1、2021届全品高考复习方案：第37讲-空间几何体的三视图和直观图、表面积和体积1.编写意图立体几何初步的主要内容是空间几何体和空间点、线、面的位置关系,在高考试题中以中档或者压轴题的形式出现,因此,编写时主要考虑以下几个方面:(1)加强基础知识的复习力度:第37讲专门复习空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积,以及近两年常考的截面问题和几何体与球的切接问题,第38讲复习空间点、直线、平面的位置关系,第41讲复习空间向量及其运算,在这些基础性问题上我们给予了足够的重视和强化.(2)强化几何方法在证明空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直中的训练:一般而言高考中立体几何解答题的证明部分
2、使用几何方法进行证明比使用空间向量的方法更简洁明了,我们在第39讲、第40讲专门解决这个问题,试图通过这两个讲次,提升学生用几何法证明空间位置关系的能力.(3)在强化几何方法的同时要注意到空间向量在各类立体几何问题中的应用:在第41讲专门复习用空间向量方法证明立体几何问题,并且增加了多个探究点,试图通过这样的处理使学生掌握使用空间向量解决立体几何问题的方法.2.教学指导本单元的重点是空间元素之间的平行与垂直关系、空间几何体的表面积与体积,并注重画图、识图、用图能力的提高,在复习时我们要注重以下几点:(1)对学生加强画图训练:能画出正确的图形是解决立体几何问题的基础,特别是在一些不给出图形的立体
3、几何试题中(如一些选择题、填空题往往就不给出图形),画出图形问题就解决了一半,在画图中要求学生有根据地作图(主要根据四个公理和线面位置关系的判定定理和性质定理),使得作图的过程充满理性的思考,教师在例题讲解时不要随手画图,要给学生展示作图的过程和作图的原理根据.(2)注意例题讲解中推理论证的严密性和规范性:使用几何方法证明立体几何问题时,要注意各种定理使用条件的完备性,在证明的过程中注意层次分明,要通过例题给学生以示范作用,并通过作业规范学生的解题过程.(3)注意运算能力的训练:使用空间向量方法解决立体几何问题,特别是求解空间角和距离时其运算较为繁琐,由于空间向量在计算时极易出现错误,因此在教
4、学中要通过部分典型例题,引导学生步步为营地进行演算,通过练习提高运算能力.3.课时安排本单元共7讲,1个小题必刷卷,1个解答必刷卷,1个单元测评卷,每讲建议1课时完成,必刷卷与测评卷建议3课时完成,本单元大约共需10个课时完成.第七单元 立体几何第37讲空间几何体的三视图和直观图、表面积和体积内容与要求 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测法画出它们的直观图.3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与
5、直观图,了解空间图形的不同表示形式.4.会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求).5.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.1.多面体的结构特征名称棱柱名称棱柱结构特征有两个面互相 ,其余各个面都是;每相邻两个四边形的公共边都互相 平行且全等平行四边形2.旋转体的结构特征名称圆柱图形名称圆柱母线互相平行且相等,于底面全等的 垂直3.三视图与直观图三视图画法规则:长对正、高平齐、宽相等斜二测画法:(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中x轴、y轴的夹角为,z轴与x轴和y轴所在平面.(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍,平行于x轴
6、和z轴的线段在直观图中保持原长度,平行于y轴的线段在直观图中长度为 45或1354.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式名称圆柱侧面展开图5.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底题组一常识题1.教材改编如图,长方体ABCD-ABCD被截去一部分,截去的几何体为EFB-HGC,其中FGEHAD,则剩下的几何体是,截去的几何体是.2.教材改编如图所示,图是图表示的几何体的三视图,若图是正视图,则图是,图是.侧视图俯视图3.教材改编如图,平行四边形OPQR是利用斜二测画法得到的四边形OPQR的直观图,若OP=3,OR=1,则四边形OPQR的周长为.104
7、.教材改编如图所示是一个几何体的三视图,正视图是长为2,宽为1的矩形,俯视图是正方形,侧视图是半圆,则这个几何体的表面积是,体积是.3+46.教材改编已知一圆锥的侧面展开图为半圆,且面积为S,则圆锥的底面积是 .题组二常错题索引:对空间几何体的结构特征认识不到位;不清楚三个视图中实虚线表示的意义;不能确定原几何体的结构特征.7.给出下列说法:在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等;有两个平面互相平行,其余各面都是
8、平行四边形的多面体是棱柱.其中正确说法的个数是.解析 错误,只有这两点的连线平行于旋转轴时才是母线;错误,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图(1)所示;错误,当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,如图(2)所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等;错误,如图(3)所示的几何体,满足有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形,但这个多面体不是棱柱.8.已知某三棱锥的俯视图与侧视图如图所示,俯视图是边长为2的正三角形,侧视图是有一
9、条直角边长为2的直角三角形,则该三棱锥的正视图可能为.(填序号)9.将正方体ABCD-A1B1C1D1(如图(1)所示)截去两个三棱锥,得到如图(2)所示的几何体,则该几何体的侧视图为.(填序号)探究点一空间几何体的三视图和直观图例1 (1)2019北京房山区二模已知某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角三角形,则该四面体的四个面中直角三角形的个数为()A.4B.3C.2 D.1例1 (2)2019北京清华附中二模如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点,用过点A,E,C1的平面截去该正方体的下半部分,则剩下部分的正视图是()A总结反思 三视图问
10、题的常见类型:(1)由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,不能看到的部分用虚线表示.(2)由几何体的三视图还原几何体的形状.根据俯视图确定几何体的底面,再根据正视图或侧视图确定几何体的侧面与侧棱的特征,调整虚、实线对应的棱、面的位置,可确定几何体的形状.(3)由几何体的部分视图画出剩余的视图.先根据已知的一部分视图,还原、推测直观图的可能形状,再找出其剩下部分视图的可能形状.BA探究点二空间几何体的表面积与体积CA总结反思(1)几何体表面积的计算:根据几何体的直观图或三视图所给的条件,确定表面的形状,选择正确的平面图形的面积公式求解,注意表面
11、积与底面积、侧面积的区别.(2)几何体体积的计算:简单几何体可用体积公式直接求解,一些组合体的体积则需用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.A探究点三空间几何体的结构特征微点1空间几何体的展开图问题总结反思 通常利用空间几何体的表面展开图解决以下问题:(1)求几何体的表面积或侧面积;(2)求几何体表面上任意两个点的最短表面距离.微点2空间几何体的截面问题D总结反思 (1)求解与截面有关的问题的关键是确定截面的形状,并从几何体中获取相关的数据进行计算;(2)作多面体截面的关键在于确定截点,有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连接成截线,从而得到截面.应用演练A微点1几何体的外接球探究点四空间
12、几何体与球的切、接问题DDD总结反思(1)求解多面体的外接球时,经常用到截面圆.如图所示,设球O的半径为R,截面圆O的半径为r,M为截面圆上任意一点,球心O到截面圆O的距离为d,则在RtOOM中,OM2=OO2+OM2,即R2=d2+r2.(2)求解球的内接正方体、长方体等问题的关键是把握球的直径即是几何体的体对角线.(3)若球面上四点P,A,B,C的连线中PA,PB,PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直,则可构造长方体或正方体解决问题.微点2几何体的内切球思路点拨(2)取BB1的中点N,连接MN,则直线MN即为直线l,O为正方体的中心,利用勾股定理即可得到直线l被球O截得的线段长.总结反思
13、(1)在求四面体内切球的半径时,应重视分割的思想方法,即将该四面体分割为以球心为顶点,各面为底面的四个三棱锥,通过其体积关系求得半径.(2)与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.球与旋转体的组合通常作出它们的轴截面解题;球与多面体的组合,一般通过多面体的一条侧棱和球心,并结合“切点”或“接点”作出截面图,把空间问题化归为平面问题求解.应用演练CB4.【微点2】2019天津市红桥区二模一个正方体的表面积为24,若一个球内切于该正方体,则此球的体积是.【备选理由】例1考查空间几何体体积公式的应用,求解时需将两个圆锥的高之比转化为两个圆锥的体积之比;例2考查空间几何体的三视图和球的表面积问题;例3考查多面体与球的内切问题.A
