1、一、罗尔定理与拉格朗日定理 中值定理是联系 与 f 的桥梁.有了中值定理,就可以根据 在区间上的性质来得到 f 在该区间上的整体性质.1 拉格朗日定理和函数的单调性数学分析 第六章微分中值定理及其应用二、函数单调性的判别f f *点击以上标题可直接前往对应内容定理6.1（罗尔中值定理）上满足：上满足：区间区间在在设函数设函数,)(baxf罗尔定理与拉格朗日定理那么在开区间那么在开区间(a,b)内必定内必定(至少至少)存在一点存在一点,使使()0.f(i)在闭区间在闭区间 a,b 上连续上连续;(ii)在开区间在开区间(a,b)上可导上可导;(iii)f(a)=f(b).后退 前进 目录 退出罗
2、尔定理与拉格朗日定理(1)几何意义几何意义据右图据右图,xyabAB1 2 O平的平的.一点处的一点处的切线也是水切线也是水 看出看出,曲曲线上至少有线上至少有 由几何直由几何直观可以观可以所以线段所以线段 AB 是水平是水平因为因为f(a)=f(b),的的.罗尔定理与拉格朗日定理(2)条件分析条件分析Oxy定理中的三个条件都很重要，缺少一个定理中的三个条件都很重要，缺少一个,结论不结论不 1,010,)(a)xxxxf函数函数在在 0,1 上满足条件上满足条件 (ii)和和一定成立一定成立.数在数在 (0,1)上的导数恒为上的导数恒为1.但条件但条件(i)不满足不满足,该函该函 (iii),
3、罗尔定理与拉格朗日定理结论不成立结论不成立.1,1|,|)(b)xxxf满足条件满足条件(i)和和(iii),条件条件(i)和和(ii),1,0,)(c)xxxf满足满足Oxy1Oyx1 1处不可导处不可导),(ii)却遭到破坏却遭到破坏(f 在在 x=0 内的导数恒为内的导数恒为1.却遭到破坏却遭到破坏,但条件但条件结论也不成立结论也不成立.但条件但条件(iii)该函数在该函数在(0,1)罗尔定理与拉格朗日定理结论也不成立结论也不成立.2()()f xx D x注注 函函数数-1O121234xy 1,2在在区区间间上上三三个个条件都不满足条件都不满足,f (0)=0.理的三个条件是充分理的
4、三个条件是充分 条件条件,而不是必要条件而不是必要条件.却仍有却仍有这说明罗尔定这说明罗尔定罗尔定理与拉格朗日定理下面证明定理下面证明定理因为因为 f(x)在在 a,b 上连续上连续,小值小值 m.f(x)在在 a,b 上能取得最大值上能取得最大值 M 和最和最 所以由连续函数的最大、所以由连续函数的最大、最小值定理最小值定理,下面分两种情形加以讨论下面分两种情形加以讨论.情形情形1 M=m.f ()=0.此时可在此时可在(a,b)内随意取一点内随意取一点 ,就就有有 此时此时 f(x)恒为常数恒为常数,它的导函数恒它的导函数恒等于零等于零,罗尔定理与拉格朗日定理情形情形2 m M.)(Mf(
5、,),a b 使得使得大值大值不在端点取到不在端点取到,值与值与最小值至少有一个不在端点取到最小值至少有一个不在端点取到.既然最大既然最大、最小值不等最小值不等,从而最大从而最大不妨设最不妨设最故存在故存在因为在区间内部取到的最大值一定是极大值因为在区间内部取到的最大值一定是极大值,所以所以.0)(f由费马定理由费马定理,得得,0)(p这与条件矛盾这与条件矛盾.例例1 设设 p(x)是一个多项式是一个多项式,且方程且方程 p(x)=0 没有实没有实证证,)(2121xxxxxp 有两个实根有两个实根设设()p x由由于于是是重数为重数为 1.根根,则方程则方程 p(x)=0 至多有一个实根，且
6、这个根的至多有一个实根，且这个根的,多多项项式式12(),p xxx所所以以在在上上满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件，(,),a b 从从而而存存在在使得使得罗尔定理与拉格朗日定理则则次重根次重根有一个有一个又若又若,)(0 xkxp.2),()()(10 kxpxxxpk10101()()()()(),kkp xk xxp xxxp x因因为为,0)(0 xp所以所以矛盾矛盾.定理6.2（拉格朗日中值定理）设函数设函数 f(x)满足：满足：(i)f(x)在闭区间在闭区间 a,b 上连续上连续;(ii)f(x)在开区间在开区间(a,b)内可导内可导.那么在开区间那么在开区间 内内(至少至少
7、)存在一点存在一点 ,使得使得),(ba.)()()(abafbff ()(),f af b当当时时 拉拉格格朗朗日日定定理理就就注注是是罗罗尔尔定定理理,可见，罗尔定理是拉格朗日定理的一个特例可见，罗尔定理是拉格朗日定理的一个特例.罗尔定理与拉格朗日定理几何意义几何意义 如右图，如右图，()().ABf bf akba ABOxyab()yf x 用用平行推移的方法平行推移的方法,曲线上曲线上至少在一点至少在一点(,()f连线的斜率为连线的斜率为 y=f(x)的两个端点的两个端点 A,B 处的切线与处的切线与 AB 平行平行,曲线曲线()f .ABk其斜率其斜率也等于也等于罗尔定理与拉格朗日
8、定理定理的证明定理的证明 设设()()()()()()f bf aF xf xxaf aba ()()()()f bf ayxaf aABba是是直直线线的的方方程程)可以验证可以验证F(x)满足罗尔定理的三个条件满足罗尔定理的三个条件,),(ba 使使,0)(F即即()()().f bf afba 所以所以罗尔定理与拉格朗日定理罗尔定理与拉格朗日定理()()()(),.f bf afbaab 拉格朗日公式有几个等价的表示形式：拉格朗日公式有几个等价的表示形式：读者可以根据需要选用读者可以根据需要选用.01()()()(),.f bf afababa 01()()(),.f ahf afah
9、h 另外，拉格朗日公式对另外，拉格朗日公式对b 0,存在存在使使罗尔定理与拉格朗日定理我们得到我们得到()()f xf axa ()f 由于由于,有有010limsinxxx 0100()limsin.xfxx .)1cos1sin2(lim)(lim00不存在不存在xxxxfxx 因因,01sin2lim0 xxx,1coslim0不存在不存在而而xx 所以所以罗尔定理与拉格朗日定理11sin02 sincosxx 函数单调性的判别改为严格不等号改为严格不等号,则相应地称它为严格增则相应地称它为严格增(减减).下面的定理是本节中的两个主要定理下面的定理是本节中的两个主要定理,今后将不今后将不
10、若函数若函数,)(21IxxIxf 上对任意上对任意在区间在区间,21xx ),()()()(2121xfxfxfxf 必有必有则称函数则称函数.)(单调减单调减上单调增上单调增在区间在区间 I)(xf断地使用断地使用.若若“”)(函数单调性的判别定理6.3()()f xIf xI设设在在区区间间 上上可可导导,则则在在区区间间 上上单单调调:()0(0).fx增增(减减)的的充充要要条条件件是是证证00()()0.f xf xxx00,()0.xxfx令令即即得得12,(,),x x 由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理f若若为为递递增增函函数数，00,x xI xx则则当当时时，有有,0)
11、()()(1212 xxfxfxf 即即),()(12xfxf().f x这这就就证证明明了了函函数数递递增增函数单调性的判别()0,.fxxI 反反之之,若若1212,()x xIxx设设定理6.4可微函数可微函数 f(x)在区间在区间 I 上严格递增的充要条件是：上严格递增的充要条件是：证证 充分性充分性12()(,),f xx x这这就就得得到到在在区区间间上上恒恒为为常常数数2().f x()0,fx 满足满足 的点集不含一个区间的点集不含一个区间.()0fx ),(,0)(21xxxxf 矛盾矛盾.必要性请读者自证必要性请读者自证.6.3().f x由由定定理理可可知知递递增增不不若
12、若)(xf是严格递增，是严格递增，,2121xxIxx 则存在则存在)(1xf使使函数单调性的判别因此因此推论 注注 请读者写出相应于递减和严格递减的判别定理请读者写出相应于递减和严格递减的判别定理.().fI则则在在 上上严严格格递递增增 严严格格递递减减在实际应用中我们经常会用到下面这个事实在实际应用中我们经常会用到下面这个事实.),()(),(,)(减减递增递增严格严格上上上连续，上连续，在在若若babaxf(),()().f xa b则则在在上上 严严格格 递递增增 减减作为应用，下面再举两个简单的例子作为应用，下面再举两个简单的例子.()0()0,Ifxfx设设函函数数在在区区间间
13、上上可可微微，若若函数单调性的判别例例8 求证求证.0,1e xxx证证,1e)(xxFx 设设.1e)(xxF则则所所以以()0F x()0).F x的的点点不不含含一一个个区区间间()0,)F x故故在在,0)0()(FxF即即.0,1e xxx ()0,0,F xx 时，时，且当且当0 x上严格递增，上严格递增，,0 x所以对任意所以对任意恒有恒有函数单调性的判别例例9 设设 f(x)=x 3 x.讨论函数讨论函数 f 的单调区间的单调区间.解解 由于由于),13)(13(13)(2 xxxxf因此因此时，时，当当)31,(x时，时，当当)31,31(x时，时，当当),31(x函数单调性
14、的判别,0)(xff 严严格格增增，,0)(xf,0)(xff 严严格格减减，.f 严严格格增增-1.5-1-0.50.511.5-1.5-1-0.5O0.511.5xy3yxx 函数单调性的判别.0)(,0)(bFaF设设,),(),(2121xxbUxaUx 且且.)()(,)()(21bFxFaFxF 使得使得由此可知由此可知,a,b 上上的连续函数的连续函数 ,其其最大值必在最大值必在F证证 令令 F(x)=f(x)kx,费马定理费马定理,只要证明只要证明 F(x)在在(a,b)上有极值点即可上有极值点即可.()()()()0,F aF bfakfbk由于由于根据根据可可11由由5.1
15、5.1的的例例，分分别别存存在在函数单调性的判别则则 F (x)=f (x)k.),(,)(backcf 由费马定理得由费马定理得()0,F c 定是极大值定是极大值,某一点某一点 c (a,b)处处取得取得.区间内取得的最大值一区间内取得的最大值一即即推论.有 有时时称称上上述述定定理理为为导导函函数数的的介介值值性性定定理理注注0()(),f xIfx 设设函函数数在在区区间间 上上满满足足()f x那那么么函数单调性的判别.I在在区区间间 严严格格单单调调定理6.5（达布定理）使得使得一点一点,),(bac().fck 是介是介如果如果 f 在在 a,b 上可导上可导,且且()(),fafb 之间的任一实数，之间的任一实数，()()fafb于于与与 达布达布(Darboux,J.G.1842-1917,法国法国)k则至少存在则至少存在函数单调性的判别的证明相比较的证明相比较.罗尔定理证明的主要方法是什么罗尔定理证明的主要方法是什么?试与达布定理试与达布定理
