1、第一章第一章 函数与极限函数与极限函数函数微积分的研究对象微积分的研究对象极限的概念极限的概念无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 极限的性质极限的性质两个重要极限两个重要极限函数的连续性函数的连续性1 函数函数-变量相依关系的数学模型变量相依关系的数学模型一、一、函数的概念函数的概念例例 圆的面积圆的面积 依赖于圆的半径依赖于圆的半径 ,关系为关系为Sr2.()S rr=（映射说映射说）设）设 是一个数集，是一个数集，是一个确是一个确定的对应关系。对于定的对应关系。对于 中的任意一个元素中的任意一个元素 ，通过，通过 都有唯一的实数都有唯一的实数 与之对应，则称与之对应，则称 为为 到到 内
2、内的的，称，称 为为 在在 处的函数值。处的函数值。称为称为；称为称为；称为该函数的称为该函数的；该函数的该函数的为为Dy|(),y yf xxD xDfffDRx()f xfxyD定义定义几点注意几点注意:1.函数的三要素：定义域、函数的三要素：定义域、对应法则对应法则和值域和值域()(),yf xyf tx tD与与、2.三要素中三要素中 关键是关键是对应规则对应规则是相同的函数是相同的函数3.自然定义域自然定义域例：xyO二、特殊函数二、特殊函数:分段函数分段函数例例5 （符号函数符号函数）10(gn)000s1xyxxx =-，11例例4 （绝对值函数绝对值函数）00|xxyxxx =
3、-xyO三、函数的性质三、函数的性质1.1.奇偶性奇偶性(1).对称区间对称区间(2).图形特征图形特征(3).运算运算/=奇奇奇奇奇奇奇奇奇奇偶偶奇奇奇奇偶偶偶偶偶偶偶偶 偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶/=奇奇偶偶奇奇奇奇 偶偶奇奇奇函数奇函数()(),-=-fxf x偶函数偶函数()().-=-=fxf x例：(4).函数的整体性质。函数的整体性质。2.单调性单调性1212()()xxf xf x ，有有小的仍然小小的仍然小-单增单增小的反而大小的反而大-单减单减1212()()xxf xf x ，有有(1).与区间有关与区间有关同一函数在同一函数在不同区间不同区间单调性未必相同单调性未必相同(
4、2).高等数学中将利用高等数学中将利用导数导数证明函数的单调性证明函数的单调性例：1212()()xxf xf x ，有有不减不减不增不增1212()()xxf xf x ()f x1xx-=(01)x ()()ffx1)1(fxxff x骣骣骣骣琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪-桫桫=1()()fxfx=-1(,1)2xx 11121xxxxxx-=-=111xxxx-=11(1)20,21xxxxx-=构构-例例9 9已知函数已知函数 ，求，求 及及2(1)f xxx+=+=+()f x(1).f x-22(1)()(1)(1)uf xfuuuu+=-+-=-2()xxfx=-2211()()()
5、312xfxxxx=-=-=-=-+-（变量替换法变量替换法）因此因此令令 ，则，则1xu+=+=1,xu=-=-解：解：所以所以例例10102 23 3();(2)=+();(2)=+3(1)arcsin12ln1.yxyx=-=-3(1),arcsin,12.yuux=-23(2)ln,1.yuuvvx=+21ln,1.3yuux=+分解下列函数：分解下列函数：解：解：或或2 2=+=+1ln(1)3yx所以所以基本初等函数基本初等函数(五大类五大类)：2、初等函数、初等函数-微积分的主要研究对象微积分的主要研究对象幂函数幂函数 yx (R是常数);指数函数指数函数 ya x(a0且a1)
6、;对数函数对数函数 yloga x(a0且a1),三角函数三角函数 ysin x,ycos x反三角函数反三角函数 yarcsin x,yarccos x：由基本初等函数经过有限次由基本初等函数经过有限次四则运算四则运算（加、减、乘、除）和加、减、乘、除）和/或或复合运算复合运算所得到的函数。所得到的函数。：分段函数、隐函数、积分上限函数。分段函数、隐函数、积分上限函数。21 xy xy2sin 2cotxy 极限极限-高等数学的重要概念高等数学的重要概念 数列极限数列极限 函数极限函数极限数列的定义：按照一定顺序排列的可列个数：成为数列，记做 。一、数列极限示例一、数列极限示例nfnxf n
7、=：（）1()2nnx禳禳镲镲镲镲=睚睚镲镲镲镲铪铪 21nxn=-0limnnx=limnnx=1nnxn禳禳镲镲镲镲=睚睚镲镲+镲镲铪铪 (1)nnx=-=-limnnx 不不存存在在1limnnx=例例1 1例例4 4例例3 3例例2 2数列极限的定性描述数列极限的定性描述 二、数列极限的定义二、数列极限的定义lim,nnxA=给定数列给定数列 ,当自变量当自变量(下标下标)时时,通项通项 常数常数 则称常数则称常数 为为,即即nxnnx,AAnx()nxAn或或定义定义1数列极限的定量描述数列极限的定量描述 lim.nnxA=,nxA-,NnN 则称常数则称常数 为为数列数列 的极限的极限,或或数列数列 收敛收敛于于 即即Anx nx,A定义定义2sinlim0.nnn=例例6 6limnaa=例例5 5常数列的极限仍是该常数常数列的极限仍是该常数 lim0nnq=例例7 7 当当 时时，有，有1q +L LL L若若重要结论重要结论:
