1、第一章第一章 空间几何体空间几何体 1.11.1 空间几何体的结构空间几何体的结构 1.1.11.1.1 柱、锥、台、球的结构特征柱、锥、台、球的结构特征 1.1.21.1.2 简单组合体的结构特征简单组合体的结构特征 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 1.1.了解多面体、旋转体以及简单组合体的概念及特征了解多面体、旋转体以及简单组合体的概念及特征. . 2.2.理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台以及球的概念理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台以及球的概念. . 3.3.概括并掌握柱体、锥体、台
2、体、球的概念及结构特征概括并掌握柱体、锥体、台体、球的概念及结构特征, ,并能利用这并能利用这 些特征来判断、描述现实生活中的实物模型些特征来判断、描述现实生活中的实物模型. . 课标要求课标要求 知识梳理知识梳理 1.1.空间几何体的分类空间几何体的分类 多面体多面体 旋转体旋转体 由若干个由若干个 围成围成 的几何体的几何体 由一个平面图形绕由一个平面图形绕
3、;的的 一条定直线旋转所形成的一条定直线旋转所形成的 面面: :围成多面体的各个围成多面体的各个 . . 棱棱: :相邻两个面的相邻两个面的 . . 顶点顶点: : 的公共点的公共点. . 轴轴: :形成旋转体旋转所绕的形成旋转体旋转所绕的 平面多边形平面多边形 它所在平面内它所在平面内 封
4、闭几何体封闭几何体 多边形多边形 公共边公共边 定直线定直线 棱与棱棱与棱 2.2.柱体的结构特征柱体的结构特征 柱柱 体体 结构特征结构特征 图形图形 表示法表示法 有两个面互相有两个面互相 , ,其余各面都是其余各面都是 , ,并且每相邻两个四边形的并且每相邻两个四边形的 公共边都互相公共边都互相 , ,由这些面所围由这些面所围 成的多面体叫做棱柱成的多面体叫做棱柱. .棱柱中棱柱中, ,
5、; 的面叫做棱柱的底面的面叫做棱柱的底面, ,简称底简称底; ; 叫做棱柱的侧面叫做棱柱的侧面; ;相邻侧相邻侧 面的面的 叫做棱柱的侧棱叫做棱柱的侧棱; ;侧面侧面 与底面的与底面的 叫做棱柱的顶点叫做棱柱的顶点. . 用表示各顶点的字母表示用表示各顶点的字母表示, , 如上、下底面分别是四边形如上、下底面分别是四边形 A AB BC CD D、 四边形、 四边形 ABCDABCD 的四棱柱的四棱柱, ,可记为棱柱可记为棱柱 &nbs
6、p;圆圆 柱柱 以以 所在直线为旋转轴所在直线为旋转轴, , 其余三边旋转形成的面所围成的旋转其余三边旋转形成的面所围成的旋转 体叫做圆柱体叫做圆柱. .旋转轴叫做圆柱的旋转轴叫做圆柱的 ; 的边旋转而成的圆面叫做圆的边旋转而成的圆面叫做圆 柱的底面柱的底面; ; 的边旋转而成的的边旋转而成的 曲面叫做圆柱的侧面曲面叫做圆柱的侧面; ;无论旋转到什无论旋转到什 么位置么位置, ,不垂直于轴的边都叫做圆柱
7、不垂直于轴的边都叫做圆柱 侧面的侧面的 , ,圆柱和棱柱统称为圆柱和棱柱统称为 . . 用表示它的轴的字母表示用表示它的轴的字母表示, , 如左图中圆柱表示为如左图中圆柱表示为 四边形四边形 平行平行 两个互两个互 相平行相平行 其余各面其余各面 公共边公共边 公共顶点公共顶点 ABCDABCD- -ABCDABCD 矩形的一边矩形的一边 轴轴 垂直于轴垂直于轴 平行于轴平行于轴 &nbs
8、p;母线母线 柱体柱体 圆柱圆柱OOOO 平行平行 3.3.锥体的结构特征锥体的结构特征 锥锥 体体 结构特征结构特征 图形图形 表示法表示法 有一个面是有一个面是 , ,其余各面都是有一个公其余各面都是有一个公 共顶点的共顶点的 , ,由这些面所围成的多面体由这些面所围成的多面体 叫做棱锥叫做棱锥. .这个这个 叫做棱锥的底面或叫做棱锥的底面或 底底; ;有公
9、共顶点的各个有公共顶点的各个 叫做棱锥叫做棱锥 的侧面的侧面; ;各侧面的各侧面的 叫做棱锥的叫做棱锥的 顶点顶点; ;相邻侧面的相邻侧面的 叫做棱锥的叫做棱锥的 侧棱侧棱. . 用顶点和底面各用顶点和底面各 顶点的字母表顶点的字母表 示示, ,如左图中棱如左图中棱 锥可表示为棱锥锥可表示为棱锥 圆圆 锥锥 以直角三角形的以
10、直角三角形的 所在直线为旋所在直线为旋 转轴转轴, ,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体其余两边旋转形成的面所围成的旋转体 叫做圆锥叫做圆锥. .圆锥的轴、底面、侧面和母线如右圆锥的轴、底面、侧面和母线如右 图图. .棱锥与圆锥统称为棱锥与圆锥统称为 . . 圆锥用表示它的圆锥用表示它的 轴的字母表示轴的字母表示, , 左图中圆锥表示左图中圆锥表示 为为 多边形多边形
11、;三角形三角形 多边形面多边形面 三角形面三角形面 公共顶点公共顶点 公共边公共边 S S- -ABCDABCD 一条直角边一条直角边 锥体锥体 圆锥圆锥SOSO 4.4.台体的结构特征台体的结构特征 台台 体体 结构特征结构特征 图形图形 表示法表示法 用一个用一个 的平的平 面去截棱锥面去截棱锥, ,底面与截面之间的底面与截面之间的 部分叫做棱台部分
12、叫做棱台. .原棱锥的原棱锥的 和和 分别叫做棱台的下分别叫做棱台的下 底面和上底面底面和上底面. . 上、下底面分别是四上、下底面分别是四 边形边形 A AB BC CD D、 四边形四边形 ABCDABCD 的四棱的四棱 台台, ,可记为棱台可记为棱台 圆圆 台台 用用 的平面的平面 去截圆锥去截圆锥, ,底面与底面与 &nb
13、sp; 之间之间 的部分叫做的部分叫做 , ,与圆柱和与圆柱和 圆锥一样圆锥一样, ,圆台也有轴、底面、圆台也有轴、底面、 侧面、母线侧面、母线. .棱台与圆台统称棱台与圆台统称 为为 . . 圆台用表示它的轴的圆台用表示它的轴的 字母表示字母表示, ,左图中圆左图中圆 台表示为台表示为 平行于棱锥底面平行于棱锥底面 底面底面 截面截面 ABCD
14、ABCD- -ABCDABCD 平行于圆锥底面平行于圆锥底面 截面截面 圆台圆台 台体台体 圆台圆台OOOO 5.5.球的结构特征球的结构特征 球球 体体 结构特征结构特征 图形图形 表示法表示法 球球 以半圆的以半圆的 所在直线为旋转所在直线为旋转 轴轴, ,半圆面旋转一周形成的旋转半圆面旋转一周形成的旋转 体叫做体叫做 , ,简称简称 . .半圆的半圆的 圆心叫做球的
15、圆心叫做球的 , ,半圆的半半圆的半 径叫做球的径叫做球的 , ,半圆的直径半圆的直径 叫做球的叫做球的 . . 用表示用表示 球心的球心的 字母表字母表 示示, ,左图左图 中的球中的球 表示为表示为 直径直径 球体球体 球球 球心球心 半径半径 直径直径 球球O O 6.6.简单组合体的结构特征简单组合体的结构特征 (1)(1)简单组合体简单组合体: :由由 &n
16、bsp; 组合而成的几何体叫做简单组合体组合而成的几何体叫做简单组合体. . (2)(2)简单组合体的构成有两种基本形式简单组合体的构成有两种基本形式: : 由简单几何体由简单几何体 而成而成; ; 由简单几何体由简单几何体 一部分而成一部分而成. . 简单几何体简单几何体 拼接拼接 截去或挖去截去或挖去 自我检
17、测自我检测 1.(1.(简单几何体的结构特征简单几何体的结构特征)(2015)(2015大同一中高二大同一中高二( (上上) )月考月考) )如图所示如图所示, ,观察四个几观察四个几 何体何体, ,其中判断正确的是其中判断正确的是( ( ) ) (A)(A)是棱台是棱台 (B)(B)是圆台是圆台 (C)(C)是棱锥是棱锥 (D)(D)不是棱柱不是棱柱 C C 2.(2.(多面体的结构特征多面体的结构特征) )下列说法错误的是下列说法错误的是( ( ) ) (A)(A)多面体至少有四个面多面体至
18、少有四个面 (B)(B)九棱柱有九棱柱有9 9条侧棱条侧棱,9,9个侧面个侧面, ,侧面为平行四边形侧面为平行四边形 (C)(C)长方体、正方体都是棱柱长方体、正方体都是棱柱 (D)(D)三棱柱的侧面为三角形三棱柱的侧面为三角形 D D 3.(3.(简单组合体的结构特征简单组合体的结构特征) )如图是由哪个平面图形旋转得到的如图是由哪个平面图形旋转得到的( ( ) ) D D 4.(4.(旋转体的结构特征旋转体的结构特征) )下列说法正确的是下列说法正确的是( ( ) )
19、;(A)(A)圆锥的母线长等于底面圆直径圆锥的母线长等于底面圆直径 (B)(B)圆柱的母线与轴垂直圆柱的母线与轴垂直 (C)(C)圆台的母线与轴平行圆台的母线与轴平行 (D)(D)球的直径必过球心球的直径必过球心 5.(5.(棱柱的结构特征棱柱的结构特征) )对棱柱而言对棱柱而言, ,下列说法正确的序号是下列说法正确的序号是 . . 有两个平面互相平行有两个平面互相平行, ,其余各面都是平行四边形其余各面都是平行四边形. .所有的棱长都相等所有的棱长都相等. .棱棱 柱中至少有柱中至少有2 2个面的形状完全
20、相同个面的形状完全相同. .相邻两个面的交线叫做侧棱相邻两个面的交线叫做侧棱. . 答案答案: : D D 课堂探究课堂探究 简单几何体的结构特征简单几何体的结构特征 题型一题型一 【教师备用教师备用】 1.1.有两个面互相平行有两个面互相平行, ,其余各面是平行四边形的几何体是棱柱吗其余各面是平行四边形的几何体是棱柱吗? ? 提示提示: :不一定不一定. .如图所示的几何体中如图所示的几何体中, ,平面平面ABCABC与平面与平面ABCABC互相平互相平 行行. .其余各面是平行四边形其余各面是平行四边形,
21、,但它不是棱柱但它不是棱柱. .反之反之, ,若一个几何体是棱柱若一个几何体是棱柱, , 则它有两个面互相平行则它有两个面互相平行, ,其余各面均是平行四边形是正确的其余各面均是平行四边形是正确的. . 2.2.若一个几何体有两个面互相平行若一个几何体有两个面互相平行, ,其余面均为梯形其余面均为梯形, ,那么它一定是棱台吗那么它一定是棱台吗? ? 提示提示: :不一定不一定. .因为棱台是由棱锥得到因为棱台是由棱锥得到, ,其侧棱延长应相交于一点其侧棱延长应相交于一点, ,若侧棱延若侧棱延 长后不相交于一点长后不相交于一点, ,则它不是棱台则它不是棱台. . &nbs
22、p;3.3.以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴, ,旋转一周得到的旋转体是圆旋转一周得到的旋转体是圆 锥吗锥吗? ? 提示提示: :不一定不一定. .以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴, ,才能围成圆锥才能围成圆锥, ,若若 以斜边所在直线为旋转轴以斜边所在直线为旋转轴, ,则形成两个对底圆锥则形成两个对底圆锥. . 【例例1 1】 (1)(2015(1)(2015嘉兴一中期中嘉兴一中期中) )下列命题中下列命题中, ,正确的命题是正确的命题是( ( ) ) 有两个面互相平行有两个面
23、互相平行, ,其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 有两个面互相平行有两个面互相平行, ,其余各面都是梯形的多面体是棱台其余各面都是梯形的多面体是棱台 四面体都是三棱锥四面体都是三棱锥. . (A)(A) (B)(B) (C)(C) (D)(D) (2)(2)下列叙述正确的是下列叙述正确的是( ( ) ) (A)(A)直角三角形围绕一边旋转而成的几何体是圆锥直角三角形围绕一边旋转而成的几何体是圆
24、锥 (B)(B)用一个平面截圆柱用一个平面截圆柱, ,截面一定是圆面截面一定是圆面 (C)(C)圆锥截去一个小圆锥后圆锥截去一个小圆锥后, ,剩下的是一个圆台剩下的是一个圆台 (D)(D)通过圆台侧面上一点有无数条母线通过圆台侧面上一点有无数条母线 解析解析: :(1)(1)错误错误; ;反例反例: :将两个相同的斜平行六面体叠放将两个相同的斜平行六面体叠放; ;正确正确, ,在在 长方体中可以截出长方体中可以截出; ;错误错误, ,侧棱可能无法聚成一点侧棱可能无法聚成一点; ;正确正确. .故选故选A.A. (2)(2)直角三角形绕斜边所在直线旋转形成的是两个对底的圆
25、锥直角三角形绕斜边所在直线旋转形成的是两个对底的圆锥, ,为组为组 合体合体, ,故故A A错错; ;用平行于底面的平面去截圆柱用平行于底面的平面去截圆柱, ,截面才是圆面截面才是圆面, ,故故B B错错. . 通过圆台侧面上一点有且只有一条母线通过圆台侧面上一点有且只有一条母线, ,故故D D错错.C.C正确正确. .选选C.C. 题后反思题后反思 解决该类题目需准确理解几何体的定义解决该类题目需准确理解几何体的定义, ,把握几何体的结构把握几何体的结构 特征特征, ,并且学会通过举反例进行辨析并且学会通过举反例进行辨析. . 即时训练即时训
26、练1 1- -1 1:(1):(1)下列说法中下列说法中, ,正确的是正确的是( ( ) ) (A)(A)有一个面为多边形有一个面为多边形, ,其余各面都是有一个公共顶点的三角形其余各面都是有一个公共顶点的三角形, ,由这些面所由这些面所 围成的几何体是棱锥围成的几何体是棱锥 (B)(B)用一个平面去截棱锥用一个平面去截棱锥, ,棱锥底面与截面之间的部分是棱台棱锥底面与截面之间的部分是棱台 (C)(C)棱柱的侧面都是平行四边形棱柱的侧面都是平行四边形, ,而底面不是平行四边形而底面不是平行四边形 (D)(D)棱柱的侧棱都相等棱柱的侧棱
27、都相等, ,侧面都是全等的平行四边形侧面都是全等的平行四边形 (2)(2)有以下有以下5 5个命题个命题, ,其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是 . . 三棱柱有三棱柱有6 6个顶点个顶点; ; 圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线; ; 一直角梯形绕下底一直角梯形绕下底( (较长边较长边) )所在直线旋转一周所在直线旋转一周, ,所形成的曲面围成的几何所形成的曲面围成的几何 体是圆台体是圆台; ; 圆锥、圆台中过轴的截面
28、是轴截面圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面, ,圆锥的轴截面是等腰三角形圆锥的轴截面是等腰三角形, ,圆台的轴圆台的轴 截面是等腰梯形截面是等腰梯形; ; 到定点的距离等于定长的点的集合是球到定点的距离等于定长的点的集合是球. . 解析解析: : (1)(1)由棱柱、棱锥的定义及其结构特征知由棱柱、棱锥的定义及其结构特征知,A,A正确正确,B,B、C C、D D错误错误. . (2)(2)正确正确. . 错错. .由圆柱母线的定义知由圆柱母线的定义知, ,圆柱的母线应平行于轴圆柱的母线应平行于轴. . 错错. .直角梯形绕下底直角梯形绕下
29、底( (较长边较长边) )所在直线旋转一周所形成的几何体是由所在直线旋转一周所形成的几何体是由 一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体, ,如图所示如图所示. . 正确正确. .错错, ,应为球面应为球面. . 答案答案: : (1)A(1)A (2)(2) 折叠与展开问题折叠与展开问题 题型二题型二 【例例2 2】 (2015(2015九江一中月考九江一中月考) )如图所示平面图形沿虚线折起后如图所示平面图形沿虚线折起后, , 为为 , ,为为 , ,为为 &nb
30、sp; . . 解析解析: :由图知几何体各侧面是矩形由图知几何体各侧面是矩形, ,底面为四边形底面为四边形. .该几何体是四棱柱该几何体是四棱柱; ; 由图知几何体各侧面是三角形由图知几何体各侧面是三角形, ,底面是三角形底面是三角形, ,该几何体是三棱锥该几何体是三棱锥; ;由图由图 知几何体侧面是三角形知几何体侧面是三角形, ,底面为四边形底面为四边形, ,故该几何体是四棱锥故该几何体是四棱锥. . 答案答案: :四棱柱四棱柱 三棱锥三棱锥 四棱锥四棱锥 题后反思题后反思 (1)(1)解答此类问题要结合多面体的结构特征解答此
31、类问题要结合多面体的结构特征 发挥空间想象能力和动手能力发挥空间想象能力和动手能力. . (2)(2)若给出多面体画其展开图时若给出多面体画其展开图时, ,常常给多面体的顶点标上字母常常给多面体的顶点标上字母, ,先把多面体先把多面体 的底面画出来的底面画出来, ,然后依次画出各侧面然后依次画出各侧面. . 即时训练即时训练 2 2 1:(20141:(2014 福州八县高一联考福州八县高一联考) )已知正方体已知正方体 ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为 2,2, P P 是是 AAAA1 1的中
32、点的中点,E,E 是是 BBBB1 1上的点上的点, ,则则 PE+ECPE+EC 的最小值是的最小值是 . . 解析解析: :将正方体的侧面将正方体的侧面 ABBABB1 1A A1 1,BCC,BCC1 1B B1 1放在同一平面内放在同一平面内, ,如图如图, ,则则 PE+ECPE+EC 的最小值为的最小值为 PC=PC= 22 PAAC= = 22 14= =17. . 答案答案: :17 简单组合体的结构特征简单组合体的结构特征 题型三题型三 【例例3 3】 如图所示如图所示, ,已
33、知梯形已知梯形ABCDABCD中中,ADBC,ADBC,且且AD 1 P C EF V (D)(D) 1 C C EF V 0 不存在不存在 k0时时, , 的范围是的范围是 ;当当k0 时时, , 0 02 2 3 3 (B)(B)1 1 3 3 2 2 (C)(C)2 2 3 3 1 1 (D)(D)3 3 2 2 1 1 (2)(2)已知直线已知直线 l l 的倾斜角的倾斜角 =30=30, ,则其斜率则其斜率 k=k= . .若若 k=k=- - 3 3 , ,则其倾斜则其
34、倾斜 角为角为 . . 解析解析: :(1)(1)由倾斜角的定义易知由倾斜角的定义易知,l,l2 2的倾斜角的倾斜角2 2=90=90, , 1 190, , 所以所以3 3 2 2 1 1. .故选故选 D.D. (2)(2)当当=30=30时时,k=tan 30,k=tan 30= = 3 3 ; ; 当当 k=k=- - 3 3 时时, ,其倾斜角为其倾斜角为 180180- -3030=150=150. . 答案答案: :(1)D(1)D (2)(2) 3 3 150150
35、【备用例【备用例 1 1】 设直线设直线 l l 过原点过原点, ,其倾斜角为其倾斜角为 , ,将直线将直线 l l 绕坐标原点沿逆时针绕坐标原点沿逆时针 方向旋转方向旋转 4545, ,得到直线得到直线 l l1 1, ,则直线则直线 l l1 1的倾斜角为的倾斜角为( ( ) ) (A)(A) +45+45 (B)(B) - -135135 (C)135(C)135- - (D)(D)当当 0 0 1 时时,k=,k= 1 1m 0,0,所以直线的倾斜角的取值范围是所以直线的倾斜角的取值范围是 0 00),=1(a0,b0),
36、 由题意可知由题意可知,a+b+,a+b+ 22 ab=12.=12. 又因为直线过点又因为直线过点 P P（ 4 3 ,2,2）, , 所以所以 4 3a + + 2 b =1,=1, 【例【例 3 3】 直线过点直线过点 P P（ 4 3 ,2,2）且与且与 x x 轴、轴、y y 轴的正半轴分别交于轴的正半轴分别交于 A A、B B 两点两点,O,O 为坐为坐 标原点标原点, ,是否存在这样的直线分别满足下列条件是否存在这样的直线分别满足下列条
37、件: : (1)(1)AOBAOB 的周长为的周长为 12;12; (2)(2)AOBAOB 的面积为的面积为 6.6. 若存在若存在, ,求出直线的方程求出直线的方程; ;若不存在若不存在, ,请说明理由请说明理由. . 由由可得可得 5a5a 2 2- -32a+48=0, 32a+48=0, 解得解得 4, 3 a b 或或 12 , 5 9 . 2 a b 所以所求直线的方程为所以所求直线的方程为 4 x + + 3 y =1=1 或或 5 12 x + + 2 9 y =1,=1,即即 3x+4y3x+4y- -12=012
38、=0 或或 15x+8y15x+8y- -36=0.36=0. (2)(2)存在存在. .设直线方程为设直线方程为 x a + + y b =1(a0,b0),=1(a0,b0), 由题意可知由题意可知 12, 42 1, 3 ab ab 解得解得 4, 3 a b 或或 2, 6. a b 所以所求直线的方程为所以所求直线的方程为 4 x + + 3 y =1=1 或或 2 x + + 6 y =1,=1,即即 3x+4y3x+4y- -12=012=0 或或 3x+y3x+y- -6=0.6=0. 题后反思 解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时解
39、决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时, ,一般选择一般选择 直线方程的截距式直线方程的截距式, ,若设直线在若设直线在 x x 轴轴,y,y 轴上的截距分别为轴上的截距分别为 a,b,a,b,则直线与坐标则直线与坐标 轴所围成的三角形面积为轴所围成的三角形面积为 S=S= 1 2 |a|b|.|a|b|.周长周长 c=|a|+|b|+c=|a|+|b|+ 22 ab. . 解析解析: :设直线在设直线在 x x 轴、轴、y y 轴上的截距分别是轴上的截距分别是 a a、b,b,则有则有 S=S= 1 2 |a|ab|=1.b|=1.所以所以 ab=ab=2.2.直线的方程是直
40、线的方程是 x a + + y b =1.=1.因为直线过点因为直线过点( (- -2,2).2,2).代入直线方程得代入直线方程得 2 a + + 2 b =1,=1,即即 b=b= 2 2 a a . .所以所以 ab=ab= 2 2 2 a a = =2.2.解得解得 1, 2 a b 或或 2, 1. a b 所以直所以直 线方程是线方程是 1 x + + 2 y =1=1 或或 2 x + + 1 y =1,=1,即即 2x+y+2=02x+y+2=0 或或 x+2yx+2y- -2=0.2=0. 即时训练3-1:一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的
41、面积 为1,则此直线的方程为 . 答案:2x+y+2=0或x+2y-2=0 谢谢观赏 Thanks! 3.2.3 直线的一般式方程 自主预习 课堂探究 自主预习 1.了解二元一次方程与直线的对应关系. 2.掌握直线方程的一般式. 3.能根据所给条件求直线方程,并能在几种形式间相互转化. 课标要求 知识梳理 (3)(3)系数的几何意义系数的几何意义: : 当当 B B0 0 时时, ,则则- - A B =k(=k(斜率斜率),),- - C B =b(y=b(y 轴上的截距轴上的截距);); 当当 B=0,AB=0,A0 0 时时,
42、,则则- - C A =a(x=a(x 轴上的截距轴上的截距),),此时不存在斜率此时不存在斜率. . 直线的一般式方程 (1)定义:关于x,y的二元一次方程 (其中A,B不同时为0)叫做直线 的一般式方程,简称一般式. (2)适用范围:平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一般式表示. Ax+By+C=0 (4)二元一次方程与直线的关系:二元一次方程的每一组解都可以看成平面 直角坐标系中一个点的坐标.这个方程的全体解组成的集合,就是坐标满足 二元一次方程的全体点的集合,这些点的集合就组成了一条直线.二元一次 方程与平面直角坐标系中的直线是一
43、一对应的. 自我检测 1.(1.(一般式的应用一般式的应用) )直线直线 x x- -3y+1=0y+1=0 的斜率为的斜率为( ( ) ) (A)(A) 3 3 (B)(B)- - 3 3 (C)(C)3 (D)(D)- -3 2.(2.(求直线的一般式方程求直线的一般式方程) )过点过点 M(M(- -4,3)4,3)和和 N(N(- -2,1)2,1)的直线方程是的直线方程是( ( ) ) (A)x(A)x- -y+3=0y+3=0 (B)x+y+1=0(B)x+y+1=0
44、(C)x(C)x- -y y- -1=01=0 (D)x+y(D)x+y- -3=03=0 3.(3.(用一般式解决垂直平行问题用一般式解决垂直平行问题) )若直线若直线ax+2y+2=0ax+2y+2=0与直线与直线3x3x- -y y- -2=02=0平行平行, ,则则a a等等 于于( ( ) ) (A)(A)- -3 3 (B)(B)- -6 6 (C)(C)- - 3 2 (D)(D) 2 3 A B B 4.(一般式的应用)直线x+y+1=0在y轴上的截距为 . 答案:-1
45、 5.(求直线的一般式方程)过点P(1,2),且斜率与直线y=-2x+3的斜率相等 的直线方程为 . 答案:2x+y-4=0 课堂探究 求直线的一般式方程 题型一 【教师备用】 直线的一般式方程的理解 1.当A=0或B=0或C=0时,方程Ax+By+C=0分别表示什么样的直线? 提示提示: :若若 A=0,A=0,则则 y=y=- - C B , ,表示与表示与 y y 轴垂直的一条直线轴垂直的一条直线. . 若若 B=0,B=0,则则 x=x=- - C A , ,表示与表示与 x x 轴垂直的一条直线轴垂直的一条直线. . 若若 C=0,C=
46、0,则则 Ax+By=0,Ax+By=0,表示过原点的一条直线表示过原点的一条直线. . 2.在什么条件下,一般式方程可以转化为斜截式、点斜式或截距式方程? 提示提示: :若若 B B0,0,则直线的一般式方程可化为斜截式、点斜式则直线的一般式方程可化为斜截式、点斜式, ,即即 y=y=- - A B x x- - C B 与与 y y- - C B = =- - A B (x(x- -0).0). 若若 A A0 0 且且 B B0,0,则可化为截距式则可化为截距式, ,即即 x C A + + y C B =1.=1. 解解: :(1)(1)由直线方程的
47、点斜式得由直线方程的点斜式得 y y- -3=3=3(x(x- -5),5),即即3x x- -y y- -5 53+3=0.+3=0. 【例【例 1 1】 根据下列条件分别写出直线的方程根据下列条件分别写出直线的方程, ,并化为一般式方程并化为一般式方程. . (1)(1)斜率是斜率是3, ,且经过点且经过点 A(5,3).A(5,3). (2)(2)斜率为斜率为 4,4,在在 y y 轴上的截距为轴上的截距为- -2.2. (3)(3)经过经过 A(A(- -1,5),B(2,1,5),B(2,- -1)1)两点两点. . (4)
48、(4)在在 x x 轴轴,y,y 轴上的截距分别为轴上的截距分别为- -3,3,- -1.1. (2)(2)由斜截式得直线方程为由斜截式得直线方程为 y=4xy=4x- -2,2,即即 4x4x- -y y- -2=0.2=0. (3)(3)由两点式得由两点式得 5 15 y = = 1 21 x , ,即即 2x+y2x+y- -3=0.3=0. (4)(4)由截距式得直线方程为由截距式得直线方程为 3 x + + 1 y =1.=1. 即即 x+3y+3=0.x+3y+3=0. 题后反思 根据已知条件求直线方程的策略:
49、 在求直线方程时,设一般式方程并不简单,常用的还是根据给定条件选用 四种特殊形式之一求方程再化为一般式方程,一般选用规律为: (1)已知直线的斜率和直线上点的坐标时,选用点斜式;(2)已知直线的斜 率和在y轴上的截距时,选用斜截式;(3)已知直线上两点坐标时,选用两 点式.(4)已知直线在x轴,y轴上的截距时,选用截距式. 解解: :(1)(1)由点斜式可得直线方程为由点斜式可得直线方程为 y y- -3=3=- - 3 5 (x+2).(x+2). 化为一般式为化为一般式为 3x+5y3x+5y- -9=0.9=0. 即时训练即时训练 1 1 1:1:求下列直线的方程
50、求下列直线的方程, ,并把它化成一般式并把它化成一般式: : (1)(1)过点过点 A(A(- -2,3),2,3),斜率为斜率为- - 3 5 ; ; (2)(2)在在 x x 轴、轴、y y 轴上的截距分别为轴上的截距分别为- -3 3 和和 4.4. (2)(2)由截距式可得直线方程为由截距式可得直线方程为 3 x + + 4 y =1.=1. 化为一般式为化为一般式为 4x4x- -3y+12=0.3y+12=0. 利用直线一般式方程解决平行、垂直问题 题型二 (1)已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3
51、y-2=0平行,求m的值. (2)当a为何值时,直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y +2=0互相垂直? 【例2】 解解: :法一法一 (1)(1)由由 l l1 1:2x+(m+1)y+4=0,:2x+(m+1)y+4=0, l l2 2:mx+3y:mx+3y- -2=02=0 知知: : 当当 m=0m=0 时时, ,显然显然 l l1 1与与 l l2 2不平行不平行. . 当当 m m0 0 时时,l,l1 1l l2 2, ,需需 2 m = = 1 3 m 4 2 . . 解得解得 m
52、=2m=2 或或 m=m=- -3,3,所以所以 m m 的值为的值为 2 2 或或- -3.3. (2)(2)由题意知由题意知, ,直线直线 l l1 1l l2 2. . 若若 1 1- -a=0,a=0,即即 a=1a=1 时时, ,直线直线 l l1 1:3x:3x- -1=01=0 与直线与直线 l l2 2:5y+2=0:5y+2=0 显然垂直显然垂直. . 若若 2a+3=0,2a+3=0,即即 a=a=- - 3 2 时时, ,直线直线 l l1 1:x+5y:x+5y- -2=02=0 与直线与直线 l l2 2:5x:5x- -4=04=
53、0 不垂直不垂直. . 若若 1 1- -a a0,0,且且 2a+32a+30,0,则直线则直线 l l1 1,l,l2 2的斜率的斜率 k k1 1,k,k2 2都存在都存在, , k k1 1= =- - 2 1 a a ,k,k2 2= =- - 1 23 a a . . 当当 l l1 1l l2 2时时,k,k1 1k k2 2= =- -1,1,即即 2 1 a a 1 23 a a = =- -1,1,所以所以 a=a=- -1.1. 综上可知综上可知, ,当当 a=1a=1 或或 a=a=- -1 1 时时, ,直线直线 l l
54、1 1l l2 2. . 法二法二 (1)(1)令令 2 23=m(m+1),3=m(m+1),解得解得 m=m=- -3 3 或或 m=2.m=2. 当当 m=m=- -3 3 时时,l,l1 1:x:x- -y+2=0,ly+2=0,l2 2:3x:3x- -3y+2=0,3y+2=0, 显然显然 l l1 1与与 l l2 2不重合不重合, ,所以所以 l l1 1l l2 2. . 同理当同理当 m=2m=2 时时,l,l1 1:2x+3y+4=0,l:2x+3y+4=0,l2 2:2x+3y:2x+3y- -2=0,2=0,
55、;显然显然 l l1 1与与 l l2 2不重合不重合, ,所所以以 l l1 1l l2 2. .所以所以 m m 的值为的值为 2 2 或或- -3.3. (2)(2)由题意知直线由题意知直线 l l1 1l l2 2, , 所以所以(a+2)(a(a+2)(a- -1)+(11)+(1- -a)(2a+3)=0,a)(2a+3)=0, 解得解得 a=a=1,1, 将将 a=a=1 1 代入方程代入方程, ,均满足题意均满足题意. . 故当故当 a=1a=1 或或 a=a=- -1 1 时时, ,直线直线 l l1 1l l2 2
56、. . 题后反思 所给直线方程是一般式,且直线斜率可能不存在时,利用 l1l2A1A2+B1B2=0和l1l2A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C10(或B1C2- B2C10)来判定两条直线是否垂直或平行,避免了讨论斜率是否存在的 情况,比用斜率来判定更简便. 解解: :法一法一 当当 m=0m=0 时时,l,l1 1:x+6=0,l:x+6=0,l2 2:2x:2x- -3y=03y=0 两直线既不平行也不垂直两直线既不平行也不垂直; ;当当 m m0 0 时时, , l l1 1:y=:y=- - 1 m x x- - 6 m ,l,l2 2:y=:y=- - 2 3 m x x- - 2 3 m , , 若若 l l1 1l l2 2, ,则则 12 , 3 62 , 3 m m m m 解得解得 m=m=- -1;1;若若 l l1 1l l2 2, ,则则- - 12 3 m m
