaafeadaF as,令则原式ate(8
23、)卷积定理卷积定理 两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。函数的乘积。即即 证明：证明：)()()()(21021sFsFdftfLt 02102110 021021)()(1)()()(0)(1)()()()()(dfttfdftfttftdtedftfdftfLtsttt时，即得证。则令)()()()()()()()(,)(1)()()()(1)()()(1201020)(10202101020021021sFsFdefdefdefdfdftfLtdtettfdfdtedfttfdftfLssstststt4.拉氏反变换拉氏反变换 1）定义：从
24、象函数）定义：从象函数F(s)求原函数求原函数f(t)的运算称为的运算称为拉氏反变换。记拉氏反变换。记 。由由F(s)可按下式求出可按下式求出 式中式中C是实常数，而且大于是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。所有极点的实部。直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能必须是一种能直接查到的原函数的形式。直接查到的原函数的形式。)(1sFL)0()(21)()(1tdsesFjsFLtfjCjCst 若若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要不能在表中直接找到原函数，则需要将将
25、F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。分分式的拉氏变换在表中可以查到。例例1：例例2：求：求 的逆变换。的逆变换。解：abeetfbsasabbsassFbtat)()11(1)(1)(则tetsFLtfssssssF1)()(1111)1(1)(122)1(1)(2sssF例3.ttteetfssssFcbacssbssascsbsasFsssF1)()1(1111)(1,1,11)1()1()1(1)()1(1)(2222对应项系数相等得则解：的逆变换2）.拉式反变换拉式反变换部分分式展开式的求法部分分式展开式的求法n情况一
26、情况一:F(s)有不同极点有不同极点,这时这时,F(s)总能展总能展开成如下简单的部分分式之和开成如下简单的部分分式之和)()()()(1111110nmasasasbsbsbsbsDsMsFnnnnmmmmnnpscpscpscsF2211)(1,2,)()0,()()()iiiiispp inD sM sccspD s式中是的根是常数,321)3)(2)(1(1)(:1321scscscssssF例tttssseeetfssssFsssscsssscssssc3233221110115161)(31101211511161)(101)3()3)(2)(1(1151)2()3)(2)(1(1
27、61)1()3)(2)(1(1n情况2:F(s)有共轭极点例2：求解微分方程1)0()0(,054 yyyyy为零）拉氏变换（初始条件不则微分方程两边同时取teteysssssssssssFsFfssFfsfsFsttsin3cos1)2(31)2(21)2(321)2(5545)(0)(5)0(4)(4)0()0()(22222222n情况3:F(s)有重极点,假若F(s)有L重极点 ,而其余极点均不相同。那么11)()()()()()()()()()()(11111111111psllpsllnnllllllpssDsMdsdbpssDsMbpscpscpsbpsbpsbsDsMsF式中1
28、p仍按以前的方法计算系数,)()()()!1(1)()()(!1,11111111nlpslllpsliiilccpssDsMdsdlbpssDsMdsdib的其余互异极点。是式中0)(),1()()()(sDnljppssDsMcjpsjjj1)()1()1()1(11)1()1(11)1()1()1(1)(.0)0()0()0(,133:3121133213334122333)3(ssssssdsdsssdsdbsssbscsbsbsbsssFyyyyyyy求微分方程例tttsseteetysssssFssscsb2230313121111)1(1)1(11)(1)1(11)2(!21n如
29、果不记公式如果不记公式,可用以下方法求解可用以下方法求解1,1,1,11)3()23(1)1()1()1(1)1()1()1(1)(32132123233323213322313bbbaasbbbasbbasbasssbssbsbsasbsbsbsasssF也可得解。也可得解。1.传递函数定义传递函数定义n定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数，用输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数，用G(s)表示。表示。n设线性定常系统（元件）的微分方程是设线性定常系统（元件）的微分方程是其中其中c(t)为系统的输出，为系
30、统的输出，r(t)为系统输入为系统输入)()()()()()()()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn 零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为：得到系统传递函数为：nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110)()()(1011(1)()()0nnnnN sa sa sasaN s注：即是系统的特征方程。(2)分母中分母中s的最高阶次的最高阶次n即为系统的阶次。即为系统的阶次。(4)物理可实现系统：因为组成系统的元部件或
31、多或少存在惯性，所以G(s)的分母次数大于等于分子次数，即 ,若mn,我们就说这是物理不可实现的系统。012012()()()()3()()()()()(1,2)()0(1,2)()0mniib szszszM sG sN sa spspspsz imM ssp inN s（）零极点描述：是的根，称为传递函数的零点，是的根是传递函数的极点。mn 例1：RC电路如图所示依据：基尔霍夫定律 消去中间变量 ，rucuRCti)()()(tutRitucrdttduCtiC)()()(ti则微分方程为：则微分方程为：)()()(tutudttduRCrcc可用方框图表示)(sG)(sR)(sC11RC
32、s)(sur)(suc对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：11)()()(RCssususGrc2.传递函数性质传递函数性质(1)传递函数与线性定常微分方程一一对应。传递函数与线性定常微分方程一一对应。(2)传递函数表征了系统本身的动态特性。（传递函传递函数表征了系统本身的动态特性。（传递函数取决于系统本身的结构参数，而与输入无关，数取决于系统本身的结构参数，而与输入无关，可见传递函数有效地描述了系统的固有特性。）可见传递函数有效地描述了系统的固有特性。）(3)只能描述线性定常系统与单输入单输出系统，且只能描述线性定常系统与单输入单输出系统，且内部许多中间变
33、量的变化情况无法反映。内部许多中间变量的变化情况无法反映。(4)如果存在零极点对消情况，传递函数就不如果存在零极点对消情况，传递函数就不能正确反映系统的动态特性了。能正确反映系统的动态特性了。(5)只能反映零初始条件下输入信号引起的输只能反映零初始条件下输入信号引起的输出，不能反映非零初始条件引起的输出。出，不能反映非零初始条件引起的输出。rucu1C2C1R2R1i2i1u例例2.双双T网络网络解：方法一：根据基尔霍夫定理列出下列微解：方法一：根据基尔霍夫定理列出下列微分方程组：分方程组：dttictutiRtutudttitictutiRtutuccr)(1)()()()()()(1)()
34、()()(222212111111方程组两边取零初始条件下的拉氏变换得：方程组两边取零初始条件下的拉氏变换得：rucu1C2C1R2R1i2i1u)(1)()()()()()(1)()()()(222212111111sIsCsusIRsususIsIsCsusIRsusuCCr1)(1)()(21221122211sCRCRCRsCRCRsusurC传递函数为消去中间变量后，得到方法二：用复阻抗比（电容1/sC,电感Ls）1)(1111111)1(11)()(21221122121222112212211sCRCRCRsCCRRsCRsCsCsCsCRsCsCRsCRsusurC222112
35、2111111)1/(1)()(sCRsCsCSCsCRsCRsusurcrucu1C2C1R2R1i2i1u 注意：双T网络不可看成两个RC网络的串联，即：)1)(1(1)()(11)()(,11)()(2211222112sCRsCRsususCRsususCRsusurccr得R1R2urC1C2ucu2 与双T网络相比少一个交叉项R1C2S，这就是负载效应，因此双T网络不能孤立地分开，必须作为一个整体来求传递函数。当后一个RC网络接到C1两端时，u2已不再是原来的u2，也就是说R1中的电流=C1中的电流+R2中电流，不再等于C1中的电流。只有当第一个RC网络的负载阻抗为无穷大时，双T网
36、络的传递函数才等于两个RC网络的串联。RC网络 与 单容水槽)()()(tutudttduRCrcc水水H(t)H(t)Q Q1 1Q Q2 2rucuRCti1RQHdtdHRC11)(RCssG1)(RCsRsG双双T网络与双容水槽网络与双容水槽rucu1C2C1R2R1i2i1u1)(1)()()(21221122211sCRCRCRsCRCRsUsUsGrciiQQ0110HH220HH110QQ220QQ1R2R1C2C2122111QQdtHdCQQdtHdCi2221211RHQRHHQ22121122121111RHRHRHdtHdCRHRHQdtHdCi)()()1()()(
37、)()1(1122122221111sHRRsHRRsCRsHsQRsHsCRi1)()()()(1222112221122sCRCRCRsCRCRRsQsHsGi1)()()()(1222112221122sCRCRCRsCRCRRsQsHsGi1)(1)()()(21221122211sCRCRCRsCRCRsUsUsGrc双容水槽双容水槽双双T网络网络2-4 结构图和信号流图结构图和信号流图n1.结构图的概念和基本组成结构图的概念和基本组成（1）概念：将方框图中各时间域中的变量用）概念：将方框图中各时间域中的变量用其拉氏变换代替，各方框中元件的名称换成各其拉氏变换代替，各方框中元件的名称
38、换成各元件的传递函数，这时方框图就变成了结构图。元件的传递函数，这时方框图就变成了结构图。（2）基本组成：）基本组成：u方框：有输入信号，输出信号，传递线，方框内的函数为输入与输出的传递函数，一条传递线上的信号处处相同。G(s)X(s)Y(s)u比较点：综合点，相加点 加号常省略，负号必须标出 u 引出点 一条传递线上的信号处处相等，引出点的信号与原信号相等u2.结构图的绘制结构图的绘制绘制双T网络的结构图rucu11sC21sC1R2R1i2i1u2221212111111)()()()()(1)()()()()()(sCsIsuRsususIsCsIsIsuRsususICCr画图时画图时
39、G(s)R(s)C(s)从左向右列方程组从左向右列方程组)()()(sCsGsR将上页方程改写如下相乘的形式：)(1)()(1)()()(1)()()(1)()(222211121111susCsIsIRsusususCsIsIsIRsusuCCr绘图：ur(s)为输入，画在最左边。1/R11/sC11/R21/sC2uC(s)ur(s)u1(s)i1(s)i2(s)-u1(s)-uC(s)这个例子直接列这个例子直接列写写s域中的代数域中的代数方程，画出了结方程，画出了结构图。构图。)(1)()(1)()()(1)()()(1)()(222211121111susCsIsIRsusususCs
40、IsIsIRsusuCCr若重新选择一组中间变量，会有什么结果呢？(刚才中间变量为i1,u1,i2，现在改为I,I1,I2)rucu1C2C1R2R1I2II从右到左列方程：从右到左列方程：1111221122211)()()()()()()()()(1)()(RsCsIsusIsCRsIsusIsIsIsIsCsIsurcc 这个结构与前一个不一样，选择不同的中间变量，结构图也不一样，但是整个系统的输入输出关系是不会变的。11R21sC2R1sC11sC)(sur)(suc)(1sI)(2sI)(sI绘图绘图1)(1)()()(21221122121sCRCRCRsCCRRsususGrc1
41、111221122211)()()()()()()()()(1)()(RsCsIsusIsCRsIsusIsIsIsIsCsIsurcc3.结构图的等效变换结构图的等效变换（1）串联G(s)X(s)Y(s)()()()()()()(),()()()()()()()(21211121sGsGsxsysGsxsysGsxsxsGsGsxsysG证明：X1(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s)(2)并联G(s)X(s)Y(s)()()()()()()()()()()()()()()()()()(2121212121sGsGsGsGsxsGsGsxsGsxsGsxsysysysGsGsG证明：X(
42、s)G2(s)G1(s)Y1(s)Y2(s)Y(S)(3)反馈这是个单回路的闭环形式，反馈可能是负，可能是正，我们用消去中间法来证明。R(s)C(s)()(1)(sHsGsG)()()()()()(),()()(sHsCsBsBsRsEsGsEsCC(s)G(s)H(s)E(s)R(s)()(1)()()()()()()()(1)()()()()()()()()()(sGsHsGssRsCsGsRsGsHsCsGsHsCsGsRsGsBsRsC以后我们均采用以后我们均采用(s)表示闭环传递函数，表示闭环传递函数，负反馈时，负反馈时，(s)的分母为的分母为1回路传递函数，回路传递函数，分子是前向
43、通路传递函数。分子是前向通路传递函数。正反馈时，正反馈时，(s)的分母为的分母为1回路传递函数，回路传递函数，分子为前向通路传递函数。分子为前向通路传递函数。单位负反馈时，单位负反馈时，)(1)()(sGsGs（4）比较点和分支点（引出点）的移动比较点和分支点（引出点）的移动 有关移动中，“前”、“后”的定义：按信号流向定义，也即信号从“前面”流向“后面”，而不是位置上的前后。C C(s s)R R(s s)G(s)Q Q(s s)比比较较点点前前移移G(s)C C(s s)R R(s s)G(s)Q Q(s s)()()()()()()()(sGsGsQsRsQsGsRsC 比比较较点点后后
44、移移C C(s s)R R(s s)G(s)Q Q(s s)C C(s s)R R(s s)G(s)G(s)Q Q(s s)()()()()()()()(sGsQsGsRsGsQsRsCR R(s s)分分支支点点（引引出出点点）前前移移G(s)C C(s s)C C(s s)C C(s s)C C(s s)R R(s s)G(s)G(s)()()(sGsRsC分分支支点点（引引出出点点）后后移移R R(s s)G(s)R R(s s)C C(s s)R R(s s)G(s)R R(s s)()(1)()()(sRsGsGsRsR结构图三种基本形式G1G2G2G1G1G2G1G2G1G2G1G
45、1G21+串串 联联并并 联联反反 馈馈2 相邻综合点可互换位置、可合并相邻综合点可互换位置、可合并结构图等效变换方法1 三种典型结构可直接用公式三种典型结构可直接用公式3 相邻引出点可互换位置相邻引出点可互换位置、可合并可合并 注意事项：注意事项：1 不是不是典型结构典型结构不可不可直接用公式直接用公式2 引出点综合点引出点综合点相邻，不可相邻，不可互换位置互换位置G1G2G3G4H3H2H1G1G2G3G4H3H2H1abG41引出点移动G1G2G3H1无用功无用功向同类移动向同类移动G2H1G1G3错！错！G2G1作用分解G1G4H3G2G3H1G1G4H3G2G3H1H3H14.1 信
46、号流图的组成及性质信号流图的组成及性质n信号流图也是控制系统的一种表示法信号流图也是控制系统的一种表示法n信号流图的简化可以直接采用梅森增益公式信号流图的简化可以直接采用梅森增益公式abGGab方框图表示方框图表示信号流图表示信号流图表示Gaba,b为节点，为节点，G为增益，表示关系为增益，表示关系4.信号流图信号流图信号流图中的术语信号流图中的术语n输入节点输入节点(源节点源节点)：只有输出支路，而没有输：只有输出支路，而没有输入支路的节点，一般代表系统的输入变量。入支路的节点，一般代表系统的输入变量。)(sR)(sN1H2H3H1G2G3G)(sC11111abcdefg1n输出节点输出节
47、点(阱节点阱节点)：只有输入支路，而没有输：只有输入支路，而没有输出支路的节点，一般代表系统的输出变量。出支路的节点，一般代表系统的输出变量。)(sR)(sN1H2H3H1G2G3G)(sC11111abcdefg1n混合节点混合节点：既有输入支路，又有输出支路的节点。：既有输入支路，又有输出支路的节点。)(sR)(sN1H2H3H1G2G3G)(sC11111abcdefg1n前向通路前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向，每个节点只经只经 过一次过一次，最终到达输出节点的通路前向通路上各支路增益之乘积，称为前向通路总前向通路总增益增益 用 表示 kp)(sR)(sN1H2H3H1G2G3
48、G)(sC11111abcdefg1各前向通道及其通道增益各前向通道及其通道增益211GGp CfedcbaR232GGp)(sR)(sN1H2H3H1G2G3G)(sC11111CfedaRabcdefg1)(sR)(sN1H2H3H1G2G3G)(sC11111n回路回路:起点和终点在同一节点，且信号经过每一个节点不多于一次不多于一次的闭合通道称为回路回路中所有支路增益的乘积称为回路增益回路增益，用 表示aLabcdefg1)(sR)(sN1H2H3H1G2G3G)(sC11111部分回路及其回路增益部分回路及其回路增益111HGL3212HGGLbgcbbgfedcbdfed223HGL
49、abcdefg1)(sR)(sN1H2H3H1G2G3G)(sC11111abcdefgn不接触回路：不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路叫做不接触回路1)(sR)(sN1H2H3H1G2G3G)(sC11111图中的不接触回路图中的不接触回路bgcbabcdefgdfed111HGL3212HGGL1信号流图的性质信号流图的性质n信号流图适用于线性系统n节点表示系统的变量n支路表示一个信号对另一个信号的函数关系，信号只能沿支路上的箭头指向传递，相当于乘法器n节点的输出信号等于所有输入支路信号的叠加n信号流图的不唯一性4.2 梅森梅森(Mason)增益公式增益公式 任一结构图中，某个输
50、入对某个输出的传输增益任一结构图中，某个输入对某个输出的传输增益（传递函数）为（传递函数）为nkkkPP11:P 系统总增益（总传递函数）系统总增益（总传递函数）:n前向通路个数前向通路个数:kP第第k k条前向通路总增益条前向通路总增益 信号流图特征式信号流图特征式:k第第 k 条前向通路的条前向通路的特征余子式特征余子式 信号流图特征式的计算公式为信号流图特征式的计算公式为aLcbLLfedLLL所有不同回路增益之和所有不同回路增益之和 所有任意两个互不接触回路增益乘积之和所有任意两个互不接触回路增益乘积之和所有任意所有任意3个互不接触回路增益乘积之和个互不接触回路增益乘积之和:k为为 除
