1、 微专题 58数学归纳法 一、基础知识： 1、数学归纳法适用的范围：关于正整数n的命题（例如数列，不等式，整除问题等） ，则可以 考虑使用数学归纳法进行证明 2、第一数学归纳法：通过假设nk成立，再结合其它条件去证1nk成立即可。证明的 步骤如下： （1）归纳验证：验证 0 nn（ 0 n是满足条件的最小整数）时，命题成立 （2）归纳假设：假设 0, nk kn nN成立，证明当1nk时，命题也成立 （3）归纳结论：得到结论： 0, nn nN时，命题均成立 3、第一归纳法要注意的地方： （1）数学归纳法所证命题不一定从1n 开始成立，可从任意一个正整数 0 n开始，此时归纳 验证从 0 nn
2、开始 （2）归纳假设中，要注意 0 kn，保证递推的连续性 （3）归纳假设中的nk，命题成立，是证明1nk命题成立的重要条件。在证明的过程 中要注意寻找1nk与nk的联系 4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设nk命题成立时，可用 的条件只有nk，而不能默认其它nk的时依然成立。第二数学归纳法是对第一归纳法的 补充，将归纳假设扩充为假设nk，命题均成立，然后证明1nk命题成立。可使用的条 件要比第一归纳法多，证明的步骤如下： （1）归纳验证：验证 0 nn（ 0 n是满足条件的最小整数）时，命题成立 （2）归纳假设：假设 0, nk kn nN成立，证明当1nk时，命题也
3、成立 （3）归纳结论：得到结论： 0, nn nN时，命题均成立 二、典型例题 例 1：已知等比数列 n a的首项 1 2a ，公比3q ，设 n S是它的前n项和，求证： 1 31 n n Sn Sn 思路：根据等比数列求和公式可化简所证不等式：321 n n，nk时，不等式为 321 k k；当1nk时，所证不等式为 1 323 k k ，可明显看到nk与1nk中， 两个不等式的联系，从而想到利用数学归纳法进行证明 证明： 1 1 31 1 n n n a q S q ，所证不等式为： 1 3131 31 n n n n 1 3131 31 nn nn 11 33331 nnn nnnn
4、321 n n，下面用数学归纳法证明： （1）验证：1n 时，左边右边，不等式成立 （2）假设1,nk kkN时，不等式成立，则1nk时， 1 33 33 2163211 kk kkk 所以1nk时，不等式成立 nN ，均有 1 31 n n Sn Sn 小炼有话说： 数学归纳法的证明过程， 关键的地方在于寻找所证1nk与条件nk之间的 联系，一旦找到联系，则数学归纳法即可使用 例 2 （ 2015 ， 和 平 模 拟 ） ： 已 知 数 列 n a满 足0 n a ， 其 前n项 和1 n S ， 且 1 12 , 6 nnn SaanN （1）求数列 n a的通项公式 （ 2 ） 设 2
5、1 l o g1 n n b a ， 并 记 n T为 数 列 n b的 前n项 和 ， 求 证 ： 2 3 3log, 2 n n a TnN 解： （1） 2 632 nnn Saa 2 111 6322, nnn SaannN 可得： 2222 1111 6333 nnnnnnnnn aaaaaaaaa 0 n a 所以两边同除以 1nn aa 可得： 1 3 nn aa n a是公差为3的等差数列 1 31 n aan，在 2 632 nnn Saa中令1n 可得： 2 1111 6321Saaa（舍）或 1 2a 31 n an （2）思路：利用（1）可求出 n b和 n T，从而简
6、化不等式可得： 3 3 6332 2 5312 nn n ， 若直接证明则需要进行放缩，难度较大。而如果选择数学归纳法证明，则目标相对明确，难 度较小。 解：由（1）可得： 22 13 log1log 3131 n n b nn 122 3 63 log 2 531 nn n Tbbb n 所证不等式为： 22 3 6332 3loglog 2 5312 nn n 3 22 3 6332 loglog 2 5312 nn n 3 3 6332 2 5312 nn n 下面用数学归纳法证明： 当1n 时，不等式为 3 35275 2282 成立 假设当1,nk kkN 时成立，则1nk时， 33
7、3 3 63333 6333 2 531 322 53132 kkkk kkkk 3 3 2 333233 232 2 32 kkk k k 所以只需证： 3 2 3335 2 2 32 kk k 即可，尝试进行等价变形： 3 32 2 3335 333235 2 2 32 kk kkk k 3232 278181272781kkkkk 2 3 63 log 2 531 n n T n ，所证不等式为： 2 3 3log, 2 n n a TnN 例 3：设数列 n a的前n项和为 n S，满足 2 1 234 , nn Snann nN ，且 3 15S （1）求 123 ,a a a （2
8、）求数列 n a的通项公式 解： （1）在 2 1 234 nn Snann 中， 1n 时，有 12 27aa 2n时， 2123 420Saaa，另有 3123 15Saaa 12 123 123 27 420 15 aa aaa aaa ，解得： 1 2 3 3 5 7 a a a （2）思路： 由 2 1 234 nn Snann 可得： 2 1 213141 nn Snann ，2n 两式相减可得： 1 212612 nn nanann ，从递推公式很难直接求出通项公式。 观察 123 3,5,7aaa，可猜想21 n an，从而考虑“先猜再证”利用数学归纳法证明： 证明：由 123
9、 3,5,7aaa猜想21 n an，下面用数学归纳法进行证明： （1）验证当1n 时， 1 3a 符合题意 （2）假设1,nk kkN 时，21 k ak，则1nk时 2 1 234 nn Snann 2 1 213141 nn Snann ，2n 则 1 21261 nn nanan 1 21261 kk kakak 1 21 21261 k kkkak 2 1 41261 k kkak 2 11 24623211 kk kakkakk 所以1nk， 1k a 满足通项公式 21 n an 例 4：在数列 n a中，已知 1 2aa a，且 2 1 21 n n n a anN a ，求证
10、：2 n a 证明：用数学归纳法证明： 当1n 时， 1 2aa，命题成立 假设nk时，命题成立，即2 k a ，则1nk时 考虑 2 22 1 244 22 212121 k kkk k kkk aaaa a aaa 2 k a 10 k a 2 1 2 20 21 k k k a a a ，即 1 2 k a nN 时，均有2 n a 例 5：已知数列 n a满足 12 0,1aa，当nN时， 21nnn aaa 求证：数列 n a的第41mmN 项能被 3 整除 证明： （数学归纳法） （1）当1m 时， 41543322121 323 m aaaaaaaaaa ，能被 3 整除 （2）
11、假设当mk时， 41k a 能被 3 整除，那么当1mk时 4544434342424 +14241411 32 kkkkkkkkkk aaaaaaaaaa 42 3 k a 能被 3 整除， 41k a 能被 3 整除 411k a 能被 3 整除 即1mk时，命题成立 对一切的mN ， 41m a 均能被 3 整除 例 6： 设正整数数列 n a满足： 2 4a ， 且对于任何nN ， 由 1 1 11 11 22 11 1 nn nn aa aa nn （1）求 13 ,a a （2）求数列 n a的通项公式 解： （1）思路：虽然所给条件为不等式，但因为 n a为正整数，所以依然可由不
12、等式确定 n a的 值，可先解出范围，再求出满足的整数即可。 由已知不等式得： 11 1111 212 nnnn n n aaaa 当1n 时， 2121 1111 222 aaaa 即 11 1111 222 44aa 解得： 1 28 37 a，则 1 1a 当2n时， 3232 1111 262 aaaa 即 33 1111 262 44aa 解得： 3 810a，则 3 9a 综上： 13 1,9aa （2）思路：由 123 1,4,9aaa可猜想 2 n an，且条件为递推的不等式，刚好能体现 1k a 与 k a的联系。所以考虑利用数学归纳法证明 证明：由 123 1,4,9aaa
13、，猜想 2 n an，下面用数学归纳法证明2n的情况： 验证：2n时，符合通项公式 假设2,nk kkN 时， 2 n ak，则1nk时， 22 11 1111 212 kk k k akak 2 3 1 2 1 1 11 k k kk kk a kkk 而 22 3 2 222 2111 11 21 111 kkkkk kkk kk kkkkkk 2 2 1 1 1 k k kk 22 2 12111 1 21 111 k kkkkk kk kkk 21 1 1 k k 22 1 2 11 11 11 k k kak kkk 因为2k 时， 2 1 0,1 1 k kk ， 1 0,1 1k
14、 （均在2k 时，取到 1） 所以2k 时， 1k aZ 22 1 11 k kak 2 1 1 k ak ，命题成立 2 2, n nan 而 1 a均符合通项公式 2 n an 小炼有话说： （1）利用整数的离散性，在求整数的值时，不仅可用等式（方程）去解，也可 用不等式先求出范围，再取范围内的整数，同样可以达到求值的目的 （2）为什么对2n开始进行数学归纳法而不是从1n 开始？因为在 2 1 1 k kk ， 1 1k 中 1k 时，不能满足条件。所以也许一开始入手是从1n 开始证明，但在证明过程中发现条件 的对变量取值有所限制，则要进行适当的调整。 例 7：已知数列 n a满足 2 1
15、 1, nn acac nN ，其中常数 1 0, 2 c （1）若 21 aa，求 1 a的取值范围 （2）若 1 0,1a ，求证：对任意的nN ，都有0,1 n a 解： （1）由已知可得：1n 时 2 21 1acac 22 111111 110110cacacaaccaca 11 11 1,1 c aa cc 1 0, 2 c 1 11 c 1 1a或 1 1c a c （2）思路：条件给出递推公式，故考虑利用 k a的范围去推出 1k a 的范围，可尝试数学归纳法 解： （数学归纳法） 当1n 时， 1 0,1a 成立 假设nk时，命题成立，即0,1 k a ，则当1nk时， 22
16、 1 111 kkk acacca 0,1 k a 22 0,110,1 kk aa 1 0, 2 c 2 1 10, 2 k ca 2 1 110,1 kk aca ，即1nk时，命题成立 所以nN 时，均有0,1 n a 例 8：已知数列 n a的前n项和为 n S，且 1 1 4,22, 2 nn n n aSnannN （1）求 n a （2） 设 n b满足： 1 4b 且 2 1 12 nnn bbnbnN ， 求证：2, nn bannN 解： （1） 1 22, 2 nn n n SnannN 11 12 123 2 nn nn Snan 1 113 nnn ananann 1
17、 111 nn nanna 1 1 nn aa n a从第二项开始成等差数列 令2n 则 22122 22 121Saaaa ，代入 1 4a 可得： 2 3a 2n 时， 2 21 n aandn 4,1 1,2 n n a nn （2）解：由（1）可得所证不等式为：1 n bn，考虑使用数学归纳法： 当2n时， 2 212 2143bba 假设nk时，命题成立，即1 k bk，则1nk时 1 12 kkk bb bk 而1112 k bkkk 1 222122 kk bbkk 22kk 1 2 k bk 所以1nk时，命题成立 2n 时，1 nn bna 例 9：已知ABC的三边长为有理数
18、 （1）求证：cosA是有理数 （2）求证：对任意的正整数n，cosnA是有理数 证明： （1） 222 cos 2 bca A bc 又, ,a b cQ 222 2 bca Q bc ，即cosA是有理数 （2）思路：题目条件很少，无法直接入手，所以考虑利用数学归纳法制造条件并找到与条件 的联系，假设coskAQ，则cos1coscossinsinkAkAAkAA，可知coscoskAA为 有理数，但sinsinkAA未知，且题目中再无可用条件。所以要想证明，则需将制造条件加强， 设sinsinkAAQ， 代 价 就 是 在 证 明 时 也 要 证 明sin1sinkAAQ成 立 。 只
19、需 2 sin1sinsinsincoscossinkAAkAAAAA，是可证明的 证明：使用数学归纳法证明cosnA与sinsinnAA均为有理数 当1n 时，由（1）可得cosAQ，且 22 sin1cosAAQ 假设nk时，命题成立，即cos,sinsinkAnAAQ，则1nk时 2 sin1sinsincossincossinsinsincoscos sinkAAkAAAkAAkAAAAA sinsincoskAAAQ， 2 cossinAAQ sin1sinkAAQ cos1coscossinsinkAkAAkAA，由假设可得cos,sinsinkAnAAQ cos1kAQ 综上所述
20、：1nk时，命题成立 nN 时，cosnA为有理数 小炼有话说： （1）涉及到关于n的命题，若所给条件过少，则可通过数学归纳法制造条件，以便于证明题 目 （2）本题在利用数学归纳法证明时，对所证问题做了一个加强，即对于同一个n，有两个命 题同时成立，这样做的好处在于在归纳假设时会再多一个条件进行使用，但是代价就是归纳 证明时也要多证明一个结论。有时针对条件较少的题目还是值得的 例 10： （2014，安徽）设实数0c ，整数1,pnN （1）证明：当1x 且0x 时，11 p xpx （2）数列 n a满足 1 1 11 1 , pp nnn pc acaaa pp ，求证： 1 1 p nn
21、 aac 解： （1）思路：所证不等式含有两个变量，若以p为核心变量，则p为大于 1 的正整数，且 在不等式左边位于指数的位置， 在证明不等式时可以考虑利用数学归纳法， 从而证明1pk 时，左边 1 111 kk xxx ，与nk取得联系。 证明：用数学归纳法证明： 当2p 时， 2 2 11212xxxx ，原不等式成立 假设2,pk kkN 时，不等式成立，即11 k xkx ，则1pk时， 1 2 1111111 kk xxxxkxkxkx 11kx 所以1pk时，不等式成立 2,ppN时，11 p xpx （2）思路： 本题证明 1nn aa 易想到对 1 1 1 p nnn pc a
22、aa pp 两边同时除以 n a与 1 进行比 较： 1 1 11 n p nn ac ap a ，进而要证明 1 1 p n p n c ac a ，所以只能先证后面的不等式， 由递推公式可想到利用数学归纳法证明。 证明：用数学归纳法证明 1 p n ac 当1n 时， 1 1 p ac 假设1,nk kkN ，命题成立，即 1 p k ac，则1nk时， 1 1 1 p kkk pc aaa pp 1 11 11 p k k p kk apcc a appp a 由（1）可得： 1 11 1111 p p k ppp kkkk accc p ap ap aa 即 1 1 p p k k p
23、p kk ac ac aa 1 1 p k ac 1nk 时，命题成立 1,nnN时， 1 p n ac 下面证明： 1nn aa 考虑 1 1 11 n p nn ac ap a 1 10 pp nn p n c acac a 1 1 1 n nn n a aa a 1 1 p nn aac 小 炼 有 话 说 ： 在 第 一 问 中 如 果 以x为 研 究 对 象 ， 也 可 以 利 用 导 数 去 解 决 ： 设 11 p f xxpx， 则 11 111 pp fxpxppx ， 因为10p ， 所以可得：1,0x 时， 0fx ，0,x时， 0fx 。所以 f x在1,0单 调递减，在0,单调递增。从而 00f xf
