1、数列求和数列求和小学数学思维提升讲解 第第1讲讲 等差数列求和回顾等差数列求和回顾主讲：张老师张淑平版权作品 侵权必究等差数列等差数列 和和=（首项（首项+尾项）尾项）x项数项数2 尾项尾项=首项首项+（项数（项数-1）x公差公差 项数项数=（尾项（尾项-首项）公差首项）公差+1例1：1+4+7+10+13+16+19+22+25首项：首项：1 末项：末项：25 项数：项数：9和和=（首项（首项+末项）末项）x项数项数2 =（1+25）x92 =26x92 =13x9 =117例2：2+6+10+14+82首项：首项：2 末项：末项：82 项数：项数：?公差公差:4项数项数=（末项（末项-首项
2、）首项）公差公差+1 =（82-2）4+1 =804+1 =20+1 =21和和=（首项（首项+末项）末项）x项数项数2 =（2+82）x212 =84x212 =42x21 =882例例3:有一列数按有一列数按2,5，8，11,14这样的规这样的规律排列，求前律排列，求前30个数的和。个数的和。首项：首项：2 末项：？末项：？项数：项数：30 公差公差:3末项末项=首项首项+（项数（项数-1）x公差公差 =2+(30-1)x3 =2+29x3 =2+87 =89和和=（首项（首项+末项）末项）x项数项数2 =（2+89）x302 =91x302 =91x15 =1365第第2讲讲 山顶数列求
3、和山顶数列求和主讲：张老师张淑平版权作品 侵权必究山顶数列1+2+3+99+100+99+3+2+1例1、1+2+3+97+98+99+98+97+3+2+1方法方法1：等差数列求和公式计算：等差数列求和公式计算和和=（首项（首项+尾项）尾项）x项数项数2原式=（1+98）x982x2+99 =99x98+99 =99x98+99x1 =99x(98+1)=99x99 =9801方法方法2：首尾配对法：首尾配对法观察观察：式子左边是式子左边是198，右边是右边是981，是两个对称的等差数列，是两个对称的等差数列，所以用首尾配对法，所以用首尾配对法，1+98=99,2+97=99，一共可以，一共
4、可以配成配成98个个99，再加上中间的，再加上中间的99，一共有一共有99个个99原式原式=99x99=9801找规律填空1+2+3+2+1=9=3x31+2+3+4+3+2+1=16=4x41+2+3+4+5+4+3+2+1=()=()x()1+2+3+n+3+2+1=()x()2555nn上述数列中，左边如上山，右边如下山，上述数列中，左边如上山，右边如下山，最中间的数犹如山顶，所以这样的数列我最中间的数犹如山顶，所以这样的数列我们起名叫们起名叫“山顶数列山顶数列”。山顶数列的和山顶数列的和=山顶数山顶数x山顶数山顶数如：1+2+3+9+3+2+1这个数列就是一个标准的山顶数列，山顶为9,
5、所以，原式=9x9=81注意：山顶数列必须从1开始到山顶，再从山顶到1，否则不能用山顶数乘山顶数求和。第第3讲讲 去括号重组去括号重组主讲：张老师张淑平版权作品 侵权必究例1、（1+3+5+1989）-（2+4+6+1988）观察：前面括号中是1至1989中的奇数，后面是1至1989中的偶数，偶数有19882=994个，奇数有994+1=995个，所以我们可以分组计算，前边括号中的数从3开始，和后边括号中的数对应相减。原式=1+（3-2）+（5-4）+（7-6）+（1989-1988）=1+1+1+1+1 =1+994 =995例2、（2014+2012+2010+6+4+2）-（1+3+5+
6、2009+2011+2013）观察：前后两个括号中都有20142=1007个数。所以可以用前边括号中的数和后边括号中的数配对对应相减。原式=（2014-2013）+（2012-2011）+（2010-2009）+（2-1）=1+1+1+1 =1007第第4讲讲 等比数列求和等比数列求和主讲：张老师张淑平版权作品 侵权必究等比数列 2+22+23+24+25+26+27+28+29=？令 S=2+22+23+24+25+26+27+28+29（1）2 S=22+23+24+25+26+27+28+29+210（2）（2）-（1）：S=210-1=1024-1=1023例1、1+2+4+8+16+
7、32+64+128+256分析：这个题我们发现从第2个数开始，后边每个数是前边这个数的2倍，所以我们有两种思路：第一种是第一种是给给1加上加上1之后连续相加，每个数都会变成后之后连续相加，每个数都会变成后边的数，再和后边的数相加；边的数，再和后边的数相加；第二种是第二种是给每个数都乘给每个数都乘2就变成了原来的就变成了原来的2倍了，然后倍了，然后再错位相减再错位相减下面我们看一下具体解析：方法方法1：借来还去法：借来还去法先给原式加先给原式加1，再在后边减去，再在后边减去1原式=1+1+2+4+8+16+32+64+128+256-1 =2+2+4+8+16+32+64+128+256-1 =
8、4+4+8+16+32+64+128+256-1 =256+256-1 =512-1 =511方法方法2：错位相减法：错位相减法 令S=1+2+4+8+16+32+64+128+256（1）等式两边同时乘2：2S=2+4+8+16+32+64+128+256+512（2）用第（2）个式子减去第（1）个式子：相同的对应相减 S=512-1=511例2、1+3+9+27+81+243+729+2187分析：这个题从第分析：这个题从第2个数开始每个数是前边的个数开始每个数是前边的3倍倍思考：这个题还能用借来还去吗？思考：这个题还能用借来还去吗？显然不可以所以只能用错位相减法显然不可以所以只能用错位相
9、减法令S=1+3+9+27+81+243+729+2187 （1）3S=3+9+27+81+243+729+2187+6561（2）（2）-（1）：2S=6561-1=6560 S=65602=3280总结：总结：“借来还去借来还去”法只能用于加法只能用于加倍数列，即按增加倍数列，即按增加1倍递增或递减。倍递增或递减。如：如：2+22+23+24+25+26+27+28+29=？第第5讲讲 特殊数列求和特殊数列求和主讲：张老师张淑平版权作品 侵权必究特殊数列求和奇数数列：奇数数列：1+3+5+7+99=50 x50=2500偶数数列：偶数数列：2+4+6+8+100=50 x(50+1)=50
10、 x51=2550（1）奇数数列）奇数数列观察发现：观察发现：1+3+5=9=3x3 1+3+5+7=16=4x4 1+3+5+7+9=25=5x5 1+3+5+（2n-1）=nxn(n为奇数的个数为奇数的个数)即：从即：从1开始的连续奇数的和开始的连续奇数的和=个数个数x个数个数（2）偶数数列）偶数数列观察发现：观察发现：2+4+6=12=3x4 2+4+6+8=20=4x5 2+4+6+8+10=30=5x6 2+4+6+8+2n=nx(n+1)(n为偶数的个数为偶数的个数)即：从即：从1开始的连续开始的连续偶偶数的和数的和=项项数数x（项数（项数+1）课后练习：1.1+11+21+199
11、1+2001+2011 2.2000+1999-1998-1997+1996+1995-1994-1993+4+3-2-13.（2014+2012+2010+6+4+2）-（1+3+5+2009+2011+2013）4.（1+2+3+4+99+100）-（2+4+6+8+96+98）5.1-2+3-4+5-6+1991-1992+1993课后练习：6.1000+999-998-997+996+995-994-993+104+103-102-1017.先观察，再填空(1)1+2+3+29+30+29+3+2+1=（）x()=()(2)2+3+4+109+110+109+4+3+2+1=（）(3)2+3+4+106+107+106+5+4+3=（）x()-1-2-1=()8.求1100中所有偶数的和 9.求1100中所有奇数的和。
