1、益阳市 2020 年上期高三复学摸底考试 理 科 数 学 试 题 卷 注意事项： 1本试卷包括试题卷和答题卡两部分；试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 4 页，时量 120 分钟，满分 150 分。 2答题前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在本试题卷和答题卡指定位置，并认真核对答题卡 条形码上的姓名、考号和科目。 3选择题和非选择题均须按答题卡的要求在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。 4考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 第卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的
2、。 1.已知集合 1 |1, |11, MxNx x x =+则 MN = ( ) A. B.( 2,0) C.( 2,1) D.(0,1) 2.设i为虚数单位，若复数 17 () 4 aaR i 是纯虚数，则实数a的值为( ) A.4 B.1 C.1 D.4 3.已知 0.1 32 23 (tan) , log 2, log (cos) 57 abc =，则( ) A.abc B.bac C.cab D.acb 4.函数 f(x)x|x|sin2x 的大致图象是( ) 5.设等差数列 n a的前 n 项和为 n S， 若 457 2, 14aSS+=， 则公差d的值为( ) A.4 B.2
3、C. 2 D.4 6.若 24 (1)(2)axx+的展开式中 3 x的系数为 8，则实数a的值为( ) A. 1 2 B. 1 2 C.1 D.1 7.两个非零向量, a b满足2ababb+=，则向量ab+与a的夹角为( ) A. 6 B. 3 C. 2 3 D. 5 6 8.执行如右图所示的程序框图，在可行域内任取一有序数对( , )x y，那么该数对能 被 输出的概率为( ) A. 8 B. 4 C. 6 D. 2 姓名 考号 （第 8 题图） 9.将函数cos(2)yx=+的图像向右平移 3 个单位长度，得到的函数为奇函数，则的最小值为( ) A. 12 B. 6 C. 3 D. 5
4、 6 10.双曲线 22 1 916 xy =的右焦点为 F，P 是双曲线上一点，点 M 满足=1, 0MFMF MP=, 则MP的最小 值为( ) A.3 B.2 C.3 D.2 11.在棱长为2的正方体 1111 ABCDABC D中，P为线段 11 AD的中点，若三棱锥PABC的四个顶点都在 球O的球面上，则球O的表面积为( ) A12 B10 C 41 4 D 21 2 12.已知函数 2 2,02 ( ), ( )2 2 (2),2 xxx f xg xkx f xx =+ ，若函数( )( )( )F xf xg x=在0, )+ 上 有且仅有两个不同的零点，则实数 k 的取值不可
5、能为( ) A. 2 3 B. 1 2 C. 3 4 D.1 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题： （本题共 4 小题。每小题 5 分，共 20 分） 13.设曲线xxayln)1(=在点(1, 0)处的切线方程为33 = xy，则 a= . 14.函数 f(x)6sinx 2cos x 28cos 2x 2(xR)的最大值等于 . 15.设等比数列 n a 满足10,20 4231 =+=+aaaa，则 n aaaa 321 的最大值为 . 16.已知直线2(0)ykxk=与抛物线 C：yx8 2 =相交于 A, B 两点，F 为 C 的焦点， 若FBFA2=,则 k = .
6、 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.(本小题满分 12 分) ABC的内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,已知2(cos)3 ,caBb= (1)求角 A； (2)若 a=2,求ABC 面积的取值范围. 18(本小题满分 12 分) 如图，三棱柱 111 CBAABC中，CCBBAOOCBBCBBBC 11111 ,平面=. (1)求证： 1 ;ABB C (2)若=60 1BC B，直线CCBBBA 1111
7、 与平面所成的角为30，求二面角 111 ABCA 的余弦值. 19.(本小题满分 12 分) 某景点共有999级台阶，寓意长长久久游客甲上台阶时，可以一步走一个台阶，也可以一步走两个 台阶，无其它可能。若甲每步上一个台阶的概率为 1 2 ，每步上两个台阶的概率也为 1 2 为了简便描述问 题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第 n个台阶的概率为 n P，其中 * nN，且999n (1)甲走3步时所得分数为X，求X的分布列和数学期望； (2)证明：当 * nN，且998n 时，数列 1 nn PP + 是等比数列，并求甲登上第 100 级
8、台阶的概率 100 P 20.(本小题满分 12 分) 已知 A, B 分别在 x 轴，y 轴上运动，3=AB，点 P 在线段 AB 上，且PABP2=。 (1)求点 P 的轨迹的方程 (2)直线 l 与交于 M,N 两点，() 0,-1Q ,若直线 QM, QN 的斜率之和为 2，直线 l 是否恒过定点？ 若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由。 21. (本小题满分 12 分) 已知函数已知函数 2 ( )(1) x f xexa x=+ (1)当当0a =时，求时，求( )f x在点在点(1, (1)f处的切线方程；处的切线方程； (2)若函数若函数 f(x)在在 R 上单调递增，求实数
9、上单调递增，求实数 a 的取值范围；的取值范围； (3)证明：当证明：当0x 时，不等式时，不等式 2 (42 )1 lnln21 2 x ee x x x + +成立成立. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.【选修44 坐标系与参数方程】(10 分) 已知在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 C 的参数方程为 = = sin3 cos2 y x （为参数） ， 直线 l 的参数方程为 2 t 1 xmt yt = = + （ 为参数） (1)若 m=1，求曲线 C 与直线 l 的两个交点之间的距离； (2)若曲线 C
10、上的点到直线 l 的距离的最大值为52，求 m 的值. 23.【选修45 不等式选讲】 （10 分） 已知函数( )21 +=xtxxf，Rt. (1)当 t=1 时，解不等式( )2f x ； (2)若不等式( )20f xt 恒成立，求实数 t 的取值范围. 益阳市 2020 年上期高三复学摸底考试 理科数学参考答案及评分标准 一、单项选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1B 2A 3A 4A 5C 6B 7A 8B 9B 10C 11. C 12. A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
11、。 13 4 14 9 15. 1024 16. 3 2 4 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 17 12cos)3 2 sinsincos)3sin 2 sin()sincos3sin 2cossin3sin4 sin0 3 cos 2 0 (6 6 cBb CABB ABABB ABB B A A A = = += = = + += = + （即 （ 分） -（4 分） 13319 ()3456 88882 E X = + +=-(6 分) (2)由题可知：
12、 21 2 1 2 1 nnn PPP + +=-(8 分) 所以 211 1 () 2 nnnn PPPP + = 又 1 1 2 P = ， 2 2 113 ( ) 224 P =+= ，所以 21 1 0 4 PP= ， 所以 1 nn PP + 是以 1 4 为首项， 1 2 为公比的等比数列 1 1 11 () 42 n nn PP + =-(10 分) 100100999998211 ()()()PPPPPPPP=+L 98971 11111 ()()()1 42222 =+ + +L = 100 11 2 32 + -(12 分) P 3 4 5 6 X 1 8 3 8 3 8
13、1 8 高三理科数学答案第 3 页 共 6 页 12 12 12 2 12 22 1212 1222 12222 2 11 2 (1)()(1)2 22,22 1 19 1410,0, 11,110 , 11112 2 QMQN yy xx mxxmkm kk x xm mk mkkm lykxk lxxyy yyyy xxxxx + += + += = = + =+ = + +=+= 直线，斜率之和为 即 （ 分） 时，满足即符合题意 此时 ：恒过定点（）（分） 当 斜率不存在时， 2 1,1,1,1 1,112 xlx l = 此时 ：恒过定点（） 综上，直线 恒过定点（）（分） 21 解
14、：(1)0a =时， 2 ( ) x f xex=，( )2 x fxex=1 分 (1)2fe=，(1)1fe= 切线方程为(2)1yex=+3 分 (2)由题可知( )20 x fxexa=+在 R 上恒成立4 分 2 x exa恒成立 设函数( )2 x g xex=，则( )2 x g xe= 令( )0 ln2g xx=得 当ln2x ( )g x在(, ln2)单调递减，在(ln2, )+ 单调递增5 分 min ( )(ln2)22ln2g xg=6 分 22ln2, aa 的取值范围是2ln22, )+ 7 分 (3)首先证明：当0a =时，( )(2)1f xex+. 设(
15、)( )(2)1h xf xex=，则( )22, ( )2 xx h xexeh xe=+=. 易得：( )(0, ln2)h x在单调递减，在(ln2, )+ 单调递增. 又(0)30, (1)0, 0ln21, (ln2)0hehh=恒成立10 分 即： 2 (2)1 x exex+，变形得： (2)1 x eex x x 设 k(x)=x-1-lnx,(x)=1-1 , (1) = 0, 当 x (0,1)时，(x)0， ()= (1) = 0, ln1xx ，即ln1xx + (2)1 ln1 x ee x x x + + 将 x 替换成 2x 得： 2 (42 )1 lnln21
16、2 x ee x x x + +12 分 -112 1 高三理科数学答案第 5 页 共 6 页 22 2 22 2 1212 2 2 11:230,:1 43 23 4630 3412 1()4 133105 1 ()44 2244 2220 2cos , 3sin ) 2cos xy ml xyC yx xx xy Clkxxx x lxym Cl d =+=+= = = += + =+ = += = 22解：（）若，椭圆 联立得 曲线 与直线 两交点间距离为： （ 分） （ ）直线 的普通方程为： 故曲线 上的点（到直线 的距离 max max 4sin2 2 3sin2 6 6 55 4
17、2 22 5,4 5 42 22 5,8 5 48- m m m mdm m mdm mm + + = + = 1 分 当0a时，( )0fx恒成立，此时( )f x在(0,)+单调递增2 分 当0a 时，令( )0fx=得 1 2 x a = 当 1 0 2 x a 时，( )0fx时，( )f x在 1 (0, ) 2a 单调递增，在 1 (,) 2a +单调递减6 分 (2)由题可知：( )ln(2) x g xex=+， 设2xt+=，要证原式只要证 2 ln0 t et ，即证 2 ln0 t eet 设 2 ( )ln t h teet= 2 ( ) t e h te t =显然是
18、一个增函数 且(1)0, (2)0hh，( )h t在(1,2)存在唯一的零点 0 t7 分 当 0 (0, )( )0tth t 0 ( )(0, )h tt在单调递减，在 0 ( ,)t +单调递增8 分 0 2 min00 ( )( )ln t h th teet=9分 0 2 00 0 , 2ln t e ett t = 10 分 2 222 0000 000 11 ( )(2)(2)(22)0 e h te tetet ttt =+=+=11 分 ( )0h t 恒成立，( )0g x 结论得证.12 分 文科数学参考答案第 4 页（共 6 页） 22(1)由曲线 C 的极坐标方程
19、2 2 12 3cos = + 得 222 3cos12+= 22 4312xy+=，即： 22 1 34 xy +=5 分 (2)点 P 的直角坐标为(0, 1)，将 cos 1sin xt yt = = + 代入 22 4312xy+=得： 222 4cos3(1sin)12tt+=即： 222 (4cos3sin)6 sin90tt+=7 分 1 2 222 9918 4cos+3sincos37 PAPBt t = + 8 分 解得 2 cos 2 = ，9 分 因为0 2 分 ( )f x在(, 1) 单调递减，在(1,)+单调递增，在 1,1为常数 23 分 故函数 f(x)有最小值 2，所以 m2.，4 分 取等号时 1,1x 5 分 【另解】11(1)(1)2xxxx+=，3 分 当且仅当(1)(1)0, 1,1xxx+ 即时取等号5 分 (2)由(1)可知 2a22b22， 故 a21b224，6 分 所以 1 a21 1 b22 1 a21 1 b22 a 21b22 4 2b 22 a21 a21 b22 4 1， 故 1 a21 1 b22的最小值为 18 分 文科数学参考答案第 5 页（共 6 页） 当且仅当 a21b222， 即 a21，b20 时等号成立，10 分 文科数学参考答案第 6 页（共 6 页）
