1、1 层次分析方法建模层次分析方法建模一、层次分析法的基本步骤一、层次分析法的基本步骤1）建立层次分析结构模型）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标准则或指标准则或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。各因素基本上相对独立。2）构造判断矩阵）构造判断矩阵用相互比较法和用相互比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。成对比较阵。3）计算权向量并作一致性检验）计算权向量并作一致性检验对每一相互比较阵计算最大特征根和特征向
2、量，作一致性对每一相互比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。检验，若通过，则特征向量为权向量。4）计算组合权向量（作组合一致性检验）计算组合权向量（作组合一致性检验*）组合权向量可作为决策的定量依据。组合权向量可作为决策的定量依据。3层次分析法（AHP）求解流程图建立层次结构分析模型构造判断矩阵层次单排序及其一致性检验层次总排序的一致性检验层次总排序二二.层次分析法的广泛应用层次分析法的广泛应用 应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，人才选拔和评价，生产决策，交通运输
3、，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。产业结构，教育，医疗，环境，军事等。处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。策层参与。构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。判断力强的专家给出。5整个层次结构分析模型可以分成三层：整个层次结构分析模型可以分成三层：最高层最高层(目的层目的层)合理使用利润，促进企合理使用利润，促进企业发展。业发展。中间层中间层(各种使用企业留成利润方案所应当各种使用企业留
4、成利润方案所应当考虑的准则考虑的准则)进一步调动广大职工劳动积进一步调动广大职工劳动积极性，大力提高企业技术水平和尽力改善职工极性，大力提高企业技术水平和尽力改善职工物质文化生活。物质文化生活。最低层最低层（所考虑的五种措施）（所考虑的五种措施）选择最优方选择最优方案。这种层次结构分析模型可用下图所示。案。这种层次结构分析模型可用下图所示。6合理使用企业利润促进企业发展调动职工劳动积极性B1提高企业技术水平B2改善职工物质文化生活B3发奖金S1扩大集体福利事业S2办职工业余技校S3建图书馆俱乐部文体工队S4引进新技术设备S5目标（O）层准则（C）层措施层(P)国家综合实力国家综合实力国民国民收
5、入收入军事军事力量力量科技科技水平水平社会社会稳定稳定对外对外贸易贸易美、俄、中、日、德等大国美、俄、中、日、德等大国工作选择工作选择贡贡献献收收入入发发展展声声誉誉关关系系位位置置供选择的岗位供选择的岗位例例1 国家国家实力分析实力分析例例2 工作选择工作选择过河的效益过河的效益 A经济效益经济效益B1社会效益社会效益B2环境效益环境效益B3节节省省时时间间C1收收入入C2岸岸间间商商业业C3当当地地商商业业C4建建筑筑就就业业C5安安全全可可靠靠C6交交往往沟沟通通C7自自豪豪感感C8舒舒适适C9进进出出方方便便C10美美化化C11桥梁桥梁D1隧道隧道D2渡船渡船D3（1）过河效益层次结构
6、）过河效益层次结构例例3 横渡横渡江河、海峡江河、海峡方案的抉择方案的抉择过河的代价过河的代价 A经济代价经济代价 B1环境代价环境代价B3社会代价社会代价B2投投入入资资金金C1操操作作维维护护C2冲冲击击渡渡船船业业C3冲冲击击生生活活方方式式C4交交通通拥拥挤挤C5居居民民搬搬迁迁C6汽汽车车排排放放物物C7对对水水的的污污染染C8对对生生态态的的破破坏坏C9桥梁桥梁D1隧道隧道D2渡船渡船D2（2）过河代价层次结构）过河代价层次结构例例3 横渡横渡江河、海峡江河、海峡方案的抉择方案的抉择待评价的科技成果待评价的科技成果直接直接经济经济效益效益 C11间接间接经济经济效益效益 C12社会
7、社会效益效益 C13学识学识水平水平 C21学术学术创新创新 C22技术技术水平水平 C23技术技术创新创新 C24效益效益C1水平水平C2规模规模C3科技成果评价科技成果评价例例4 科技成果科技成果的综合评价的综合评价三三.层次分析法的若干问题层次分析法的若干问题 正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵量是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接近一致阵的程度？接近一致阵的程度？怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？为什么用特征向量作为权向量？为什么用特征向量作为
8、权向量？当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法？层次分析法？1.正互反阵的最大特征根和特征向量的性质正互反阵的最大特征根和特征向量的性质正互矩阵：设 ，若元素 满足()ijn nAai ja10,(,1,2,.,)ijijjiaai jna一致矩阵：设 为一个正互矩阵，并且满足()ijn nAa,(,1,2,.,)ijjkika aai j kn一致矩阵性质：一致矩阵性质：设 ，则有(1)(2)A的每一行(列)元素均是第一行(列)相应元素的正倍数，并且rank(A)=1(3)A的最大特征值 ，其余的特征值均为0.(4)若 对应的特征向量为
9、 ，则()ijn nAa10,(,1,2,.,)ijijijjkikjiaaa aai jnamaxnmaxn12(,.,)Tnww ww/,(,1,2,.,)ijijawwi jn定理定理1 1 正矩阵A 的最大特征根是正单根，对应正特征向量w，且TkTkkeweAeeA)1,1,1(,lim定理定理2 2 n阶正互反阵A的最大特征根 ,是 A为一致阵的充要条件.正互反阵的最大特征根是正数，正互反阵的最大特征根是正数，特征向量是正向量。特征向量是正向量。一致性指标一致性指标 定义合理定义合理max1nCInmaxnmaxn1）将 A的每一列向量归一化到 得2.正互反阵最大特征根和特征向量的实
10、用算法正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法 简化计算的思路简化计算的思路一致阵的任一列向量都是特征向一致阵的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下的平均。可取其某种意义下的平均。和法和法和法的步骤如下：和法的步骤如下：1/(1,2,.,);nijijijiwaajn2）对 按行求和得ijw1,(1,2,.,);nii jjwwjn4）计算最大特征值3）将 归一化得 ，则 为近似特征向量；ijw1/,(1,2,.,)niiijjwwwjn12(,.,)Tnwwwwmax1()1niiiAwnw14
11、/16/1412/1621A例091.0077.01.0364.0308.03.0545.0615.06.0w089.0324.0587.0286.0974.0769.1Aw009.3)089.0268.0324.0974.0587.0769.1(31列向量归一化列向量归一化 归一化归一化wAw精确结果精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010 按行求和按行求和1.7600.9720.268根法根法取列向量的几何平均取列向量的几何平均幂法幂法迭代算法迭代算法1）任取初始向量）任取初始向量w(0),k:=0，设置精度，设置精度)()1(kkAww2)计算计算nikikk
12、www1)1()1()1(/3）归一化）归一化(1)m ax()11knikiiwnw5)计算计算简化简化计算计算4）若）若 ，停止；，停止；否则，否则，k:=k+1,转转2)()1(maxkikiiww18关于如何确定成对比较矩阵 中元素 的值,Saaty等建议试用19尺度，即 的取值范围是1,2，,9以及倒数是1,12,19,判断矩阵的元素一般采用19及其倒数的标度方法。标度含义135792，4，6，8倒数 Ci 与Cj 的影响相同Ci 比Cj 的影响稍强Ci 比Cj 的影响强Ci 比Cj 的影响明显强Ci 比Cj 的影响绝对强Ci 与Cj 的影响之比在上述两个相邻等级之间若因素i与j比较
13、得判断,则因素j与i 比较的判断为Cji=1/Cij()ijnnAaijaija19当当CR0.1CR=0.1CR=0.1时，必须重新调整成对比较矩阵时，必须重新调整成对比较矩阵A A，直至具有满意的一致性。，直至具有满意的一致性。判断矩阵阶数n 12345678910RI 000.580.91.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49max(1)nCICRRIRIn一致性指标随机一致性指标一致性比率max(1)nCICRRIRInmax1nCIn3.特征向量作为权向量特征向量作为权向量成对比较的多步累积效应成对比较的多步累积效应问题问题一致阵一致阵A,权向量权向量w=(w1,w
14、n)T,aij=wi/wjA不一致不一致,应选权向量应选权向量w使使wi/wj与与 aij相差相差尽量小（对所有尽量小（对所有i,j)。211),1(min ninjjiijniwwwai用拟合方法确定用拟合方法确定w非线性非线性最小二乘最小二乘211),1(lnlnmin ninjjiijniwwwai线性化线性化对数最小二乘对数最小二乘结果与根法相同结果与根法相同 按不同准则确定的权向量按不同准则确定的权向量不同，特征向量有什么优点。不同，特征向量有什么优点。成对比较成对比较Ci:Cj(直接比较）直接比较）aij 1 1步强度步强度)()2(2ijaA sjnsisijaaa1)2(ais
15、asj Ci通过通过Cs 与与Cj的比较的比较aij(2)2步强度步强度更能反映更能反映Ci对对Cj 的强度的强度步强度kaaAkijkijk),()()(多步累积效应多步累积效应体现体现多步累积效应多步累积效应),1,)()()()(00nsaaaakkkjikjskiskjskis（或定理定理1 1weAeeAkTkklim特征向量体现特征向量体现多步累积效应多步累积效应当当k足够大足够大,Ak第第i行元素反映行元素反映Ci的权重的权重求求Ak的行和的行和4.不完全层次结构中组合权向量的计算不完全层次结构中组合权向量的计算完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联完全层次结构：上层每一
16、元素与下层所有元素相关联不完全层次结构不完全层次结构设第设第2层对第层对第1层权向量层权向量w(2)=(w1(2),w2(2)T已定已定第第3层对第层对第2层权向量层权向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得已得讨论由讨论由w(2),W(3)=(w1(3),w2(3)计算计算第第3层对第层对第1层权向量层权向量w(3）的方法的方法贡献贡献O教学教学C1科研科研C2P2 P1P3P4例例:评价教师贡献的层次结构评价教师贡献的层次结构P1,P2只作教学只作教学,P4只作科研只作科研,P3兼作教学、科研。兼作教学、科研。
17、C1,C2支配元素的数目不等支配元素的数目不等)/(),()2(22)2(11)2(22)2(11)2(wnwnwnwnwT 不考虑支配元素数目不等的影不考虑支配元素数目不等的影响响)2()3()3(wWw 仍用仍用 计算计算 支配元素越多权重越支配元素越多权重越大大用支配元素数目用支配元素数目n1,n2对对w(2)加权修正加权修正 若若C1,C2重要性相同重要性相同,w(2)=(1/2,1/2)T,P1P4能力相同能力相同,w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T公正的评价应为：公正的评价应为：P1:P2:P3:P4=1:1:2:1 再用再用 计
18、算计算)2()3()3(wWww(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)Tw(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)TTwnn)5/2,5/3(,2,3)2(21 支配元素越多权重越支配元素越多权重越小小教学、科研任务由上级安排教学、科研任务由上级安排教学、科研靠个人积极性教学、科研靠个人积极性考察一个特例：考察一个特例：5.残缺成对比较阵的处理残缺成对比较阵的处理12/1/212/1/211331wwwwCwCw22/10212/1022AwwAjimajiajiaaiijijijij,1,0,miA第第i 行行中中 的个数的个数12/1212/121A例 为残缺元素为残缺元素辅助矩阵
19、辅助矩阵Tw)1429.0,2857.0,5714.0(,36.更复杂的层次结构更复杂的层次结构 递阶层次结构：层内各元素独立，无相互影响递阶层次结构：层内各元素独立，无相互影响和支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环。和支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环。更复杂的层次结构：更复杂的层次结构：层内各元素间存在相互影层内各元素间存在相互影响或支配；层间存在反馈或循环。响或支配；层间存在反馈或循环。制动制动底盘底盘车轮车轮方向盘方向盘发动机发动机减震装置减震装置刹车刹车转向转向运行运行加速性能加速性能汽车行驶性能汽车行驶性能汽车汽车1汽车汽车2汽车汽车n例例 层次分析法的优点层次分析法
20、的优点 系统性系统性将对象视作系统，按照分解、比较、判断、将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策综合的思维方式进行决策系统分析（与机理分析、系统分析（与机理分析、测试分析并列）；测试分析并列）；实用性实用性定性与定量相结合，能处理传统的优化方定性与定量相结合，能处理传统的优化方法不能解决的问题；法不能解决的问题；简洁性简洁性计算简便，结果明确，便于决策者计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握。直接了解和掌握。层次分析法的局限层次分析法的局限 囿旧囿旧只能从原方案中选优，不能产生新方案；只能从原方案中选优，不能产生新方案；粗略粗略定性化为定量，结果粗糙；定性化为定量，结果粗糙；主观主观主观因素作用大，结果可能难以服人。主观因素作用大，结果可能难以服人。你只闻到我的香水，却没看到我的汗水。你只闻到我的香水，却没看到我的汗水。你否定我的现在，我决定我的未来！你否定我的现在，我决定我的未来！你嘲笑我一无所有，不配去爱，我可怜你总你嘲笑我一无所有，不配去爱，我可怜你总是等待。是等待。你可以轻视我们的年轻，我们会证明这是谁你可以轻视我们的年轻，我们会证明这是谁的时代。的时代。梦想是注定孤独的旅行，路上少不了质疑和梦想是注定孤独的旅行，路上少不了质疑和嘲笑，嘲笑，但那又怎样？但那又怎样？哪怕遍体鳞伤，也要活得漂亮！哪怕遍体鳞伤，也要活得漂亮！
