1、第二十七章 图形的相似、位似一、成比例线段一、成比例线段(比例线段比例线段)在四条线段中在四条线段中,如果其中两条线段的比与另两条线段的比如果其中两条线段的比与另两条线段的比_,_,那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.二、相似多边形二、相似多边形1.1.定义定义:对应角对应角_,_,对应边的比对应边的比_的两个多边形的两个多边形.2.2.性质性质:对应角对应角_；对应边的比；对应边的比_相似比；周长的比相似比；周长的比_相似比相似比;面积的比面积的比_相似比的平方相似比的平方.相等相等相等相等相等相等相等相等等于等于等于等于等于等于三、位似图形
2、三、位似图形两个图形不仅是相似图形两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点连线都经过而且每组对应点连线都经过_点点,对应边互相平行，这两个图形叫做位似图形对应边互相平行，这两个图形叫做位似图形,这个点叫做这个点叫做_._.同一同一位似位似中心中心【核心点拨【核心点拨】1.1.成比例线段是相对于四条线段而言的，根据定义，它们在比成比例线段是相对于四条线段而言的，根据定义，它们在比例式中的位置有一定的顺序性例式中的位置有一定的顺序性.2.2.相似多边形相似多边形(大于三条边时大于三条边时)的判定根据定义的判定根据定义.3.3.位似图形与相似图形的关系：位似图形一定相似，相似的两位似图形与相似图形的关
3、系：位似图形一定相似，相似的两个图形不一定位似个图形不一定位似.【即时检验【即时检验】1.1.已知线段已知线段a,b,c,da,b,c,d成比例，若成比例，若a=2 cm,b=4 cm,d=8 cm,a=2 cm,b=4 cm,d=8 cm,则则c=c=_ cm.cm.2.2.若两个相似多边形的周长的比是若两个相似多边形的周长的比是1212，则它们的面积比为，则它们的面积比为_.3.3.已知已知OABOAB与与OABOAB是相似比为是相似比为1212的位似图形，点的位似图形，点O O为为位似中心，若位似中心，若OABOAB内一点内一点P(xP(x，y)y)与与OABOAB内一点内一点PP是一是
4、一对对应点，则对对应点，则PP的坐标是的坐标是_.4 41414(-2x(-2x，-2y)-2y)或或(2x,2y)(2x,2y)比例及成比例线段比例及成比例线段【例【例1 1】(2010(2010佛山中考佛山中考)一般认为，如果一个人的一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看，如图，是一个参加空姐选拔的选手则这个人好看，如图，是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿多高的鞋子才能好看？的身高情况，那么她应穿多高的鞋子才能好看？(精精确到确到1 cm1 cm，参考数据：黄金分割比为，参考数据：黄金分割比为
5、2.236)2.236)5152，【思路点拨【思路点拨】黄金分割比为肚脐以上的高度黄金分割比为肚脐以上的高度肚脐以下的高度肚脐以下的高度.【自主解答【自主解答】设她应穿设她应穿x cmx cm高的鞋子，根据题意，得高的鞋子，根据题意，得解得解得x10 cmx10 cm，所以她应穿，所以她应穿10 cm10 cm高的鞋子才好看高的鞋子才好看.655195x2，【对点训练【对点训练】1.(20101.(2010德化中考德化中考)下列各组线段下列各组线段(单位：单位：cm)cm)中，成比例线段中，成比例线段的是的是()()(A)1(A)1，2 2，3 3，4 (B)14 (B)1，2 2，2 2，4
6、 4(C)3(C)3，5 5，9 9，13 (D)113 (D)1，2 2，2 2，3 32.(20112.(2011巴中中考巴中中考)若若 =_.=_.【解析【解析】4a-2b=3a 4a-2b=3a，答案：答案：a2b2ab3a，则a22ab3，b1.a212 相似图形及相似多边形相似图形及相似多边形【例【例2 2】(2011(2011毕节中考毕节中考)两个相似多边形的面积比是两个相似多边形的面积比是916916，其中小多边形的周长为其中小多边形的周长为36 cm36 cm，则较大多边形的周长为，则较大多边形的周长为()()(A)48 cm (B)54 cm (C)56 cm (D)64
7、cm(A)48 cm (B)54 cm (C)56 cm (D)64 cm【思路点拨思路点拨】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算比，而面积之比等于相似比的平方计算.【自主解答【自主解答】选选A.A.两个相似多边形的面积比是两个相似多边形的面积比是916916，面积比是，面积比是相似比的平方，则大多边形与小多边形的相似比是相似比的平方，则大多边形与小多边形的相似比是43.43.相似多相似多边形周长的比等于相似比，因而设大多边形的周长为边形周长的比等于相似比，因而设大多边形的周长为x x，则，则有有 ，解得，解得x
8、=48.x=48.大多边形的周长为大多边形的周长为48 cm.48 cm.x43634.(20124.(2012潍坊中考潍坊中考)已知矩形已知矩形ABCDABCD中，中，AB=1AB=1，在，在BCBC上取一点上取一点E E，沿沿AEAE将将ABEABE向上折叠，使向上折叠，使B B点落在点落在ADAD上的上的F F点处，若四边形点处，若四边形EFDCEFDC与矩形与矩形ABCDABCD相似，则相似，则AD=()AD=()【解析【解析】选选B.B.由题易知四边形由题易知四边形ABEFABEF为正方形，为正方形，AB=AF=EF=BE,AB=AF=EF=BE,四边形四边形EFDCEFDC与矩形与
9、矩形ABCDABCD相似，相似，,设设ADAD为为x x，则则 ，解得，解得x x1 1=,x=,x2 2=(=(舍去舍去).).5151ABC3D 222ADABEFDFx11x1512512 位似位似【例【例3 3】(8(8分分)(2011)(2011盘锦中考盘锦中考)如图，如图，ABCABC的三个顶点坐标的三个顶点坐标分别为分别为A(-2A(-2，4)4)，B(-3B(-3，1)1)，C(-1C(-1，1)1)，以坐标原点，以坐标原点O O为位似为位似中心，相似比为中心，相似比为2 2，在第二象限内将，在第二象限内将ABCABC放大，放大后得到放大，放大后得到ABC.ABC.(1)(1)
10、画出放大后的画出放大后的ABCABC，并写出点并写出点AA，B B，C C 的坐标的坐标.(点点A A，B B，C C的对应点分别为的对应点分别为AA，B B，C)C)(2)(2)求求ABCABC的面积的面积.【规范解答【规范解答】(1)(1)如图所示，如图所示，ABCABC即为所求即为所求.2 2分分BBB BCCA AAAC C-9-9-8-8-7-7-6-6-5-5-4-4-3-3-2-2-1-1-1-11 11 12 29 98 87 76 65 54 43 3O Oy yx xA(A(_，8)8)；B(B(_，2)2)；C(C(_，2).2).5 5分分(2)S(2)SABCABC=
11、_=_，6 6分分又又ABCABC与与ABCABC的相似比为的相似比为2121，S SABCABCSSABCABC=_，S SABCABC=_S SABCABC=_.8 8分分-4-4-6-6-2-2122 23 33 34 412124141【对点训练【对点训练】5.(20115.(2011莱芜中考莱芜中考)观察如图，在下列四种图形变换中，该图观察如图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是案不包含的变换是()()(A)(A)平移平移 (B)(B)轴对称轴对称 (C)(C)旋转旋转 (D)(D)位似位似6.(20116.(2011广州中考广州中考)如图，以点如图，以点O O为位似中心，将
12、五边形为位似中心，将五边形ABCDEABCDE放大后得到五边形放大后得到五边形ABCDEABCDE，已知，已知OAOA10 cm10 cm，OAOA20 cm20 cm，则五边形，则五边形ABCDEABCDE的周长与五边形的周长与五边形ABCDEABCDE的周长的周长的比值是的比值是_._.【技巧点拨【技巧点拨】1.1.位似图形的性质位似图形的性质位似图形是相似图形的特例，所以位似图形具有相似图形的一位似图形是相似图形的特例，所以位似图形具有相似图形的一切性质，即位似图形的对应边成比例，对应角相等，它们的周切性质，即位似图形的对应边成比例，对应角相等，它们的周长之比等于相似比，面积之比等于相似
13、比的平方长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.2.2.位似图形与坐标位似图形与坐标以原点为位似中心的位似变换，相似比为以原点为位似中心的位似变换，相似比为k k时，时，(1)(1)两图形在原点的同侧，位似图形对应的坐标的比等于两图形在原点的同侧，位似图形对应的坐标的比等于k.k.(2)(2)两图形在原点的异侧，位似图形对应的坐标的比等于两图形在原点的异侧，位似图形对应的坐标的比等于-k.-k.一、平行线分线段成比例一、平行线分线段成比例1.1.定理：三条平行线截两条直线，所得的定理：三条平行线截两条直线，所得的_的比相等的比相等.2.2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边推论：平行于
14、三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长或两边的延长线线)，所得的，所得的_的比相等的比相等.对应线段对应线段对应线段对应线段二、相似三角形二、相似三角形1.1.定义定义:对应角对应角_,_,对应边的比对应边的比_的两个三角形叫做相似的两个三角形叫做相似三角形三角形,对应边的比叫做对应边的比叫做_._.2.2.性质性质:(1):(1)相似三角形周长的比等于相似三角形周长的比等于_;_;(2)(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于都等于_；(3)(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方
15、.相等相等相等相等相似比相似比相似比相似比相似比相似比3.3.判定判定:(1):(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成所构成的三角形与原三角形相似的三角形与原三角形相似;(2)(2)两角对应两角对应_的两个三角形相似的两个三角形相似;(3)(3)两组对应边的比两组对应边的比_,_,且相应的夹角且相应的夹角_的两个三角形相的两个三角形相似似;(4)(4)三组对应边的比三组对应边的比_的两个三角形相似的两个三角形相似.相等相等相等相等相等相等相等相等【即时检验【即时检验】一、如图，一、如图，l1 1 l2 2l3 3，则，则 _,_.二、二、1.1.
16、ABCABC与与DEFDEF的相似比为的相似比为3434，则，则ABCABC与与DEFDEF的周长的周长比为比为_.2.2.已知已知ABCABC与与DEFDEF相似且对应中线的比为相似且对应中线的比为2323，则，则ABCABC与与DEFDEF对应高的比为对应高的比为_.BCABEFDEAOOCDOOF34342323 平行线分线段成比例平行线分线段成比例【例【例1 1】(2011(2011河池中考河池中考)如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，中，E E为为ABAB的中点，的中点，F F为为ADAD上一点，上一点，EFEF交交ACAC于于G G，AF=2 cmAF=2 cm
17、，DF=4 cmDF=4 cm，AG=AG=3 cm3 cm，则，则ACAC的长为的长为()()(A)9 cm (B)14 cm(A)9 cm (B)14 cm(C)15 cm (D)18 cm(C)15 cm (D)18 cm【对点训练【对点训练】1.(20111.(2011肇庆中考肇庆中考)如图，已知直线如图，已知直线ababcc，直线，直线m m，n n与直线与直线a a，b b，c c分别交于点分别交于点A A，C C，E E，B B，D D，F F，AC=4AC=4，CE=6CE=6，BD=3BD=3，则则BF=()BF=()(A)7 (B)7.5 (C)8 (D)8.5(A)7 (
18、B)7.5 (C)8 (D)8.5【解析【解析】选选B.abcB.abc，AC=4AC=4，CE=6CE=6，BD=3BD=3，解得：，解得：DF=DF=，BF=BD+DF=3+=7.5.BF=BD+DF=3+=7.5.ACBDCEDF436DF92922.(20112.(2011湘潭中考湘潭中考)如图，已知：如图，已知：ABCABC中，中，DEBCDEBC，AD=3AD=3，DB=6DB=6，AE=2AE=2，则，则EC=_.EC=_.【解析【解析】ABCABC中，中，DEBCDEBC，AD=3AD=3，DB=6DB=6，AE=2AE=2，EC=4.EC=4.答案：答案：4 4ADAEBDE
19、C326EC 相似三角形的判定相似三角形的判定【例【例2 2】(6(6分分)(2011)(2011来宾中考来宾中考)如图，在如图，在ABCABC中，中，ABC=80ABC=80，BAC=40BAC=40，ABAB的垂直平分线分别与的垂直平分线分别与ACAC，ABAB交于点交于点D D，E.E.(1)(1)用圆规和直尺在图中作出用圆规和直尺在图中作出ABAB的垂直平分线的垂直平分线DEDE，并连接，并连接BDBD；(2)(2)证明：证明：ABCABCBDC.BDC.【对点训练【对点训练】3.(20123.(2012荆门中考荆门中考)下列下列4 44 4的正方形网格中，小正方形的边的正方形网格中，
20、小正方形的边长均为长均为1 1，三角形的顶点都在格点上，则与，三角形的顶点都在格点上，则与ABCABC相似的三角形相似的三角形所在的网格图形是所在的网格图形是()()【解析【解析】选选B.B.ABCABC的三边长分别为：的三边长分别为：,，选项，选项B B中的中的三边长分别为：三边长分别为：2,4,.2,4,.由由 ,所以选项所以选项B B中的三中的三角形和角形和ABCABC相似相似.2 2 2102 522 210242 54.(20124.(2012滨州中考滨州中考)如图，锐角三角形如图，锐角三角形ABCABC的边的边ABAB，ACAC上的高上的高线线CECE和和BFBF相交于点相交于点D
21、 D，请写出图中的两对相似三角形：，请写出图中的两对相似三角形：_(_(用用相似符号连接相似符号连接).).【解析【解析】(1)(1)在在BDEBDE和和CDFCDF中，中，BDE=CDFBDE=CDF，BED=CFD=90BED=CFD=90，BDEBDECDF.CDF.(2)(2)在在ABFABF和和ACEACE中，中，A=AA=A，AFB=AEC=90AFB=AEC=90，ABFABFACE.ACE.答案：答案：BDEBDECDFCDF，ABFABFACEACE5.(20125.(2012安顺中考安顺中考)如图，如图，1=2,1=2,添加一个条件添加一个条件_，使，使得得ADEADEAC
22、B.ACB.【解析【解析】由两角对应相等，两三角形相似可添加由两角对应相等，两三角形相似可添加DDCC或或EEBB；由两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似可添；由两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似可添加加 .答案：答案：DDC(C(答案不唯一答案不唯一)ADAEACAB【特别提醒【特别提醒】相似三角形判定的两点注意相似三角形判定的两点注意1.1.已知三边的长或在正方形网格中的长考虑已知三边的长或在正方形网格中的长考虑“三组对应边之比三组对应边之比相等的两个三角形相似相等的两个三角形相似”.2.2.直角三角形相似的判定定理直角三角形相似的判定定理:(1)(1)直角三角形被斜边上的高分成的两
23、个直角三角形和原三角形直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似相似.(2)(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应边的比相等形的斜边和一条直角边对应边的比相等,那么这两个直角三角形那么这两个直角三角形相似相似.相似三角形的性质及应用相似三角形的性质及应用【例【例3 3】(2011(2011陕西中考陕西中考)一天，数学一天，数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑圆锥形坑”的深度，来评估这些沙坑对河道的影的
24、深度，来评估这些沙坑对河道的影响，如图是同学们选择响，如图是同学们选择(确保测量过确保测量过程中无安全隐患程中无安全隐患)的测量对象，测量的测量对象，测量方案如下：方案如下：先测出沙坑坑沿的圆周长先测出沙坑坑沿的圆周长34.5434.54米；米；甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，经过适当调整甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于点自己所处的位置，当他位于点B B时恰好他的视线经过沙坑坑沿圆时恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上一点周上一点A A看到坑底看到坑底S S点点(甲同学的视线起点甲同学的视线起点C C与点与点A A、点、点S S三点共三点共线线)，
25、经测量：，经测量：AB=1.2AB=1.2米，米，BC=1.6BC=1.6米米.根据以上测量数据，求圆锥形坑的深度根据以上测量数据，求圆锥形坑的深度(圆锥的高圆锥的高)()(取取3.143.14，结果精确到结果精确到0.10.1米米).).【思路点拨【思路点拨】取圆锥底面圆心取圆锥底面圆心O O，连接，连接OSOS，OAOA，OSBCOSBC可得出可得出SOASOACBACBA，再由相似三角形的对应边成比例即可解答，再由相似三角形的对应边成比例即可解答.【自主解答【自主解答】取圆锥底面圆心取圆锥底面圆心O O，连接，连接OSOS，OAOA，则则O=ABC=90O=ABC=90，OSBCOSBC
26、，ACB=ASOACB=ASO，SOASOACBACBA，OS=OS=，OA=5.5OA=5.5，BC=1.6BC=1.6，AB=1.2AB=1.2，OS=7.3OS=7.3，“圆锥形坑圆锥形坑”的深度约为的深度约为7.37.3米米.OSOABCBAOA BCBA34.5425.5 1.61.2【对点训练【对点训练】6.(20126.(2012娄底中考娄底中考)如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M M处处的运动员林丹把球从的运动员林丹把球从N N点击到了对方内的点击到了对方内的B B点，已知网高点，已知网高OA=1.52OA=1.52米，米，OB=4OB=4米
27、，米，OM=5OM=5米，则林丹起跳后击球点米，则林丹起跳后击球点N N离地面的距离离地面的距离NM=_NM=_米米.【解析【解析】OAMNOAMN，则，则ABOABONBMNBM，则则 ，则，则解得解得NM=3.42NM=3.42米米.答案：答案：3.423.42OAOBNMMB1.524NM45，7.(20127.(2012北京中考北京中考)如图，小明同学用自制的直角三角形纸板如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEFDEF测量树的高度测量树的高度ABAB，他调整自己的位置，设法使斜边，他调整自己的位置，设法使斜边DFDF保持水保持水平，并且边平，并且边DEDE与点与点B B在同一直线上，
28、已知纸板的两条直角边在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40 cmDE=40 cm，EF=20 cmEF=20 cm，测得边，测得边DFDF离地面的高度离地面的高度AC=1.5 mAC=1.5 m，CD=CD=8 m8 m，则树高，则树高AB=_m.AB=_m.【解析【解析】由题意知，由题意知，DEFDEF与与DCBDCB相似，相似，则则 ，即即 ，解得，解得BC=4BC=4，所以所以AB=AC+BC=5.5(m).AB=AC+BC=5.5(m).答案：答案：5.55.5DEEFDCBC0.40.28BC【技巧点拨【技巧点拨】相似三角形的应用相似三角形的应用1.1.测量测量测量不能到达的物高与河宽等，关键是构造相似三角形，测量测量不能到达的物高与河宽等，关键是构造相似三角形，测量相似三角形中的有关线段的长相似三角形中的有关线段的长.2.2.与物理光学知识结合与物理光学知识结合相似三角形与物理学科的光学知识结合起来考查光学中的反射相似三角形与物理学科的光学知识结合起来考查光学中的反射定律和相似三角形的应用，在解题中关键是建立数学模型，找定律和相似三角形的应用，在解题中关键是建立数学模型，找准对应元素准对应元素.
