1、第第6章章 等离子体中的输运过程等离子体中的输运过程 n在前几章，介绍并应用单粒子轨道理论、磁流体在前几章，介绍并应用单粒子轨道理论、磁流体力学方程研究和处理了等离子体中的一系列问题，力学方程研究和处理了等离子体中的一系列问题，其特点其特点都忽略了带电粒子间的碰撞都忽略了带电粒子间的碰撞。磁流体力学。磁流体力学模型是建立在粒子间频繁碰撞基础上的，但把它模型是建立在粒子间频繁碰撞基础上的，但把它应用于等离子体波问题时，往往又忽略其碰撞的应用于等离子体波问题时，往往又忽略其碰撞的影响，这是因为波的频率远大于等离子体中粒子影响，这是因为波的频率远大于等离子体中粒子间的碰撞频率。因而可以把碰撞的影响忽
2、略。间的碰撞频率。因而可以把碰撞的影响忽略。n现在还有一类问题，如等离子体处于不平衡状态现在还有一类问题，如等离子体处于不平衡状态如何趋向平衡，这就需要等离子体中带电粒子短如何趋向平衡，这就需要等离子体中带电粒子短程的库仑碰撞。程的库仑碰撞。n等离子体内部存在密度、速度、温度的空间不均等离子体内部存在密度、速度、温度的空间不均匀或存在电场时，将会出现粒子流、动量流、能匀或存在电场时，将会出现粒子流、动量流、能量流或电流，这些属于一定物理量在空间的传输量流或电流，这些属于一定物理量在空间的传输过程称输运过程，也涉及等离子体中粒子间的碰过程称输运过程，也涉及等离子体中粒子间的碰撞。撞。n由于等离子
3、体中粒子间的库仑长程相互作用、离由于等离子体中粒子间的库仑长程相互作用、离子与电子质量相差很大，而且往往存在强磁场，子与电子质量相差很大，而且往往存在强磁场，因此等离子体中的因此等离子体中的输运现象变得十分复杂输运现象变得十分复杂。等离。等离子体输运现象在受控核聚变研究的很多方面都有子体输运现象在受控核聚变研究的很多方面都有重要作用，因此输运过程在等离子体物理中占有重要作用，因此输运过程在等离子体物理中占有重要地位。重要地位。n严格处理等离子体的输运问题，应该用严格处理等离子体的输运问题，应该用微观的动微观的动理论理论，采用分布函数描述，用动理论方程研究分，采用分布函数描述，用动理论方程研究分
4、布函数的时间演化，然后一切宏观量（如密度、布函数的时间演化，然后一切宏观量（如密度、平均速度、温度、电流密度等）都是由速度分布平均速度、温度、电流密度等）都是由速度分布函数对相应微观量求平均值得到，从而得到等离函数对相应微观量求平均值得到，从而得到等离子体宏观行为。子体宏观行为。n如果如果只需要了解一些宏观量的变化只需要了解一些宏观量的变化，也可以从磁，也可以从磁流体力学方程出发进行研究。磁流体力学方程，流体力学方程出发进行研究。磁流体力学方程，包括每一种粒子的连续性方程、运动方程、能量包括每一种粒子的连续性方程、运动方程、能量方程和广义欧姆定律等，这些方程组中的电磁场方程和广义欧姆定律等，这
5、些方程组中的电磁场如忽略波场，即只保留外场，于是不需要麦克斯如忽略波场，即只保留外场，于是不需要麦克斯韦方程组，这样磁流体力学方程组就是韦方程组，这样磁流体力学方程组就是输运方程输运方程组组。因。因此需要联立求解此需要联立求解等离子体中所有带电粒子等离子体中所有带电粒子组成的流体的输运方程组，就可得到完整的输运组成的流体的输运方程组，就可得到完整的输运过程的描述，输运方程中的系数通过动理学方程过程的描述，输运方程中的系数通过动理学方程求得。本章主要介绍的就是这方面内容。求得。本章主要介绍的就是这方面内容。6.1 等离子体的输运方程组等离子体的输运方程组n等离子体输运方程组可以用唯象的方法来建立
6、，等离子体输运方程组可以用唯象的方法来建立，也可以用等离子体也可以用等离子体动理学方程求速度矩来严格推动理学方程求速度矩来严格推导导。在第。在第4 4章中已采用后一种方法得到了各种粒章中已采用后一种方法得到了各种粒子成份的磁流体力学方程组，因此很容易由此子成份的磁流体力学方程组，因此很容易由此得得到输运方程组到输运方程组:1.连续性方程连续性方程 上式表示粒子数守恒，如令上式表示粒子数守恒，如令 为质量密度，为质量密度，则由上式，可以得到质量守恒方程。则由上式，可以得到质量守恒方程。()0nnt um n2.运动方程运动方程 为弹性碰撞造成的对为弹性碰撞造成的对粒子的摩擦阻力，粒子的摩擦阻力，
7、表示不同类粒子弹性碰撞的动量交换。表示不同类粒子弹性碰撞的动量交换。为粒子弹性碰撞引起的对粒子的粘滞力，为粒子弹性碰撞引起的对粒子的粘滞力，对于理想流体对于理想流体 。3.能量平衡方程能量平衡方程 为热流矢量，为热流矢量，为交换的热能为交换的热能。()dm nn qpdtuEuBR RR()0 32dTnpQdt uqqQn对输运方程组说明两点：对输运方程组说明两点：（1）输运方程组不封闭。输运方程组不封闭。现在方程组中未知的场现在方程组中未知的场变量为变量为n、u、T，理应由输运方程组自洽求解。，理应由输运方程组自洽求解。现在输运方程组中还有两个高阶矩现在输运方程组中还有两个高阶矩 和和 ，
8、在，在现有的输运方程组内无法知道的，因此需要设法现有的输运方程组内无法知道的，因此需要设法解决。通常做法是依靠实验定律，把高阶矩用低解决。通常做法是依靠实验定律，把高阶矩用低阶矩表示。如傅里叶热传导定律：阶矩表示。如傅里叶热传导定律：为热传导系数为热传导系数，可采用实验测定的数据；可采用实验测定的数据；粘滞张量粘滞张量 由牛顿粘滞定律用由牛顿粘滞定律用u的分量表示，的分量表示，或采用理想流体近似或采用理想流体近似 经过这样处理，方程组就可以封闭。经过这样处理，方程组就可以封闭。q T q 0 n输运方程组中含的碰撞项可以从动理学方程得到输运方程组中含的碰撞项可以从动理学方程得到 式中式中 为为
9、,粒子间动量平衡的平均碰撞频粒子间动量平衡的平均碰撞频率，率，为温度平衡的平均碰撞频率。为温度平衡的平均碰撞频率。（2）输运方程组中的）输运方程组中的E、B是外场，不包含等离子是外场，不包含等离子体自身运动产生的波场，因而不需要麦克斯韦方体自身运动产生的波场，因而不需要麦克斯韦方程组。输运方程与磁流体力学方程的重要区别是程组。输运方程与磁流体力学方程的重要区别是输运方程组考虑弹性碰撞项，但不考虑波场输运方程组考虑弹性碰撞项，但不考虑波场，因，因而而不存在不存在和麦克斯韦方程组耦合的问题。和麦克斯韦方程组耦合的问题。()m n Ruu()TQnTT T6.2 库仑碰撞库仑碰撞 n研究等离子体中输
10、运过程，首先要研究带电粒子研究等离子体中输运过程，首先要研究带电粒子间的库仑碰撞。间的库仑碰撞。1.二体碰撞转化为单体问题二体碰撞转化为单体问题设两个粒子其质量和运动速度设两个粒子其质量和运动速度分别为分别为m、v v，m、v v，粒子间的相互作用力粒子间的相互作用力为有心力，则运动方程为为有心力，则运动方程为 ()rF()()amrmr rFrFrrrn引入质心坐标与相对坐标引入质心坐标与相对坐标 因无外力因无外力 为质心运动速度，为质心运动速度，为折合（约化）质量。为折合（约化）质量。结果结果：质心保持匀速直线运动，相对运动相当于质心保持匀速直线运动，相对运动相当于质量为质量为的一个粒子受
11、力心固定的有心力的一个粒子受力心固定的有心力 作用的单粒子运动。于是在质心坐标系中，就可作用的单粒子运动。于是在质心坐标系中，就可以以把二体碰撞化为单体问题把二体碰撞化为单体问题，使问题简化。，使问题简化。()/()cmmmm Rrrrrr0cR()ccr常矢量VRr=FcV/()m mmm()rF2.碰撞微分截面碰撞微分截面 在质心坐标系中，一个处在远处、质量为在质心坐标系中，一个处在远处、质量为、电、电荷为荷为q的粒子，以速度的粒子，以速度u射向固定在射向固定在O点的电荷点的电荷q为的另一个粒子，其瞄准距离为为的另一个粒子，其瞄准距离为b（也称碰撞参（也称碰撞参量），受有心力量），受有心力
12、 的作用而发生偏转，其的作用而发生偏转，其偏转角为偏转角为，偏转后速度为，偏转后速度为u，经历这样一个运，经历这样一个运动过程的称为动过程的称为二粒子碰撞二粒子碰撞（或称散射）。（或称散射）。当当 为库仑作用力，为库仑作用力，偏转角偏转角与碰撞参量与碰撞参量b b 之之 间关系，可以证明为间关系，可以证明为或或()rF0(/2)/tgbb2220sin(/2)1/(1/)bb200/4bq qu 当当b b=b b0 时时，=/2，b b0 是偏转角为是偏转角为/2时的碰撞时的碰撞参量，称参量，称近碰撞参量近碰撞参量。因为。因为b bb b0,/2，称称为近碰撞。为近碰撞。当当 为小角度偏转，
13、称远碰撞。为小角度偏转，称远碰撞。设每秒单位面积入射粒子数设每秒单位面积入射粒子数为为I I，打在，打在 的粒子数为的粒子数为 ，这些粒子被散射为到这些粒子被散射为到 立体角立体角 内，则每秒单位面积强度为内，则每秒单位面积强度为I I的粒子束被散射到立体角的粒子束被散射到立体角 内的几率内的几率0bb/2bbdb2Ibdbd2 sindd d2()2IbdbdbdbI 2()sinbdbbdbdd 称称碰撞（散射）微分截面碰撞（散射）微分截面。其物理意义：。其物理意义：单位时间单位面积入射单位时间单位面积入射1 1个粒子，散射到个粒子，散射到 的单位立体角内的几率。因为几率总是正的，所的单位
14、立体角内的几率。因为几率总是正的，所以在式中以在式中 取了绝对值。取了绝对值。由由 得得 碰撞微分截面碰撞微分截面 这就是著名的卢瑟福散射公式。这就是著名的卢瑟福散射公式。()d/db d2220sin(/2)1/(1/)bb0212 sin(/2)bdbd 220424011()4 sin(/2)8sin(/2)q qbu n如果考虑两个带电粒子间的作用受到其它带电粒如果考虑两个带电粒子间的作用受到其它带电粒子的屏蔽效应，则可用子的屏蔽效应，则可用屏蔽库仑势屏蔽库仑势 采用经典和量子（采用经典和量子（Born近似）的方法，都可求得近似）的方法，都可求得散射微分截面散射微分截面 /0()4Dr
15、qrer2022 21()4 sin(/2)b 0200/2,/2()/,/2()DDuu c q qcbu c2，x0.3时，满足条件时，满足条件则则注意注意，式中式中zi为入射离子束的原子序数，为入射离子束的原子序数，z为等离子为等离子体中离子的原子序数，体中离子的原子序数，vbi、bi 为入射离子束的速为入射离子束的速度与能量。度与能量。方括号中的两项，第方括号中的两项，第1项为加热离子、第项为加热离子、第2项为加项为加热电子热电子.0.09(/)/4(/)(/)biebieibieimmTmmTT()1y21()13xxx21xex 3/22420ln443biieeebiebiibi
16、edz e nm zmdtmmm T v如果加热离子和加热电子的比例相同，则方括号中如果加热离子和加热电子的比例相同，则方括号中这两项应相等，这时入射离子能量这两项应相等，这时入射离子能量结果表明结果表明：当当 时，则离子束慢化时，等离子体中的离时，则离子束慢化时，等离子体中的离子和电子获得相同大小的能量；子和电子获得相同大小的能量；当当 时，则电子获得较多能量；时，则电子获得较多能量；当当 时，离子获得较多能时，离子获得较多能量。量。3/234bieebiceim Tm zmmbicbicbicn以高能氘离子束注入氘等离子体为例以高能氘离子束注入氘等离子体为例则则还可以计算还可以计算离子束慢
17、化时间离子束慢化时间式中式中 为离子束初始能量。为离子束初始能量。1,2,/3672biipiezmmmmm18.7ceT0023/23/200241/222ln 1(/)(/)lnbibiecbieiedm Ttddtn z e m02.能量弛豫和温度平衡时间能量弛豫和温度平衡时间n如果等离子体中两组分处于不同温度的麦克斯韦如果等离子体中两组分处于不同温度的麦克斯韦分布，通过粒子间碰撞交换能量，可以趋向平衡，分布，通过粒子间碰撞交换能量，可以趋向平衡，使温度一致。这种能量弛豫过程的时间称使温度一致。这种能量弛豫过程的时间称能量弛能量弛豫时间或温度平衡时间。豫时间或温度平衡时间。n设等离子体两
18、组分处于不同温度的麦克斯韦分布，设等离子体两组分处于不同温度的麦克斯韦分布，设想一束以速度设想一束以速度 入射的粒子与速度为入射的粒子与速度为 的场的场粒子碰撞，引起能量变化率为粒子碰撞，引起能量变化率为 ，由于，由于粒子粒子具有温度为具有温度为T T的麦克斯韦分布，则应对的麦克斯韦分布，则应对粒分布粒分布求平均得求平均得 粒子也是具有温度为粒子也是具有温度为T T的麦克斯韦分布，则也的麦克斯韦分布，则也应对应对粒分布求平均，得粒分布求平均，得v vv vddtddt 式中式中Q 就是两组分间单位时间交换的热能。现在就是两组分间单位时间交换的热能。现在定义定义能量弛豫时间能量弛豫时间 ：前面已
19、经得到前面已经得到 ，现在只要再对，现在只要再对粒子的麦克粒子的麦克 斯韦分布求平均斯韦分布求平均。对对粒子速度分布求平均只粒子速度分布求平均只需计算如下两个积分：需计算如下两个积分：dQdt3()/2dTTdt ddt1(/)Tv vv2exp(/)Tv v2220()2ln(/)1exp(/)4TTTnq qmddtmm vvvvvvv结果：结果：式中式中 ，代入后得，代入后得能量弛豫时间能量弛豫时间，也称，也称温度平衡时间温度平衡时间 212(/)1TTv vvv/Tm Tm TTvv223/2exp(/)(1)Tv v3/2220()ln()22nq qTdTTTdtmmm m 3/2
20、20223()lnm mTTnq qmmn上式可分别应用于电子上式可分别应用于电子-电子电子 、离子、离子-离子和电离子和电子子-离子间的温度平衡过程，则可得这些弛豫过离子间的温度平衡过程，则可得这些弛豫过程的时间。程的时间。n电子电子-电子：电子：n离子离子-离子：离子：n电子电子-离子：离子：/eeTmTmTm/2ennn/iiTmTmTm/2innn/eeTmTmTmieznn23/20423/204421/23/202426ln26ln23lneeeeeiiiiieieieimTn emTn z emmTn z en以上以上三种能量弛豫时间的比较三种能量弛豫时间的比较 设设n结果表明，
21、如果等离子体各成份都未达到平衡，则结果表明，如果等离子体各成份都未达到平衡，则电子达到热平衡的时间最短，此过程最快，离子次电子达到热平衡的时间最短，此过程最快，离子次之，电子之，电子-离子间达到平衡时间最长，过程最慢。离子间达到平衡时间最长，过程最慢。n在受控核聚变研究中，由于加热方法或压缩方法不在受控核聚变研究中，由于加热方法或压缩方法不同，可能出现远离平衡情况，如大电流欧姆加热，同，可能出现远离平衡情况，如大电流欧姆加热，主要是电子获得功率；动力学压缩，离子获得的动主要是电子获得功率；动力学压缩，离子获得的动能大，而且是定向的，还有离子束加热、中性粒子能大，而且是定向的，还有离子束加热、中
22、性粒子束注入加热等都需要经过碰撞达到热化和温度平衡。束注入加热等都需要经过碰撞达到热化和温度平衡。弛豫过程时间在核聚变中是很重要的弛豫过程时间在核聚变中是很重要的。1,iezTT:1:/:/eeiieiieiemmmm 需要说明需要说明：n计算的计算的3个能量弛豫时间与相应的动量弛豫时间个能量弛豫时间与相应的动量弛豫时间近似相等。在数量级意义上，今后不再区分这两近似相等。在数量级意义上，今后不再区分这两种类型的弛豫时间。种类型的弛豫时间。n各种弛豫时间公式，用不同的平均方法或计算方各种弛豫时间公式，用不同的平均方法或计算方法，表示式会有所不同，但其中所含的物理量因法，表示式会有所不同，但其中所
23、含的物理量因子在量纲上是相同的，只是公式中所含的数值系子在量纲上是相同的，只是公式中所含的数值系数有所差异。因此各种参考书、文献资料上所列数有所差异。因此各种参考书、文献资料上所列的或引用的公式可能不相同，但是在数量级上是的或引用的公式可能不相同，但是在数量级上是完全一致的。完全一致的。n严格地讲，各种弛豫过程的精确结果需要用动理严格地讲，各种弛豫过程的精确结果需要用动理学方程的方法严格求解。还有：采用库仑场截断学方程的方法严格求解。还有：采用库仑场截断方法带有任意性、二体方法带有任意性、二体散射的量子效应在密度很散射的量子效应在密度很高时也得考虑，这些因素引起的修正都反映在库高时也得考虑，这
24、些因素引起的修正都反映在库仑对数项中，其误差约为仑对数项中，其误差约为10%。6.6 等离子体电导率和电子逃逸等离子体电导率和电子逃逸 n若等离子体加上电场若等离子体加上电场E，则离子、电子在电场作，则离子、电子在电场作用下方向相反的定向加速运动，形成电流，由于用下方向相反的定向加速运动，形成电流，由于电子与离子间的碰撞产生的动力摩擦，使电流不电子与离子间的碰撞产生的动力摩擦，使电流不可能无限增长，会达到一个稳定值。电流与电场可能无限增长，会达到一个稳定值。电流与电场间的平衡关系，反映了等离子体的导电特性。间的平衡关系，反映了等离子体的导电特性。1.无磁场时电导率无磁场时电导率电子、离子作为两
25、种流体，电子、离子作为两种流体，其宏观速度其宏观速度不同不同电流定义：电流定义：由电子运动方程求电子宏观速度由电子运动方程求电子宏观速度ue eiuuiieeeezenen uen juun当外磁场当外磁场B=0、而且假定、而且假定 、，则则电子运动方程电子运动方程 式中式中 为电子受到离子的摩擦阻力，它可以用为电子受到离子的摩擦阻力，它可以用电子受离子碰撞引起的动量变化率，然后对离子、电子受离子碰撞引起的动量变化率，然后对离子、电子平移麦克斯韦速度分布（以各自平均速度平电子平移麦克斯韦速度分布（以各自平均速度平移）求平均得到，是离子对电子流体的宏观作用移）求平均得到，是离子对电子流体的宏观作
26、用力。通常取如下简单形式：力。通常取如下简单形式：用用6.4节结果节结果 达到稳定状态时达到稳定状态时 0ep 0 eeeeeidm nendt uEReiR23/20243221/lneeeieieiim Tz neeieenRE/()eieeeieeeieieeeiem nm nm n Ruuuu/eeeiem uEn代入代入电流定义得电流定义得 这就是无磁场时的欧姆定律，式中这就是无磁场时的欧姆定律，式中 为等离子体无磁场时电导率。应用碰撞频率，则为等离子体无磁场时电导率。应用碰撞频率，则 结果表明结果表明：电导率与电子温：电导率与电子温 的成正比，这是等的成正比，这是等离子体的一个重要
27、特性。一般导体的电导率是温度离子体的一个重要特性。一般导体的电导率是温度愈高电导率越小，而等离子体则相反，因此高温等愈高电导率越小，而等离子体则相反，因此高温等离子体是非常好的导电流体，有时就当作理想导电离子体是非常好的导电流体，有时就当作理想导电流体。流体。2eeein emjEE2eeein em23/202322lneeTZem3/2eT2.有磁场时电导率有磁场时电导率 如有外磁场如有外磁场B，电子运动方程中增加洛仑兹力项，电子运动方程中增加洛仑兹力项，定态情况定态情况 设设 ，则方程可分解为，则方程可分解为x、y两个分两个分量方程量方程解方程组，得解方程组，得 0eeeeeeeidm
28、nenendt uEuBRzBBexEEe00eeeyeeeiexeexeeeieyen Een Bum nuen Bum nu2211exceeieeieuEm 22211exeexceeieein ejen uEEm 式中式中这里这里 就是垂直磁场、电场引起电流的电导率。就是垂直磁场、电场引起电流的电导率。就是无磁场时的电导率。方程组还可解得就是无磁场时的电导率。方程组还可解得则电流则电流 就是霍尔电流，它垂直于磁场、又垂直于电场。就是霍尔电流，它垂直于磁场、又垂直于电场。202222111eceeieeiceein em 20/eeein em221ceeieyceeieeieEum 0
29、221ceeiyeeyHceeijen uEE yj 为霍尔电流分量的电导率为霍尔电流分量的电导率对于强磁场，对于强磁场，这些结果与第这些结果与第4章章4.7节的结果是一致的。节的结果是一致的。H1ceei 0H0221ceeiHceei 3.电子逃逸电子逃逸 在等离子体中，由于库仑碰撞，电子要受到离子在等离子体中，由于库仑碰撞，电子要受到离子对它的动摩擦力。根据对它的动摩擦力。根据6.4节，动摩擦力节，动摩擦力 这表明随着这表明随着电子速度增大，动摩擦力迅速减小电子速度增大，动摩擦力迅速减小。6.4节结果节结果：n等离子体中如果等离子体中如果有外加电场有外加电场时，电子在电场作用时，电子在电
30、场作用下做加速运动，电子速度不断增大，动摩擦力也下做加速运动，电子速度不断增大，动摩擦力也随之减小。当电子速度超过某一临界值时，将出随之减小。当电子速度超过某一临界值时，将出现电场的加速力始终大于动摩擦力，于是这种电现电场的加速力始终大于动摩擦力，于是这种电子持续被加速，电子速度就越来越大，这就是子持续被加速，电子速度就越来越大，这就是电电子逃逸现象子逃逸现象。要严格计算电子逃逸应由动理学方要严格计算电子逃逸应由动理学方程求解。现在采用简单模型进行讨论。程求解。现在采用简单模型进行讨论。21220()ln(/)4nq qdPddtdt Tv vvP21/eievR（1）弱电场下电子逃逸弱电场下
31、电子逃逸 假定一维情况，沿假定一维情况，沿x轴方向加一电场轴方向加一电场 ，因为离子质量很大基本不动。电子速度因为离子质量很大基本不动。电子速度 ，则则电子运动方程（微观的）电子运动方程（微观的）右方第右方第2、3项为电子受到背景的电子和离子的摩项为电子受到背景的电子和离子的摩擦阻力。对于擦阻力。对于ee，对于，对于ei，而且而且 ，设，设 ，则，则 ExEeeexev vv11eeeeeeieeeddPdPeEdtmmdtmdtv/2emem/1eTivviennn412220ln2(/)14eeTeeeedeEnedtmmvvvv 假定电子速度比较大，假定电子速度比较大，只要只要 电子速度
32、就不断增大，出现电子逃逸。因此，由电子速度就不断增大，出现电子逃逸。因此，由上式，上式，电子逃逸条件电子逃逸条件为：为：称称电子逃逸的临界速度电子逃逸的临界速度。当。当 的高速电子，的高速电子，在电场在电场E的作用下，就会不断加速，就出现电子的作用下，就会不断加速，就出现电子逃逸逃逸。对于麦克斯韦速度分布的电子，电场不需对于麦克斯韦速度分布的电子，电场不需要很强，在速度分布的高端部分，总会有的电子要很强，在速度分布的高端部分，总会有的电子逃逸。实际上由于加速电子的辐射、反常电阻、逃逸。实际上由于加速电子的辐射、反常电阻、相对论效应等，电子速度不可能无限增大，最终相对论效应等，电子速度不可能无限
33、增大，最终总是有限的。总是有限的。/2eTevv1(/)1eTevv0eddtv1/23203ln4ecenem Evvcvecvv（2）电子整体逃逸电子整体逃逸 对电子速度分布求平均，就可得到对电子速度分布求平均，就可得到一维的流体力一维的流体力学方程（宏观的流体元运动方程）学方程（宏观的流体元运动方程）式中式中u为电子流体元的平均速度，因为对流体元为电子流体元的平均速度，因为对流体元 求平均时求平均时 ，所以式中的，所以式中的摩擦阻力摩擦阻力 ，再用电子平移的麦克斯韦速度分布求平均，再用电子平移的麦克斯韦速度分布求平均，11eeeeeeieeeddPdPeEdtmmdtmdtv1eieed
34、ueERdtmm0eeedPdteiR则上式可化为则上式可化为已知已知 ，当，当 时，时，就发生电子就发生电子整体逃逸整体逃逸。令。令 为为临界电场临界电场。实际上，。实际上，发生电子整体逃逸，发生电子整体逃逸，也会引起微观不稳定性、激发等离子体波或引发也会引起微观不稳定性、激发等离子体波或引发其它能量损耗机制，这样电子其它能量损耗机制，这样电子流体运动速度流体运动速度u 就就不会趋于无限。不会趋于无限。3020ln(/)(/)8TeTeeeedueneeEuEEudtmTmvv211()dxx dxx202()xxed3020ln8eneETmax(1)0.4300.43EE0dudt00.
35、43cEEcEcEEn最后，对最后，对摩擦阻力表示式摩擦阻力表示式做些补充说明。做些补充说明。前面已经提到，速度大的电子受到的碰撞摩擦力前面已经提到，速度大的电子受到的碰撞摩擦力小，速度小的摩擦力大，因而速度高的电子可能小，速度小的摩擦力大，因而速度高的电子可能愈来愈快，速度慢的可能愈来愈慢，这样可能远愈来愈快，速度慢的可能愈来愈慢，这样可能远离平移的麦克斯韦分布，速度高的部分几率增加，离平移的麦克斯韦分布，速度高的部分几率增加，速度低的部分几率减少。但是，在等离子体中还速度低的部分几率减少。但是，在等离子体中还存在电子存在电子-电子、电子电子、电子-离子间的碰撞，使电子尽离子间的碰撞，使电子尽可能趋向平衡，这样电子可能趋向平衡，这样电子会达到一种新的平衡分会达到一种新的平衡分布布，与原先平移麦克斯韦速度分布偏离不会很远。，与原先平移麦克斯韦速度分布偏离不会很远。从这一物理概念考虑，用动理学方法进行计算，从这一物理概念考虑，用动理学方法进行计算，在无磁场或平行磁场方向上摩擦力项需要增加一在无磁场或平行磁场方向上摩擦力项需要增加一个个修正因子修正因子0.51，即，即 公式应改写为公式应改写为0.51()eieeeieim n RuueiR
