1、 从代数学的观点看，化标准型的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式，使它只有平方项。这样的问题，在许多理论问题或是实际问题中常会遇到。现在我们把这类问题一般化，讨论n个变量的二次齐次多项式的化简问题。定义定义1.1 含有n个变量x1,x2,xn的二次齐次函数nnnxxaxxaxaxxxf11211221112122),(nnxxaxa22222222nnnxaninjjiijxxa11ijjijiijjiijjiijxxaxxaxxaaa2,（1）1211(,)nnnijijijf x xxa x x 111 11221221 122221 122()()()nnnnnnnnnnx
2、 a xa xa xx a xa xa xx a xa xa x11 112 2121 122 22121 12 2(,)n nn nnnnnn na xa xa xa xa xa xx xxa xa xa x1112112122221212nnnnnnnnaaaxaaaxx xxaaaxT.x Ax11121121222212,.nnnnnnnaaaxaaaxaaaxAx 1）称A为二次型 f 的矩阵，显然 A=AT;2）A=(aij),若 aij 为复数，称 f 为复二次型；3）A=(aij),若 aij 为实数，称 f 为实二次型；4）称为R(A)为二次型 f 的秩。（2）;34),()
3、1(22212121xxxxxxf;34),()2(222121321xxxxxxxf112312323120(2)(,),230.000 xf x x xxxxxx112122121()23xf x xxxx解 (),;2、线性变换 定义定义1.2 把变量x1,x2,xn化为变量y1,y2,yn的一组线性关系式11111221221122221122nnnnnnnnnnxp yp yp yxp yp yp yxp yp yp y叫做由变量x1,x2,xn化为变量y1,y2,yn的一个线性变换。若记1111121222122222,nnnnnnnnxypppxypppxypppxyP则线性变换
4、可表示为x=Py。（3）上式中的矩阵P称为该变换的系数矩阵系数矩阵。当P可逆时，（3）称为可逆的线性变换可逆的线性变换；当P不可逆时，（3）称为不可逆的可逆的线性变换线性变换。当线性变换（3）可逆时，线性变换y=P-1x (4)称为（3）式的逆变换逆变换。设x=Py是可逆的线性变换将二次型化为f=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y。令 B=PTAP，则B是对称矩阵，yTBy是新变量y1,y2,yn的一个二次型。变换前后两个二次型矩阵A、B间的这种关系称为合同关系。定义定义1.3 对于n阶矩阵A、B,如果有n阶可逆矩阵P使得PTAP=B则称矩阵A、B是合同（或相合），记为A B。对方阵A进
5、行的运算PTAP称为对A的合同变换合同变换，P称为合同因子合同因子。显然，合同矩阵具有如下性质：2）对称性：若A B，则 B A；1）反身性：若A A；3）传递性：若A B，B C,则A C;4）若A B，则R(A)=R(B);5）若A B，且A为对称矩阵，则B亦为对称矩阵。合同与相似是两个互相独立的概念。合同的矩阵未必相似，相似的矩阵也未必合同。但是，对于实对称矩阵A，当合同因子P是正交矩阵时，由于P-1=PT，所以对A的合同变换与相似变换是一致的。显然，如果二次型xTAx经可逆的线性变换 x=Py化为二次型 yTBy，则必有A B，即f(x)=xTAx=(Py)TA(Py)=yTPTAPy
6、=yTBy。综上所述，二次型f(x)=xTAx能用可逆的线性变换x=Py化为yTBy的充分必要条件是有可逆矩阵P，使PTAP=B。定义定义2.1 称只含有平方项的二次型为二次型的标准型（或法式）。2221122nnf y y y112212Tnnyynyyyyyy 显然，一个二次型为标准形的充分必要条件是它的矩阵为对角矩阵。（5）所谓一般二次型的化简问题，就是寻找一个可逆的线性变换：TTTT()()().fx AxcyA cyyc Ac yTxcyfx Ax标。即把化成准型于是11111221221122221122,nnnnnnnnnnxc yc yc y xc yc yc yxc y+c
7、y+c y 定理定理2.1 设A为n阶对称矩阵，二次型f(x)=xTAx能用可逆线性变换x=Py化为标准形（5）的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵P使PTAP=B=ding(1,2,，n).定理2.1告诉我们，二次型经可逆线性变换化为标准形的问题与对称矩阵化为对角矩阵的问题实质上是同一问题。显然，经可逆变换 x=C y 把 f 化成 yTC TACy，C TAC 仍为对称矩阵，且二次型的秩不变。2.1 用正交变换化实二次型为标准形用正交变换化实二次型为标准形 定理定理2.2 对于任意的n元二次型f(x)=xTAx，必有正交变换x=Py，使f化为标准形2221122nnf y y y其中1,2,
8、，n恰是A的全部特征值。证明证明 由于A为n阶对称矩阵。由第五章定理5.3知有n阶正交矩阵P，使得PTAP=P-1AP=ding(1,2,，n)，其中1,2,，n恰是A的全部特征值。由定理2.1便知定理成立。应用定理2.2求实二次型f(x)=xTAx标准型问题，其实质上就是用正交变换化实对称矩阵A为对角矩阵的问题。经过上面的讨论，总结用正交变换化二次型为标准型的一般步骤：11nnijijijfa x x 1、将二次型 写成矩阵形式；2、由|A-E|=0，求出A的全部特征值；=SchimidtAExAk kkk30由（），求出 的特征向量：于求出的不同的特征值所的特征向量已正交，只位化；于 重特
9、征值所的性的特征向量，用准正交化方法把它化正交的位向量。、对对应须单对对应个线无关标们为 个两两单-4把求出的n个两两正交的单位向量，拼成正交矩阵P,作正交变换x=Py;2222211nnyyyf12,An f n阵个其中使 的矩的特征值.5、用x=Py，把f 化成标准型 解解 1）二次型的矩阵为0111101111011110A，121314232434222222 fx xx xx xx xx xx x为标化准形.2)0,AEA 由求 的特征值：1111111111111)1(111111111111AE1000212022101111)1(2111(1)012021 222(1)(23)
10、(1)(3)(1)0.311111111311131131131113111131113AE11111111022001100220004402240000得A的特征值为1=-3，2=3=4=1，由(A-E)x=0,求A的全部特征向量，当1=-3时，解方程(A-3E)x=0.1111100101100101,0011001100000000111,11 得基础解系单位化，得1111,121p1223434111100010001xxkkkxx ，即1111111111110000,1111000011110000AE,.xxxxxxxxxx1234223344解得23410.AEx当，（）解方
11、程由k2,k3,k4不同时为零.234101101,.011011 234101101221,.011222011ppp 取单位化，得222212343fyyyy.1122334411102221110222,11102221110222xyxyxyxy（4）令P=(p1,p2,p3,p4),于是得正交变换x=Py,即5）用正交变换x=Py将f化成标准形 2.2用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形 解解 由于 f 中含有的平方项，故把含有 x1 的项归为一类，配方得：23223212332222321322322323121232221)2()()2()2(2)(44222xxxx
12、xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxf22212311322522623 f=x+x+x+x x+x x+x x 标变换1 例.用配方法化二次型成准形，并求出所用的.112322333,2,yxxxyxxyx令112322333,2,.xyyyxyyx y即112233111012.001xyxyxy 所用的线性变换为则该变换把f化成标准形为2212.fyy121323226fx xx xx x 例例2 用配方法化二次型成标准型，并求出所用的可逆的线性变换.,xyyxyyxy11221233 解解 在f中不含有平方项，由于含有x1,x2的乘积项，故令代入可得221213232222211332233322213233224824228862()2(2)6f yyy yy yyy yyyy yyyyyyyy11322333,2,zyyzyyzy 令11322333,2,yzzyzzyz 即1111222233331101 0 111 00 1 2,0010 0 1xyyzxyyzxyyz 和所用的线性变换为则该变换把f化成标准形222123226.fzzz123123123110101110012001001113111,001zzzz zzxxx
