1、本讲内容与重点本讲内容与重点 重点：重点：行列式按行行列式按行 (列列)展开展开 降阶法。降阶法。内容内容为四个为四个“一一”：一个引理，一个定理，：一个引理，一个定理，一个方法，一个推论。一个方法，一个推论。计算行列式的常用方法之一计算行列式的常用方法之一利用运算利用运算 把行列式化为把行列式化为上上/下三角形行列式下三角形行列式，从，从而算得行列式的值而算得行列式的值 jijijijikcc,cc,krr,rr 注：只使用行(列)运算即可将行列式化为上或下三角形。行行 列列 式式 之之 性性 质质 性质性质 互换行列式的两行（列），行列式互换行列式的两行（列），行列式变号。变号。jijic
2、c,rr性质性质把行列式的某一列（行）的各把行列式的某一列（行）的各 元素乘以同一数然后加到另一列元素乘以同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变行行 列列 式式 之之 性性 质质 jijikcc,krr 例例nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110 设设,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 证明证明块下三角行列式块下三角行列式证明证明;0111111kkkkkpppppD 设为设为化化为为下下三三角角形形行行列列式式，把把作作运运算算对对11Dk
3、rrDji 化化为为下下三三角角形形行行列列式式把把作作运运算算对对22,DkccDji.qqqqqDnnnnn1111120 设为设为,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把算算列作运列作运，再对后，再对后行作运算行作运算的前的前对对DkccnkrrkDjiji,nnkkqqppD1111 故故.21DD 计算行列式计算行列式?D 316542122400320021 .D4413162123221 计算行列式的另一条思路计算行列式的另一条思路将将高阶高阶行列式的计算行列式的计算化为化为低阶低阶行列式的计算。行列式的计算。,
4、053742601041652703 706504123 05703 74652 60041 060417654270503 行列式降阶举例行列式降阶举例 060411765412705013312111 ,053742601041652703 706504123 61730 74652 53410 行列式降阶举例行列式降阶举例 541310761310765412232221 .76541221 余子式与代数余子式余子式与代数余子式在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子
5、式，记作，记作nijaij1 nija.Mij ，记记ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M?A,?M 2323,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM
6、.144444444MMA .个个代代数数余余子子式式对对应应着着一一个个余余子子式式和和一一行行列列式式的的每每个个元元素素分分别别?A?,M 1212?A?,M 4444引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 ijijAaD niijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD .14442412422211412113333aaaaaaaaaa 例如例如证证当当 位于第一行第一列时位于
7、第一行第一列时,ijannnnnaaaaaaaD21222211100 根据块三角行列式性质，即有根据块三角行列式性质，即有.1111MaD 又又 1111111MA ,11M 从而从而.1111AaD 再证一般情形再证一般情形,此时此时nnnjnijnjaaaaaaaD1111100,1,2,1行对调行对调第第行行第第行行行依次与第行依次与第的第的第把把 iiiD得得 nnnjnnijiiijiaaaaaaaD1,1,11,11001 ijaija,1,2,1对对调调列列第第列列第第列列列列依依次次与与第第的的第第再再把把 jjjD得得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1,1
8、1,1,1110011 ija nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1,11,1,12001 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1,11,1,1001 ijaijannnjnijnjaaaaaaaD1111100 中的余子式中的余子式.ijM在在余余子子式式仍仍然然是是中中的的在在行行列列式式元元素素ijnnjnnjnijijiijijaaaaaaaaa1,11,1,100 ijaija故得故得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1,11,1,1001 .1ijijjiMa 于是有于是有nnjnnjnijijiijaaaaaaa1,11,1,100 ,iji
9、jMa ijaija定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni,2,1 证证nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则回顾性质回顾性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和是两数之和.nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之
10、和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 2211 ni,2,1 P-S,Laplace(1749-1827),法国应用数学家与理论物理学家法国应用数学家与理论物理学家P-S,Laplace(1749-1827),法国应用数学家与理论物理学家法国应用数学家与理论物理学家P-S,Laplace(1749-1827),(P-S,Laplace(1
11、749-1827),(法法)数学家数学家、理论物理学家、理论物理学家 “法国的牛顿法国的牛顿”/French Newton，有史以来，有史以来最伟大的科学家之一。最伟大的科学家之一。数学：拉普拉斯等式，拉普拉斯变换，拉数学：拉普拉斯等式，拉普拉斯变换，拉普拉斯微分算子，等等。普拉斯微分算子，等等。统计学理论奠基人，统计学理论奠基人，e.g.贝叶斯概率。贝叶斯概率。名言名言(last words)：我们所知者甚少，所不知者甚广。我们所知者甚少，所不知者甚广。What we know is not much.What we do not know is immense.P-S,Laplace(17
12、49-1827),(P-S,Laplace(1749-1827),(法法)数学家数学家、理论物理学家、理论物理学家 天文学：论证了太阳系的稳定性，提出了天文学：论证了太阳系的稳定性，提出了“星云说星云说”。是。是“黑洞黑洞/black holes”存在理存在理论以及论以及“重力塌陷重力塌陷/gravitational collapse”理理论的奠基人。论的奠基人。小行星以他命名；艾菲尔铁塔上镌刻的小行星以他命名；艾菲尔铁塔上镌刻的72位位法国科学家、工程师之一。法国科学家、工程师之一。镌刻镌刻着着72位法国科学家、工程师位法国科学家、工程师的艾菲尔铁塔的艾菲尔铁塔例例 计算行列式计算行列式27
13、7010353 D解解27013 D.27 按第一行展开，得按第一行展开，得27005 77103 .D:or2727331 若按第二列展开，得若按第二列展开，得计算行列式的主要方法计算行列式的主要方法1.1.根据行列式的性质（特别是性质根据行列式的性质（特别是性质6），将），将高阶高阶行列式某行（列）行列式某行（列）中的元素，尽可能多地化为中的元素，尽可能多地化为0；2.2.然后按照展开定理，将其化为然后按照展开定理，将其化为 低阶低阶行列式的计算。行列式的计算。例例3351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc 0551111115)1(33
14、 055026115 5526)1(31 5028 .40 12rr 0532004140013202527102135 D例例 计算行列式计算行列式解解0532004140013202527102135 D66027013210 6627210 .1080124220 53241413252 53204140132021352152 13rr 122 rr 证证用数学归纳法用数学归纳法21211xxD 12xx ,)(12 jijixx）式成立）式成立时（时（当当12 n例例证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde,1735-96)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(，阶范德蒙德行列式成立阶范德蒙德行列式成立）对于）对于假设（假设（11 n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn 就就有有提提出出，因因子子列列展展开开，并并把把每每列列的的公公按按第第)(11xxi)()()(211312jjininnxxxxxxxxD ).(1jjinixx 223223211312111)()(nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式
