1、一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法.定义定义,)()(0都成立都成立xfxf,)()(0的一个极大值的一个极大值是是则称则称xfxf.0是极值点是极值点x,极小值极小值)()(0 xfxf,都都成成立立,)(0时时当当xUx 的一个的一个是是则称则称)()(0 xfxf.0是极值点是极值点x,)(,)(,)(:,531xfxfxf极大值极大值右图中右图中.)(,)(,)(:642xfxfxf极小值极小值.)()(41xfxf 注意注意 .注注区间性质区间性质单调性单调性 局部性质局部性质极值极值 654321xxxxxx,)(0时时当当xUx 注意注意:3x1x4x2x5xxaboy
2、41,xx为极大点为极大点52,xx为极小点为极小点3x不是极值点不是极值点2)对常见函数对常见函数,极值可能出现在极值可能出现在导数为导数为 0 或或 不存在的点不存在的点.1)函数的极值是函数的函数的极值是函数的局部性质局部性质.31292)(23xxxxf例如例如(P146例例4)1x为极大点为极大点,2)1(f是极大值是极大值 1)2(f是极小值是极小值 2x为极小点为极小点,12xoy12函数极值的求法函数极值的求法费马费马(fermat)引理引理0)(0 xf-必要条件必要条件,)(,)(.100点可导点可导在在的极值点的极值点是是定理定理xxfxfxxyo0 x在在驻点驻点或者是
3、或者是连续不可导点连续不可导点中去寻找中去寻找.因此寻求极值点的方法因此寻求极值点的方法:注意注意:.,)(是极值点是极值点但函数的驻点却不一定但函数的驻点却不一定必定是它的驻点必定是它的驻点的极值点的极值点可导函数可导函数xf例如例如,3xy ,00 xy.0不不是是极极值值点点但但 x定理定理 1(极值第一判别法极值第一判别法)xyo0 x xyo0 x (是极值点情形是极值点情形),)(0的某邻域内连续的某邻域内连续在在设函数设函数xxf且在空心邻域且在空心邻域内有导数内有导数,0时时由小到大通过由小到大通过当当xx(1)(xf“左左正正右右负负”,;)(0取极小值取极小值在在则则xxf
4、(2)(xf“左左负负右右正正”,.)(0取极大值取极大值在在则则xxf;,)()3(则不是极值则不是极值的符号不变的符号不变xf xyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤:(不是极值点情形不是极值点情形)(1)(1)给出定义域给出定义域,并找出定义域内所给函数的并找出定义域内所给函数的驻点驻点及及连续不可导点连续不可导点;(2)(2)考察这些点考察这些点两侧导函数的符号两侧导函数的符号,从而确定极值点从而确定极值点;(3)(3)求出极值点的函数值求出极值点的函数值,即为极值即为极值.例例1.求函数求函数32)1()(xxxf的极值的极值.解解:1)求导数求导数32)(xxf3132
5、)1(xx35235xx2)求极值可疑点求极值可疑点令令,0)(xf得得;521x,)0(f得得02x3)列表判别列表判别x)(xf)(xf0520033.0)0,(),0(52),(520 x是极大点，是极大点，其极大值为其极大值为0)0(f是极小点，是极小点，其极小值为其极小值为52x33.0)(52f注意注意:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.定理定理2(极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数二阶导数,且且处处具具有有在在点点设设函函数数0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)()1(0 xf若若则则 在点在点 取极大值取极大值;)(xf0
6、x,0)()2(0 xf若若则则 在点在点 取极小值取极小值.)(xf0 x 证证:(1)(0 xf 00)()(lim0 xxxfxfxx0)(lim0 xxxfxx,0)(0知由 xf存在,0,00时当xx0)(0 xxxf时，故当00 xxx;0)(xf时，当00 xxx,0)(xf0 x0 x0 x 由第一判别法知.)(0取极大值在xxf(2)类似可证.例例2解解.20243)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)(xf.2,421 xx得驻点得驻点)2)(4(3 xx,66)(xxf )4(f,018 )4(f故极大值故极大值,60 )2(f
7、,018 )2(f故极小值故极小值.48 20243)(23 xxxxf图形如下图形如下Mm0 x0()0fx0 x443123(),(),()f xxf xxf xx 0()0fx 注：注：运用第二充分条件求极值也有它的局限性运用第二充分条件求极值也有它的局限性.若若(x)在驻点在驻点这三个函数在这三个函数在 x=0 处就分别属于这三种情况处就分别属于这三种情况.从而当从而当只能用第一充分条件来判定只能用第一充分条件来判定处的二阶导数处的二阶导数(x)在在处可能有处可能有极大值极大值,也可能有也可能有极小值极小值,例如例如:也可能也可能没有极值没有极值.(只需点连续即可只需点连续即可)例例3
8、.求函数求函数1)1()(32 xxf的极值的极值.解解:1)求导数求导数,)1(6)(22 xxxf)15)(1(6)(22 xxxf2)求驻点求驻点令令,0)(xf得驻点得驻点1,0,1321 xxx3)判别判别因因,06)0(f故故 为极小值为极小值;0)0(f又又,0)1()1(ff故需用第一判别法判别故需用第一判别法判别.,1)(左右邻域内不变号左右邻域内不变号在在由于由于 xxf.1)(没有极值没有极值在在 xxf1xy1,为为何何值值时时试试问问axxaxf331sinsin)(?3处取得极值处取得极值在在 x.?并并求求此此极极值值它它是是极极大大值值还还是是极极小小值值.),
9、()(,3coscos)(.可可导导在在解解 xfxxaxf,coscos01233aaf .2 a.sinsin)(xxxf332 .sinsin033323 f .3为极大值为极大值 f3sinsin2313 例例4定理定理3(判别法的推广判别法的推广)阶导阶导点有直到点有直到在在若函数若函数nxxf0)(,0)()()(0)1(00 xfxfxfn,0)(0)(xfn则则:数数,且且1)当当 为偶数为偶数时时,n,0)(0)(时时 xfn0 x是极小点是极小点;,0)(0)(时时 xfn0 x是极大点是极大点.2)当当 为奇数为奇数时时,n0 x为极值点为极值点,且且0 x不是极值点不是
10、极值点.)()()(000 xxxfxfxfnnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0 xfxf)(0nxxonnxxnxf)(!)(00)(当当 充分接近充分接近 时时,上式左端正负号由右端第一项确定上式左端正负号由右端第一项确定,0 xx故结论正确故结论正确.证证:利用利用 在在 点的泰勒公式点的泰勒公式,)(xf0 x可得可得例如例如,例3中1)1()(32 xxf,)35(24)(2 xxxf0)1(f所以1x不是极值点.极值的判别法极值的判别法(定理定理1 定理定理3)都是充分的都是充分的.说明说明:当这些充分条件不满足时当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在不等于极
11、值不存在.例如例如:)(xf,)sin2(212xx,20 x0 x2)0(f为极大值,但不满足定理1 定理3 的条件.xy11二、最大值与最小值问题二、最大值与最小值问题,)(上连续上连续在闭区间在闭区间若函数若函数baxf则其最值只能则其最值只能在在极值点极值点或或端点端点处达到处达到 .求函数最值的方法求函数最值的方法:(1)求求 在在 内的极值可疑点内的极值可疑点)(xf),(bamxxx,21(2)最大值最大值 max M,)(1xf,)(2xf,)(,mxf,)(af)(bf最小值最小值 min m,)(1xf,)(2xf,)(,mxf,)(af)(bf-驻点和不可驻点和不可导点导
12、点特别特别:当 在 内只有一个极值可疑点时,)(xf,ba 当 在 上单调单调时,)(xf,ba最值必在端点处达到最值必在端点处达到.若在此点取极大极大 值值,则也是最大最大 值值.(小)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点.(小)20 x例例5.求函数求函数xexxf2)(在闭区间在闭区间3,0上的最大值和最小值上的最大值和最小值.解解:)(xf,)2(xex)(xf,11是驻点是驻点 x故函数在故函数在2x取最小值取最小值 0;,)2(xex32 x,)1(xex,)1(xex20 x32 x,22是不可导点是不可导点 x,)3(,0)2(,)1(,2)
13、0(3effeff 在在3x取最大值取最大值 .3e求求 最大值。最大值。例例6.6.设设 是任意两正数，满足：是任意两正数，满足：解解:设设)(xf21,xx)0(21 aaxxnmxx21 nmxax)(ax 0即求即求 f(x)在在(0,a)内的最大值内的最大值)()()(11xnmmaxaxxfnm令令0)(xf得得nmmax0是区间唯一的驻点，是区间唯一的驻点，故故 为区间为区间(0,a)之间的最大值之间的最大值)(0 xf)(0 xfnmnmnmanmnmmaff)()(max(k 为某一常数为某一常数)例例7.铁路上铁路上 AB 段的距离为段的距离为100 km,工厂工厂C 距距
14、 A 处处20AC AB,要在要在 AB 线上选定一点线上选定一点 D 向工厂修一条向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5,为使货为使货D 点应如何选取点应如何选取?20AB100C解解:设设,(km)xAD x则则,2022xCD )100(320522xkxky)1000(x,)34005(2 xxky23)400(40052xky 令令,0 y得得,15 x又又,015 xy所以所以 为唯一的为唯一的15x极小点极小点,故故 AD=15 km 时运费最省时运费最省.总运费总运费物从物从B 运到工厂运到工厂C 的运费最省的运费最省,从而为最小
15、点从而为最小点,问问DKm,公路公路,实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:(1)(1)建立目标函数建立目标函数;(2)(2)求最值求最值;小）值小）值值即为所求的最（或最值即为所求的最（或最则该点的函数则该点的函数点点若目标函数只有唯一驻若目标函数只有唯一驻,清楚清楚(视角视角 最大最大)?观察者的眼睛观察者的眼睛1.8 m,例例8.一张一张 1.4 m 高的图片挂在墙上高的图片挂在墙上,它的底边高于它的底边高于x4.18.1解解:设观察者与墙的距离为设观察者与墙的距离为 x m,则则x8.14.1arctan,8.1arctanx),0(x222.32.3 x228.18.1 x)8.
16、1)(2.3()76.5(4.122222 xxx令令,0 得驻点得驻点),0(4.2 x根据问题的实际意义根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在观察者最佳站位存在,唯一唯一,驻点又驻点又因此观察者站在距离墙因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚处看图最清楚.问观察者在距墙多远处看图才最问观察者在距墙多远处看图才最内容小结内容小结1.连续函数的极值连续函数的极值(1)极值可疑点极值可疑点:使使导数为导数为0 或不存在或不存在的点的点(2)第一充分条件第一充分条件)(xf 过过0 x由由正正变变负负)(0 xf为极为极大大值值)(xf 过过0 x由由负负变变正正)(0 xf为极为极小小值
17、值(3)第二充分条件第二充分条件0)(,0)(00 xfxf)(0 xf为极为极大大值值)(0 xf为极为极小小值值0)(,0)(00 xfxf最值点应在极值点和边界点上找最值点应在极值点和边界点上找;f(x)在某开区间或闭区间内连续可导，若有唯一在某开区间或闭区间内连续可导，若有唯一的极值点，则必最值点。的极值点，则必最值点。2.连续函数的最值连续函数的最值 在实际问题中，如果在实际问题中，如果 f(x)有唯一的驻点，则一般有唯一的驻点，则一般为最值点。为最值点。思考与练习思考与练习1.设设,1)()()(lim2 axafxfax则在点则在点 a 处处().)()(xfA的导数存在的导数存
18、在,；且0)(af)()(xfB取得极大值取得极大值;)()(xfC取得极小值取得极小值;)()(xfD的导数不存在的导数不存在.B提示提示:利用极限的保号性利用极限的保号性.,0)()()(,)(2 axafxfaUo必有必有内内在某在某,0)()(afxf).()(afxf 2.设设)(xf在在0 x的某邻域内连续的某邻域内连续,且且,0)0(f,2cos1)(lim0 xxfx则在点则在点0 x处处).()(xf(A)不可导不可导;(B)可导可导,且且;0)0(f(C)取得极大值取得极大值;(D)取得极小值取得极小值.D由由保号性保号性,0cos1)(,)(xxfaUo必有必有内内在某在某0)(xf)0(fP45 2（3）.当当xxxx2tansin,20 时时 xxxxf2tansin)(设设2seccos)(2 xxxf则则xxxxftansec2sin)(2 )1sec2(sin3 xx)1cos1sec(,20,0)(xxxxf 当当,)(单单增增xf)0()(fxf 0,)(单增单增xf)0()(fxf 0 02tansin)(xxxxf即即
