1、高等数学高等数学第四章不定积分高等数学高等数学第四章不定积分010102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法一、原函数和不定积分的概念原函数和不定积分的概念定义定义1 设f(x)是定义在区间(a,b)上的已知函数，如果存在一个函数F(x)，使得在(a,b)上的任意一点x有 或 则称函数F(x)是f(x
2、)在该区间上的一个原函数原函数()()F xf xd()()dF xf xx定理定理1 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x)，则F(x)+C(为任意常数)也是f(x)在区间I上的原函数，并且f(x)的任一原函数均可表示成F(x)+C的形式高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法定义定义2 在区间I内，函数f(x)的全体原函数F(x)+C称为f(x)在区间I上的不定积分，记为f(x)dx，其
3、中，称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为被积变量，C称为积分常数高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法例1 求 23dxx解解 由于 ，所以，x3是3x2的一个原函数，因此32()3xx 233dxxxC例2 求 解解 由于 ，所以，cosx是sinx的一个原函数，因此sin dx x(cos)sinxxsin dcosx xxC 高等数学高等数学不定积分的概不
4、定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法例3 求 解解 当 时，；当 时，因此1dxx0 x 1(ln|)(ln)xxx0 x 11(ln|)ln()()xxxxx1dln|xxCx高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法二、
5、不定积分的几何意义不定积分的几何意义 当积分常数C取不同值时，不定积分表示的不是一个函数，而是一族函数从几何上看，它们代表一族曲线，称为函数f(x)的积分曲线族积分曲线族，如图4-1所示图4-1高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法积分曲线族具有以下两个显著的特点：（1）积分曲线族中所有的曲线都可以由其中任意一条曲线沿着y轴方向上下平移得到；（2）对应同一横坐标x的点，其所有切线互相平行高等数
6、学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法例4 求经过点（1,3）且切线的斜率为2x的曲线方程解解 设所求曲线方程为y=F(x)，由题意知F(x)=2x，而即2x的积分曲线族为y=x2+C将x=1,y=3代入，得C=2 故所求曲线方程为y=x2+222 dx xxC高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学0
7、10102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法三、不定积分的性质不定积分的性质性质1 或 性质2 或 性质3 性质4 ()d()f xxf xd()d()df xxf xx()d()F xxF xCd()()F xF xC()d()d(0)af xxaf xxa()()d()d()df xg xxf xxg xx高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法分部积分
8、法分部积分法四、基本积分公式基本积分公式（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）dk xkxC1dln|xxCxe dexxxCsin dcosx xxC 221dcscdcotsinxx xxCx csc cot dcscxx xxC 11d(1)(1)nnxxxCnn 1dlnxxaxaCacos dsinx xxC221dsecdtancosxx xxCxsec tan dsecxx xxC高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分
9、的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法例5 求 解解 2(3cos5)dxxxx22(3cos5)d3dcos d5dxxxxxxx xx x3323sin5332xxxC 33210sin3xxxC高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法例6 求 解解 2(5)dx xx5151732222222210(5)d(5)dd5d73x xxxxxxxxxxxC例7
10、 求 解解 3()(1)dxxxxx333()(1)dddxxxxx xxxx xxxxxxxx71137666666dd137xxxxxxC高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法例8 求 解解 2 e dxxx(2e)2 e d(2e)dln2exxxxxxC例9 求 解解 本题不能直接运用基本积分公式 可由公式 得 2sind2xx21cossin22xx21cos1cos11sinddd
11、dsin222222xxxxxxxxxC高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法例10 求 解解 221dsincosxxx222222221sincos11ddddsincossincoscossinxxxxxxxxxxxx22secdcscdtancotx xx xxxC高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303
12、高等数学高等数学010102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法例11 已知物体以速度v=2t2+1(m/s)沿Ox轴做直线运动，当t=1s时，物体经过的路程为3 m，求物体的运动方程解解 设物体的运动方程为x=x(t)，于是有，x(t)=v=2t2+1，所以将已知条件t=1s时，x=3m，代入上式有 ，即 于是，所求物体的运动方程为 232()(21)d3x tttttC 2313C 43C 324()33x ttt 高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法01010202030
13、3高等数学高等数学010102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法一、第一换元积分法第一换元积分法定理定理1（第一换元积分法）（第一换元积分法）设函数f(u)具有原函数F(u)，且u=(x)可导，则函数F(x)是函数f(x)(x)的原函数，即有换元公式这个公式称为第一换元积分法第一换元积分法，也称为凑微分法凑微分法()()()d()()d uxfxxxFxCf uu高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分的概
14、不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法例1 求 解解 将dx进行配凑，因为 ，所以 3(12)dxx11dd(2)d(12)22xxx33311(12)d(12)d(12)(12)d(12)22xxxxxx1 2344111d(12)288uxuuuCxC 还原高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法例2 求 解解 将dx进行配凑，因为 ，所以 1d32xx11
15、dd(2)=d(32)22xxx3 21111111dd(32)dln|ln|32|32232222uxxxuuCxCxxu 还原高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法例3 求 解解 将dx进行配凑，因为 ，所以 24dxxx222111ddd()d(4)222x xxxx 1122222214d(4)d(4)d(4)2xxxxxxxx 213342222111d(4)233uxuuuCxC
16、 还原高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法例4 求 解解 将dx进行配凑，因为 ，所以 2e dxxx21dd2x xx222221111e de de dee2222u xxxuuxxxxuCC还原高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分的概不定积分的概念与性
17、质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）1dd()xaxba12d2dd()xxa xbax211ddxxx cos dd(sin)x xx2secdd(tan)x xx2211ddd()22x xxx axba1dd()lnxxaxaa1dd(ln)xxxsin dd(cos)x xx sec tan dd(sec)xx xx一些常用的凑微分形式:高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分的概
18、不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法例5 求 解解 因为 ，所以 3edxxx1d2dxxx3333e22d2 eded(3)e33xxxxxxxCx高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法例6 求 解解 因为 ，所以 sindxxx1d2dxxxsind2 sind2cosxxxxxCx 高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元
19、积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法例7 求 解解 因为 ，所以 d(12ln)xxx1dd(ln)xxxdd(ln)1d(2ln)(12ln)12ln2 12lnxxxxxxx1d(12ln)1ln|12ln|212ln2xxCx高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积
20、分法分部积分法例8 求 解解 因为 ，其中 ，所以 同理，可求得 tan dx xsintan ddcosxx xxxsin dd(cos)x xx sind(cos)tan ddln|cos|coscosxxx xxxCxx cot dln|sin|x xxC高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法例9 求 解解 因为 ，所以 2cos dx21cos(1cos2)2xx21111cos d
21、(1cos2)ddcos2 dcos2 d(2)2222xxxxx xxxx1111sin2sin22224xxCxxC高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法二、第二换元积分法第二换元积分法例10 求 解解 因为被积函数含有根号，不容易凑微分，为了去掉根号，可先换元 令 ，则 ，于是有 31d1xx3xt3xt2d3 dxtt22313(1)1dd3d111ttxttttx131d1ttt
22、213ln|1|2tttC 高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法最后回代 ，得 3tx3332311d3ln|1|21xxxxCx定理定理2（第二换元积分法）（第二换元积分法）设f(x)连续，x=(t)是单调、可导的函数，且(t)0，则有换元公式其中，t=1(x)为x=(t)的反函数1()()d()()dtxf xxfttt高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法
23、换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法例11 求 解解 求这个积分的主要困难是 ，所以令 ，则 ，显然 ，于是d1xxxxt2xtd2 dxt td2 d1 112d21d1111xt tttttttx 2(ln|1|)2(ln|1|)ttCxxC高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法
24、换元积分法 分部积分法分部积分法例12 求 解解 被积函数中含有 和 两个根式，作变换 ，可同时将两个根号去掉，则31dxxx3xx6xt5d6 dxtt533223316 d6 d(1)11d6d6(1)d111tttttxtttttttttxx 23216(1)d6d2366ln|1|1ttttttttCt 3662366ln|1|xxxxC高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法三三、补
25、充的积分公式补充的积分公式（1）（2）（3）（4）（5）tan dln|cos|x xxC cot dln|sin|x xxCsec dln|sectan|ln tan24xx xxxCCcsc dln|csccot|ln tan2xx xxxCC22d1ln2xxaCxaaxa高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法设函数u=u(x),v=v(x)具有连续导数，则这两个函数乘积的导数为即 对
26、上式的两边求不定积分，有即 上式简记为 此公式为分部积分公式分部积分公式()()()()()()u x v xu x v xu x v x()()()()()()u x v xu x v xu x v x()()d()()d()()du x v xxu x v xxu x v xx()d()()()()d()u xv xu x v xv xu xddu vuvv u高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分
27、法分部积分法例1 求 解解 设 ，则 ，于是e dxxxde dd(e)xxuxvx，ddexux v，e ddeee deexxxxxxxxxxxxC高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法例2 求 解解 设 ，于是 ,所以sin dxx xdsin dd(cos)uxvx xx，ddcosux vx，sin d(cos)(cos)dcoscos dxx xxxxxxxx x 高等数学高等数
28、学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法例3 求 解解 设 ，于是 ,所以ln dxx x21lnddd2uxvx xx，21dd2xux vx，22211ln dlndlnd2222xxxxx xxxxx xx高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与
29、性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法例4 求 解解 设 ，于是 ,所以对 再进行一次分部积分，由例1得2e dxxx2de dd(e)xxuxvx，d2 dexux x v，222e dd(e)e2e dxxxxxxxxxxe dxxx22e de2 e2exxxxxxxxC高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法例5 求 解解 设 ，于是 ,所以对于积分 ，再设 ，于是 ，所以从而
30、故e sin dxIx xedsin dd(cos)xuvx xx，de dcosxux vx，e cose cos dxxIxx x e cos dxx xedcos dd(sin)xuvx xx，de dsinxux vx，e cose cos de cose sine sin dxxxxxIxx xxxx x e cose sinxxIxxI 1e(sincos)2xIxxC高等数学高等数学不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法010102020303高等数学高等数学010102020303不定积分的概不定积分的概念与性质念与性质换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法例6 求 解解edxxe de 2 d2e d2de2(ee d)x txtttttxt tttttt2 e2e2e2ettxxtCxC高等数学高等数学谢谢THANK YOU高等数学高等数学
