1、第三章 静电场分析 3.1 电场强度与电位函数电场强度与电位函数 （17.18学时）学时）3.2 静电场的基本方程静电场的基本方程 3.3 电介质的极化与电通量密度电介质的极化与电通量密度 （19.20学时）学时）3.4 导体的电容导体的电容 3.5 静电场的边界条件静电场的边界条件（21.22学时）学时）3.6 恒定电场恒定电场 3.7 静电场边值问题静电场边值问题（23.24学时）学时）习习 题题返回第第17.1817.18学时学时3.1 3.1 电场强度与电位函数电场强度与电位函数 库仑定律（Couloms Law）是静电现象的基本实验定律，表明固定在真空中相距为R的两点电荷两点电荷q1
2、与q2之间的作用力：正比正比于它们的电荷量电荷量的乘积乘积；反比反比于它们之间距距离离的平方平方；作用力的方向方向沿两者间的连线连线；两点电荷同性为斥力，异性为吸力（如图所示），表达式为 RRqqRqqaFR302120211244返回3.1.1 库仑定律库仑定律F12q2Rq1两个点电荷的相互作用 1.点电荷的电场强度 设q为位于点S(x,y,z)处的点点电荷电荷，在其电场中点P(x,y,z)处引入试验电荷qt，如图所示。根据库仑定律，qt受到的作用力为F，则该点处的电场强度（electric Field Intensity）定义为 3004limRqRqFEtqt3.1.2 电场电场Oxz
3、yrr),(zyxrrR),(zyx源点场点场点与源点 将观察点P称为场点场点，其位置用坐标(x,y,z)或r来表示，把点电荷所在的点S称为源点源点，其位置用坐标(x,y,z)或r来表示，源点到场点的距离矢量可表示为R=r-r。直角坐标系中，R=ax(x-x)+ay(y-y)+az(z-z)，其大小为222)()()(zzyyxxR32111RRRaRRaRRR因此，上式又可以表达为 RqE140当空间中同时有n个点电荷点电荷时，场点的电场等于各点电荷qi在该点产生的电场强度的矢量和矢量和，即iiniRq1401E=E1+E2+En=假设电荷是集中在一个点点上，从宏观的角度讲，电荷是连续的分布
4、在一段线线上、一个面面上或一个体积体积内的。线电荷密度（Charge Line Density）：当电荷分布在一细线细线（其横向尺寸与长度的比值很小）上时，定义线电荷密度为单位长度上的电荷lqll0lim式中，q是长度元l上的电荷。2.分布电荷的电场强度分布电荷的电场强度 面电荷密度面电荷密度（Charge Areal Density）：当电荷分布在一个表面上时，定义面电荷密度为单位面积上的电荷SqSS0lim式中，q是面积元S上的电荷。体电荷密度（Charge Volume Density）：如果电荷分布在一个体积空间内，定义体电荷密度为单位体积内的电荷VqVV0lim式中，q是体积元V内所
5、包含的电荷。体电荷产生的场 P(r)rrRVVd O 分布电荷所产生的电场强度电场强度 设电荷以体密度V(r)分布在体积V内。在V内取一微小体积元dV如上图所示，其电荷量dq=V(r)dV，其视为点电荷，则它在场点P(r)处产生的电场为VdRRrRRdqdEV30304)(4体积V内所有电荷在P(r)处所产生的总电场总电场为VdRrVRdRrEVVVV1)(41)(41030 用类似的方法可求得电荷分布为S(r)和l(r)时电场强度的表达式分别为ldRrlRdRrESdRrSRdRrEllllSSSS1)(41)(411)(41)(41030030称之为电场强度的矢量积分公式。当电荷分布已知时
6、，就可由它们求得其电场强度电场强度。例例 有限长直线l上均匀分布着线密度为l的线电荷,如下图所示，求线外一点的电场强度。有限长直线电荷的电场 2l2lz2dzRz1dEdEdEzP(,z)yO无限长线电荷的场 在静电场中，某点P处的电位定义为把单位正电荷单位正电荷从P点移到参考点Q的过程中静电力所作的功功。若正试验电荷qt从P点移到Q点的过程中电场力作功为W，则P点处的电位为dlEqWQPtqt0lim3.1.3 电位函数电位函数 当电荷不延伸到无穷远处无穷远处时，一般把电位参考点Q选在无限远处，这将给电位的计算带来很大的方便。此时，任意P点的电位电位为dlEP则点电荷的电位电位表达式为 Rq
7、140 这就是点电荷产生的电位。上式中隐含无穷远处电位为零。则有：RqE140电位电位与电场强度电场强度有如下关系 E=-如果电荷以体密度体密度V(r)分布于体积V内，将积分积分（对带撇的变量积分）与微分微分（对不带撇的变量微分）符号互换，得VVVdRrE)(410 类似地可得电荷分布为S(r)和l(r)时电位函数电位函数的表达式分别为l dRrSdRrllSS)(41)(4100例例 真空中一个带电导体球，半径为a，所带电量为Q，试计算球内外的电位与电场强度。孤立带电导体球的场 azPRraOSd),(aS等位体导体球E0导体内带电导体球的场分布 电偶极子电偶极子是指相距很近的两个等值异号等
8、值异号的电荷电荷。设每个电荷的电量为q，它们相距为d，如下图所示。选用球坐标球坐标来求电偶极子在点P的电位及电场。根据点电荷电位的表达式，电偶极子在P点的电位电位为212101204114rrrrqrrq3.1.4 电偶极子电偶极子电偶极子的场 ZPqdxOyr2rr1 当两电荷之间距相对于到观察点的距离非常小小,r1,r2,r三者近乎平行，因此r1-r2d cos，r1r2r2，将其代入上式得电偶极子的电位电位表达式为 204cosrqd 定义电偶极矩矢量的大小大小 为p=qd，方向方向由负电荷指向正电荷，即 p=azqd 则P点的电位可以写成下列形式:202044cosraprqdr取负梯
9、度负梯度得电偶极子在P点处的电场强度电场强度为)sincos2(430aarpEr零电位面电力线yz00电偶极子的电场线 3.2 3.2 静电场的基本方程静电场的基本方程 把一个试验电荷qt放入电场中，让它自由移动，作用在此电荷上的静电力将使它按一定的路线移动，称这个路线为力线力线（Line of Force）或通量线通量线(Flux Line)。若把电荷放在不同的位置，就能描绘出任意多条力线。为了不使区域内被无数条力线塞满，通常人为规定一个电荷产生的力线条数等于用库仑库仑表示的电荷的大小，于是说场场线线(Field Line)表示电通量电通量(Electric Flux)。虽然电通线实际上不
10、存在，但它们可以直观、形象地描绘电场的分布，如下图所示。3.2.1 电通（量）和电通（量）密度电通（量）和电通（量）密度孤立正电荷的电通 EEEEEEEEqtqtqtqtqtqtqtqt早期研究发现，电通量有如下特性(1)与媒质无关无关(2)大小仅与发出电通量的电荷有关有关 (3)如果点电荷被包围在半径为R的假想球内，则电通量必将垂直并均匀穿过球面 (4)单位面积上的电通量，即电通密度，反比反比于R2 而电场强度除了大小与媒质的介电常数有关外，也满足这些约束，故可以用电场强度定义电通密度D为 D=0 E 点电荷q在半径R处的电通密度为，D的单位为C/m224 RqaDR由矢量分析得：穿过某个曲
11、面 S的电通量定义为dSDS如果 D与d S方向相同，则穿过曲面 S的电通量最大电通量最大。设在无限大真空真空中O点有一点电荷点电荷q，以任意曲面S包围该点电荷，则穿出这个封闭曲面的电通量电通量为dqdSRnaqdSDSRSS424式中d是表面d S在O点所张的立体角立体角。由于任何封闭面对曲面内的一点所张的立体角都是，所以通过曲面 S的总电总电通量通量为3.2.2 高斯定律高斯定律qdSDS如果电荷的总量总量为Q，并以体密度体密度V分布在闭合面包围的体积内，则有QdVdSDVVS 该式表明，若已知封闭面上的电场强度电场强度或电通密度电通密度，通过高斯定律便可求出封闭面内的总电荷。如果电荷呈对
12、称分布，则很容易选择一个恒电通密度的面，从而用高斯定律高斯定律大大降低分析电场问题的难度难度。应用散度定理散度定理，上式也可写成 dVDdVVVV因此，有 D=V 如果在真空真空中，还可以写为0VE 在介电常数介电常数为的介质中有 VE 例例 用高斯定律求无限长线电荷l在任意P点产生的电场强度。无限长线电荷的场 PllD 常量 设电场强度为E，l为场中任意闭合路径，电场强度沿闭合路径的积分称为环量环量。根据斯托克斯定理斯托克斯定理有0)(dSdSEdlESSl即 00EdlEl3.2.3 电场强度的环量电场强度的环量第第19.2019.20学时学时3.3 3.3 电介质的极化与电通量密度电介质
13、的极化与电通量密度 理想的电介质（Ideal Dielectric）内部没有自由电子，它的所有带电粒子受很强的内部约束力束缚着，因此称为束缚电束缚电荷荷(Bound Charge)。就物质的分子结构来讲，电介质的分子可以分成无极分子无极分子和有极分子有极分子两大类。在通常情况下，无极分子正负电荷的作用中心是重合的，如下图（a）所示，有极分子正负电荷的作用中心不相重合而形成一个电偶极子电偶极子，但由于分子的热运动，不同电偶极子的偶极矩的方向是不规则的，因此就宏观来说，它们所有分子的等效电偶极矩的矢量和为零矢量和为零，因而对外不呈现电性电性。返回 在外加电场力的作用下，无极分子正、负电荷的作用中心
14、作用中心不再重合，有极分子的电矩电矩发生转向，这时它们的等效电偶极矩的矢量和不再为零,如下图（b)所示。这种情况称为电介质的极化(Polarized)。极化的结果是在电介质的内部内部和表面表面形成极化电荷极化电荷，这些极化电荷在介质内激发出与外电场方向相反的电场，从而使介质中的电场不同于介质外的电场。电介质的极化 (a)正常状态下正负电荷中心重合(b)极化电介质的等效电偶极矩外加电场外加电场(a)(b)设介质在外电场作用下发生了极化，为了描述介质极化的状态，引入极化强度矢量极化强度矢量。在极化电介质中取一小体积V,则V内的电矩总和记为p，定义单位体积内的电偶极矩为极极化强度矢量化强度矢量(Po
15、larization Intensity Vector),即VpPV0lim 如果pav表示V内每个分子的平均偶极矩平均偶极矩，N是每单位体积内的分子数，则极化强度也可以表示为P=Npav 在线性线性、均匀均匀、各向同性各向同性的介质中，极化强度与电场强度满足下列关系：P=e0E极化电介质外一点的场P(r)rrRVd O 如图所示，极化介质内取一微小体积元体积元dV，dV内电偶电偶极矩极矩为dp=PdV，电偶极矩dp在P点产生的电位相当于一个电偶极子产生的电位电位，其表达式为VdRaPdR204考虑到 ，则有RaRR211VdRPd04)/1(利用矢量恒等式矢量恒等式RPRPRP1VdRPRP
16、d041 因此，整个极化电介质在P点所产生的电位表达式为 VdRPSdRaPVdRPVdRPVnSVV004141 上式表明，极化介质在P点产生的电位是两项的代数和。定义Sb=Pan 为束缚面电荷密度束缚面电荷密度，P 为束缚体电荷密度束缚体电荷密度，于是可得VdRSdRVbVSbS041 束缚电荷密度的产生是由于无极分子电荷无极分子电荷对的分离和有极分有极分子电偶极矩子电偶极矩的有序排列。如果电介质中除了束缚电荷密度还有自由电荷密度，则电介质中的电场 E是自由电荷和束缚电荷共同作用的结果，即00PEVVbV即 (0 E+P)=V 该式右边仅有自由体电荷密度自由体电荷密度一项。当讨论自由空间的
17、电场时，有 D=V。事实上，在自由空间极化强度 P=0。因此，任意媒质任意媒质中电通量密度电通量密度为：D=0E+P=0E+e0E=r0E=e 在自由空间中，r=1，因此有D=0E。在任意介质任意介质中，静静电场电场满足下列方程式:VlSDEdlEqdSD003.4 3.4 导导 体体 的的 电电 容容 在很多情况下，电荷分布在导体上或导体系统中，因此导体是储存电荷的容器。储存电荷的容器称为电容器(Capacitor)。实际上，相互接近而又相互绝缘的任意形状的导体都可构成电容器，如图所示。导体 b导体 aEU任意形状导体构成的电容 一个导体上的电荷量电荷量与此导体相对于另一导体的电位之比电位之
18、比定义为电容电容，其表达式为abaUQC 其中 C为电容，单位为F；Qa表示导体a的电荷，单位为C；Uab表示导体a相对于导体b的电位，单位为V。上面讨论的是由两两个平板导体个平板导体构成的电容器的电容电容。下图所示为两根平行双导线两根平行双导线及同轴线内外导体同轴线内外导体间的电容也可仿此导出。双导线与同轴线的电容 (a)双导线；(b)同轴线yzDdxba(a)(b)图(a)所示的平行双导线平行双导线，每根导线的直径为d，双导线间的距离为D，其间充填有介质。设平行双导线间的电压为U，单位长度的电荷为l，则双导线间的电场强度电场强度为)(22xDxaEllx将上式积分即得双导线双导线间的电压电
19、压:dDxDxdxaEUldDdlxdDd2ln|ln22/2/2/2/根据电容的定义得平行双导线平行双导线单位长度的电容电容为dDC2ln0如图(b)所示的同轴线内、外导体的半径分别为a和b，其间充填有介质，类似的推导可得同轴线同轴线单位长度的电容电容为abCln20四导体系统的电容C12C23C13C11C22C33地第第21.22学时学时3.5 静电场的边界条件静电场的边界条件 在介电常数分别为1与2的媒质1与媒质2的分界面上作一个小的柱形闭合面，分界面的法线方向n由媒质2指向媒质1,如图 所示。因柱形面上、下底面积S很小，故穿过截面S的电通量密度可视为常数，假设柱形面的高h0，则其侧面
20、积可以忽略不计。返回3.5.1 电通量密度电通量密度D的法向分量的法向分量2媒质21媒质1分界面nD1D20hS12电通量密度的边界条件 设分界面上存在的自由面电荷密度为S，根据高斯定理高斯定理有SSnDSnDdSDSS21 n(D1-D2)=S 或 D1n-D2n=S 由于D=E，因而有1E1n-2E2n=S，将E=-代入可得用电位电位函数函数表示的边界边界，Snn2211 当分界面在两种不同介质不同介质之间时，若非特意放置，分界面上一般不存在自由面电荷自由面电荷，此时，穿过介质分界面的电通量密度的法向分量是连续的连续的，即 D1n=D2n 或 1E1n=2E2n 或nn2211 当媒质2为
21、导体导体时，由静电场条件静电场条件D2必然为零零。若媒质1中存在着D1的法向分量，则导体表面必然存在自由面电荷密度自由面电荷密度，即 D1n=S 或 1E1n=S 或 Sn11 由于静电场是保守场，将这一结论应用于穿越媒质分界面的矩形闭合路径abcda，如图所示。3.5.2 电场强度电场强度E的切向分量的切向分量1媒质1分界面2媒质2E1atE2aln12s0hdbc电场强度的边界条件 图中，ab和cd的长度为l，ab的方向为at，闭合路径所包围的矩形平面矩形平面的方向为s，bc和da的长度为h，分界面的法线方向n由媒质2指向媒质1，显然有sn=at。当h0时bc和da对积分 的贡献可忽略不计
22、，因此有021laElaEdlEttldlEl 所以at(E1-E2)=0 或 E1t=E2t 上式表明，分界面上电场强度的切向分量总是连的。故又可以写成(sn)(E1-E2)=0 由矢量恒等式矢量恒等式 (AB)C=A(BC)因此，分界面上电场强度电场强度的矢量矢量形式的表达式为 n(E1-E2)=0 根据电位函数电位函数的形式有 1=2 该式表明，两种不同媒质不同媒质的分界面上电位电位是连续连续的。设分界面两侧的电场与法线n的夹角分别为1和2，如图所示，则可以得到，1E1 cos1=2E2 cos2 E1 sin1=E2 sin2 将两式相除得，2121tantan 3.5.3 分界面上电
23、场的方向分界面上电场的方向 该式表明，在两种不同介质不同介质的分界面分界面上，电场强度E和电通量密度D一定会改变方向，只有当1或2等于零时，分界面上的电场方向才不改变，像平行板、同轴线和同心球中的电场就是这种情况。平行板电容器 zd0E2E102d例例 图3-19所示平行板电容器的长和宽分别为a和b，板间距离为d，电容器的一半厚度(0-d/2)用介电常数为的玻璃填充，另一半为空气。若板上外加电压为U0:(1)分别求出有介质填充(0-d/2)区域和无填充(d/2-d)区域中的电场强度;(2)板上及分界面上的自由面电荷密度、束缚电荷密度;(3)电容器的电容量;(4)若玻璃的相对介电常数r=7，绝缘
24、强度为60kV/cm，空气的绝缘强度为30 kV/cm，板间距离为d=0.5cm，当两极板间接电压为10 kV时电容器是否会击穿？例例如图3-20所示的无限大平板电容器一半为空气，另一半为介电常数=60的介质。设电容器外加电压为U0，板间距离为d，试求空气和介质中的电通量密度的比值。0E1 D1E2 D260dU0平板电容器 3.6 3.6 恒恒 定定 电电 场场 设空间分布的电荷在电场作用下作定向运动，则该体积空间中就存在电流电流。任取一个面积S，如果在t时间内穿过S的电电量量为q，则电流的大小定义为dtdqtqit0lim3.6.1 3.6.1 电流与电流密度电流与电流密度体电流密度 l流
25、动方向VS 假定体电荷密度为V的电荷以速度v沿某方向运动，如左图所示。设在垂直于电荷流动的方向上取一面积元S，若流过S的电流为I，则定义矢量 J的大小为 dSdISIJS0lim J的方向规定为正电荷的运动方向，单位为A/m2。矢量J称为电流密度矢量电流密度矢量(Current Density Vector)。因为它描述电流在体积空间中流动的情况，一般称之为体电流密度体电流密度。显然，电荷流动的空间是一个电流密度矢量场，场中任意面积上通过的电流量为dSrJIS)(该式表明，电流密度电流密度J与电流电流I的关系是一个矢量场与它的通量的关系；或者说电流是电流密度矢量场的通量通量。电流密度矢量与电荷
26、密度的关系关系。设体电荷密度V在t时间内流过的距离为l，如下图所示，圆柱形体积圆柱形体积内总的电荷为q=VlS，而q在t时间内全部通过面积S，故穿过面积S的电流为StSltqIVV式中，v为电荷流动的速度。由电流密度的定义得 J=Vv 将上式写成矢量表达式为 J=Vv 其表明，体电流密度体电流密度的大小正比于体电荷密度体电荷密度与其运动速度运动速度的乘积，电流密度的方向就是电荷运动的方向。面电流密度 电流方向Sl 如果电流只分布于导电媒质的表面，可以用面电流密度来描述，如右图所示。在垂直于电荷流动的方向上取一线元l，若流过线元l的电流为I，则定义面电流密度矢量（Current Areal De
27、nsity Vector）JS的大小为dldIlIJlS0lim JS的方向仍为正电荷的运动方向，单位为A/m（安/米）。同样可得面电流密度与电荷密度的关系为JS=Sv 面电流面电流与体电流体电流概念的区别：面电流面电流是在厚度为零的表面上流动的电流，其所占体积为零，这实际上是一种抽象的概念；体电流体电流密度是分布于体积内的有限值，在厚度为零的表面上流过的电流只能为零，否则将会得到体电流密度为无穷大的后果。根据电荷守恒定律电荷守恒定律，电荷既不能产生，也不能被消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，因此从任意闭合面S流出的电流应等于由S所包围的体积V中单位时间内电荷减少的数量，即0)(dVt
28、JVVdVdtddSJVVS称该式为电流连续性方程电流连续性方程的积分积分形式。应用散度定理，又可改写为3.6.2 恒定电场的基本方程恒定电场的基本方程由于所考察的体积是任意任意的，因而有 tJV 称上式为连续性方程连续性方程的微分微分形式，它表明电荷密度V随时间变化的点为体电流密度J的源点。对于流过恒定电流（直流）的导电媒质导电媒质，其中电荷密度电荷密度不随时间变化，此时电流连续性方程简化为00JdSJS 上述两式分别表明，通过任一闭合曲面的净恒定电流为零，导电媒质通过恒定电流时，其内部电流密度是无散无散或连续连续的。由于电流恒定时，电荷分布V不随时间变化，所以恒定电场必定与静止电荷产生的静
29、电场具有相同的性质，即它也是保保守场守场，或者说恒定电场沿任一闭合路径的积分等于零，即 0dlEl E=0(或E=-)实验证明,在导电媒质中，电流密度与电场强度有如下关系:J=E 式中，为导电媒质的电导率(Conductivity)，其单位是S/m也称上式为欧姆定律的微分形式(Differential Form of Ohms Law)，它表明电流密度与电场强度成正比，对于线性媒质J与E的方向相同。当电流密度J已知时，电场强度电场强度可以表示为JE 将上式与E点积，得导体内单位体积内的功率损耗功率损耗为22JEEJP称之为焦耳定律(Joules Law)的微分形式。综上所述，恒定电场基本方程的
30、积分形式积分形式和微分形式微分形式分别为0000EJdlEdSJlS 无线电仪器设备或电气装置常需要接地。所谓接地接地，就是将金属导体埋入地内，而将设备中需要接地的部分部分与该导体连连接接，称埋在地内的导体导体或导体系统导体系统称为接地体接地体或接地电极接地电极。电流由电极流向大地时所遇到的电阻称为接地电阻接地电阻。当远离电极时，电流流过的面积很大，而在接地电极附近，电流流过的面积很小，或者说电极附近电流密度最大最大。接地电阻主要集中在电极附近电极附近，如下图所示。3.6.3 接地电阻接地电阻接地电阻 IOa 参照图，设经引线由O点流入半球形电极半球形电极的电流为I，则距球心为r处的地中任一点
31、的电流密度电流密度为22 rIJ相应的电场强度电场强度为 22RIE 由于电流沿径向一直流出去，直至无穷远处，电流在大地中的电压电压为aIEdrUa2 例例 一个半径为10 cm的半球形接地导体电极，电极平面与地面重合，如下图所示。已知土壤的导电率=10-2 S/m。求：(1)接地电阻；(2)若有短路电流100A流入地中，某人正以0.5 m米的步距向接地点前进，前脚距半球中心点的距离为2 m，求此人的跨步电压及土壤的损耗功率。接地电阻及跨步电压 IOa20.5AB 电场是驱使电荷运动不可缺少的。以金属为例，金属中质量较大的正离子，在晶格晶格(Crystal Lattice)中的正常位置是相对固
32、定的，无助于形成电流。因此金属中的电流是自由电子在电场作用下逆电场方向运动形成的（等效为正电荷沿电场方向运动，如图所示）。3.6.4 电动势电动势EEEI导电回路中的电场 电流是静电力静电力与非静电力非静电力共同作用的结果，于是，包含电源的欧姆定律的微分形式微分形式为)(EEJ即含电源的闭合回路中的总电场总电场为E+E，若回路中有恒定电流I且是均匀分布的，则相应的总功率总功率为dlEIdlEEIPll)(定义 dlEl 假设导电媒质是均匀均匀的，导电率为常数，由基本方程J=0，可得E=0，乘以导电媒质的介电介电常数常数，得 D=0 根据恒定电场恒定电场基本方程，用与静电场的边界边界条件条件相似
33、的推导可得：在两种不同媒质的分界面上，电流密度矢量J的法向分量和电场强度E的切向分量均连续。上述边界条件也可用下述两图表示。3.6.5 边界条件边界条件电流密度的边界条件 0hn1媒质1分界面2媒质212J1J2S恒定电场的边界条件 1媒质1分界面2媒质2atbcad12nE1E20hl J1n=J2n E1t=E2t 将上述边界条件用电位函数电位函数表示为 212211nn从而可得2121tantan 如在导电率为1和2的两种导电媒质导电媒质分界面上下式子成立nnnnSnnSnnEEJJEEDD22112121021)(联立以上两式得 nSJ221011 例例如右图所示的两层介质的同轴电缆，
34、介质分界面为同轴的圆柱面，内导体半径为a，分界面半径为b，外导体半径为c；两层介质的介电常数分别为1和2，漏电导率为1和2。当外加电压为U时，计算介质中的电场强度，分界面上的自由面电荷密度及单位长度的电容及漏电导。U内 导 体abc2121E2E1两层介质的同轴线 第第23.2423.24学时学时3.7 3.7 静电场边值问题静电场边值问题 在以上各节中，主要讨论了电荷分布已知的情况下求无界空间的静电场静电场问题。然而，实际中还会遇到在给定边界条件下求有界空间的静电场静电场和电源外恒定电场电源外恒定电场的问题，这类问题通称为边界值问题边界值问题(Boundary Value Problem)。
35、边值问题可以归结为三类三类：（1）已知场域边界面S上各点电位的值，即给定|S=f1(S)称为第一类边界条件或“狄利克莱”条件。（2）已知场域边界面S上各点电位法向导数的值，即给定返回)(|2SfnS称为第二类边界条件或“诺伊曼”条件。这类问题称为第第二类边值问题二类边值问题。（3）已知场域边界面S上各点电位和电位法向导数的线性组合值，即给定)(|)(3SfNS称为第三类边界条件或“混合边界条件”。这类问题称为第三类边值问题第三类边值问题。如果场域伸展到无限远处，必须提出所谓无限远处的边界条件边界条件。对于电荷分布在有限区域的情况，则在无限远处电位为有限值，即有限值rrlim称之为自然边界条件自
36、然边界条件。在线性、各向同性、均匀的电介质中，V2称之为静电场的泊松方程泊松方程(Poissons Equation)，它表示求解区域的电位电位分布取决于当地的电荷电荷分布。电荷电荷分布在导体表面的静电场静电场问题，在感兴趣的区域内多数点的体电荷密度等于零，即V=0，因而有 2=0 称为拉普拉斯拉普拉斯方程方程(Laplaces Equation)。3.7.1 泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程 在静电场中，在每一类边界条件下，泊松方程泊松方程或拉普拉斯方拉普拉斯方程程的解必定是唯一的，即静电场的唯一性定理唯一性定理。利用反证法反证法来证明在第一类边界条件下，拉普拉斯方程的解是唯一的
37、。考虑一个由表面边界S包围的体积V，由格林第一定理dSndVSV)(23.7.2 唯一性定理唯一性定理令上式中=，得dSndVSV)(2由于2=0，所以有dSndVVV2)(设在给定边界上的电位时，拉普拉斯方程拉普拉斯方程有1和2两个解，由于拉普拉斯方程是线性线性的，两个解的差=1-2也满足方程2=0 在边界S上，电位电位1|S=2|S=|S，所以在边界S上的值为|S=1|S-1|S=0，则得0)(2dVVdSndVSV2)(求解边值问题边值问题的方法，都基于唯一性定理唯一性定理，一般可以分为解解析法析法和数值法数值法两大类。解析法中的镜像法镜像法和分离变量法分离变量法。1.镜像法镜像法 镜像
38、法是解静电场问题的一种间接方法，它巧妙地应用唯唯 一性定理一性定理，使某些看来难解的边值问题容易地得到解决。使用镜像法时要注意注意以下三点：（1）镜像电荷是虚拟电荷;（2）镜像电荷置于所求区域之外的附近区域;（3）导电体是等位面。3.7.3 静电场边界值问题的解法静电场边界值问题的解法平面边界上的点电荷与其镜像 zqddx qr1r2yP(x,y,z)如在无限大导电平面上方d处有一点电荷，则导电平面对点电荷的影响可以用置于导电平面下方的镜像电荷-q来代替，如左图所示，空间任一点P(x,y,z)的电位为2222220210)(1)(14114dzyxdzyxqrrq例例右图为自由空间垂直放置的两个半无限大导电接地平面组成的直角劈，今有一电量为100 nC的点电荷置于（3，4，0）点，求（3，5，0）点处的电位和电场强度，其中各坐标单位为m。Oyr2r3r1P q(3,4,0)xr4 q q q(3,4,0)(3,4,0)(3,4,0)两垂直平面间的点电荷
