1、2022-12-134 综合评价和预测是数学建模竞赛综合评价和预测是数学建模竞赛中较为常见的两类问题。中较为常见的两类问题。灰色关联分析与层次分析法、模灰色关联分析与层次分析法、模糊综合评判法、数据包络分析法、神糊综合评判法、数据包络分析法、神经网络评价法、主成分分析法、因子经网络评价法、主成分分析法、因子分析法、理想解法等是数学建模中常分析法、理想解法等是数学建模中常用的综合评价与决策方法。用的综合评价与决策方法。灰色系统模型主要指灰色系统模型主要指 GM(1,1)模模2022-12-135模型，它与微分和差分方程模型、拟模型，它与微分和差分方程模型、拟合方法、回归分析方法、时间序列、合方法
2、、回归分析方法、时间序列、马氏链、神经网络等是数学建模中常马氏链、神经网络等是数学建模中常用的预测方法。用的预测方法。本讲首先介绍灰色系统的概念与本讲首先介绍灰色系统的概念与基本原理，然后重点介绍灰色关联分基本原理，然后重点介绍灰色关联分析方法和灰色系统模型析方法和灰色系统模型GM(1,1)，最，最后介绍灰色关联分析方法和灰色系统后介绍灰色关联分析方法和灰色系统2022-12-136模型在数学建模中的应用。模型在数学建模中的应用。本讲首先要理解适宜用灰色系统本讲首先要理解适宜用灰色系统方法解决的方法解决的问题特点问题特点，其次要了解灰，其次要了解灰色关联分析和灰色预测的色关联分析和灰色预测的原
3、理原理，然后，然后要熟练掌握灰色关联分析和灰色预测要熟练掌握灰色关联分析和灰色预测软件和程序软件和程序的使用方法。的使用方法。下面给出本讲学习大纲，以方便下面给出本讲学习大纲，以方便大家学习。大家学习。2022-12-1371.灰色系统中的灰色系统中的“灰色灰色”是何意思？是何意思？2.为何要用序列算子生成灰色序列？为何要用序列算子生成灰色序列？3.如何理解累加算子的作用？如何理解累加算子的作用？4.灰色关联分析可用于何种问题，它灰色关联分析可用于何种问题，它的基本思想是什么？的基本思想是什么？5.灰色关联分析前为何要对原始数据灰色关联分析前为何要对原始数据规范化，四种规范化方式的适用范围规范
4、化，四种规范化方式的适用范围是什么？是什么？2022-12-1386.灰色关联度定义及分析方法中存在灰色关联度定义及分析方法中存在的问题。的问题。7.两类灰色关联分析程序的差别。两类灰色关联分析程序的差别。8.为何在用为何在用GM 模型进行预测前通常模型进行预测前通常要对原始数据进行累加？要对原始数据进行累加？9.如何理解如何理解GM(1,1)模型的基本形式模型的基本形式和白化形式？和白化形式？10.GM模型的优缺点及适用范围。模型的优缺点及适用范围。2022-12-1310 灰色系统理论是华中科大邓聚龙灰色系统理论是华中科大邓聚龙教授教授1982年创立的一种研究少数据、年创立的一种研究少数据
5、、贫信息不确定性问题的新方法。贫信息不确定性问题的新方法。概率统计、模糊数学和灰色系统概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定性系统研理论是三种最常用的不确定性系统研究方法。究方法。概率统计研究的是概率统计研究的是“随机不确定随机不确定”现象，着重于考察随机不确定现象的现象，着重于考察随机不确定现象的2022-12-1311历史规律。其出发点是历史规律。其出发点是大样本大样本，并要，并要求对象求对象服从服从某种某种典型分布典型分布。模糊数学着重研究模糊数学着重研究“认知不确定认知不确定”问题，其研究对象具有问题，其研究对象具有“内涵明确、内涵明确、外延不明确外延不明确”的特点。例如
6、，的特点。例如，“年轻年轻人人”，“有钱有钱”。灰色系统理论着重研究灰色系统理论着重研究“小样本小样本,贫信息贫信息”认知不确定问题，其研究对认知不确定问题，其研究对2022-12-1312象具有象具有“外延明确、内涵不明确外延明确、内涵不明确”的的特点。特点。例如，例如，“8万到万到10万之间万之间”就是就是一个灰概念，其外延明确，但内涵不一个灰概念，其外延明确，但内涵不清楚。清楚。2022-12-13131.灰色系统的概念灰色系统的概念 对象的灰色系统中对象的灰色系统中“灰色灰色”的基的基本含义是指本含义是指信息不完全信息不完全，包括元素信，包括元素信息不完全；结构信息不完全；边界信息不完
7、全；结构信息不完全；边界信息不完全；运行行为信息不完全。息不完全；运行行为信息不完全。2022-12-13142.灰色系统的原理灰色系统的原理 目前目前,灰色系统的理论体系尚不灰色系统的理论体系尚不完善。通常，灰色系统必须满足下列完善。通常，灰色系统必须满足下列基本原理：基本原理：(1)差异信息原理差异信息原理所有信息所有信息皆有差异；皆有差异；(2)解的不唯一原理解的不唯一原理信息不信息不完全、不确定情况下的解不唯一；完全、不确定情况下的解不唯一；2022-12-1315 (3)最少信息原理最少信息原理充分利用充分利用已有的最小信息；已有的最小信息；(4)认知根据原理认知根据原理信息是认信息
8、是认知的根据；知的根据；(5)新信息优先原理新信息优先原理新信息新信息对认知的作用优于老信息；对认知的作用优于老信息；(6)灰性不灭原理灰性不灭原理信息不完信息不完全全(灰灰)是绝对的。是绝对的。2022-12-1316 灰色系统是极少数由中国学者创灰色系统是极少数由中国学者创立的理论之一，基本概念与基本理论立的理论之一，基本概念与基本理论相当不完备，国内外许多学者对灰色相当不完备，国内外许多学者对灰色系统理论也有许多争论和不同看法。系统理论也有许多争论和不同看法。本讲不过多探讨灰色系统的概念本讲不过多探讨灰色系统的概念和理论，而只是将其视为一种实用的和理论，而只是将其视为一种实用的建模工具，
9、会恰当地用其解决建模问建模工具，会恰当地用其解决建模问题即可。题即可。2022-12-1318 灰色系统中原始数据中的信息是灰色系统中原始数据中的信息是不完全的。灰色系统往往通过对原始不完全的。灰色系统往往通过对原始数据的挖掘和整理来降低信息的不确数据的挖掘和整理来降低信息的不确定性，这一数据预处理过程称为定性，这一数据预处理过程称为灰色灰色序列序列的生成，生成灰色序列的方法称的生成，生成灰色序列的方法称为为序列算子序列算子。最常用的序列算子是最常用的序列算子是累加算子累加算子。累加是使灰色系统变白的一种方累加是使灰色系统变白的一种方2022-12-1319法，在灰色系统理论中占有极其重要法，
10、在灰色系统理论中占有极其重要的地位。累加可使表面凌乱的原始数的地位。累加可使表面凌乱的原始数据中蕴含的规律充分显现再来。据中蕴含的规律充分显现再来。例如，在对比今年与去年家庭支例如，在对比今年与去年家庭支出时，若按日对比，可能很难发现明出时，若按日对比，可能很难发现明显规律；若累加后按月对比，规律就显规律；若累加后按月对比，规律就可能显现出来，可能呈明显的上升趋可能显现出来，可能呈明显的上升趋势。势。2022-12-1320 设原始数据序列设原始数据序列X=(x(1),x(2),x(n)令令XD=(x(1)d,x(2)d,x(n)d)，其中，其中则则D称为一次累加生成算子，记为称为一次累加生成
11、算子，记为1-AGO。类似可定义二阶累加算子。类似可定义二阶累加算子。非负准光滑序列经过累加生成后非负准光滑序列经过累加生成后,kix k dx ikn11 2 2022-12-1321都会减少随机性，呈现出近似的指数都会减少随机性，呈现出近似的指数增长规律，称之为增长规律，称之为灰指数律灰指数律。原始序列越光滑，生成后的指数原始序列越光滑，生成后的指数规律也越明显。规律也越明显。因此，灰色系统预测的常用方法因此，灰色系统预测的常用方法是：首先对原始序列进行累加，然后是：首先对原始序列进行累加，然后用用GM(1,1)模型对生成序列进行建模模型对生成序列进行建模预测。预测。2022-12-132
12、2 例如，某产品上半年销售数据序例如，某产品上半年销售数据序列列X(0)=(50810,46110,51177,93750,110 574,110524)和累加序列和累加序列X(1)=(50810,96920,148097,241872,352446,462970)的折线图如下：的折线图如下：显然，显然，X(0)的线型很难确定，但的线型很难确定，但X(0)的线型已比较接近指数增长曲线的线型已比较接近指数增长曲线,可以用指数函数拟合。可以用指数函数拟合。2022-12-13231234560100000200000300000400000500000X0A X0 X12022-12-13251.
13、引例引例 例例1 某地区某地区1997-2002年农业总年农业总产值产值X0，种植业总产值，种植业总产值X1，畜牧业，畜牧业总产值总产值X2和林果业总产值和林果业总产值X3的统计的统计数据如下：数据如下：X0=18,20,22,35,41,46 X1=8,11,12,17,24,29 X2=4,3,5,6,11,7 2022-12-1326 X3=6,6,5,12,6,10 分析农业与种植畜牧林果业产值分析农业与种植畜牧林果业产值的关系。的关系。分析分析 本题要比较的是不同数据本题要比较的是不同数据的发展态势，实质上就是比较数据点的发展态势，实质上就是比较数据点折线的几何形状。几何形状越接近，
14、折线的几何形状。几何形状越接近，发展态势越接近，关联程度越大。发展态势越接近，关联程度越大。所给数据的折线图如下：所给数据的折线图如下：2022-12-132719971998199920002001200205101520253035404550 X0 X1 X2 X3ValueDate2022-12-1328 从图中可以很明显地看出，农业从图中可以很明显地看出，农业总产值曲线与种植业产值曲线最相似，总产值曲线与种植业产值曲线最相似，即该地区的农业仍然是以种植业为主即该地区的农业仍然是以种植业为主的农业，畜牧业和林果业还不够发达。的农业，畜牧业和林果业还不够发达。但这与软件和程序计算的结果不
15、但这与软件和程序计算的结果不一致。一致。2022-12-1329 例例2 中国中国2001-2005年年GDP及第及第1,2,3产业产值如下产业产值如下,分析分析GDP与第与第1,2,3产业产值的关系。产业产值的关系。X0=109.7,120.3,135.8,159.9,183.1 X1=15.5,16.2,17.1,21.0,23.1 X2=49.5,53.9,62.4,73.9,87.0 X3=44.6,50.2,56.3,65.0,73.0 所给数据的折线图如下：所给数据的折线图如下：2022-12-13302001200220032004200510203040506070809010
16、0110120130140150160170180190 GDP 1 2 3ValueDate2022-12-1331 从图中可以很明显地看出，从图中可以很明显地看出，GDP曲线与第曲线与第2产业曲线最相似。产业曲线最相似。但刘思峰书和程序计算结果是但刘思峰书和程序计算结果是GDP与第与第3产业关联度最大。产业关联度最大。而软件的计算结果又是而软件的计算结果又是GDP与第与第2产业关联度最大。产业关联度最大。2022-12-1332 例例3 供应商选择决策。供应商选择决策。某企业需要在某企业需要在6个待选的零部件供个待选的零部件供应商中选择一个合作伙伴，各待选供应商中选择一个合作伙伴，各待选供
17、应商有关数据见下表：应商有关数据见下表：2022-12-1333评价指标评价指标待选供应商待选供应商123456产品质量产品质量0.830.900.990.920.870.95产品价格产品价格326295340287310303地理位置地理位置213825192710售后服务售后服务3.22.42.22.00.91.7技术水平技术水平0.200.250.120.330.200.09经济效益经济效益0.150.200.140.090.150.17供应能力供应能力250180300200150175市场影响市场影响0.230.150.270.300.180.26交货情况交货情况0.870.950.
18、990.890.820.942022-12-1334 尽管对例尽管对例1和例和例2这样的问题，可这样的问题，可以通过作出数据折线图的方法观察发以通过作出数据折线图的方法观察发展态势的相似性，但直观判断终究是展态势的相似性，但直观判断终究是比较粗糙的，有时并不可靠，更何况比较粗糙的，有时并不可靠，更何况例例3这样的复杂问题并不能靠几何直这样的复杂问题并不能靠几何直观解决问题，所以需要设定一个合理观解决问题，所以需要设定一个合理的指标，用数值定量地描述两组数据的指标，用数值定量地描述两组数据间的关联程度。间的关联程度。2022-12-1335 灰色系统理论根据灰色关联公理灰色系统理论根据灰色关联公
19、理,提出的提出的“灰色关联度灰色关联度”概念。灰色关概念。灰色关联度是对数据序列几何形状的量化，联度是对数据序列几何形状的量化，根据灰色关联度来判断数据序列间关根据灰色关联度来判断数据序列间关联程度的方法称为灰色关联分析。联程度的方法称为灰色关联分析。下面首先介绍灰色关联分析中的下面首先介绍灰色关联分析中的一些概念和数据预处理。一些概念和数据预处理。2022-12-13362.数据的规范化数据的规范化 设评价对象有设评价对象有m个，评价指标有个，评价指标有n个，个，特征序列特征序列x0=x0(k)|k=1,2,n,相关相关因素序列因素序列xi=xi(k)|k=1,2,n,i=1,2,m。特征序
20、列也称特征序列也称参考序列参考序列，可以理，可以理解为评价标准。在引例解为评价标准。在引例1为农业总产为农业总产值，在引例值，在引例2中为总中为总GDP,在引例在引例3中中2022-12-1337中可理解为各项指标都占优的一个虚中可理解为各项指标都占优的一个虚拟供应商。因素序列也称拟供应商。因素序列也称比较序列比较序列，可理解为评价对象。在引例可理解为评价对象。在引例1中为种中为种植畜牧林果业产值，在引例植畜牧林果业产值，在引例2中为第中为第1,2,3产业，在引例产业，在引例3中为各供应商。中为各供应商。由于特征序列和因素序列中的数由于特征序列和因素序列中的数据可能量级相差较大，单位也不一致据
21、可能量级相差较大，单位也不一致,所以要对其适当的所以要对其适当的规范化规范化处理，使之处理，使之2022-12-1338成为量级大体相近的无量纲数据，并成为量级大体相近的无量纲数据，并将将负相关因素转化为正相关因素负相关因素转化为正相关因素。特征序列和因素序列中的数据规特征序列和因素序列中的数据规范化通常有下列四种方式：范化通常有下列四种方式：设设Xi=xi(1),xi(2),xi(n)为数据为数据序列序列,XiD=xi(1)d,xi(2)d,xi(n)d,其中其中,(),iiixkxk dx112022-12-1339则则XiD分别称为初值像、均值像、区分别称为初值像、均值像、区 (),mi
22、n(),maxminmax(),maxminniiiiikiikiiikkiikiiikkxkxk dXxknXxkxkxk dxkxkxkxkxk dxkxk112342022-12-1340检验区间值像，对应的算子检验区间值像，对应的算子D分别称分别称为初值化算子、均值化算子、区间值为初值化算子、均值化算子、区间值化算子。其中，第化算子。其中，第1种初值化算子主种初值化算子主要用于引例要用于引例1和引例和引例2中中Xi(i=1,2,n)与与X0的比较，第的比较，第3,4种区间化算子主种区间化算子主要用于引例要用于引例3中中Xi(i=1,2,n)间的相间的相互比较，第互比较，第4种区间化算子
23、的用途是种区间化算子的用途是将负相关关系转化为正相关关系。将负相关关系转化为正相关关系。2022-12-13413.灰色关联度灰色关联度 设特征序列设特征序列x0=x0(k)|k=1,2,n,相关因素序列相关因素序列xi=xi(k)|k=1,2,n,i=1,2,m。对。对 ，令，令,0 1 minminmaxmaxmaxmaxiiikikiiiikiikkkkkkxkxk 02022-12-1342则则 称为比较曲线称为比较曲线xi对参考曲线对参考曲线x0在在k时刻的关联系数。时刻的关联系数。称为分辨系数，作用为减少极称为分辨系数，作用为减少极端值的影响，通常取为端值的影响，通常取为0.5。关
24、联系数只表示各时刻数据间的关联系数只表示各时刻数据间的关联程度，因此有必要将各时刻的关关联程度，因此有必要将各时刻的关联系数集中为一个值，通常关联系数联系数集中为一个值，通常关联系数加权平均。加权平均。ik 2022-12-1343 称为比较曲线称为比较曲线xi对对参考曲线参考曲线x0的关联度。其中，的关联度。其中，称为称为xi的权重，的权重，。(1)灰色关联度是根据灰色关联灰色关联度是根据灰色关联公理给出的一种衡量数据间关联程度公理给出的一种衡量数据间关联程度的一个指标。灰色关联度越大的一个指标。灰色关联度越大(小小)，两者的相关程度越高两者的相关程度越高(低低)。nikikk 1k,nkk
25、k10112022-12-1344 (2)通常取各比较曲线的权重均通常取各比较曲线的权重均为为1/n，也可根据具体问题或采用层，也可根据具体问题或采用层次分析法等确定每个比较曲线不同的次分析法等确定每个比较曲线不同的权重。权重。(3)灰色关联度易受极端值的影灰色关联度易受极端值的影响，使之不能真正反映数据间的关联响，使之不能真正反映数据间的关联程度。另外，不同的分辨系数也会得程度。另外，不同的分辨系数也会得到不同的关联度。到不同的关联度。2022-12-13454.灰色关联分析的步骤灰色关联分析的步骤 (1)确定比较序列确定比较序列(评价对象评价对象)和和参考数列参考数列(评价标准评价标准)；
26、(2)确定各指标值对应的权重；确定各指标值对应的权重；(3)计算灰色关联系数；计算灰色关联系数；(4)计算灰色关联度；计算灰色关联度；(5)评价分析。评价分析。2022-12-1346 取等值权、区间值化算子和分辨取等值权、区间值化算子和分辨系数为系数为0.5时，用软件和程序可求得时，用软件和程序可求得引例引例1中种植畜牧林果业产值与农业中种植畜牧林果业产值与农业总产值的关联度分别为总产值的关联度分别为0.6713,0.7007,0.6908，农业总产值与畜牧业产值关，农业总产值与畜牧业产值关联度最大。联度最大。用程序可求得引例用程序可求得引例2中各产业与中各产业与GDP的关联度分别为的关联度
27、分别为0.5679,0.7811,2022-12-13470.8460，即第，即第3产业与产业与GDP的关联度的关联度最大。但用软件求得的结果为最大。但用软件求得的结果为0.8053,0.9656,0.8542，第，第2产业的关联度最产业的关联度最大。大。引例引例3中各供应商与特征序列中各供应商与特征序列(虚虚拟最优供应商拟最优供应商)的灰色关联度分别为的灰色关联度分别为0.4630,0.5560,0.6491,0.6527,0.4936,0.6130。从而，企业决策者应优先考。从而，企业决策者应优先考2022-12-1348虑从第虑从第4个供应商处采购。个供应商处采购。这里要注意引例这里要注
28、意引例3与引例与引例1,2之间之间的区别：的区别：(1)引例引例1,2是是xi(i=1,2,3)与与x0比较比较,而引例而引例3则是则是xi(i=1,2,3)之间比较之间比较;(2)引例引例3中的有些指标是负面指中的有些指标是负面指标，须进行转换。标，须进行转换。2022-12-1349 练习练习1 2011年度东山矿务局年度东山矿务局5个个矿井生产经营数据如表矿井生产经营数据如表1，试对各矿，试对各矿井经济效益进行综合评价。井经济效益进行综合评价。练习练习2 某企业需要在某企业需要在6个待选的个待选的零部件供应商中选择一个合作伙伴零部件供应商中选择一个合作伙伴,各待选供应商有关数据见表各待选
29、供应商有关数据见表2。2022-12-1350表表1 指标指标白家庄白家庄 杜尔坪杜尔坪西铭西铭官地官地西曲西曲成本成本99.89103.6997.42101.1197.21利润利润96.91124.7866.44143.9688.36产量产量102.63101.85104.39100.94100.64销量销量98.47103.16109.17104.3991.90灰分灰分87.5190.2793.7794.3385.21效率效率108.35106.39142.35121.91158.61资金周转天资金周转天71.67137.1697.65171.31204.52资源回收率资源回收率103.2
30、510010099.13100.22百万吨死亡率百万吨死亡率171.251.3515.9053.7220.782022-12-1351表表2 评价指标评价指标待选供应商待选供应商123456产品质量产品质量0.830.900.990.920.870.95产品价格产品价格326295340287310303地理位置地理位置213825192710售后服务售后服务3.22.42.22.00.91.7技术水平技术水平0.200.250.120.330.200.09经济效益经济效益0.150.200.140.090.150.17供应能力供应能力250180300200150175市场影响市场影响0.2
31、30.150.270.300.180.26交货情况交货情况0.870.950.990.890.820.942022-12-1353 灰色预测的核心是灰色模型，特灰色预测的核心是灰色模型，特点是模型不使用原始数据，而是先对点是模型不使用原始数据，而是先对原始数据做累加，得到近似的指数型原始数据做累加，得到近似的指数型数据，再用微分方程建模。数据，再用微分方程建模。灰色预测的优点是需要的灰色预测的优点是需要的数据少数据少(4个即可个即可)、精度较高、计算简单、精度较高、计算简单、易于检验，缺点是只适合易于检验，缺点是只适合指数增长的指数增长的中短期预测中短期预测。2022-12-13541.GM(
32、1,1)模型模型 GM(1,1)表示表示1阶微分方程且含阶微分方程且含1个变量的灰色模型。个变量的灰色模型。设特征序列的观察值为设特征序列的观察值为X(0)=x(0)(1),x(0)(2),x(0)(n),其一次累加生成序列其一次累加生成序列(1-AGO)为为X(1)=x(1)(1),x(1)(2),x(1)(n),其中，其中，2022-12-1355 根据累加算子的性质根据累加算子的性质,X(1)近似服近似服从指数增长规律。从指数增长规律。X(1)的紧邻均值生成序列为的紧邻均值生成序列为Z(1)=z(1)(2),z(1)(3),z(1)(n),其中，其中，()(),kixkxikn1011
33、2 ()()(),zkxkxkkn111122 3 2022-12-1356 根据差分方程的特性，建立灰差根据差分方程的特性，建立灰差分方程分方程x(0)(k)+a z(1)(k)=b,k=2,3,n,称之为称之为GM(1,1)模型的模型的基本形式基本形式，a 称为发展系数，称为发展系数，b称为灰作用量。称为灰作用量。GM(1,1)模型的基本形式有多种模型的基本形式有多种,上述仅为其中常用的一种形式。上述仅为其中常用的一种形式。代入代入x(0)(k),z(1)(k)后方程化为后方程化为2022-12-1357 根据差分方程理论，方程根据差分方程理论，方程(2)表表明明x(1)(k)为为k的指数
34、函数。的指数函数。将离散差分方程将离散差分方程(1)近似为连续近似为连续()()()abxkxkaa11221222 ()()()()()axkxkxkxkb111112112022-12-1358的微分方程：的微分方程：称之为称之为GM(1,1)模型的模型的白化形式白化形式或或影影子方程子方程。记。记 ()()dxtaxtbdt11 ()()()()()(),xzaxzuYBbxnzn 01010122133112022-12-1359则则GM(1,1)模型的基本形式可写为模型的基本形式可写为Y=Bu。这是一个超定方程。这是一个超定方程,其在最小二其在最小二乘意义下的解为乘意义下的解为u=(
35、BTB)1BTY。求出求出a,b值后，代入白化方程，值后，代入白化方程，可得解可得解称为时间响应函数，从而时间响应序称为时间响应函数，从而时间响应序列为列为()()atbbxtxeaa11112022-12-1360还原值为还原值为()(),akbbxkxeaak10110 1 2 ()()()(),aakxkxkxkbexekna010011110 1 2 2022-12-1361 最后，可以利用残差最后，可以利用残差(相对误差相对误差)对预测值进行检验。若对预测值进行检验。若 ，通常认为达到了较高的要求。通常认为达到了较高的要求。()()(),xkxkkxkkn 0001 2%k 1020
36、22-12-13622.GM(1,1)模型的讨论模型的讨论 从从GM(1,1)的建模预测过程可以的建模预测过程可以很清楚地看出，很清楚地看出，GM(1,1)其实就是基其实就是基于累加生成序列和最小二乘估计的指于累加生成序列和最小二乘估计的指数拟合模型。数拟合模型。GM(1,1)建模机理和预测的稳定建模机理和预测的稳定性一直是众多学者探讨的问题之一，性一直是众多学者探讨的问题之一，但尚未取得大家公认的科学合理的解但尚未取得大家公认的科学合理的解2022-12-1363释。目前达成共识的是释。目前达成共识的是:GM(1,1)可以可以用于用于指数规律较强指数规律较强的单调序列的的单调序列的中短中短期
37、预测期预测；即使用于纯指数增长序列的；即使用于纯指数增长序列的长期预测也可能存在较大误差；预测长期预测也可能存在较大误差；预测精度与发展系数精度与发展系数 a有关。有关。发展系数发展系数 a反映了反映了 及及 的发的发展态势。理论已证明，展态势。理论已证明，时，时，GM(1,1)模型有意义，且模型有意义，且 较小时预测精较小时预测精()x1()x0a 2a2022-12-1364精度较高，而随着精度较高，而随着 的增大，预测误的增大，预测误差会随之变大。差会随之变大。通常，通常，GM(1,1)模型在模型在a0.3时时可用于中长期预测；在可用于中长期预测；在0.3a0.5时已不适时已不适宜做预测
38、。宜做预测。对振荡序列或有饱和的对振荡序列或有饱和的S形序列形序列可用可用GM(2,1)模型或神经网络预测。模型或神经网络预测。a2022-12-1366 利用灰色模型利用灰色模型GM(1,1)预测通用预测通用Matlab程序程序GM，可方便地进行灰色，可方便地进行灰色预测，并绘制预测数据图、进行误差预测，并绘制预测数据图、进行误差检验、计算平均增长率。检验、计算平均增长率。另外，利用灰色系统综合软件另外，利用灰色系统综合软件G M也可以进行各类灰色预测。也可以进行各类灰色预测。2022-12-1367 练习练习3 某县乡镇企业某县乡镇企业19831986年产值为年产值为X=(27260,29
39、547,32411,3538 8)，利用，利用GM(1,1)模型预测该县乡镇模型预测该县乡镇企业企业19862000年间产值平均增长率。年间产值平均增长率。2022-12-1368 练习练习4 某市某市19961999农林牧渔农林牧渔总产值为总产值为X=(73.98,81.50,91.33,98.92),利用利用GM(1,1)模型预测该市模型预测该市200020 05年农林牧渔总产值平均增长率。年农林牧渔总产值平均增长率。2022-12-1369 练习练习5 北方某城市北方某城市19861992年年道路交通噪声平均数据如下：道路交通噪声平均数据如下：用用GM(1,1)模型对模型对1993199
40、6年噪声年噪声数据进行预测，并对模型进行检验。数据进行预测，并对模型进行检验。年年1986198719881989199019911992噪声噪声71.172.472.472.171.472.071.6人有了知识，就会具备各种分析能力，人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说古人说“书中自有黄金屋。书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进鼓舞我们前进。
