1、华东理工大学华东理工大学 12-1 非正弦周期信号非正弦周期信号一一.非正弦信号非正弦信号 1.定义定义:电路中的电压电流变量随时间不是按正弦规律电路中的电压电流变量随时间不是按正弦规律 变化时统称为非正弦信号。变化时统称为非正弦信号。2.种类种类:非周期性非周期性周期性周期性 i(t)=i(t+T)/u(t)=u(t+T)(“信号与系统”中研究)例例:电子技术中常用的电子技术中常用的非正弦周期信号非正弦周期信号-微分脉冲电流、方波电压、锯齿波电压、微分脉冲电流、方波电压、锯齿波电压、半波整流电压等。半波整流电压等。非正弦周期信号在工程实际中更具有其普遍的研究意义非正弦周期信号在工程实际中更具
2、有其普遍的研究意义 (由于发电设备的限制即使工程中用的正弦量也只能是近似的)。华东理工大学华东理工大学 二二.非正弦电路非正弦电路1.定义定义:电路中的变量电路中的变量(电压、电流）呈现非正弦情况电压、电流）呈现非正弦情况 时称此电路为非正弦电路。时称此电路为非正弦电路。2.种类种类:正弦激励下的非线性电路正弦激励下的非线性电路非正弦激励下的非线性电路非正弦激励下的非线性电路非正弦激励下的线性电路非正弦激励下的线性电路+t0 t0+ui0tuo0t+ui0tuo0t下 页上 页华东理工大学华东理工大学 12-2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 (谐波分析谐波分析)一一.数学分
3、析数学分析 设非正弦周期电流设非正弦周期电流i(t)=i(t+T),当满足狄里赫利条件当满足狄里赫利条件 (i(t)在一周期内连续在一周期内连续or有有限多个第一类间断点有有限多个第一类间断点;i(t)在一周期内有有限多个极大值与极小值在一周期内有有限多个极大值与极小值)时时,可展成收敛的可展成收敛的傅里叶级数：傅里叶级数：其中其中:)sincos()(10tnbtnaatfnnn2/2/0)(1TTdttfTa2/2/cos)(2TTntdtntfTa2/2/sin)(2TTntdtntfTb)cos(10nnmntnAA2n2nmnbaAnnnabarctan华东理工大学华东理工大学 讨论
4、：)cos()(10nnmntnAAtf 1）A0=a0 常量，与频率无关常量，与频率无关（直流分量、零频分量）（直流分量、零频分量）2）Amncos(nt+0)正弦量，与正弦量，与n有关有关（谐波分量）（谐波分量）3）谐波分类：）谐波分类：奇次谐波奇次谐波直流分量直流分量)cos(11tAmA0=a0基波分量基波分量)2cos(22tAm)3cos(33tAm)cos(kmktkA二次谐波二次谐波三次谐波三次谐波k次谐波次谐波高高次次谐谐波波偶次谐波偶次谐波二二.物理意义：物理意义：一个非正弦周期电流可以分解成一个直流分一个非正弦周期电流可以分解成一个直流分量和多个与量和多个与成整数倍的不同
5、频率的正弦交流电流。成整数倍的不同频率的正弦交流电流。华东理工大学华东理工大学 tT/2TSimI周期性方波信号的分解周期性方波信号的分解例例1解解图示矩形波电流在一个周期内图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：的表达式为：TtTTtItiS2 020 )(m下 页上 页si的展开式为：的展开式为：)5sin513sin31(sin22 tttIIimmS 华东理工大学华东理工大学 ttt基波基波直流分量直流分量三次谐波三次谐波五次谐波五次谐波七次谐波七次谐波周期性方波波形分解周期性方波波形分解下 页上 页华东理工大学华东理工大学 基波基波直流分量直流分量直流分量直流分量+基波基波三次谐波三次
6、谐波直流分量直流分量+基波基波+三次谐波三次谐波下 页上 页华东理工大学华东理工大学 )5sin513sin31(sin22tttIIimmStT/2TSimIIS01si3si5si等效电源等效电源IS01si3si5si下 页上 页华东理工大学华东理工大学 12-3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率一一.有效值有效值根据周期量有效值的定义根据周期量有效值的定义,为其方均根值为其方均根值:)cos(110kkkmtkIItidttkIITIkkkmT21100)cos(1华东理工大学华东理工大学 结论结论:非正弦周期电流（电压）的有效值，等于它的直流分量非正弦周期电流（电压）
7、的有效值，等于它的直流分量 的平方与各次谐波的的平方与各次谐波的有效值有效值的平方和的平方根。的平方和的平方根。例例1.tUtUUttUummmm11112cos32cos2)2cos31cos421(2 t0u的有效值。求经过半波整流后电压值设正弦交流电压的最大,2202VUm解：解：取取傅里叶级数展开式的前三项：傅里叶级数展开式的前三项：VUUUUUUUMMM2.1553221221222222120则有：华东理工大学华东理工大学 二二.平均值平均值定义（以电流为例）：定义（以电流为例）：非正弦周期电流的平均值为其绝对值的平均值。非正弦周期电流的平均值为其绝对值的平均值。即：即：IIIdt
8、tITIMMTmav637.0898.02cos10为例：正弦电流的平均值磁电系仪表：磁电系仪表：恒定分量（直流分量）恒定分量（直流分量）电磁系仪表：电磁系仪表：有效值有效值全波整流仪表：全波整流仪表：平均值平均值下 页上 页华东理工大学华东理工大学 三三.平均功率（有功功率）平均功率（有功功率）1.定义定义:非正弦周期电流电路中的平均功率为其瞬时功率非正弦周期电流电路中的平均功率为其瞬时功率 在一周期内的平均值。在一周期内的平均值。即：即：+uidttkIItkUUTPikkkmukTKkm)cos(cos(11100110,2,1,2,2:kIIUUikukkmkmk式中（三角函数的正交性
9、）华东理工大学华东理工大学 结论结论:非正弦周期电流电路中的平均功率为直流分量构成非正弦周期电流电路中的平均功率为直流分量构成 的功率与各次谐波构成的平均功率之和。的功率与各次谐波构成的平均功率之和。Notes:1.谐波次数不同的电压电流在电路中不构成平均功率；谐波次数不同的电压电流在电路中不构成平均功率；eg.若若u=u1+u2,i=I0+i1+i3111cosIUP 则2.若已知电路参数，平均功率还可用以下公式计算：若已知电路参数，平均功率还可用以下公式计算：式中，式中，I为非正弦周期电流的有效值为非正弦周期电流的有效值四四.视在功率视在功率kkIUIUIUIUS221100下 页上 页华
10、东理工大学华东理工大学 12-4 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算理论依据理论依据:傅里叶级数傅里叶级数+叠加定理叠加定理计算步骤计算步骤:1.求所给定的非正弦激励源的求所给定的非正弦激励源的傅里叶级数傅里叶级数(查表查表),根据准确度根据准确度 要求取若干项。要求取若干项。2.分别求出激励的分别求出激励的直流分量直流分量和和各次谐波分量各次谐波分量单独作用时的响应。单独作用时的响应。画各分电路图注意点画各分电路图注意点:直流分量激励下，直流分量激励下，C开路，开路，L短路；短路；各次谐波分量激励下，电抗值不同各次谐波分量激励下，电抗值不同XLk=kLXCk=1/kC3.将直流
11、分量和各次谐波分量的将直流分量和各次谐波分量的瞬时响应叠加求和瞬时响应叠加求和。titiIti210注意：210IIII华东理工大学华东理工大学 R+U0IR(0)IC(0)IL(0)例例1.已知已知:u=200+200sint+100sin2t R=50,L=20,1/C=40 求：求：iR,iC,iL,电流表、电压表电流表、电压表 读数及电路中消耗的平均功率。读数及电路中消耗的平均功率。解：解：对直流分量：对直流分量：RCA+uiRiCiLVLIR(0)=U0/R=200/50=4AIC(0)=0IL(0)=IR(0)=4AUL(0)=0 对基波分量：对基波分量：+VU022001 1RI
12、 1LI 1CIR 1CZ 1LZ 4011jCjZC 201jLjZL下 页上 页华东理工大学华东理工大学 40502040204050/111jjjjjZZRZLC+VU022001 1RI 1LI 1CIR 1CZ 1LZ AjZUIR7.3821.2405002/200111 AjjjCjLjLjIIRC3.14121.24020207.3821.2111 AjjjCjLjCjIIRL7.3842.44020407.3821.21111 VjZIULLL3.514.88207.3842.4111华东理工大学华东理工大学 对二次谐波：对二次谐波：+VU021002 2RI2LI 2CIR
13、 2CZ 2LZ 20212jCjZC 4022jLjZL 40504020402050/222jjjjjZZRZLC AjZUIR7.3811.1405002/100222 AjjjCjLjLjIIRC7.3822.22040407.3811.1212222 AjjjCjLjCjIIRL3.14111.12040207.3811.12122122下 页上 页华东理工大学华东理工大学 VjZIULLL3.514.44403.14111.1222 AtttitiItiRRRR7.382sin211.17.38sin221.24210 AtttitiItiCCCC7.382sin222.23.14
14、1sin221.2210 AtttitiItiLLLL3.1412sin211.17.38sin242.44210A AIIIRRR7.411.121.24222222120V VUUULLL9.984.444.880222222120下 页上 页华东理工大学华东理工大学 WIUIUIUP2.11057.38cos11.121007.38cos21.222004200coscos22211100RCA+uiRiCiLVLv电路中消耗的平均功率为：电路中消耗的平均功率为：WRIPR8.11055011.121.242222方法一：方法一：方法二：方法二：下 页上 页华东理工大学华东理工大学 求图
15、示电路中电流i1(t)和i2(t)，并求两个电流表的读数。其中,61,cos2020)(CtVtu.1,421MLL解：解：直流分量作用：直流分量作用：0)0(2iAi10220)0(1基波分量作用：基波分量作用：2020)42(21I jIj0)643(21IjjIj76.61224.21I07.118218.12I由叠加定理，有：由叠加定理，有：)1(1)0(11iii)1(2)0(22iiiAt)76.61cos(24.410At)07.118cos(18.12)1(12)0(11IIIA44.10AI834.0218.12例例2.下 页上 页华东理工大学华东理工大学 例例3.RC2+u
16、L2C1L1 +uC2 iRiL1已知：已知：1001,1004001,1002211CLCL Vtttu)902sin(40)90sin(9060,60 R。和平均功率有效值瞬时值求：PUtiCL21,解：解：有有LC串、并联环节的电路时，先分析是否有谐振现象发生。串、并联环节的电路时，先分析是否有谐振现象发生。对二次谐波发生并谐。对基波发生串谐；20021210011122CLCL下 页上 页华东理工大学华东理工大学 对直流分量：对直流分量：60+60V+UC2(0)IR(0)IL(0)IL(0)=IR(0)=60/R=60/60=1AUC2(0)=60V 对基波分量：对基波分量：L2和和
17、C2串谐串谐60-j100+j100-j400 j100 +VU902901 12CU 1RI 11LI 01RI AjIL29.010090)2/90(11 VjjjUC9025.67100400902/90100902/9012下 页上 页华东理工大学华东理工大学 L1和和C1并谐并谐60-j100+j100-j200 j200 +VU902402 22CU 2RI 21LI 02RI AjIL22.020090)2/40(21 022CU 对二次谐波：对二次谐波：AtttiLsin2.0sin9.011瞬时值VUC67.76025.67602222有效值WRIPR6060122平均功率#12-6，12-7；下 页上 页
