1、1第第十十章章 电荷和静电场电荷和静电场210-3 高斯定理高斯定理10-1 电荷和库仑定律电荷和库仑定律第十章第十章 电荷和静电场电荷和静电场10-2 电场和电场强度电场和电场强度 10-4 电势及其与电场强度的关系电势及其与电场强度的关系10-5 静电场中的金属导体静电场中的金属导体10-6 电容和电容器电容和电容器10-7 静电场中的电介质静电场中的电介质10-8 静电场的能量静电场的能量310-1 电荷和库仑定律一、电荷一、电荷(charge)原子是电中性的，原子核中的中子不带电、质子原子是电中性的，原子核中的中子不带电、质子带正电、核外电子带负电，并且所带电量的绝对值带正电、核外电子
2、带负电，并且所带电量的绝对值相等。自然界中有两种电荷：相等。自然界中有两种电荷：正电荷、负电荷。密立根（密立根（R.A.millikan)用液滴法测定了电子电用液滴法测定了电子电荷，电子是自然界中存荷，电子是自然界中存在的最小负电荷在的最小负电荷,2002年的推荐值为：年的推荐值为：e=1.602 176 5310-19 C C4 实验实验证明微小粒子带电量的变化是不连续的，证明微小粒子带电量的变化是不连续的，它只能是元电荷它只能是元电荷 e 的整数倍的整数倍,即粒子的电荷是 量子化的：Q=n e ;n=1,2,3,在近代物理中发现强子在近代物理中发现强子(如质子、中子、介子如质子、中子、介子
3、等等)是由夸克是由夸克(quark)构成的，夸克所带电量为构成的，夸克所带电量为e的的1/3或或2/3。但是到目前为止还没有发现以自由状。但是到目前为止还没有发现以自由状态存在的夸克。电量的最小单元不排除会有新的态存在的夸克。电量的最小单元不排除会有新的结论，结论，但是电量量子化的基本规律是不会变的。在相对论中物质的质量会随其运动速率而变在相对论中物质的质量会随其运动速率而变化，但是实验证明一切带电体的电量不因其运化，但是实验证明一切带电体的电量不因其运动而改变，动而改变，电荷是相对论性不变量。5二、库仑定律二、库仑定律(Coulomb law)真空中两个静止的真空中两个静止的点电荷之间的之间
4、的作用力作用力（静电力静电力），与它们所带电量），与它们所带电量的乘积成正比，与它们之间的距离的的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比，作用力沿着这两个点电平方成反比，作用力沿着这两个点电荷的连线，荷的连线，同号相斥，异号相吸。同号相斥，异号相吸。自身线度与带电体之间距自身线度与带电体之间距离相比很小的带电体离相比很小的带电体库仑(1736-1806)法国工程师、物理学家1q12r12r21F12Fd21F12F2q1q2q）（12rd 612121212122123121212q qrq qFkkrFrrr 2290CmN100.941k是国际单位制中的比例系数是国际单位制中的比例系数
5、212120mNC108542.841k（为真空电容率）为真空电容率）0122122101241erqqF注意：只适用两个相对于观察者为静止点电荷之间，并满足牛顿第三定律。7 自然界存在四种力：强力、弱力、电磁力和万有引自然界存在四种力：强力、弱力、电磁力和万有引力力,把把10-15m的尺度上两个质子间的强力的强度规定的尺度上两个质子间的强力的强度规定为为1,其它各力的强度是：电磁力为其它各力的强度是：电磁力为10-2，弱力为，弱力为10-9，万有引力为万有引力为10-39。在原子、分子的构成以及固体和液。在原子、分子的构成以及固体和液体的凝聚等方面，库仑力都起着主要的作用。体的凝聚等方面，库
6、仑力都起着主要的作用。8解解N101.8 416220ereFN107.347-2pegrmmGF 例例 在氢原子内在氢原子内,电子和质子的间距为电子和质子的间距为 .求它们之间电相互作用和万有引力求它们之间电相互作用和万有引力,并比较它们的大小并比较它们的大小.m103.511kg101.931emkg1067.127pm2211kgmN1067.6GC106.119e39ge1027.2FF（微观领域中（微观领域中,万有引力比库仑力小得多万有引力比库仑力小得多,可可忽略忽略不计不计.）9 作用于某电荷上的总静电力等于其他点电荷单独作用于某电荷上的总静电力等于其他点电荷单独存在时作用于该电荷
7、的静电力的矢量和。存在时作用于该电荷的静电力的矢量和。数学表达式离散状态离散状态1q2qnqiq iriF0q nFFFF 21 niiiiniirrqqF130014 点电荷系对某点电荷的作用等于系内各点电点电荷系对某点电荷的作用等于系内各点电荷单独存在时对该电荷作用的矢量和。荷单独存在时对该电荷作用的矢量和。10例例：三个点电荷：三个点电荷q1=q2=2.010-6C,Q=4.010-6C，求求q1 和和 q2 对对Q 的作用力。的作用力。解解：q1 和和 q2对对Q 的作用力的的作用力的 方向虽然不同，但大小相等：方向虽然不同，但大小相等：11220 10.29N4qQFFFr 由对称性
8、可以看出两个力在由对称性可以看出两个力在 y 方向的分力大小方向的分力大小相等，方向相反而相互抵消，相等，方向相反而相互抵消，Q 仅受沿仅受沿x方向的方向的作用力：作用力：0.422 cos2 0.29N0.46N0.5xfFF q1q2Qyxor1r20.30.30.4FxF1F2Fy11连续分布连续分布FdF 0204q dqdFrr 1210-2 电场和电场强度 一、电场一、电场(electric field)在电荷周围空间存在一种特殊物质，它可以传递在电荷周围空间存在一种特殊物质，它可以传递电荷之间的相互作用力，这种特殊物质称为电荷之间的相互作用力，这种特殊物质称为 电场。静。静止电荷
9、周围存在的电场，称止电荷周围存在的电场，称 静电场，这就是所谓的近，这就是所谓的近距作用。距作用。电电 荷荷电电 场场电电 荷荷 实验证实了两静止电荷间存在相互作用的静电力，实验证实了两静止电荷间存在相互作用的静电力，但其相互作用是怎样实现的？但其相互作用是怎样实现的？实物实物物物 质质 场场13真空中电荷周围存在着静电场真空中电荷周围存在着静电场用用 、来分别描述静电场的上述两项性质来分别描述静电场的上述两项性质EU静电场对外表现有两个特性：（1）力的特性：场中任何带电体都受电场力作用场中任何带电体都受电场力作用（2）功的特性：带电体在电场中移动时，场对带电带电体在电场中移动时，场对带电 体
10、做功体做功（动量传递）（动量传递）（能量传递）（能量传递）实验表明电场具有质量、动量、能量，体现实验表明电场具有质量、动量、能量，体现了它的物质性。了它的物质性。E U14二、电场强度二、电场强度 (electric field intensity)电场中某点处的电场中某点处的电场强度电场强度 等于位于该点处的等于位于该点处的单位试验电荷单位试验电荷所受的力所受的力，其方向为，其方向为正正电荷受力电荷受力方向方向.E0FEq Q0qF（试探电荷为点电（试探电荷为点电荷荷、且足够小且足够小,故对故对原电场几乎无影响）原电场几乎无影响）：场源电荷：场源电荷Q0q：试探电荷：试探电荷 单位单位 11
11、mV CN电场强度与试探电荷无关，反映电场本身的性质。电场强度与试探电荷无关，反映电场本身的性质。15EqF 电荷电荷 在电场中受力在电场中受力 q于是电场强度反映了电场的力性质。于是电场强度反映了电场的力性质。应用应用 利用电场加速带电粒子利用电场加速带电粒子 利用电场使带电粒子偏转利用电场使带电粒子偏转+-+qF+-+Ev+q+-+-+vFE16三、电场强度的计算三、电场强度的计算1.点电荷的电场强度点电荷的电场强度20014FqErqr 位矢位矢 求场点求场点rO 场源场源PqF 正电荷正电荷负电荷负电荷03014qqFrr 172.多个点电荷产生的电场多个点电荷产生的电场电场中任何一点
12、的总场强等于各个点电荷在该点各自电场中任何一点的总场强等于各个点电荷在该点各自产生的场强的矢量和。这就是产生的场强的矢量和。这就是场强叠加原理。若空间存在若空间存在n个点电荷个点电荷q1,q2,qn 求它们在空间电求它们在空间电场中任一点场中任一点P 的电场强度：的电场强度：ri 是点是点P 相对于第相对于第i 个个点电荷的位置矢量。点电荷的位置矢量。311014nniiiiiqEErr 11100ninniiiiiFFEqq 12000nFFFEqqq 2r1r3r3q2q1qPE3E2E1183.任意带电体产生的电场任意带电体产生的电场将带电体分成很多电荷元将带电体分成很多电荷元dq ,先
13、求出它在空间任意先求出它在空间任意点点 P 的场强的场强301dd4qErr 对整个带电体积分对整个带电体积分,可得总场强：可得总场强：301dd4qEErr 以下的问题是引入电荷密度的概念并选取合适以下的问题是引入电荷密度的概念并选取合适的坐标，给出具体的表达式和实施计算。的坐标，给出具体的表达式和实施计算。EdqdrP19 VSlqdddd 304ddrqrE EEd zzyyxxEEEEEEddd任意带电体任意带电体EdqdrPql dEdrPqPsdEdr20连续带电体产生的电场：其电场看成由许多点电荷产生电场的叠加点的距离到为pqrrrqEd ,4dd20具体的解题步骤：、画出示意图
14、，选取适当的电荷元；、建立坐标系，将电荷元的电场强度分解；、确定积分的上下限，积分后合成。EqddxyEEEdddxyyxyyxxEEEEEEEEE tgd d2221例例1.1.电偶极子的电场电偶极子的电场是由电介质极化，电磁波的发射、接收，是由电介质极化，电磁波的发射、接收，中性原子间相互作用中性原子间相互作用总结出的理想模型总结出的理想模型 .OH2分子分子 HHo104 4CH分子分子HHHHC E 无外场无外场电偶极子：相距很近的等量异号电荷电偶极子：相距很近的等量异号电荷q q 描述其性状电偶极矩：描述其性状电偶极矩：Lqp L22 讨讨 论论（1）电偶极子轴线延长线上一点的电场强
15、度电偶极子轴线延长线上一点的电场强度302rpE Lr 21214220)Lr()Lr(qEEE 2220424)Lr(rLq q q r2LAo E EL23（2 2）电偶极子轴线的中垂线上一点的电场强度电偶极子轴线的中垂线上一点的电场强度30303030304 4)(4)4(4 rprLqrrrqrrqrrqEEE q q E EBr r ro EL24例例2：求距离：求距离均匀带电细棒为为a 的的 p点处电场强度。点处电场强度。设棒长为设棒长为L,带电量带电量q，电荷线密度为，电荷线密度为 =q/L解解：选坐标并任取一小段选坐标并任取一小段dq 如图，其中如图，其中xqddyxapa a
16、 b b 由图可知在由图可知在xy 平面上平面上 p 点的场强点的场强 dE 可分解成可分解成 x方向和方向和 y 方向的两个分量方向的两个分量:204ddlxEcosddEExsinddEEy22222cscaxaldcscdcot2axaxd4cosd0aExd4sind0aEyEddEdEydxl25badcos4d)(0 xxEpE)sin(sin40abaLqEx场强的场强的x分量分量:badEpEyysin4d)(0)cos(cos40baaLqEy场强的场强的y分量分量:当当 yL时为无限长均匀带电细棒时为无限长均匀带电细棒 a a=0,b b=,p点的电场强度只有点的电场强度只
17、有y 分量分量 方向垂直于细棒。方向垂直于细棒。aEEyx02;0讨论讨论:26 解解：在圆环上任选：在圆环上任选dq，引矢径引矢径 r 至场点，由对称性至场点，由对称性可知，可知，p 点场强只有点场强只有x 分量分量例例3：均匀带电圆环轴线上一点的场强。设圆环带轴线上一点的场强。设圆环带电量为电量为q，半径为，半径为R。LLqxqrrqEEEd4coscos4dcosdd20202322020)(44cosxRqxrqE204xqE当所求场点远大当所求场点远大于环的半径时，于环的半径时，方向在方向在x 轴上，正负由轴上，正负由q的正负决定。的正负决定。说明远离环心的场强相当于点电荷的说明远离
18、环心的场强相当于点电荷的场。场。xREdrLqddE/dE27例例4：均匀带电圆盘轴线上一点的场强。轴线上一点的场强。设圆盘带电量为设圆盘带电量为 ，半径为，半径为 。qR解解：带电圆盘可看成许多同心的圆环：带电圆盘可看成许多同心的圆环 组成，取一半径为组成，取一半径为r，宽度为，宽度为dr 的细的细圆环带电量：圆环带电量：rrqd2d)(1 221220 xRxRxxrrrxpE023220)(d2)(23220)(4ddxrqxEXRrqdpEdE282020244xqxRE在远离带电圆面处，相当于点电荷的场强。在远离带电圆面处，相当于点电荷的场强。相当于无限大带电平面附近的电场，可看成是
19、均匀场，相当于无限大带电平面附近的电场，可看成是均匀场，场强垂直于板面，正负由电荷的符号决定。场强垂直于板面，正负由电荷的符号决定。02E讨论：讨论：1.当时当时Rx xR讨论：讨论：2.当时当时2910-3 高斯定理高斯定理一、电场线一、电场线(electric line of field)E 在电场中画一组曲线，在电场中画一组曲线，曲线上每一点的切线方向与曲线上每一点的切线方向与该点的电场方向一致，这一该点的电场方向一致，这一组曲线称为组曲线称为电场线电场线。通过无限小面元通过无限小面元dS的的电电力线数目力线数目dN与与dS 的比值称的比值称为电力线密度。我们规定为电力线密度。我们规定电
20、电场中某点的场强的大小等于场中某点的场强的大小等于该点的电力线密度。该点的电力线密度。dSEdNEdS 注意：dS 是垂直E 的30总结：总结：E方向方向大小：大小：切线方向切线方向dNEdS=电场线密度电场线密度EcEbcaEbEa电场线性质：电场线性质：（1）起于正电荷）起于正电荷(或无限远或无限远)，止于负电荷，止于负电荷(或无限远或无限远)；（2）不闭合，也不在没有电荷的地方中断；）不闭合，也不在没有电荷的地方中断；（3）两条电场线在没有电荷的地方不会相交。）两条电场线在没有电荷的地方不会相交。31+32+33+34qq235+36二、电场强度通量二、电场强度通量(electric f
21、lucx)通过任一面积元的电场线的条数称为通过这一面通过任一面积元的电场线的条数称为通过这一面积元的积元的电场强度通量。（简称电通量）。（简称电通量）ES 均匀电场均匀电场，垂直平面垂直平面EES ecoseES 均匀电场均匀电场，与平面夹角与平面夹角EneSEeES37EE 非均匀电场强度电通量非均匀电场强度电通量 sSEdcosdeesSEde0d,2e220d,2e11SEddenddeSS 为封闭曲面为封闭曲面SSdEne1dS2dS22E11E38SSSESEdcosde 闭合曲面的电场强度通量闭合曲面的电场强度通量SEdde 例例1 如图所示如图所示，有一，有一个三棱柱体放置在电场
22、强度个三棱柱体放置在电场强度 的匀强电的匀强电场中场中.求通过此三棱柱体的求通过此三棱柱体的电场强度通量电场强度通量.1CN200iExyzEoESdES规定：法线的正方向为指向闭合法线的正方向为指向闭合曲面的外侧。曲面的外侧。39xyzEoPQRNM解解下右左后前eeeeee 下后前eee 0dsSE左左左左ESESsSEcosd enenene左右右右ESESsSEcosd e0 eeeeee下右左后前40kSjSiSSkEjEiEEzyxzyx 2 (240)(1.1)(160)4.2 390 2.4 528 Nm/exxyyzzESESESESC 解：解：例例2：在均匀电场中，：在均匀
23、电场中，(240)(160)390Eijk 通过平面通过平面(1.1)4.22.4Sijk 的电通量是多少？的电通量是多少？41求均匀电场中一半球面的电通量求均匀电场中一半球面的电通量。EROnnnn1S2S 11SSSdE 2SE 21RES 课堂练习课堂练习424344三、三、高斯定理高斯定理（Gauss theorem）45 在真空中在真空中,通过任一通过任一闭合闭合曲面的电场强度通量曲面的电场强度通量,等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 .0（与（与面外面外电荷无关，闭合曲面称为高斯面）电荷无关，闭合曲面称为高斯面）高斯定理高斯定理niiSqS
24、E10e1d请思考：请思考：1 1）高斯面上的高斯面上的 与那些电荷有关与那些电荷有关？Es2 2）哪些电荷对闭合曲面哪些电荷对闭合曲面 的的 有贡献有贡献？e46高斯高斯(Gauss,1777-1855),德德国数学家、天文学家和物国数学家、天文学家和物理学家，有理学家，有“数学王子数学王子”美称美称47+Sd（1）点电荷位于球面中心）点电荷位于球面中心20 4rqESSSrqSEd 4d20e0eq r高斯定理的导出高斯定理的导出高斯高斯定理定理库仑定律库仑定律电场强度叠加原理电场强度叠加原理与球面半径无关，即以点电荷与球面半径无关，即以点电荷q为中心的任一球面，为中心的任一球面，不论半径
25、大小如何，通过球面的电通量都相等。不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。48讨论：讨论：c、若封闭面不是球面，、若封闭面不是球面，积分值不变。积分值不变。.00eaq 电量为电量为q的正电荷有的正电荷有q/0条电条电力线由它发出伸向无穷远力线由它发出伸向无穷远电量为电量为q的负电荷有的负电荷有q/0条电力线终止于它条电力线终止于它00eq +qb、若、若q不位于球面中心，不位于球面中心，积分值不变。积分值不变。0sqE dS 49(2)场源电荷为点电荷，但在闭合曲面外。场源电荷为点电荷，但在闭合曲面外。+q因为有几条电力线进面内必然有同样数目的电力线因为有几条电力线进面内必然有同样数目的电
26、力线从面内出来。从面内出来。0e 0 sSdE50(3)场源电荷为点电荷系场源电荷为点电荷系(或电荷连续分布的带电体或电荷连续分布的带电体)，高斯面为任意包围点电荷系的闭合曲面高斯面为任意包围点电荷系的闭合曲面nEEEE 21 nieienee121 SeSdE snsSSdESdESdE2101ieSSE dSq iq2q1q51（4）多个点电荷多个点电荷q1,q2,qn，其中，其中k个被任意闭个被任意闭合曲面合曲面S所包围，另外所包围，另外n k个处于个处于S面之外：面之外：根据上一条的证明，闭合曲面根据上一条的证明，闭合曲面S外的外的n k个电荷个电荷对对S面的电通量无贡献，面的电通量无
27、贡献，S面的电通量只决定于其面的电通量只决定于其内部的内部的k个电荷，并应表示为个电荷，并应表示为kiiqSE10s1d（6）任意闭合曲面任意闭合曲面S包围了一个任意的带电体包围了一个任意的带电体 这时可以把带电体划分成很多很小的体元这时可以把带电体划分成很多很小的体元d，体元所带的电荷体元所带的电荷dq=d 可看作点电荷，与上面可看作点电荷，与上面 第第3条的结果一致，这时条的结果一致，这时S的电通量可表示为的电通量可表示为d1d0sSE525354niiSqSE10e1d高斯定理高斯定理1 1）高斯面上的电场强度为高斯面上的电场强度为所有所有内外电荷的总电场强度内外电荷的总电场强度.4 4
28、）仅高斯面仅高斯面内内的电荷对高斯面的电的电荷对高斯面的电通量通量有贡献有贡献.电通量电通量与面外电荷无关与面外电荷无关2 2）高斯面为封闭曲面高斯面为封闭曲面.5 5）高斯定理反映了静电场的基本性质高斯定理反映了静电场的基本性质-静电场是静电场是有源场有源场.3 3）穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出为正穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出为正.总总 结结=0，不一定面内无电荷，有可能面内电荷等量异号。不一定面内无电荷，有可能面内电荷等量异号。=0，不一定高斯面上各点的场强为，不一定高斯面上各点的场强为 0。55四四 高斯定理的应用高斯定理的应用 其步骤为：其步骤为：1 1）对称性分析；）对称
29、性分析；2 2）根据对称性选择）根据对称性选择合适的高斯面；合适的高斯面；3 3）应用高斯定理计算）应用高斯定理计算.（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性对称性）3.高斯面上所有各点的场强大小相等，方向与高斯面法线方向一高斯面上所有各点的场强大小相等，方向与高斯面法线方向一致；致；或高斯面上某一部分各点的场强方向与高斯面法线方向垂直，高斯面上某一部分各点的场强方向与高斯面法线方向垂直，该部分的通量为零。而另一部分各点的场强大小相等，方向与该部分的通量为零。而另一部分各点的场强大小相等，方向与高斯面法线方向一致。高斯面法线方向一致。2.高斯面应选取规
30、则形状。高斯面应选取规则形状。1.高斯面要经过所研究的场点。高斯面要经过所研究的场点。SEdScos0q目的是将目的是将E E从积分号中提出来。从积分号中提出来。561.均匀带电球面的电场均匀带电球面的电场4.均匀带电球体的电场均匀带电球体的电场3.均匀带电无限大平面的电场均匀带电无限大平面的电场 2.均匀带电圆柱面的电场均匀带电圆柱面的电场5.均匀带电球体空腔部分的电场均匀带电球体空腔部分的电场电荷电荷分布分布具有具有较高较高的空的空间对间对称性称性的的带带电体电体57例例：求半径为：求半径为R的均匀带电球体在球内外各点的场强的均匀带电球体在球内外各点的场强分布。设球体电荷密度为分布。设球体
31、电荷密度为 ，总电量为，总电量为Q。rRQrE3020413Rr SrSE341d30Rr rrQrrRE310310343解解：因为电荷分布具有球对称性。：因为电荷分布具有球对称性。固选取同心的球面为高斯面。固选取同心的球面为高斯面。QERr3032e4RQrrE58+OR例例 均匀带电球壳的电场强度均匀带电球壳的电场强度0d1SSE0E02dQSESr1S20 4rQE02 4QErr2s 一半径为一半径为 ,均匀带电均匀带电 的薄的薄球壳球壳.求球壳内外任意点的电场强求球壳内外任意点的电场强 度度.RQ20 4RQrRoE解（解（1）Rr 0Rr（2）59+oxyz例例 无限长均匀带电直
32、线的电场强度无限长均匀带电直线的电场强度下底）上底）柱面）(dd dsssSESESE选取闭合的柱形高斯面选取闭合的柱形高斯面 无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即电荷线密度为电荷线密度为 ，求距直线为，求距直线为 处的电场强度处的电场强度.r对称性分析：对称性分析：轴对称轴对称解解hSSEd柱面）(dsSEneneneE+r600hrE0 20 2hrhE 柱面）(ddsSSESE+oxyzhneE+r61+例例 无限大均匀带电平面的电场强度无限大均匀带电平面的电场强度 无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷
33、，即电荷面密度为荷面密度为 ，求距平面为，求距平面为 处的电场强度处的电场强度.r选取闭合的柱形高斯面选取闭合的柱形高斯面02E对称性分析：对称性分析：垂直平面垂直平面E解解0dSSES底面积底面积+SEESSS20SE 6202EEEEExEO)0(63000000讨讨 论论无无限限大大带带电电平平面面的的电电场场叠叠加加问问题题64一、静电场属于保守场一、静电场属于保守场(conservative field)点电荷点电荷 从从 P 经任意路径到经任意路径到 Q点，点，电场所作的功为：电场所作的功为：0q QprrqqAArrQP d4d200q0qQrQPrPe000dddd cosdA
34、Flq Elq E lq E r ldEq0rqrdrQPQcrP 在点电荷在点电荷q的场中的场中移动试探电荷移动试探电荷q0，求电求电场力作的功：场力作的功：rrqE3041)(400QPrqrqq电场力所做的功只与始点和电场力所做的功只与始点和末点的位置有关末点的位置有关10-4 电势及其与电场强度的关系电势及其与电场强度的关系65任何一个带电体都可看成是由无数电荷元组成，任何一个带电体都可看成是由无数电荷元组成，由由场强叠加原理可得到电场强度场强叠加原理可得到电场强度 E=E1+E2+En，试探电荷试探电荷q0从从P 移动到移动到Q，电场力作的功为：，电场力作的功为：QPnQPQPlEE
35、ElErEAd)(dd21QPnQPQPlElElEddd21 任何静电场中，电荷运动时电场力所作的功只与任何静电场中，电荷运动时电场力所作的功只与起始和终了的位置有关起始和终了的位置有关，而与路径无关。而与路径无关。这一特性说明：这一特性说明：静电场是保守场静电场是保守场。推广结论66 acbadbl dEql dEq000静电场的环路定理静电场的环路定理abcd即静电场力移动电荷沿任一闭合路径所作的功为零。即静电场力移动电荷沿任一闭合路径所作的功为零。00 q0Edl q0沿闭合路径沿闭合路径 acbda 一周电场力所作的功一周电场力所作的功000acbbdaAq E dlq E dlq
36、E dl 在静电场中，电场强度的环流恒为零。在静电场中，电场强度的环流恒为零。静电场的静电场的环路定理环路定理静电场的两个基本性质：静电场的两个基本性质：有源且处处无旋有源且处处无旋67二、电势能、电势差和电势二、电势能、电势差和电势 静电场是静电场是保守场保守场，可引入仅与位置有关，可引入仅与位置有关的电势能概念。用的电势能概念。用WP和和WQ分别表示分别表示 试探试探电荷电荷q0在电场中在电场中P点和点和Q点的电势能。电场点的电势能。电场力对试探电荷力对试探电荷q0所作的功可以表示为所作的功可以表示为q0qQrQPrPPQPQPQWWlEqAd0 实际中为了确定实际中为了确定q0在电场中一
37、点的电势能，必须在电场中一点的电势能，必须选择一个电势能为零的参考点。选择一个电势能为零的参考点。0QW 取取一般零电势一般零电势选在无穷远选在无穷远0pppWAq Edl 试验电荷试验电荷 在电场中某点的电势能，在数值上在电场中某点的电势能，在数值上就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功.0q静电场力所做的功就等于电荷静电场力所做的功就等于电荷电势能增量电势能增量的的负值负值.68电势能的电势能的大小大小是是相对相对的，电势能的的，电势能的差差是是绝对绝对的的.电场中电场中P、Q两点间的电势差就是单位正电荷两点间的电势差就是单位正电荷在这两点
38、的电势能之差，等于单位正电荷从点在这两点的电势能之差，等于单位正电荷从点P移到点移到点Q电场力所作的功。电势差也称电压。电场力所作的功。电势差也称电压。由于电势能的减小与试探电荷之比，完全由电场在由于电势能的减小与试探电荷之比，完全由电场在P、Q两点的状况所决定。可把两点的状况所决定。可把(WP/q0)-(WQ/q0)称为称为电场中电场中P、Q两点的电势差，并用两点的电势差，并用VP VQ来表示，来表示，于是有于是有QPQPQPVVqWWlEd069我们把我们把VP 和和VQ 称为点称为点P 和点和点Q 的电势，显然它们的电势，显然它们分别等于单位正电荷在点分别等于单位正电荷在点P和点和点Q的
39、电势能。的电势能。PdlEVVVPP 为了确定某点的电势，应选择一个电势为零的参为了确定某点的电势，应选择一个电势为零的参考点。当电荷分布在有限空间时，可选择无限远处考点。当电荷分布在有限空间时，可选择无限远处的电势为零。在实际问题中，常选择大地的电势为的电势为零。在实际问题中，常选择大地的电势为零。电势能零点的选择与电势零点的选择是一致的零。电势能零点的选择与电势零点的选择是一致的 PPlEVd电场中某点电场中某点P 的电势，等于把单位的电势，等于把单位正电荷从正电荷从P 点经任意路径移动到无点经任意路径移动到无限远处时，静电场力所作的功。限远处时，静电场力所作的功。电势电势(electri
40、c potential)是标量，单位为伏特（是标量，单位为伏特（V）也称为焦耳也称为焦耳/库仑，即库仑，即1V=1 J/C70三、电势的计算三、电势的计算(electric potential)1.点电荷产生的电场中的电势分布点电荷产生的电场中的电势分布 可用场强分布和电势的定义直接积分。可用场强分布和电势的定义直接积分。rerqE204rrqlEVpppd4d20pEqrpprqV04负点电荷周围的场电势为负负点电荷周围的场电势为负离电荷越远，电势越高。离电荷越远，电势越高。正点电荷周围的场电势为正正点电荷周围的场电势为正离电荷越远，电势越低。离电荷越远，电势越低。712.在多个点电荷产生的
41、电场中任意一点的电势：在多个点电荷产生的电场中任意一点的电势：空间有空间有n个点电荷个点电荷q1,q2,qn，求任意一点，求任意一点P的的电势。由于点电势。由于点P的电场强度的电场强度E等于各个点电荷单独等于各个点电荷单独在点在点P产生的电场强度的矢量之和。所以点产生的电场强度的矢量之和。所以点P的电的电势可以用电势的叠加原理表示。势可以用电势的叠加原理表示。12()d()d()iPPiV PElEElV P 1r2r3rir1q2q3qiqP1101d4nniPiPiiiqVVElr 在多个点电荷产生的电场中在多个点电荷产生的电场中,任一点的电势等于任一点的电势等于各个点电荷单在该点所产生的
42、电势的代数和。各个点电荷单在该点所产生的电势的代数和。72VPrqV04dVrVrV04d)(体密度为体密度为 的带电体的带电体SrSrV04d)(面密度为面密度为 的带电体的带电体LrlrV04d)(线密度为线密度为 的带电体的带电体 可以把带电体看为很多很小电荷可以把带电体看为很多很小电荷元的集合体。它在空间某点产生的元的集合体。它在空间某点产生的电势，等于各个电荷元在同一点产电势，等于各个电荷元在同一点产生电势的代数和。生电势的代数和。VdqdrP 3.在任意带电体产生的电场中任意一点的电势在任意带电体产生的电场中任意一点的电势73 根据已知的场强分布，按定义计算根据已知的场强分布，按定
43、义计算（对于电荷分布具有一定对称性的问题，往往先利用（对于电荷分布具有一定对称性的问题，往往先利用高斯定理求出电场的分布，然后通过电势定义计算）高斯定理求出电场的分布，然后通过电势定义计算）由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算PPuEdl 74rqVP0 4d 带电体连续分布带电体连续分布（利用了点电荷电势（利用了点电荷电势 ，这一结果已选无限远处为电势零点，即使这一结果已选无限远处为电势零点，即使用此公式的前提条件为用此公式的前提条件为有限大有限大带电体且选带电体且选无限远无限远处为电势零点处为电势零点.）rqV0 4/带电体离散分布带电体离散分布11
44、01d4nniPiPiiiqVVElr 例例1、求电偶极子电场中任一点求电偶极子电场中任一点P的电势的电势lOq q XYr1r2r),(yxP 210122010214)(44rrrrqrqrquuuP 由叠加原理由叠加原理lr 21cos,rrl 221rrr 20cos4rlqu 222yxr 22cosyxx 其中其中23220)(41yxpxu XYZO Rdlr Px例例2、求均匀带电圆环轴线求均匀带电圆环轴线上的电势分布。已知：上的电势分布。已知：R、q解解:方法一方法一 微元法微元法rdqdu04 rdl04 RPrRrdlduu 20004242204xRq 方法二方法二 定
45、义法定义法由电场强度的分布由电场强度的分布23220)(4RxqxE ppxxRxqxdxEdxu23220)(4Rr Rr 由高斯定理求出场强分布由高斯定理求出场强分布Rr Rr E204rq 0 PldEu由定义由定义 RrRl dEl dEu Rdrrq2040 Rq04 rdrrqu204 rq04 OR例例3、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R，q78四、四、等势面等势面 (equipotential surface)将电场中电势相等的点连接起来所形成的一系列曲将电场中电势相等的点连接起来所形成的一系列曲面叫做等势面。等势面上的任一曲线叫做等势
46、线。面叫做等势面。等势面上的任一曲线叫做等势线。等势面处外与电场线正交。等势面处外与电场线正交。因为将单位正电荷从等势面上因为将单位正电荷从等势面上M点移到点移到N点，点，电场力作功为零，而路径不为零电场力作功为零，而路径不为零0cosddd00lEqlEqA0d l2/ldMNE等势面的性质：等势面的性质：电荷沿等势面移动，电场力不作功。电荷沿等势面移动，电场力不作功。0dd0d0VqAV正电荷等势面正电荷等势面79 规定规定两个相邻等势面的电势差相等两个相邻等势面的电势差相等，所以等势面，所以等势面较密集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方，较密集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方，场强
47、较小。场强较小。正电荷的场正电荷的场负电荷的场负电荷的场均匀电场均匀电场80五、五、电势与电场强度的关系电势与电场强度的关系 设电荷设电荷q0在场强为在场强为E的电场中作位移的电场中作位移dl，在，在dl的范围内的范围内电场是匀强的。若电场是匀强的。若q0完成位移完成位移dl 后，电势增高了后，电势增高了dV，则，则其电势能的增量为其电势能的增量为q0 dV，这时电场力必定作负功，这时电场力必定作负功，lVEllEqVqdd00EnVV Vnd电场强度在任意方向的分量，等于电势沿该方向电场强度在任意方向的分量，等于电势沿该方向的变化率的负值。的变化率的负值。dV=E dl cos 式中式中 是
48、电场强度是电场强度E与位移与位移dl之间的夹角。之间的夹角。等号左边等号左边Ecos 就是就是E在位移在位移dl方向的方向的分量，用分量，用El 表示；等号右边是表示；等号右边是V沿沿dl方方向的方向微商，负号表示向的方向微商，负号表示E指向电势降指向电势降低的方向。于是可以写为低的方向。于是可以写为81kzVjyVixVVE;xVEx;yVEyzVEz电势梯度电势梯度 是一个矢量，是一个矢量，它的方向是该点它的方向是该点附近电势升高最快的方向。附近电势升高最快的方向。V在直角坐标系中在直角坐标系中定义：定义：称称 为为 沿沿 方向的方向的梯度梯度(gradient)nVkzjyix82nVE
49、电势梯度的物理意义电势梯度的物理意义:图中所画曲面图中所画曲面是等势面，其法线方向单位矢量用是等势面，其法线方向单位矢量用n表示，指向电势增大的方向。电场强表示，指向电势增大的方向。电场强度度E的方向沿着的方向沿着n的反方向。根据前的反方向。根据前式，电场强度的大小可以表示为式，电场强度的大小可以表示为 结论：结论：电势梯度是一个矢量，它的大小等于电势电势梯度是一个矢量，它的大小等于电势沿等势面法线方向的变化率，它的方向沿着电势沿等势面法线方向的变化率，它的方向沿着电势增大的方向。增大的方向。EnVV VndnnVE电场强度矢量必定电场强度矢量必定可以表示为可以表示为83VkzVjyVixVE
50、grad)（VE（电势梯度电势梯度）直角坐标系中直角坐标系中 为求电场强度为求电场强度 提供了一种新的途径提供了一种新的途径E求求 的三种方法的三种方法E利用电场强度叠加原理利用电场强度叠加原理利用高斯定理利用高斯定理利用电势与电场强度的关系利用电势与电场强度的关系物理意义物理意义 （1 1）空间某点电场强度的大小取决于该点领域内空间某点电场强度的大小取决于该点领域内电势电势 的空间变化率的空间变化率.V（2 2）电场强度的方向恒指向电势降落的方向电场强度的方向恒指向电势降落的方向.讨讨论论例例1利用场强与电势梯度的关系，利用场强与电势梯度的关系，计算均匀带电计算均匀带电细圆环轴线上一点的场强
