1、第 1 页 共 19 页 2019 届北京市一零一中学高三下学期月考（三）数学（理）届北京市一零一中学高三下学期月考（三）数学（理） 试题试题 一、单选题一、单选题 1设集合设集合 1,0,1A ， 2 |230Bx xx ，则，则AB （ ） A 1,0,1 B0 C( 1,1) D( 1,3) 【答案】【答案】A 【解析【解析】先将集合B化简，然后利用交集的定义即可求解 【详解】 集合 1,0,1A ， 2 |230 | 13Bx xxxx ， 则 1,0,1AB 故选：A 【点睛】 本题主要考查集合的交集运算及一元二次不等式的解法，属于基础题 2设设 i 为虚数单位，则复数为虚数单位，则
2、复数 2 1 i z i 所对应的点位于（所对应的点位于（ ） A第一象限第一象限 B第二象限第二象限 C第三象限第三象限 D第四象限第四象限 【答案】【答案】B 【解析】【解析】先由复数的运算法则，将 2 1 i z i 化简整理，结合复数的几何意义即可求出结 果. 【详解】 解：复数 21222 1 1112 iiii zi iii ，在复平面内的对应点位 1,1， 故选 B 【点睛】 本题主要考查复数的运算和几何意义，熟记运算法则即可求解，属于基础题型. 3执行如图的程序框图，如果输出执行如图的程序框图，如果输出 a 的值大于的值大于 100，那么判断框内的条件为，那么判断框内的条件为(
3、 ) 第 2 页 共 19 页 A5k ？ B5k ？ C6k ？ D6k ？ 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【详解】 由题意，模拟程序的运算，可得 k1，a1 满足判断框内的条件，执行循环体，a6，k3 满足判断框内的条件，执行循环体，a33，k5 满足判断框内的条件，执行循环体，a170，k7 此时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出 a 的值为 170 则分析各个选项可得程序中判断框内的“条件”应为k6？ 故选：C 【点睛】 本题考查了程序框图
4、的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的 结论，是基础题 4 九章算术的盈不足章第 九章算术的盈不足章第 19 个问题中提到：个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐齐去今有良马与驽马发长安，至齐齐去 长安三千里良马初日行一百九十三里，日增一十三里驽马初日行九十七里，日减半长安三千里良马初日行一百九十三里，日增一十三里驽马初日行九十七里，日减半 里里”其大意为：其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去已知长安和现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去已知长安和齐的距离是齐的距离是 3000 里良马第一天行里良马第一天行 193 里，之后每天比前一天多行里，之后每天比前一
5、天多行 13 里驽马第一天行里驽马第一天行 97 里，里， 之后每天比前一天少行之后每天比前一天少行 0.5 里里”试问前试问前 4 天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为 （ ） 第 3 页 共 19 页 A1235 B1800 C2600 D3000 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据题意良马每天路程构成以193为首项，13为公差的等差数列，驽马每天 路程构成以97为首项， 1 2 为公差的等差数列，故利用等差数列的求和公式可直接求 得结果 【详解】 因为长安和齐的距离是 3000 里良马第一天行 193 里，之后每天比前一天多行 13 里 驽马
6、第一天行 97 里，之后每天比前一天少行 0.5 里， 所以前 4 天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为： 4 4 34 31 (4 19313)4 97()1235 222 S 故选：A 【点睛】 本题主要考查等差数列的求和公式，属于基础题 5已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 10 3 B4 C 13 3 D5 【答案】【答案】A 第 4 页 共 19 页 【解析】【解析】根据几何体的三视图可知，该几何体是四棱锥和三棱锥的组合体，画出对应的 立体图形标出相应的数据，根据锥体的体积公式，即可求出它的体积 【详解】
7、 根据几何体的三视图知，该几何体是四棱锥与三棱锥的组合体，如图所示： 结合图中数据，计算它的体积为： 四棱锥三棱锥P ABCDP CDM VV 2 11110 221 2 2 3323 故选：A 【点睛】 本题主要考查对三视图所表达的空间几何体的识别及几何体体积的计算 由三视图还原 几何体求体积，要弄清楚几何体的特征，把三视图中的数据、图形特点准确地转化为对 应几何体中的线段长度、图形特点，进而用公式求解 6已知非零平面向量已知非零平面向量a,b，则，则“|a+b|=|a|+|b|”是是“存在非零实数存在非零实数 ，使，使b=a”的的 A充分而不必要条件充分而不必要条件 B必要而不充分条件必要
8、而不充分条件 C充分必要条件充分必要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 【详解】 (1)若|a+b|=|a|+|b|,则a,b方向相同， a,b共线,存在非零实数 ,使b=a. “|a+b|=|a|+|b|”是“存在非零实数 ,使b=a”的充分条件； (2)若存在非零实数 ,使b=a,则a,b共线， 当a,b方向相同时,|a+b|=|a|+|b |， 当a,b方向相反时,|a+b|a|+|b|， 第 5 页 共 19 页 “|a+b|=|a|+|b|”不是“存在非零实数 ,使b=a”的必要条件 故选 A. 7已知曲线已知曲线C： 2 2 2
9、2 xt yat （t为参数） ，为参数） ，( 1,0)A ， (1,0)B ，若曲线，若曲线C上存在点上存在点P 满足满足 0AP BP ，则实数，则实数a的取值范围为（的取值范围为（ ） A 22 , 22 B1,1 C2, 2 D2,2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】曲线C化为普通方程为:y xa ,由0 AP BP ，可得点P在以AB为直径 的圆 22 1xy上,又P在曲线C上,即直线与圆存在公共点,故圆心0,0到y xa 的距离小于等于半径1,根据点到直线的距离公式有:1 2 a ,解得 22a ,故选 C. 8 如图为某三岔路口交通环岛的简化模型， 在某高峰时段， 单位时间
10、进出路口 如图为某三岔路口交通环岛的简化模型， 在某高峰时段， 单位时间进出路口, ,A B C, 的机动车辆数如图所示，图中的机动车辆数如图所示，图中 123 ,x x x分别表示该时段单位时间通过路段分别表示该时段单位时间通过路段 ,AB BC CA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相出的车辆数相 等） ，则（等） ，则（ ） A 123 xxx B 132 xxx C 231 xxx D 321 xxx 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据每个三岔路口驶入与驶出相应的环岛路段的车
11、辆数列出等量关系，即可比 较出大小 【详解】 第 6 页 共 19 页 依题意，有 133 50555xxx，所以 13 xx， 同理， 211 302010xxx，所以 12 xx ， 同理， 322 30355xxx，所以 32 xx， 所以 132 xxx 故选：C 【点睛】 本题主要考查不等关系的判断，属于基础题 二、填空题二、填空题 9在极坐标系中，直线在极坐标系中，直线3 cossin0与圆与圆 4sin 交交A，B两点，则两点，则 |AB _ 【答案】【答案】2 3 【解析】【解析】只需将直线的极坐标方程和圆的极坐标方程都化为直角坐标方程，再利用圆中 的弦长公式即可求得弦长|AB
12、 【详解】 因为直线3 cossin0，所以直线的直角坐标方程为30xy， 因为圆4sin，所以圆的直角坐标方程为 22 40xyy， 即 22 (2)4xy，所以圆心坐标为(0,2)，半径2r =， 圆心(0,2)到直线30xy的距离 22 |3 02| 1 ( 3)1 d ， 所以 22 | 22 4 12 3ABrd 故答案为：2 3 【点睛】 本题主要考查将直线的极坐标方程和圆的极坐标方程化为直角坐标方程及圆中的弦长 公式，属于基础题 10某小学教师准备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品，已知签字笔每支某小学教师准备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品，已知签字笔每支 5 元，铅笔盒元，铅笔盒
13、每个每个 6 元，花费总额不能超过元，花费总额不能超过 50 元元. 为了便于学生选择，购买签字笔和铅笔盒的个数为了便于学生选择，购买签字笔和铅笔盒的个数 均不能少于均不能少于 3 个，那么该教师有个，那么该教师有_种不同的购买奖品方案种不同的购买奖品方案. 第 7 页 共 19 页 【答案】【答案】9 【解析】【解析】试题分析：设购买签字笔 x 个，铅笔盒 y 个，根据题意，x 、 y 需满足条件 当3x 时，3,4,5y ；当4x时，3,4,5y ；当5x 时，3,4y ；当6x时， 3y ；6x时无解所以该教师有 9 种不同的购买方案 【考点】简单的线性规划. 11已知数列已知数列 n
14、a为等比数列，为等比数列， n S为其前为其前n项的和，若项的和，若 1 23 64a a a ， 5 32a ，则，则 q _； ； 6 S _ 【答案】【答案】2 126 【解析】【解析】根据题意只需将 123 64a a a 及 5 32a 中的 2 a， 3 a， 5 a都用基本量 1 a和q表 示出来，解出 1 a和q，进而利用等比数列求和公式即可求出 6 S 【详解】 由已知得 33 1 4 1 64, 32, a q a q 即 1 4 1 4 32 a q a q ， ， 解得 1 2, 2, q a 所以 6 6 2(1 2 ) 126 1 2 S 故答案为：2；126 【点
15、睛】 本题主要考查等比数列的通项公式及前n项和公式的应用，属于基础题 12能说明能说明“若点若点与点与点在直线在直线的同侧，则的同侧，则”是假命题的一是假命题的一 个点个点 M 的坐标为的坐标为_. 【答案】【答案】或（答案不唯一） 【解析】【解析】由题意知（a+b2） （5+52）0，举例说明 a+b2 且 a+b4 即可 【详解】 点 M（a，b）与点 N（5，5）在直线 x+y20 的同侧， 则（a+b2） （5+52）0， a+b2， 不能得出 a+b4， 第 8 页 共 19 页 当点 M 的坐标为（2，1）时，a+b4 是假命题 故答案为： （2，1）或（1，2） ， （0，3）
16、， （3，0）（答案不唯一） 【点睛】 本题考查了命题真假的判断问题，属于开放性题目 13已知函数已知函数 f（x）=x3-4x，g（x）=sinx（0） 若） 若 x-a，a，都有，都有 f（x）g（x） 0，则，则 a 的最大值为的最大值为_；此时；此时 =_ 【答案】【答案】4 2 【解析】【解析】函数 3 4f xxx， sin0g xx均为奇函数，只需考虑 0xa ， ，都有 0f x g x 即可，结合图象可得当且仅当在0 2，上 0g x ， 在2,a满足 0g x ，a才能取到最大值，进而可得. 【详解】 函数 3 4f xxx， sin0g xx均为奇函数 只需考虑 0xa
17、， ，都有 0f x g x 即可 函数 3 4f xxx在0 2，满足 0f x ，在2 ，）满足 0f x ， 当且仅当在0 2，上 0g x ，在02 ，满足 0g x ，a才能取到最大值， （如图） 此时 2 4 ， 2 ， 4a 故答案为：4， 2 【点睛】 本题主要考查了函数的对称性应用，数形结合法，最终将题意转化为 g x与 0 的关系 是解题的关键，属于中档题 14如图所示，图中的多边形均为正多边形，如图所示，图中的多边形均为正多边形，M，N是所在边的中点，双曲线均以图是所在边的中点，双曲线均以图 中的中的 1 F， 2 F为焦点，则图为焦点，则图的双曲线的离心率为的双曲线的离
18、心率为_；图；图的双曲线的离心率为的双曲线的离心率为 _ 第 9 页 共 19 页 【答案】【答案】 31 1 02 2 【解析】【解析】 【详解】 设等边三角形的边长为 2，以底边为 x 轴，以底边的垂直平分线为 y 轴，建立平面直 角坐标系， 则双曲线的焦点为( 1,0)，且过点 13 ( ,) 22 ， 因为点 13 ( ,) 22 到两个焦点( 1,0)，(1,0)的距离之差的绝对值为 2222 1313 (1)(0)(1)(0)3 12 2222 a ， 所以 31 2 a ，又1c，所以 1 31 c e a 正方形的边长为 2，分别以两条对角线为 x 轴和 y 轴，建立平面直角坐
19、标系， 第 10 页 共 19 页 则双曲线的焦点坐标为( 1,0)和(1,0)，且过点 1 1 ( , ) 2 2 ， 因为点 1 1 ( , ) 2 2 到两个焦点( 1,0)，(1,0)的距离之差的绝对值为 2222 1111102 (1)(0)(1)(0)2 22222 a ， 所以 102 4 a ，又1c，所以 1 102 2 c e a 故答案为： 31； 102 2 【点睛】 本题主要考查双曲线的定义及离心率，关键是根据双曲线的定义求出a 三、解答题三、解答题 15在在ABC中，角中，角 , ,A B C的对边分别是 的对边分别是, ,a b c，已知，已知3c ，sin 6s
20、inAC ， 1 cos2 3 A . (1)求求a的值；的值； (2)若角若角A为锐角，求为锐角，求b的值及的值及ABC的面积的面积. 【答【答案】案】(1) 3 2a ；(2)5b， 5 2 2 ABC S. 【解析】【解析】试题分析： （1）根据题意和正弦定理求出 a 的值； （2）由二倍角的余弦公式变形求出 2 sin A，由A的范围和平方关系求出cosA，由余弦 定理列出方程求出b的值，代入三角形的面积公式求出ABC的面积 试题解析：(1)因为3c ，sin6sinAC， 由正弦定理 sinsin ac AC ，得 3 2a . 第 11 页 共 19 页 (2)因为 2 1 cos
21、21 2sin 3 AA ，且0, 2 A ， 所以 6 sin 3 A ， 3 cos 3 A . 由余弦定理 222 2cosabcbcA，得 2 2150bb， 解得5b或3b(舍)，所以 15 sin2 22 ABC SbcA. 16如图如图 1，在边长为，在边长为 2 的菱形的菱形ABCD中，中，60BAD，将，将BCD沿对角线沿对角线BD折折 起到起到BCD 的位置，使平面的位置，使平面BCD平面平面ABD，E是是BD的中点，的中点，FA平面平面ABD， 且且2 3FA，如图，如图 2 （1）求证：）求证：/FA平面平面BCD； （2）求平面）求平面ABD与平面与平面FBC所成角的
22、余弦值；所成角的余弦值； （3） 在线段） 在线段AD上是否存在一点上是否存在一点M， 使得， 使得C M平面平面FBC？若存在， 求？若存在， 求 AM AD 的值；的值； 若不存在，说明理由若不存在，说明理由 【答案】【答案】 （1）证明见解析（2） 10 5 （3）不存在，理由见解析 【解析】【解析】(1)由题设可得CEBD ，结合平面BCD平面ABD，利用面面垂直的性 质定理可得CE 平面ABD，又FA 平面ABD，再利用线面垂直的性质定理，即可 得/FA CE ，再由线面平行的判定定理，即可证得/FA平面BCD； (2)以,EB AE EC正交基底建系，写出所需的点的坐标，分别求出平
23、面 ABD与平面 FBC的法向量，代入向量夹角公式，即可求出法向量夹角的余弦值，再结合实际图形 判断所求角是锐角还是钝角，即可得到结果； (3)假设线段AD上存点 ( , , )M x y z,使得CM 平面FBC，设AM AD ，可得 第 12 页 共 19 页 x，3(1)y，0z ，只需判断C M与平面FBC的法向量m共线得到 关于的方程是否有解，若有解则存在，无解的则不存在 【详解】 (1)证明：因为BCCD，E为BD的中点，所以CEBD ， 又CE 平面BCD，平面BCD平面ABD，平面BCD平面ABDBD， 所以CE 平面ABD，又FA 平面ABD， 所以/FA CE ，而CE 平
24、面BCD，FA平面BCD， 所以/FA平面BCD； (2)以DB所在直线为x轴，AE 所在直线为 y轴， EC 所在直线为z轴建立空间直角坐 标系， 则(1,0,0)B，(0,3,0)A，( 1,0,0)D ，(0,3,2 3)F，(0,0, 3) C ， 所以( 1,3,2 3)BF ，( 1,0, 3)BC 设平面FBC的一个法向量为( , , )mx y z， 则 32 30 30 m BFxyz m BCxz ， ， 取1z ，则( 3,1,1)m ， 又平面 ABD 的一个法向量为(0,1,1)n ， 所以 210 cos 5|52 , | m n m n mn ， 则平面ABD与平
25、面FBC所成角的余弦值为 10 5 (3)线段AD上不存点M，使得CM 平面FBC 假设在线段AD上存在( , , )M x y z，使得CM平面FBC， 设AM AD ，则( ,3, )( 1, 3,0)x yz，即( ,3, )(, 3 ,0)x yz ， 第 13 页 共 19 页 所以x，3(1)y，0z ，由(, 3(1),3)C M ， 由 / /m CM ，得 3(1)3 113 - ，此方程无解 所以线段AD上不存点M，使得CM平面FBC 【点睛】 本题主要考查线面平行的判定定理，面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理，同时 考查二面角的求法及逆向求解“点”的存在问题 本题第(
26、1)问也可用求平面BCD的法向 量，利用法向量与FA的数量积为零来证明.对于第(3)问对于探索性问题，一般先假设 存在，设出空间点坐标，转化为代数方程是否有解问题，若有解且满足题意则存在，若 有解但不满足题意或无解则不存在 17某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取 10 名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录记录 的数据如下：的数据如下： 1 号号 2 号号 3 号号 4 号号 5 号号
27、6 号号 7 号号 8 号号 9 号号 10 号号 第一轮测试第一轮测试成绩成绩 96 89 88 88 92 90 87 90 92 90 第二轮测试成绩第二轮测试成绩 90 90 90 88 88 87 96 92 89 92 （） 从该校高二年级随机选取一名学生， 试估计这名学生考核成绩大于） 从该校高二年级随机选取一名学生， 试估计这名学生考核成绩大于 90 分的概率；分的概率； （）从考核成绩大于）从考核成绩大于 90 分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成 绩均大于等于绩均大于等于 90 分的概率；分的概率； （）记
28、抽取的）记抽取的 10 名学生第一轮测试的平均数和方差分别为名学生第一轮测试的平均数和方差分别为 1 x， 2 1 s，考核成绩的平均，考核成绩的平均 数数和方差分别为和方差分别为 2 x， 2 2 s，试比较，试比较 1 x与与 2 x， 2 1 s与与 2 2 s的大小的大小.（只需写出结论）（只需写出结论） 【答案】【答案】 （）0.6； （） 1 5 ； （） 12 =xx ， 22 12 ss. 【解析】【解析】分析： （）求出这10名学生两轮考核的平均成绩，可知大于等于90分的有 6 人，利用古典概型概率公式可得结果； （）由（）知，考核成绩大于等于 90 分的学 生共 6 人，
29、其成绩均大于等于90分共 3 人， 利用列举法可得6人中选两人的事件有15个 事件，其中这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的事件有3个，由古典概型概率 公式可得结果； （）根据成绩的平均值以及成绩的稳定性可得结果. 第 14 页 共 19 页 详解： （）这 10 名学生的考核成绩（单位：分）分别为： 93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91 其中大于等于 90 分的有 1 号、5 号、7 号、8 号、9 号、10 号，共 6 人. 所以样本中学生考核成绩大于等于 90 分的频率是 63 105 . 从该校高二年级随机选取一名学生， 估计这名学生考核成绩大
30、于等于 90 分的概率为 0.6. （）设事件A为“从考核成绩大于等于 90 分的学生中任取 2 名同学，这 2 名同学两轮 测试成绩均大于等于 90 分”， 由（）知，考核成绩大于等于 90 分的学生共 6 人，其中两轮测试成绩均大于等于 90 分的学生有 1 号，8 号，10 号，共 3 人. 因此，从考核成绩大于等于 90 分的学生中任取 2 名同学， 包含（1 号，5 号） 、 （1 号，7 号） 、 （1 号，8 号） 、 （1 号，9 号） 、 （1 号、10 号） 、 （5 号，7 号） 、 （5 号，8 号） 、 （5 号，9 号） 、 （5 号，10 号） 、 （7 号，8
31、号） 、 （7 号，9 号） 、 （7 号，10 号） 、 （8 号，9 号） 、 （8 号，10 号） 、 （9 号，10 号）共 15 个基本事件， 而事件A包含（1 号，8 号） 、 （1 号、10 号） 、 （8 号，10 号）共 3 个基本事件， 所以 31 155 P A . （） 12 =xx ， 22 12 ss. 点睛：本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概 率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定 的基本事件个数较少且易一一列举出的； (2)树状图法： 适合于较为复杂的问题中的基本 亊件的探求.在找基本
32、事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先 11 (,)A B， 12 (,)A B. 1 (,) n A B，再 21 (,)A B， 22 (,)A B 2 (,) n A B依次 31 (,)A B 32 (,)A B. 3 (,) n A B 这样 才能避免多写、漏写现象的发生. 18已知函数已知函数 2 ln2f xxaxax，aR ()讨论 讨论 f x的单调性；的单调性； ()当 当0a时，若关于时，若关于 x 的不等式的不等式 2 fxb a 恒成立，求实数恒成立，求实数 b 的取值范围的取值范围 【答案】【答案】 （）当0a时， f x在0,上是单调增函数，当0a时， f x在 1
33、 0, a 上单调递增，在 1 , a 上单调递减； （）2, 第 15 页 共 19 页 【解析】【解析】()求出原函数的导函数，可得当0a时， 0fx ， f x在0,上 是单调增函数；当0a时，求出导函数的零点，把定义域分段，由导函数在各区间段 的符号确定原函数的单调区间；()由()可得，当0a时，求出函数的最大值 1 f a ，把不等式 2 fxb a 恒成立，转化为 11 1lnb aa 在0a时恒 成立，换元后利用导数求最值得答案 【详解】 ( 2 )ln2f xxaxax， 2 2211 22(0) axax fxaxax xx 当0a时， 0fx ， f x在0,上是单调增函数
34、； 当0a时， 11 2 2 a xx a fx x 当 1 0,x a 时， 0fx ，当 1 ,x a 时， 0fx ， f x在 1 0, a 上单调递增，在 1 , a 上单调递减 综上，当0a时， f x在0,上是单调增函数， 当0a时， f x在 1 0, a 上单调递增，在 1 , a 上单调递减； ()由()可得，当 0a时， 111211 ( )lnln1 max a f xf aaaaaa 由不等式 2 fxb a 恒成立，得 112 ln1b aaa 恒成立， 即 11 1lnb aa 在0a时恒成立 令 1 t a ， ln(0)g ttt t，则 11 1 t gt
35、tt ， 当0,1t时， 0g t ， g t单调递增，当1,t时， 0g t ， g t单调 第 16 页 共 19 页 递减 g t的最大值为 11g 由11b ，得2b 实数 b 的取值范围是2, 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法， 是中档题 19已知椭圆已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为的离心率为 6 3 ，长轴长，长轴长为为2 3 ()求椭圆 求椭圆 C 的方程；的方程； ()斜率为 斜率为 1 的直线的直线 l 过椭圆过椭圆 C 的右焦点的右焦点 F，交椭圆，交椭圆 C 于于 A，B 两点，设两点，
36、设 M 为椭圆为椭圆 C 上任意一点，且上任意一点，且,OMOAOBR ，其中，其中 O 为原点为原点.求证：求证： 22 1 【答案】【答案】 （） 2 2 1 3 x y（）见解析 【解析】【解析】()利用椭圆的离心率，长轴长，即可得椭圆的方程；()确定坐标之间的 关系，利用 M，A，B 在椭圆上，结合韦达定理，即可证明结论 【详解】 ()解：设椭圆的焦距为 2c， 因为 6 3 c a ，所以有 22 2 2 3 ab a ，故有 22 3ab 3a ，1b 从而椭圆 C 的方程可化为： 2 2 1 3 x y ()设,M x y， 11 ,A x y， 22 ,B x y， ,OMOA
37、OBR ， 1122 ,x yx yx y， 故 12 xxx， 12 yyy 又因为点 M 在椭圆 C 上，所以有 22 1212 ()3()3xxyy 整理可得： 222222 11221212 33233xyxyx xy y 第 17 页 共 19 页 又焦点 F 的坐标为2,0， AB所在的直线方程为2yx；得 2 46 230xx 12 3 2 2 xx， 12 3 4 x x 所以 12121212 343 263 960x xy yx xxx ； 又点 A，B 在椭圆 C 上，故有 2222 1122 333.xyxy 将，代入可得： 22 1 【点睛】 本题考查了向量与圆锥曲线
38、的应用问题，也考查了直线与椭圆的综合应用问题，是难 题其中用到了点在曲线上的应用，以及向量坐标化的应用. 20数列数列 123 :,(2) nn Aa a aa n 的各项均为整数，满足：的各项均为整数，满足：1(1,2, ) i ain ， 且且 123 1231 22220 nnn nn aaaaa ，其中，其中 1 0a （1）若）若3n，写出所有满足条件的数列，写出所有满足条件的数列 3 A； （2）求）求 1 a的值；的值； （3）证明：）证明： 123 0 n aaaa 【答案】【答案】 （1）1, 1,6；1,0,4-；1,1,2；1,2,0； （2） 1 1a ;（3）证明见解
39、析 【解析】【解析】(1)根据3n得 2 123 220aaa 并结合已知条件即可写出满足条件的数 列 3 A； (2) 1 1a ，利用反证法即可证出； (3)先利用反证法证明 1,2,3,1kn ，必有 12 12 2220 nnn k k aaa ，然后对此不等式中k赋1,2,3,1n，可得 1n个不等式并将其累加，再利用等比数列求和公式化简后，再结合已知 123 1231 22220 nnn nn aaaaa 即可证得结果 【详解】 (1)当3n时， 2 123 220aaa ，又1(1,2,3) i ai ， 1 0a ， 第 18 页 共 19 页 故满足条件的数列 3 A为：1,
40、 1,6；1,0,4-；1,1,2；1,2,0 (2) 1 1a 否则，假设 1 1a ，因为 1 0a ，所以 1 1a 又 23 ,1 n a aa ，因此有 123 1231 2222 nnn nn aaaaa 123 ( 1) 2( 1) 2( 1) 2( 1) 2( 1) nnn 123 2222 1 nnn 12 2(1 22) nn 1 1 1 (1 2) 2 1 2 n n 1， 这与 123 1231 22220 nnn nn aaaaa 矛盾， 所以 1 1a (3)先证明如下结论：1,2,3, ,1kn ， 必有 12 12 2220 nnn k k aaa 否则，假设
41、12 12 2220 nnn k k aaa ， 注意左式是2n k 的的整数倍，因此 12 12 2222 nnn kn k k aaa ， 所以有 123 1231 2222 nnn nn aaaaa 12 2( 1) 2( 1) 2( 1) 2( 1) n kn kn k 12 2222 1 n kn kn k 1 这与 123 1231 22220 nnn nn aaaaa 矛盾 所以 12 12 2220 nnn k k aaa 因此有 1 0a ， 12 20aa ， 2 223 220aaa ， 第 19 页 共 19 页 12 121 2220 kk kk aaaa ， 23 1221 2220 nn nn aaaa ， 将上述1n个不等式相加得 12 121 (21)(21)(2 1)0 nn n aaa ， 又 123 1231 22220 nnn nn aaaaa ， 得 123 0 n aaaa 【点睛】 本题考查数列的应用，等比数列求和以及反证法的应用，不等式的应用，考查转化与化 归思想以及运算能力
