1、2022-12-1913.1 3.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述 活动的分类活动的分类（1 1）确定性活动（确定性活动（deterministic activitydeterministic activity）活动的变化规律已知，活动结果可以准确预计，在一定条件 下活动可以准确地再现和重复，或由根据过去状态可以准确 预见活动的未来进展。例如：重物的自由落体运动，炮弹的运行轨迹及落点等都可 以根据相关公式进行计算。Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-1923.1 3.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机
2、分布概述（2）随机性活动（随机性活动（stochastic activitystochastic activity或或probabilistic activityprobabilistic activity）活动的结果难以准确预见难以准确预见，即使在相同的条件下进行重复 试验，每次试验的结果未必相同结果未必相同，或者由过去状态不能确 定相同条件下活动的未来发展趋势。例如：抛掷硬币时，每次硬币是正面向上还是正面向下；南京长江大桥每一时段汽车的通行量；百货商店内不同时 刻到达的顾客人数；从一批相同型号齿轮中任意抽取一个 齿轮，测量它在一定条件下的工作寿命；某型号发电机组 每次的大修时间等。Jian
3、g Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-1933.1 3.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述 对于随机性活动，我们可以定义一个变量，以变量的不同 取值表示活动的不同结果，并通过统计确定变量取不同数 值的概率，将这类变量称为随机变量（随机变量（random variablerandom variable或或 stochastic variablestochastic variable）。根据取值是否连续，随机变量可分为离散型随机变量离散型随机变量和连连 续型随机变量续型随机变量。Jiang Zengqiang,Hefei
4、University of Technology2022-12-1943.1 3.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述3.1.1 3.1.1 离散型随机变量离散型随机变量 若随机变量的取值为有限个数值或为可以逐一列举的无穷 多个数值，则称此类随机变量为离散型随机变量离散型随机变量 （discrete random variablediscrete random variable）。设离散随机变量X所有可能的取值为x1、x2、xn、，并且所有可能取值的概率分别为p1、p2、pn、，则 将xi，pi（i=1，2，n，）配对的集合称为随机随机 变量变量X X的概率分布（的概率分布（pro
5、bability distributionprobability distribution），并将 P=p1，p2，pn，称为随机变量随机变量X X的概率质量函数的概率质量函数 （probability mass functionprobability mass function，pmfpmf）。Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-1953.1 3.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述 概率质量函数满足以下条件：pi 0（i=1，2，n，）11iipJiang Zengqiang,Hefei Universit
6、y of Technology2022-12-1963.1 3.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述 设F（x）为离散型随机变量的累积分布函数（累积分布函数（cumulative cumulative distribution function distribution function，cdfcdf），它表示X小于或等于某 个给定值xi（i=1，2，n，）的概率函数：)()(0iiixXpXF 累积分布函数具有以下特性：F（x）为单调递增函数，即当xy时，有F（x）F（y）。1)(0 xFJiang Zengqiang,Hefei University of Technology
7、2022-12-1973.1 3.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述例如例如，某班有40名学生，现对某门课程考试成绩X进行统计分析，其中优秀A（x90分）为5人、良好B（80 x90）为16 人、中等C（70 x80）为12人、及格D（60 x70）为5 人、不及格E（x60）为2人，绘制课程成绩分布直方图、绘制成绩的概率分布和累积分布函数。Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-1983.1 3.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述3.1.2 3.1.2 连续型随机变量连续型随机变量 若随机变量X可
8、以在某个数值区间内连续取任一数值，则称 之为连续型随机变量（连续型随机变量（continuous random variablecontinuous random variable）。由于X的取值为无穷多个点，我们无法定义X在某一个数值点 的概率，只能考察X落入某个子区间内的概率。badxxfbaP)(),(X的概率密度函数（概率密度函数（probability density functionprobability density function，pdfpdf）Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-1993.1 3.1
9、随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述 f（x）需满足以下条件：1)(dxxf0)(xf F（x）为连续型随机变量的累积分布函数（连续型随机变量的累积分布函数（cdfcdf），它表示 随机变量小于或等于x的概率：xdxxfxXPxF)()()(当x1x2时，有F（x1）F（x2）1)(0 xFJiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19103.1 3.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述要求绘制均匀分布U（a，b）的概率密度函数f（x）曲线和累积分布函数F（x）曲线。Jiang Zengqiang,Hefei
10、 University of Technology2022-12-19113.1 3.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19123.1 3.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述3.1.3 3.1.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 概率函数、概率密度函数以及累积分布函数等反映了随机 变量的某些概率特征。但是，在工程实际中，往往存在以 下情况：无法了解或无需知道随机变量准切的概率特征；无法了解或无需知道随机变量准切的概率特征；只能得到或只需利用随机变量的具有
11、代表性的数值。只能得到或只需利用随机变量的具有代表性的数值。此时，仅靠概率函数、概率密度函数和累积分布函数等参数还不足以反映随机变量的某些特性。Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19133.1 3.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19143.1 3.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述 也称数学期望值（expectation或expected value），或随 机变量的一阶矩（the
12、first moment）它是指随机变量取值的平均数，表示随机变量取值的集中 程度。一般以E（X）或表示。1 1平均值平均值（mean或mean value）Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19153.1 3.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述 若某一随机变量的方差为0，则表示该随机变量没有偏差，此时随机变量退化为一个确定值。因此，确定性变量可认为 是方差为零的随机变量，是随机变量的一种特殊形式。2 2方差和标准差方差和标准差（variance）方差的定义为：2)()(XExEXDi 表示随机变量相对于均
13、值的平均分散和变动程度表示随机变量相对于均值的平均分散和变动程度Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19163.1 3.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述方差的单位是随机变量单位的平方。为了保持与随机变量单位的一致性，常以方差的平方根作为衡量分散性的尺度。将方差的平方根称为随机变量的标准差（标准差（standard standard deviationdeviation），通常以表示，即：)(XDJiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-191
14、73.1 3.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19183.1 3.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19193.1 3.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述 为了更好地描述随机变量的分散程度分散程度，引入变异系数的概 念，也称变化系数变化系数或变差系数变差系数。变异系数是指随机变量的 标准差与平均值的比值，即：3 3变异系数变异系数（coe
15、fficient of variation）由于标准差与平均值的量纲相同，变异系数是无量纲量变异系数是无量纲量，它不受数据量纲的影响。变异系数的数值越小，则随机变变异系数的数值越小，则随机变 量的分散性越小量的分散性越小。Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19203.1 3.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述 模数也称众数众数，它是指随机变量的频率（或频数）取得某 个峰值时的随机变量的值。当随机变量的概率密度函数有多个峰值时，通常取最大峰 值作为随机变量的模数。对于离散型随机变量，观测值出现最多的数即为模数
16、；对 于连续型随机变量，模数是指概率密度函数为极大值时的x 值，即概率密度函数峰值所对应的x值。4 4模数模数（mode number）Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19213.1 3.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述 中间值也称中位数中位数。对于随机变量X，若存在一个点xm使得随机变量的一半数值 落在该点以下，则称xm点为随机变量的中间值，即与F（x）=0.5相对应的点。也可以由累积分布函数曲线求得随机变量的中间值。(how to calculate?)(how to calculate?)5 5中
17、间值中间值（medium value）Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19223.1 3.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19233.1 3.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述3.1.4 3.1.4 常用随机分布类型及其特性常用随机分布类型及其特性 根据参数的物理意义和几何意义，可以将分布参数分为：位置参数位置参数（location parameter）比例参数比例参数（scale
18、parameter）形状参数形状参数（shape parameter）也称为位移参数位移参数，它确定分布函数在横坐标（x轴）的取值 范围。当位置参数发生变化时，分布函数在横坐标的位置 上会向左或向右发生偏移，而它的范围或形状不发生变化。（1）位置参数位置参数Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19243.1 3.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19253.1 3.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随
19、机分布概述Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19263.1 3.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述 比例参数用于确定在分布范围内取值大小的比例尺度。当比例参数的数值改变时，分布函数被压缩或扩张，分 布的范围发生改变，但分布的基本形状不会改变。（2）比例参数比例参数Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19273.1 3.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述Jiang Zengqiang,Hefei University of
20、Technology2022-12-19283.1 3.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19293.1 3.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述 形状参数用来决定分布函数的基本形状，改变分布函数的 性质。形状参数与位置参数、比例参数之间相互独立形状参数与位置参数、比例参数之间相互独立。与位置参数、比例参数相比，形状参数可以从根本上改变与位置参数、比例参数相比，形状参数可以从根本上改变 分布的形状分布的形状。一些分布（如正态分布、指数分布等）没有形状参数；另 一
21、些分布（如分布、威布尔分布等）具有形状参数。（3）形状参数形状参数Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19303.1 3.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19313.1 3.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19323.1 3.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述 广义
22、分布分布和WeibullWeibull分布都是三参数分布，由于具有形状 参数，它们具有很强的数据拟合能力。通过改变参数数值，可以模拟其它分布或具有与其它分布相类似的属性。分布可以用来模拟威布尔分布或正态分布；当形状参数=1时，威布尔分布演化为指数分布指数分布；当=3.43954时，威布尔分布接近于正态分布接近于正态分布。Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19333.1 3.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-
23、12-19343.2 3.2 随机数的生成方法随机数的生成方法3.2.1 3.2.1 随机数的特性随机数的特性 随机数（随机数（random numbers）是随机变量的取样值，它是离 散事件系统仿真的基础和必备的建模元素。任何离散事件系统仿真程序或模型都必须具备能够产生指定 分布的随机变量生成模块或子程序。运行仿真程序或模型，当用户赋予某一随机变量以确定参数 的分布时，仿真系统就调用调用和生成生成相应的随机变量，以便再 现系统的随机特征。Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19353.2 3.2 随机数的生成方法随机数的
24、生成方法 其中，产生00，11区间上均匀分布区间上均匀分布的随机数是产生随机变 量的基础，其它类型分布（如正态分布、分布、分布、指数分布等）都是在0，1均匀分布的基础上通过一定变 换实现的。鉴于0，1区间均匀分布随机数在系统仿真中的重要性，通常将生成这种类型随机数的算法或程序称为随机数发生随机数发生 器（器（random number generator）。Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19363.2 3.2 随机数的生成方法随机数的生成方法 仿真程序中的随机数序列必须具有以下统计特性：均匀性（均匀性（uniform
25、ityuniformity）：随机变量在其可能取值范围中任一随机变量在其可能取值范围中任一 区间出现的概率和此区间的大小与可能值范围的比值成正区间出现的概率和此区间的大小与可能值范围的比值成正 比比。独立性（独立性（independenceindependence）：在某个区间内一个观测值发生在某个区间内一个观测值发生 的概率与先前已有的观测值结果无关的概率与先前已有的观测值结果无关。仿真程序中常根据确定的递推公式递推公式近似地生成随机数。这些 随机数并不能严格地满足“均匀性均匀性”和“独立性独立性”准则，不 是真正的随机数，又能在某种程度上表现出随机性，常称之 为伪随机数（伪随机数（pseu
26、do random number）。Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19373.2 3.2 随机数的生成方法随机数的生成方法 随机数发生器的随机数发生器的评价指标评价指标：（1）随机性（随机性（randomnessrandomness）（2）长周期（长周期（long periodlong period）（3）可再现性（可再现性（reproducibilityreproducibility）（4）高计算效率（高计算效率（high computational efficiencyhigh computational eff
27、iciency）Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19383.2 3.2 随机数的生成方法随机数的生成方法（1）中值平方法中值平方法 随机数发生器的设计随机数发生器的设计（3）混合同余法混合同余法（2）线性同余法线性同余法（4）乘同余法乘同余法（5）组合法组合法Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19393.2 3.2 随机数的生成方法随机数的生成方法 产生0，1区间上均匀分布的随机数是生成随机变量的基础。其它类型的分布，如正态分布、分布、分布、泊松
28、分布等，都可以通过对0，1区间均匀分布的转化来实现。用于产生0，1区间均匀分布随机数的专门程序称为 随机数发生器（随机数发生器（random-number generatorrandom-number generator）随机数发生器应具备的特点随机数发生器应具备的特点：随机性（randomness）长周期（large period）可再现性（reproducibility）计算效率高（computational efficiency）Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19403.2 3.2 随机数的生成方法随机数的生成
29、方法 线性同余法（线性同余法（linear congruencelinear congruence）：）：)(mod(1mcaZZii式中，m为模数（modulus）a为乘数（multiplier）c为增量（increment）其中，Z0为种子数，由上式产生一系列数Z1，Z2，,Zi；令UiZi/m得到区间0，1上的随机数Ui（i1，2，）3.2.2 3.2.2 随机数发生器的设计随机数发生器的设计Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19413.2 3.2 随机数的生成方法随机数的生成方法线性同余法举例线性同余法举例（m=
30、24，a=13，c17，Z05）Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19423.2 3.2 随机数的生成方法随机数的生成方法线性同余法的代码实现：线性同余法的代码实现：Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19433.2 3.2 随机数的生成方法随机数的生成方法线性同余法的缺点：线性同余法的缺点：Ui并不是真正意义上的均匀分布随机数；当模数m较小时，Ui只能取到有限个数值。为取得近似均匀分 布的数值，m通常取得很大（如m109）。由于Ui只能取到有限个数
31、值，随机数发生器会出现周期性。Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19443.2 3.2 随机数的生成方法随机数的生成方法 混合同余法（混合同余法（Mixed congruenceMixed congruence）乘同余法（乘同余法（Multiplicative congruenceMultiplicative congruence）取小数法取小数法 取小数法又可分为平方取小数法平方取小数法和开方取小数法开方取小数法。平方取小数法平方取小数法：将前一次随机数平方后的数，取其小数点后第 一个非零数字后面的尾数作为下一个所求的
32、随机数。Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19453.2 3.2 随机数的生成方法随机数的生成方法 开方取小数法：开方取小数法：将前一次随机数开方后的数，取其小数点后 第一个非零数字后面的尾数为下一所求随机数。Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19463.2 3.2 随机数的生成方法随机数的生成方法 随机数发生器的检验随机数发生器的检验：参数检验参数检验：检验该随机分布的参数估计值与0，1均匀分布的 参值（或称理论值）的差异是否显著。独立性检验独立
33、性检验：检查随机数序列u1，u2，un前后各项的统计 相关是否显著。均匀性检验（频率检验）均匀性检验（频率检验）：检查随机数序列u1，u2，un的 实际频率与理论频率的差异是否显著。.Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19473.2 3.2 随机数的生成方法随机数的生成方法 随机变量的实现原理随机变量的实现原理 如前所述，产生0，1区间上均匀分布的随机数是生成其它类 型随机变量的基础。随机变量生成算法应具备的特点：效率（效率（efficientefficient）：占用内存小，执行时间短 精确性（精确性（exactnes
34、sexactness）：满足一定的精确度要求 鲁棒性（鲁棒性（robustnessrobustness）：健壮，适应Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19483.2 3.2 随机数的生成方法随机数的生成方法 逆变法逆变法 随机变量的生成算法随机变量的生成算法：Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19493.2 3.2 随机数的生成方法随机数的生成方法逆变法生成连续随机变量原理图Jiang Zengqiang,Hefei University of T
35、echnology2022-12-19503.2 3.2 随机数的生成方法随机数的生成方法例例1 1：求服从指数分布的随机数所求的变量为：上式可以简化为：Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19513.2 3.2 随机数的生成方法随机数的生成方法例例2 2：求服从如下分布密度函数f（x）的随机变量x其分布函数为：其反函数F-1（x）为：Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19523.2 3.2 随机数的生成方法随机数的生成方法 组合法组合法 取舍法取舍法 卷积法卷积法Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19533.2 3.2 随机数的生成方法随机数的生成方法 常用分布类型随机变量的实现：常用分布类型随机变量的实现：Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology2022-12-19543.2 3.2 随机数的生成方法随机数的生成方法Jiang Zengqiang,Hefei University of Technology
