1、2022年10月1日星期六1l),(zyxP一、方向导数定义 若函数),(zyxf0limf则称lflf,)()()(222zyx,cosx,cosycosz为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.0(,)(,)limf xx yy zzf x y z在点 ),(zyxP处沿方向 l(方向角为,)存在下列极限:P记作 2022年10月1日星期六2,),(),(处可微在点若函数zyxPzyxf),(zyxPl则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在,0limfflcoscoscoszfyfxflf.,的方向角为其中l证明:由函数),(zyxf)(ozzfyyfxxff coscoscoszf
2、yfxf且有)(o在点 P 可微,得P故coscoscoszfyfxf定理 2022年10月1日星期六3对于二元函数,),(yxf为,)的方向导数为方处沿方向在点(),(lyxP0(,)(,)limff xx yyf x ylcos),(cos),(yxfyxfyx,)()(22yx)cos.,cosyxPlxyoxflf特别:当 l 与 x 轴同向有时,2,0 当 l 与 x 轴反向有时,2,xflfl向角2022年10月1日星期六4解:(,)cos(,)cosxyffx yfx ylcoscos1rxyx xyylrrrrrrcosxrcosyr22rxxxrxy22ryyyrxy(,)O
3、Px y 2022年10月1日星期六5解:coscoscosfffflxyz(2,0,1)12224(6)2333ul 122(cos,cos,cos)(,)333(2,0,1)(2,0,1)2(1)2uxx(2,0,1)(2,0,1)4(1)4uyy2022年10月1日星期六6二、梯度 方向导数公式coscoscoszfyfxflf令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模:f 的最大变化率之值方向导数取最大值：zfyfxfG,)cos,cos,(cos0l),cos(0lGG)1(0l0lGlf,0方向一致时与当Gl:GGlfmax2022年10月1日星期六7,fadrg即fadrg同样可定
4、义二元函数),(yxf),(yxPyfxfjyfixff,grad称为函数 f(P)在点 P 处的梯度zfyfxf,kzfjyfixf记作(gradient),在点处的梯度 G说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量定义2022年10月1日星期六8解:grad,zizzzzxyxyj解:(,)uuuxu x y zijkyzgrad222sinsincosijxyzxzx yzk11(1,1)22z gradij2022年10月1日星期六92022年10月1日星期六10内容小结1.方向导数 三元函数),(zyxf在点),(zyxP沿方向 l(方向角),为的方向导数为coscoscosz
5、fyfxflf 二元函数),(yxf在点),(yxP),的方向导数为coscosyfxflf沿方向 l(方向角为yfxfcossin2022年10月1日星期六112.梯度 三元函数),(zyxf在点),(zyxP处的梯度为zfyfxff,grad 二元函数),(yxf在点),(yxP处的梯度为),(,),(gradyxfyxffyx3.关系方向导数存在偏导数存在 可微0gradlflf梯度在方向 l 上的投影.2022年10月1日星期六12作业习 题 7-7 P108 4;7;2022年10月1日星期六13思考练习1.设函数zyxzyxf2),(1)求函数在点 M(1,1,1)处沿曲线 12
6、32tztytx在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在 M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向 的夹角 .2022年10月1日星期六14,),(2zyxzyxf曲线 12 32tztytx1.(1)在点)3,4,1(1dd,dd,ddttztytx)1,1,1(coscoscoszyxMffflf266函数沿 l 的方向导数lM(1,1,1)处切线的方向向量解答提示:2022年10月1日星期六15)0,1,2(grad)2(MfMMflfgrad13061306arccosMfgradl cosMfgradl2022年10月1日星期六16指向 B(3,2,2)方向的方向导数是 .在点A(1,0,1)处沿点Axd d)ln(22zyxu提示:31,32,32则cos,cos,cosAxu)1ln(x1x,21yd dAyu)11ln(2y0y,0(96考研),)1,2,2(AB0ABl 2121Azucoscoscoszuyuxulu212.函数2022年10月1日星期六17)ln(222zyxu在点)2,2,1(M处的梯度Mugrad)2,2,1(,gradzuyuxuuM解:,222zyxr令则xu21rx2注意 x,y,z 具有轮换对称性)2,2,1(2222,2,2rzryrx)2,2,1(92)2,2,1(92(92考研)3.函数
