1、数学（理科）试题参考答案及评分标准 第1页（共4页） 长春市长春市普通高中普通高中 2020 届届高三质量监测（高三质量监测（二二） 数学（理科）试题参考答案及评分参考数学（理科）试题参考答案及评分参考 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1. B 2. A 3. C 4. A 5. D 6. D 7. A 8. C 9. B 10. C 11. C 12. A 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，16 题第一空 2 分，第二空 3 分，共 20 分） 13. 4 14. 2 15. 5 11 ( , 6 12 16. 2 2 4 33 ， 三、解答题
2、 17. (本小题满分本小题满分 12 分分) 【参考答案与评分细则】解： （）由题意0.025m=. （4 分） （） 22 2 ()100 (800300) 4.762 ()()()()50 50 30 70 n adbc K ab cd ac bd = + . 对照表格可知，4.7626.635， 不能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系. （12 分） 18. (本小题满分本小题满分 12 分分) 【参考答案与评分细则】解： （）由题意， 1 1 ABMNG ABGN GNMNG 平面 平面 ， 设 1 AB与GN交于点E， 在BNE中，可求得 4 5
3、5 BE =，则 1 6 5 5 AE =， 可求得 1 3AG =，则1AG =. （6 分） （）以 1 B为原点， 1 B B方向为x轴， 1 BC方向为y轴， 11 B A方向为z轴， 建立空间直角坐标系. (4,0,0)B，(2,2,0)M，(3,0,2)G，(2,0,0)N ( 2,2,0)BM = ，( 1,0,2)BG = ， 1 (2,2,1)n = (0,2,0)NM =，(1,0,2)NG =， 2 (2,0, 1)n = 12 12 |35 |cos| 5| |35 n n nn = . 即二面角BMGN的余弦值为 5 5 . （12 分） 19. (本小题满分本小题满
4、分 12 分分) 【参考答案与评分细则】 （）已知 21 430 nnn aaa + +=， 则 211 3() nnnn aaaa + =， 擅长 不擅长 合计 男性 20 30 50 女性 10 40 50 合计 30 70 100 数学（理科）试题参考答案及评分标准 第2页（共4页） 且 21 3aa=，则 1 nn aa + 为以 3 为首相，3 为公比的等比数列， 所以 1 3n nn aa + =， 112211 31 ()()() 2 n nnnnn aaaaaaaa =+=. . （6 分） （）由（）得：3n n bnn=， 12 1 32 33n n Tn= + + ， 2
5、31 31 32 3(1) 33 nn n Tnn + = + + ， -可得 1 1211 33 233 333 2 n nnn n Tnn + + =+ = ， 则 111 333(21) 33 424 nnn n nn T + + = += 即 1 (21) 33(1) 42 n n nn n S + + =. （12 分） 20. (本小题满分本小题满分 12 分分) 【参考答案与评分细则】解： （）已知点P在椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab +=上， 可设 00 (,)P x y，即 22 00 22 1 xy ab +=， 又 22 000 222 000 3 4
6、APBP yyyb kk xa xaxaa = = + ， 且22c =，可得椭圆C的方程为 22 1 43 xy +=. （4 分） （）设直线AP的方程为：(2)yk x=+，则直线OM的方程为ykx=. 联立直线AP与椭圆C的方程可得： 2222 (34)1616120kxk xk+=， 由2 A x =，可得 2 2 68 34 p k x k = + ， 联立直线OM与椭圆C的方程可得： 22 (34)120kx+=，即 2 2 12 34 M x k = + ， 即 222 | | | |2| |02| 2 | PAQA P MM xxxx APAQx OMxx + =. 即 2
7、| | | APAQ OM 为定值，且定值为 2. （12 分） 21. (本小题满分本小题满分 12 分分) 【参考答案与评分细则】 （）已知函数( ) x f xe=，则(1, (1)f处即为(1, ) e， 又( ) x fxe=，(1)kfe=， 可知函数( ) x f xe=过点(1, (1)f的切线为(1)yee x =，即yex=. （4 分） 数学（理科）试题参考答案及评分标准 第3页（共4页） （）不等式 2 1 (2 ( )2 21mf xkm x +中， 当0m=时，显然成立； 当0m时，不等式可化为 2 12 21 2 ( ) km f x xm + 令 11 ( )2
8、 ( )2 x h xf xe xx =+=+， 则 2 1 ( )2 x h xe x =， 令 0 0 2 0 1 ()20 x h xe x =，解得 0 13 23 x（此处可由验证得到）. 即( )h x的最小值为 0 0 2 000 111 ()2 x h xe xxx =+=+，令 0 1 ( 3,2)t x = ， 则 2 2 00 11 (33,6)tt xx +=+ +，将( )h x的最小值设为a，则(33,6)a+， 因此原式需满足 2 2 21km a m ，即 2 2 210amkm+ 在mR上恒成立， 又0a ，可知判别式840ka=即可，即 2 a k ，且(3
9、3,6)a+ k可以取到的最大整数为 2. （12 分） 22. (本小题满分本小题满分 10 分分) 【参考答案与评分细则】 （）曲线 1 C的普通方程为： 22 (2)4xy+=； 曲线 2 C的普通方程为：80xy+ =. （5 分） （）设过原点的直线为tanyx=（ 3 4 ） ；在曲线 1 C中，| 4|cos |OM=. 而O到直线与曲线 2 C的交点N的距离为 8 | sincos ON = + ， 因此 2 8 |24 sincos |4|cos|sincoscos| |2sin(2) 1| 4 ON OM + = + + ， 即 | | ON OM 的最小值为 4 4( 21) 21 = + . （10 分） 23. (本小题满分本小题满分 10 分分) 【参考答案与评分细则】 数学（理科）试题参考答案及评分标准 第4页（共4页） （）当2a =时， 3 ,1 1 ( ) |21|1|2,1 2 1 3 , 2 xx f xxxxx xx =+=+ ， 由此可知，( )9f x 的解集为 | 33xx （5 分） （）当0a 时，( )f x的最小值为(1)1f； 当0a =时，( )f x的最小值为(1)1f=； 当0a时，( )f x的最小值不恒大于 1. 综上，(0,)a+. （10 分）
