1、第十二章 差错控制编码 在信源编码的基础上，为了提高传输系统在信源编码的基础上，为了提高传输系统的抗干扰能力，需要在数字调制之前对数字基的抗干扰能力，需要在数字调制之前对数字基带信号进行某种前向纠错编码，也就是带信号进行某种前向纠错编码，也就是信道编信道编码码。信道编码信道编码的目的是提高通信系统纠错的目的是提高通信系统纠错能力，因而也称为能力，因而也称为差错控制编码。差错控制编码。为了在接收端获得应用的高质量图像为了在接收端获得应用的高质量图像和声音，信道编码需对信源编码后的数据流添和声音，信道编码需对信源编码后的数据流添加一些符合特定逻辑关系的附加数据，这必将加一些符合特定逻辑关系的附加数
2、据，这必将使传输码率增加。使传输码率增加。信道编码一般有下列要求：(1)(1)增加尽可能少的数据率而可获得较强的检错和纠错能力，即编码增加尽可能少的数据率而可获得较强的检错和纠错能力，即编码效率高，抗干扰能力强；效率高，抗干扰能力强；(2)(2)对数字信号有良好的透明性，也即传输通道对于传输的数字信号对数字信号有良好的透明性，也即传输通道对于传输的数字信号内容没有任何限制；内容没有任何限制；(3)(3)传输信号的频谱特性与传输信道的通频带有最佳的匹配性；传输信号的频谱特性与传输信道的通频带有最佳的匹配性；(4)(4)编码信号内包含有正确的数据定时信息和帧同步信息，以便接收编码信号内包含有正确的
3、数据定时信息和帧同步信息，以便接收端准确地解码；端准确地解码；(5)(5)编码的数字信号具有适当的电平范围；编码的数字信号具有适当的电平范围；(6)(6)发生误码时，误码的扩散蔓延小。发生误码时，误码的扩散蔓延小。其中，最主要的可概括为两点：其中，最主要的可概括为两点：其一，附加一些数据信息以实现最大的检其一，附加一些数据信息以实现最大的检错纠错能力，这就涉及到差错控制编码错纠错能力，这就涉及到差错控制编码原理和特性。原理和特性。其二，数据流的频谱特性适应传输通道的其二，数据流的频谱特性适应传输通道的通频带特性，以求信号能量经由通道传通频带特性，以求信号能量经由通道传输时损失最小，因此有利于载
4、波噪声比输时损失最小，因此有利于载波噪声比(载噪比，载噪比，C/N)C/N)高，发生误码的可能性小。高，发生误码的可能性小。解决误码从两个方面着手1 1、通过合理选择码型，尽量减少传输信道、通过合理选择码型，尽量减少传输信道发生误码的可能发生误码的可能2 2、进行误码控制，既增强信道的纠错能力、进行误码控制，既增强信道的纠错能力差错控制编码原理 为了能判断发送的信息是否有误，可以在发送时增加必要为了能判断发送的信息是否有误，可以在发送时增加必要的附加数据。又为了能纠正一定程度的错误，这需要增加更多的附加数据。又为了能纠正一定程度的错误，这需要增加更多的附加数据。这些附加数据在不发生误码的情况下
5、，是完全多的附加数据。这些附加数据在不发生误码的情况下，是完全多余的，但若发生误码，便可利用信息数据与附加数据之间特定余的，但若发生误码，便可利用信息数据与附加数据之间特定的关系实现误码检知和误码纠正。的关系实现误码检知和误码纠正。换言之，为使信源代码具有检错纠错能力，应按一事实上换言之，为使信源代码具有检错纠错能力，应按一事实上规则在信源编码所产生数据的基础上增加一些冗余码元（又称规则在信源编码所产生数据的基础上增加一些冗余码元（又称监督码或检验码），使监督码元和信息码元之间建立一种确定监督码或检验码），使监督码元和信息码元之间建立一种确定的关系，发送端完成这项任务的过程就称为差错控制编码。
6、的关系，发送端完成这项任务的过程就称为差错控制编码。l注意：注意：l 无论检错还是纠错，都有一定的差错无论检错还是纠错，都有一定的差错识别范围，误码严重而超过识别范围时，识别范围，误码严重而超过识别范围时，将不能实现检错和纠错，甚至越纠越错。将不能实现检错和纠错，甚至越纠越错。差错控制编码的方式1.1.反馈重发反馈重发(ARQARQ，自动重发请求自动重发请求)方式方式 这种方式中，接收端发现误码后通过反馈信道请求这种方式中，接收端发现误码后通过反馈信道请求发送端重发数据。因此，接收端需要有误码检测和反馈发送端重发数据。因此，接收端需要有误码检测和反馈信道。信道。优点：优点：系统的编解码设备比较
7、简单、纠错能力强，适系统的编解码设备比较简单、纠错能力强，适合于干扰不严重的点对点通信中应用。合于干扰不严重的点对点通信中应用。缺点：缺点：当信道质量较差而干扰频繁发生时，经常处于当信道质量较差而干扰频繁发生时，经常处于重发信息状态，使信息的连续性和实时性很差。重发信息状态，使信息的连续性和实时性很差。DATA0DATA0ABNAKACKDATA0DATA1ABACKACK出错DATA0DATA0ABACK丢失tDATA0DATA0ABACKtACK丢失2.前向纠错(FEC)方式 这种这种方式中，发送端发送的数据内方式中，发送端发送的数据内包括信息码元以及供接收端自动发现错包括信息码元以及供接
8、收端自动发现错误和纠正误码的监督码元。误和纠正误码的监督码元。优点：它不需要反馈信道，能进行优点：它不需要反馈信道，能进行单点对多点的同步通信，译码实时性较单点对多点的同步通信，译码实时性较好。好。缺点：编译码电路稍微复杂些，由缺点：编译码电路稍微复杂些，由于添加的监督码元较多，从而使编码效于添加的监督码元较多，从而使编码效率较低。率较低。3.混合纠错(HEC)方式 这种方式中，发送端发出的信息内包含有这种方式中，发送端发出的信息内包含有给出检错纠错能力的监督码元，误码量少时接给出检错纠错能力的监督码元，误码量少时接收端检知后能自动纠错，误码量超过纠错能力收端检知后能自动纠错，误码量超过纠错能
9、力时接收端能通过反馈信道请求发送端重发有关时接收端能通过反馈信道请求发送端重发有关信息。信息。优点：编译码电路的复杂性比优点：编译码电路的复杂性比FECFEC方方式的简单，又可避免式的简单，又可避免ARQARQ方式中信息连续性差的方式中信息连续性差的缺点，并且能保证较低的接收误码率。缺点，并且能保证较低的接收误码率。纠错码的分类 对对具体的纠错码，可以从不同角度具体的纠错码，可以从不同角度将其分类将其分类，下图所，下图所示即为纠错码的分类情示即为纠错码的分类情况。况。图图5-6 纠错码的分类纠错码的分类 检错码：检错码：只能检知一定的误码而不能纠错。只能检知一定的误码而不能纠错。纠错码：纠错码
10、：具备检错能力和一定的纠错能力。具备检错能力和一定的纠错能力。纠删码：纠删码：能检错纠错，对超过其纠错能力的误码能检错纠错，对超过其纠错能力的误码则将有关信息删除或采取误码隐匿措施将误码则将有关信息删除或采取误码隐匿措施将误码加以掩蔽。加以掩蔽。纠错码按照检错纠错功能的不同，可分为纠错码按照检错纠错功能的不同，可分为:差错控制编码的几个基本概念1.1.信息码元和监督码元信息码元和监督码元 n=n=k+rk+rkrnk为信息码元，是发送端由信源编码给出的信息数据比特。在二为信息码元，是发送端由信源编码给出的信息数据比特。在二元码情况下，总共有元码情况下，总共有2k个不同的信息码组。个不同的信息码
11、组。r为监督码元，组成为监督码元，组成一组总码数为一组总码数为n的码组。的码组。2.2.许用码组和禁用码组许用码组和禁用码组 信道编码信道编码后总码长为后总码长为n n的不同码组值的不同码组值可有可有2 2n n个个。其中发送的信息码组有。其中发送的信息码组有2 2k k个，个，通常称之为许用码组，其余的为禁用码通常称之为许用码组，其余的为禁用码组，不允许传送。组，不允许传送。3.3.编码效率编码效率 通常，将每个码组内信息码元数通常，将每个码组内信息码元数k k值与总码值与总码元数元数n n 值之比值之比k/nk/n称为信道编码的编码效率，称为信道编码的编码效率，即即k/nk/nk/(k+r
12、k/(k+r)是衡量信道编码性能的一个重要指标。是衡量信道编码性能的一个重要指标。可见，监督码元越多，检错纠错能力可见，监督码元越多，检错纠错能力越强，但编码效率相应地降低。越强，但编码效率相应地降低。4、码重l 码重码重码字的重量，即一个码字中码字的重量，即一个码字中“1”码的个数。通常用码的个数。通常用W表示。表示。l例如：码字例如：码字10011000的的 码重码重lW=3l00000000的码重的码重lW=0l1001111001的码重的码重lW=65、码距码距码距即码元距离就是两个码组中对应码位上码元即码元距离就是两个码组中对应码位上码元不同的个数（也称汉明距），用不同的个数（也称汉
13、明距），用d d表示。表示。码距反映的是码组之间的差异程度码距反映的是码组之间的差异程度,比如比如:0000和和0101两组码的码距为两组码的码距为d=1d=1；011011和和100100的码距为的码距为d=3;d=3;11000 11000 与与 1001110011之间的距离为之间的距离为d=3d=3。最小码距最小码距码集中所有码字之间码距的最小值即称码集中所有码字之间码距的最小值即称为最小码距，用为最小码距，用 表示。表示。0mindd或例如：若码集包含的码字有例如：若码集包含的码字有10010，00011，和，和11000，求最小码距。，求最小码距。各码字两两之间的码距分别如下：各码
14、字两两之间的码距分别如下：10010和和00011之间：之间：d=2 10010和和11000之间之间:d=200011和和11000之间之间:d=4 因此因此该码集的最小码距为该码集的最小码距为2。最小码距是衡量码检错、纠最小码距是衡量码检错、纠错能力的依据。错能力的依据。6、d0的大小直接关系着编码的检，纠错能力。l为检测为检测 e e 个错码，要求个错码，要求 d d0 0 e+1e+1l为纠正为纠正 t t 个错码，要求个错码，要求 d d0 0 2 2 t+1t+1l为纠正为纠正 t t 个错码，同时检测个错码，同时检测 e e 个错码，个错码，要求要求 d d0 0 e+t+1 e
15、+t+1Bd0BA12BA12BB345d0例：1 1）如果）如果A A和和B B为为1 1个比特：个比特：d d0 0=1=1，则无法检错和纠错；则无法检错和纠错；2 2）如果）如果A A和和B B各增加各增加1 1个监督码元，组成（个监督码元，组成（2 2，1 1）码组，便具有检错能力。如将码组，便具有检错能力。如将0000和和1111作为许用作为许用码组，码组，0101和和1010作为禁用码组，作为禁用码组，这时这时d d0 0 =2=2，码组的检错能力码组的检错能力e=1e=1，而纠错能力为，而纠错能力为0 0。3 3）如果再增加）如果再增加1 1个监督码元，就可实现纠错能力。个监督码
16、元，就可实现纠错能力。线性分组码1 1、奇偶校验码：、奇偶校验码：它是一种最简单的线性分组检错码。它是一种最简单的线性分组检错码。方法：是先将信源编码后的信息数方法：是先将信源编码后的信息数据流分成等长码组，然后在每一信息码组据流分成等长码组，然后在每一信息码组之后加入之后加入1 1位监督码元作为奇偶校验位，位监督码元作为奇偶校验位，使得码组总码长的码重为奇数（奇校验编使得码组总码长的码重为奇数（奇校验编码）或偶数（偶校验编码）。码）或偶数（偶校验编码）。它可以检知奇数个误码，而不能发现它可以检知奇数个误码，而不能发现偶数个误码，而且没有纠错能力。偶数个误码，而且没有纠错能力。l一般地，若有一
17、般地，若有r个监督码元，就有个监督码元，就有r个监督方程个监督方程和和r个相应的校验子，可给出个相应的校验子，可给出2 r种状态。对于一种状态。对于一位误码来说，非全位误码来说，非全0的的2r-1种状态可指明种状态可指明2r-1个个误码位置。误码位置。线性分组码具有如下性质：线性分组码具有如下性质：l1、封闭性。任意两个码组的和还是许用的码组。、封闭性。任意两个码组的和还是许用的码组。l2、码的最小距离等于非零码的最小码重。、码的最小距离等于非零码的最小码重。l如果对于线性分组码（如果对于线性分组码（n，k)中中2r-1=n，就有，就有可能构造出能纠正一位或一位以上误码的线性可能构造出能纠正一
18、位或一位以上误码的线性分组码。分组码。2、汉明码l汉明码汉明码(Hamming Code)(Hamming Code)是由是由RichardHammingRichardHamming于于19501950年提出的，它属于线性分组编码方式，用以年提出的，它属于线性分组编码方式，用以纠正单个错误的线性分组码，在软件无线电中应纠正单个错误的线性分组码，在软件无线电中应用广泛。用广泛。l其基本原理是其基本原理是:l 将信息码元与监督码元通过线性方程式联系将信息码元与监督码元通过线性方程式联系起来，每一个监督位被编在传输码字的特定比特起来，每一个监督位被编在传输码字的特定比特位置上。系统对于错误的数位无论
19、是原有信息位位置上。系统对于错误的数位无论是原有信息位中的，还是附加监督位中的都能把它分离出来。中的，还是附加监督位中的都能把它分离出来。它有以下特征：l码码 长长 n n=2=2m m 1 1l信息位数信息位数 k k=2=2m m m m 1 1l监督码位监督码位 r r=n k n k=m ml最小距离最小距离 d d=3=3l纠错能力纠错能力 t t=1=1l这里这里m m为大于等于为大于等于2 2的正整数，给定的正整数，给定m m后，即可构造出具后，即可构造出具体的体的(n,kn,k)汉明码。汉明码。l假设假设k k为为4 4，要求能纠正一位误码，则根据条件，要求能纠正一位误码，则根
20、据条件2 2r r-1=n-1=n，得得r=3r=3，现取，现取3 3，则构成（，则构成（7 7，4 4）汉明码。）汉明码。（7，4）汉明码l用用a0a0、alal、a2a2、a3a3、a4a4、a5a5、a6a6表示这表示这7 7个码元，个码元，l用用S1S1、S2S2、S3S3表示由表示由三个监督方程式计算三个监督方程式计算得到的校正子，得到的校正子，l并假设三位并假设三位S1S1、S2S2、S3S3校正子码组与误码校正子码组与误码位置的对应关系如下位置的对应关系如下表所示。表所示。S1S2S3误码位误码位置置S1S2S3误码位误码位置置001a0101a4010a1110a5100a21
21、11a6011a3000无错无错l（7，4）码校正子与误码位置）码校正子与误码位置l当误码位置在当误码位置在a2、a4、a5、a6时，时，l校正子校正子S11；否则；否则S10。l因此有因此有:S1a6 a5 a4 a2l同理有同理有 S2a6 a5 a3 a1l S3a6 a4 a3 a0。由表可知：由表可知：l在编码时在编码时:la6、a5、a4、a3为信息码元，为信息码元，la2、a1、a0为监督码元。为监督码元。l则监督码元可由以下监督方程唯一确定：则监督码元可由以下监督方程唯一确定：0a6 a5 a4 a20a6 a5 a3 a10a6 a4 a3 a0 也即：也即：a2 a6 a5
22、 a4 a1 a6 a5 a3 a0 a6 a4 a3由上面方程可得到16个许用码组：l在接收端收到每在接收端收到每个码组后，计算个码组后，计算出出S1S1、S2S2、S3S3，如果不全为如果不全为0 0，则，则表示存在错误，表示存在错误，可以由下表确定可以由下表确定错误位置并予以错误位置并予以纠正。纠正。信 息 位监 督 位信 息 位监 督 位a6a5a4a3a2a1a0a6a5a4a3a2a1a000000001001000110100010101100111000011101110110101011000100010011010101111001101111011111111000100
23、01001010100111例如：l收到码组为收到码组为00000110000011，可算出，可算出S1S2S3=011,S1S2S3=011,由表可知在由表可知在a3a3上有一误码。通过观察可以上有一误码。通过观察可以看出，上述（看出，上述（7 7，4 4）码的最小码距为）码的最小码距为dmindmin3 3，它能纠正一个误码或检测两个误码。，它能纠正一个误码或检测两个误码。如果超出纠错能力则反而会因如果超出纠错能力则反而会因“乱纠乱纠”出出现新的误码。现新的误码。监督矩阵0a6 a5 a4 a20a6 a5 a3 a10a6 a4 a3 a0可写成：01a6+1a5+1a4+0a3+1a2
24、+0a1+0a001a6+1a5+0a4+1a3+0a2+1a1+0a001a6+0a5+1a4+1a3+0a2+0a1+1a0用矩阵表示为：用矩阵表示为：1110100 0 1101010 a6a5a4a3a2a1a0 T=0 1011001 0简化为：简化为：HAT=0T 其中其中H称为监督矩阵称为监督矩阵H可以分成两部分：l 1110 100l 1101 010 =PIrl 1011 001l其中其中P P为信息位矩阵，为信息位矩阵，I Ir r为为rXrrXr阶的单位矩阶的单位矩阵阵l生成矩阵生成矩阵G G：G=G=I Ik kP PT T l根据生成矩阵和已知的信息码元可产生整根据生
25、成矩阵和已知的信息码元可产生整个码组。个码组。A=a6a5a4a3GA=a6a5a4a3G扩展汉明码l汉明码如果再加上一位对所有码元都进行校验汉明码如果再加上一位对所有码元都进行校验的监督位，则监督码元由的监督位，则监督码元由m m增至增至m m+1+1，信息位，信息位不变，码长由不变，码长由2 2m m 1 1增至增至2 2m m，通常把这种（，通常把这种（2 2m m，2 2m m 1 1 m m）码称为扩展汉明码。扩展汉明）码称为扩展汉明码。扩展汉明码的最小码距增加为码的最小码距增加为4 4，能纠正，能纠正l l位错误同时检位错误同时检测测2 2位错误。简称纠位错误。简称纠1 1检检2
26、2错码。其实质上是在原错码。其实质上是在原汉明码的每个码组后面增加汉明码的每个码组后面增加1 1位偶监督码元。位偶监督码元。l例如例如(7,4)(7,4)汉明码可变成汉明码可变成(8,4)(8,4)扩展汉明码（又扩展汉明码（又称增余汉明码）。称增余汉明码）。循环码循环码：循环码是一种特殊的线性分组码，它除了：循环码是一种特殊的线性分组码，它除了具有群码的封闭性外，还有一个特性就是循环性。具有群码的封闭性外，还有一个特性就是循环性。按模运算 加加 法法 01 110 111 0 00 0 ；乘乘 法法 111001010000 （5-22）l为了用代数理论研究循环码，可将码组用多项式为了用代数理
27、论研究循环码，可将码组用多项式来表示，称为码多项式。设许用码组来表示，称为码多项式。设许用码组 C C=（c c n n 1 1 c c n n 2 2 c cl l c c0 0）l对应的码多项式可表示为对应的码多项式可表示为 C C（x x）=c c n n 1 1 x x n n 1 1+c c n n 2 2 x x n n 2 2+c cl l x x+c c0 0l其中多项式的系数就是码字各分量的值，其中多项式的系数就是码字各分量的值，x x为一个为一个任意实变量，其幂次任意实变量，其幂次i i代表该分量所在位置。代表该分量所在位置。循环码中的几个定理l1 1、若、若C C(x x
28、)是是n n长循环码中的一个码多项式，则长循环码中的一个码多项式，则x xi iC(C(x x)按模（按模（x x n n+1+1）运算的余式必为循环码中）运算的余式必为循环码中另一码多项式。另一码多项式。l2 2、一个二进制中（、一个二进制中（n n，k k）循环码中有惟一的循环码中有惟一的r=r=n-kn-k次多项式次多项式g g(x x)，且其常数项为，且其常数项为l l。如果一。如果一个码的所有码多项式都是多项式个码的所有码多项式都是多项式g g(x x)的倍式，的倍式，则称则称g g(x x)生成该码，且称生成该码，且称g g(x x)为该码的生成多为该码的生成多项式，所对应的码字成
29、为生成子或生成子序列。项式，所对应的码字成为生成子或生成子序列。l 3 3、设、设g(g(x x)是（是（n n，k k）循环码循环码 C C(x x)中的一个中的一个次数最低的多项式（次数最低的多项式（g g(x x)0)0），则该循环码），则该循环码由由g g(x x)生成，并且生成，并且g g(x x)是（是（x x n n+1+1）的一个因）的一个因式。式。从以上讨论中，可得到几个重要结论：l在二元或在二元或GF(2)上找一个上找一个(n,k)循环码，就是找一个能循环码，就是找一个能除尽除尽x n+1的的n-k次首次首1多项式多项式g(x)，为了寻找生成多项，为了寻找生成多项式，必须对
30、式，必须对x n+1进行因式分解，这可用计算机来完成。进行因式分解，这可用计算机来完成。l对于某些对于某些n值，值，x n+1只有很少的几个因式，因而码长只有很少的几个因式，因而码长为为n的循环码也不多。仅对于很少的几个的循环码也不多。仅对于很少的几个n值，才有较值，才有较多的因式。多的因式。l如果如果C(x)是是(n,k)码的一个码多项式，则码的一个码多项式，则g(x)一定除尽一定除尽C(x)。反之，若。反之，若g(x)|C(x)，则次数小于等于，则次数小于等于n-1的的C(x)必是码的码多项式。也就是说若必是码的码多项式。也就是说若C(x)是码多项式，是码多项式，则则 l C(x)0 mo
31、d g(x)例：多项式x 7+1=（x+1）（x 3+x+1）（x 3+x 2+1），构造一个(7,3)循环码l要构造一个要构造一个(7,3)循环码，就是在循环码，就是在x 7+1中找一个中找一个n k=4次的因式次的因式g(x)，作为码的生成多项式，由它的一切倍式，作为码的生成多项式，由它的一切倍式就组成了就组成了(7,3)循环码。循环码。l若选若选g(x)=（x 3+x+1）（）（x+1）=x4+x3+x2+1，该码的八个码字可由该码的八个码字可由g(x)，x g(x)，x2 g(x)的线性组合产的线性组合产生出来，而且这三个码多项式是线性无关的，它们构成生出来，而且这三个码多项式是线性无
32、关的，它们构成一组基底。所以生成的循环子空间（循环码）是一个三一组基底。所以生成的循环子空间（循环码）是一个三维子空间维子空间V7，3，对应于一个，对应于一个(7,3)循环码。循环码。l若选若选g(x)=（x+1）（）（x3+x2+1）=x4+x2+x+l，则，则生成另一个循环码。生成另一个循环码。l由此可知，只要知道了由此可知，只要知道了x n+l的因式分解式，用它的各个的因式分解式，用它的各个因式的乘积，便能得到很多个不同的循环码。因式的乘积，便能得到很多个不同的循环码。循环码的编码方法循环码的编码方法 1 1、首先根据给定的首先根据给定的(n n,k k)值选定生成多项式值选定生成多项式
33、g g(x x)。1 1）g(xg(x)是一个（是一个（n nk k）次多项式）次多项式 2 2）g(xg(x)的常数项不为的常数项不为0 0 3 3）g(xg(x)是是x xn n1 1的一个因子的一个因子2、冗余码的计算1)把信息码元多项式m(x)乘xn-k，得T(x)；2)用g(x)除T(x)，得到余式r(x)；3)余式r(x)即为循环冗余码，它作为监督码元加于信息码元后面。4）写出码多项式C(x)=T(x)r(x)即，即，在在m(xm(x)后面添加后面添加n n个个0 0监督位信息位例(7,3)循环码 m(x)=x2+x,g(x)=x4+x2+x+1l解解 )()(5637xTxxxm
34、x1)()(2456xxxxxxgxmxkn1112422xxxxxxr(x)11001011)(256xxxxC在接收端的检错设接收端接收到的数据为设接收端接收到的数据为R(xR(x)那么，进行那么，进行R(x)/g(xR(x)/g(x)运算运算如果：如果：1 1、余数为零、余数为零 2 2、余数不为零、余数不为零没有出错，或出错概率很低没有出错，或出错概率很低有错有错循环码的生成矩阵 一个一个 n,kn,k 线性分组码是线性分组码是n n维线性空间中的一个维线性空间中的一个k k维维子空间，同样，一个子空间，同样，一个 n,kn,k 循环码也是循环码也是n n维线性空间中维线性空间中的一个的一个k k维子空间。因此，只要找出维子空间。因此，只要找出k k个线性无关的码个线性无关的码多项式，就可通过线性组合得到所有码多项式。多项式，就可通过线性组合得到所有码多项式。l由于码的生成多项式由于码的生成多项式g g(x x)是是n-kn-k次的，所以次的，所以g g(x x)，xgxg(x x)，x x2 2g g(x x)，x xk k-1-1g g(x x)都是线性无关的，可得都是线性无关的，可得码的生成矩阵：码的生成矩阵：lG=xk-1g(x)l l xg(x)l g(x)
