1、第十一章在不同水平的家庭收入Xi 下，Yi的概率密度函数是相同的.同方差情形.x1ix11=80 x13=100Yif(Yi)消费收入Var(ui)=E(ui2)=2.x12=90.xiyi0误差的同方差模式均匀的散点分布图Yi的方差随着家庭收入Xi的增加而增加异方差情形.x 1x11x12Yif(Yi)消费x13.收入Var(ui)=E(ui2)=i2 误差的异方差模式.xtyt0不均匀的散点分布图异方差的来源 1.特殊行为，如练习打字；2.不同收入水平的人，与平均储蓄(均值)的分散程度不同。高收入的人，其储蓄行为有更多选择，低收入水平的人，其储蓄行为有较小变化余地,由此而形成方差或与均值的
2、离散程度不相同。3.异常值的出现等可能导致异方差。要说明的是，异方差在横截面数据中，更容易出现。异方差的定义异方差的定义:双变量回归双变量回归:Yi=1+2 Xi+ui2=kiYi=ki(1+2 Xi+ui)xy x2=2=2+kiui 无偏的如果 12=22=32=同方差性 2 xi2Var(2)=如果12 22 32 异方差性Var(2)=E(2-2)2=E(ki ui)2=E(k12 u12+k22 u22+.+2k1k2 u1 u2+)=k12 12+k22 22+.+0 +.=ki2 i2 Var(ui)=E(ui2)=i2 21iiXk0ik=xi2 i2(xi2)222E()=G
3、LS估计 假定i已知，用它双变量回归模型可得 由于 ，故上式为同方差且方差为1 记 ，求 ，故称为加权最小二乘法，类似于OLS有)/()/()/1()/(21iiiiiiiuXY1)/var(iiu2/1iiw22min)/(miniiiiuwu22*2)()()()(iiiiiiiiiiiiiXwXwwYwXwYXww)()()var(22*2iiiiiiXwXwww异方差性的后果1.OLS 估计量仍然是线性的和无偏的2.Var(i)不是最小的=不是最好的=无效的=不是BLUE4.2=是有偏的 ui2n-k5.t 和F 统计量是不可靠的SEE=RSS=u 23.Var(2)=代替 Var(2
4、)=xi2 i2 x2 2 x2双变量情形 异方差的侦测1.图形法:对残差(ui)或残差的平方(ui2)描图.观察图形是否有系统性模式:Yu 2如果有则存在异方差Yu2无异方差Yu2有Yu2有Yu2有Yu2有Yu2有帕克检验的程序帕克检验的程序:1.进行 OLS 估计:Yi=1+2 Xi+ui ,获得 ui估计值估计值2.平方后取对数:4.使用t t检验来检验检验来检验 H0:2*=0(同方差性)如果 t*tc =拒绝H0 =有异方差如果t*不拒绝H0 =同方差3.用 OLS 做回归:=1*+2*ln Xi+vi2 统计性检验:(i)帕克检验H0:无异方差 i.e.,Var(ui)=2 (同方
5、差性)H1:有异方差 i.e.,Var(ui)=i2本身的异方差性iu2ln()iu2ln()iu例子：酬金（Y）与生产力（X）关系步骤步骤1做回归得如下结果：例子：酬金（Y）与生产力（X）关系步骤步骤2:2:从前面的回归中获得残差,平方后取对数8910111213lnu20246810t步骤步骤 3&43&4结论：不存在异方差结论：不存在异方差Ln(ui 2)=1*+2*ln Xi+vi如果|t|tc =拒绝H0 =异方差(ii)戈德菲尔德匡特检验戈德菲尔德匡特检验H0:同方差 Var(ui)=2，H1:异方差 Var(ui)=i2戈德菲尔德匡特检验的程序（适用于与戈德菲尔德匡特检验的程序（
6、适用于与X X成正比）成正比）:(1)Xi为回归模型中的一个解释变量，将Xi观测值从小到大的顺序排序.(2)略去居中的 c 个观测值,c是预先给定的,将其余(n-c)个观测值分成两组每组(n-c)/2 个.(3)分别对头(n-c)/2个观测值和末(n-c)/2个观测值各拟合一个回归并分别获得残差平方和RSS1和RSS2.每个RSS 有(n-c)/2-k各自由度，其中k为估计参数的个数，包括截距项=RSS2/dfRSS1/df(4)计算 比率:(5)服从F分布，分子和分母自由度为(n-c)/2 k,比较 和 临界值Fc,如果 Fc=拒绝H0重新排序用这一组数据拟合一个回归(n1=13),获得RS
7、S1用这一组数据拟合一个回归(n2=13),获得RSS2略去中间的观测值(c=4)Gujarati(2003)Table 11.3?/12cFdfRSSdfRSS(iv)iv)怀特异方差检验怀特异方差检验(LM LM 检验检验)H0:同方差 Var(ui)=2H1:异方差 Var(ui)=i2检验程序检验程序:以以3 3元模型予以阐述，其方法论可直接推扩到多元元模型予以阐述，其方法论可直接推扩到多元(大大于于3)3)模型模型(1)用 OLS 做回归:获得残差,构造并可证明W(or LM)=n 2dfiiiiuXXY33221（2）作如下辅助回归(OLS)：由此得 自由度(这里为5)为辅助回归的
8、回归元(不含截距)个数（3）对原假设 0:620aaH进行检验 iiiiiiiivXXaXaXaXaXaae3262352243322122eR2eR 若计算的W超过临界值，拒绝原假设，表明误差具有异方差，否则，接受原假设即无异方差 处理异方差处理异方差 1.已知，用GLS 或WLS 2i2.未知，但通过图法可以大致判断异方差与X的观测值之间的关系。2i为说明异方差的校正原理，假如残差的图形如下:因此,我们预期 i2=Zi2 2Zi2=X3i2 =Zi=X3iX3ui+0-X3u2从图形中可以看出方差是随X3i2成比例增加.散点图呈现出非线性的喇叭状.变为截距 u*i 满足经典的OLS假定Yi
9、 1 X2i X3i uiX3i X3i X3i X3i X3i =1 +2 +3 +方程变形为：=Yi*=1 X1*+2 X2*+3+u*补救措施补救措施1 1:加权最小二乘法加权最小二乘法 (WLS)(WLS)假设:Y=1+2 X2+3 X3+uiE(ui)=0,E(ui uj)=0 i jVar(u i2)=i2=2 Z(X2)或 者=2Zi2 或者=2E(Yi)2 假如假如Z Zi=1,就变成了同方差性.但是但是Z Zi i可以是任何值可以是任何值.2 2 是已知的情形是已知的情形:为了纠正异方差回归变形为:Yi 1 X2i X3i ui =1 +2 +3 +Zi Zi Zi Zi Z
10、i=Y*=1 X1*+2 X2*+3 X3*+ui*如果Var(ui2)=2ZiiZ每一项都除以异方差的补救措施2:对数据取对数对数据取对数，且将原有的关于变量和参数的线性模型变换为对数线性模型，这种对数变换可能消除异方差。下面是例子 简单的OLS 结果:(Gujarati,Example 11.10.)R&D=192.99+0.0319 Sales t=(0.194)(3.830)R2=0.478异方差的怀特检验2(0.05,2)=5.99142(0.10,2)=4.60517W-50000500010000Residuals05101520t残差的钟型模式残差的钟型模式:()=-246.6
11、7 +0.0367 XiYiXi1Xi(-0.65)(5.17)=(1)R&Di =-246.67 +0.036 Sales SEE=7.25 (-0.65)(5.17)R2=0.691.方程变形为方程变形为:()=1 +2YiXi1 Xi Xi Xi(2)R&D=-243.49 +0.0366 Sales SEE=0.021(-1.80)(5.53)R2=0.172.1Xi1Xi+2YiXi=处理方式1：通过两边同时除以Xi的平方根后,残差仍然不稳定-20-1001020Residuals05101520t1Xi1+2YiXi=处理方式2：通过两边同时除以Xi,残差变得更稳定-.020.02.04.06Residuals05101520t人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。
