1、经济应用数学经济应用数学第四章第四章 边际与弹性分析边际与弹性分析1234案例分析案例分析知识讲解知识讲解例题分析例题分析课堂练习课堂练习第一节第一节 改变量的估值改变量的估值微分微分5应用模型应用模型【面积的改变量面积的改变量】一正方形金属薄片受热膨胀，试估一正方形金属薄片受热膨胀，试估计其面积的改变量计其面积的改变量.2,xSxx 分分析析：假假设设正正方方形形的的边边长长为为，其其面面积积为为当当金金属属受受热热后后，其其边边长长取取得得改改变变量量为为，则则相相应应面面积积的的改改变变量量为为 =22200()2Sxxxx xx 0 x0 xx x 2Sx xx 0 xx 02)(x
2、案例分析案例分析,22.xSx xSx x 当当边边长长的的改改变变量量很很小小时时 面面积积的的改改变变量量可可以以近近似似地地表表示示为为，即即22x xxdydyx x 此此时时，我我们们将将称称为为函函数数在在 处处的的微微分分，记记为为，即即()().f xxxfxx 在在 点点可可导导，当当自自变变量量有有微微小小的的增增量量时时，函函数数的的增增量量，也也就就是是函函数数的的改改变变量量，可可以以近近似似地地用用表表示示一般地，设函数一、微分的定义一、微分的定义00()()(),.()x xyf xxfxxyf xxdyfxxdyxdy 设设函函数数在在 点点可可导导，称称为为函
3、函数数在在点点 处处的的，记记作作即即微微分分在在点点 处处的的微微分分记记作作dxxx x 由由微微分分的的定定义义可可以以推推得得().dyfx dx 于于是是，函函数数的的微微分分可可以以写写成成即即函函数数的的微微分分等等于于函函数数的的导导数数与与自自变变量量微微分分的的乘乘积积4.1 4.1 改变量的估值改变量的估值微分微分【注注】关于微分的进一步说明关于微分的进一步说明0000(1)()();(2)0()();(3)xxf xxdyfx dxxf xfx dx 函函数数在在处处的的微微分分定定义义为为当当时时，函函数数的的增增量量可可以以近近似似地地表表示示为为微微分分，即即 y
4、 y一一元元函函数数可可导导必必可可微微，函函数数可可微微必必可可导导.二、微分的运算公式及法则二、微分的运算公式及法则1、微分的基本公式、微分的基本公式(1)0dC 1(2)dxxdx(3)lnxxdaaadx(4)xxdee dx1(5)loglnadxdxxa1(6)lndxdxxsincosdxxdx(7)cossindxxdx(8)2(9)tansecdxxdx(11)secsec tandxxxdx2(10)cotcscdxxdx(12)csccsc cotdxxxdx21(13)arcsin1dxdxx21(15)arctan1dxdxx21(14)arccos1dxdxx 21
5、(16)cot1darcxdxx 2 2、微分的运算法则、微分的运算法则2(1)();(2)();(3)()(0);(4)()()().d uvdudvd u vudvvduuvduudvdvvvdyf u dufx dx微分形式不变性微分形式不变性21(),11.01f xxx 例例、求求已已知知函函数数当当 由由 改改变变到到时时的的改改变变量量和和微微分分.2222()22;yxxxxxxdyxdxxdx ，21,0.012 1 0.01 0.010.0201;2 10.010.02.xxydy 当当时时，解：解：例例2、求下列函数的微分、求下列函数的微分(1)yx 11,;22 ydy
6、dxxx (1)(1)解解：32(2)xyx e 223232xxyx ex e (2 2)解解：22(32).xdyx ex dx22(32)xx ex解：解：3sinxyexdy 例例、已已知知函函数数，求求.sinsinxxdyxdee dxsincosxxexdxexdxsincos).xexx dx（24ln 1.yxdy例例、已已知知函函数数，求求221(1)1dydxx 2.1xdxx 解：解：22211(1)12 1dxxx5xyxyedy 例例、已已知知，求求.解：解：2225dxdyd xyydxxdyedxdy xyxyeydydxxe 改变量估值模型改变量估值模型00(
7、),(),()yf xfxxdyyyfxx 设设若若那那么么当当很很小小时时，可可用用作作为为的的近近似似值值，即即：10116,.cmcm【球球的的体体积积】一一个个外外直直径径为为的的球球，球球壳壳厚厚度度为为试试求求球球壳壳体体积积的的近近似似值值 32251-1634,3414 519.631619.63rrrVrdVVrrrrdVcm 解解：半半径径为为 的的球球体体积积为为：所所求求球球壳壳体体积积的的近近似似值值为为误差的估计量模型误差的估计量模型(),()()(),.,yf xxxyf xyf xxf xyydyydyy 设的测量误差为,那么的误差为称变量y的绝对误差为y 相对
8、误差为在计算误差时，通常用y 代替y，用代替这样求出的误差称为误差的估计量。函数值的估值模型函数值的估值模型 +0000()()()()1(2)ln 11(3)112yf xxxf xxf xfxxxxxxxx x x设设函函数数在在处处可可导导，当当很很小小时时，有有近近似似公公式式【常常用用近近似似公公式式】当当很很小小时时，有有下下列列近近似似公公式式(1)e(1)e21()30,25020260?xR xxx【收收入入的的增增量量】某某公公司司生生产产 单单位位产产品品的的收收入入函函数数为为已已知知该该公公司司的的产产量量从从上上月月的的单单位位增增加加到到单单位位，求求该该公公司司
9、的的收收入入大大约约增增加加了了多多少少解：解：1()(30)20dRR xxxx 250,26025010.xx 1(30250)1050.10RdR50.该该公公司司的的收收入入大大约约增增加加了了单单位位43,0.2,.dmmdmm【圆圆钢钢截截面面积积的的误误差差】设设所所测测得得的的圆圆钢钢截截面面的的直直径径为为测测量量绝绝对对误误差差为为求求圆圆钢钢截截面面积积的的绝绝对对误误差差和和相相对对误误差差解：解：24Sd 设设2Sdsdd 2143 0.24.3()2Smm绝绝对对误误差差为为0.2220.93%43dSdSSSd 课堂练习课堂练习一、求下列函数的微分一、求下列函数的微分(1)arcsinyx(2)sinaxyebx 100.1,.xmm 二二、正正立立方方体体的的棱棱长长，如如果果棱棱长长增增加加求求此此正正立立方方体体体体积积增增加加的的精精确确值值和和近近似似值值38.02.三三、求求的的近近似似值值
