1、第一章第一章 函数与极限函数与极限函数函数极限的概念极限的概念极限的性质极限的性质两个重要极限两个重要极限无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 函数的连续性函数的连续性函数观察函数当 趋于正无穷时的变化趋势一、自变量趋于无穷时的函数极限一、自变量趋于无穷时的函数极限函数极限的定性描述函数极限的定性描述 lim(),xfxA+=()()f xAx+或或定义定义3 给定函数给定函数 ,当自变量当自变量 时时,函数值函数值 常数常数 则称常数则称常数 为为 自变量自变量 ,即即()f xx()f x,AAx()f x函数极限的定量描述函数极限的定量描述 lim().xf xA+=(),f xA-Xx
2、X 定义定义4则称常数则称常数 为为 ,并称并称 即即A()f xx,A()f x0 xyxxf1)(1lim0 xx+=例例 1010 lim arctan2xx +=xy2lim().xf xA-=(),f xA-XxX -定义定义5则称常数则称常数 为为 ,并称并称 即即A()f xx,A()f x1lim0 xx-=例例 1212 lim0 xxe-=lim arctan2xx-=-0 xy1()fxx=lim().xf xA =(),f xA-X|xX 定义定义6则称常数则称常数 为为 ,并称并称 即即A()f xx,A()f xlim()xf xA =lim()lim().xxf
3、xf xA+-+-=定理定理2 （函数极限的四则运算函数极限的四则运算 I）如果如果 ，则则(1)lim()()lim()lim()xxxf xgxgAxfBx=(2)lim()()lim()lim()xxxf xgxgAxfBx=lim()()(3)lim(0)()lim()xxxf xf xBg xBgAx=二、函数极限的四则运算二、函数极限的四则运算 Ilim(),lim()xxf xAg xB推论推论(1)lim()lim()()xxkkf xf xkAkR=运算法则本质上仍然是运算法则本质上仍然是加加/减减/乘乘/除除和和求极限运算求极限运算交换次序交换次序 法则要求法则要求两函数必
4、须先收敛两函数必须先收敛(2)lim()lim()kxkkxf xf xA=注意：注意：33211lim54xxxx+-（）2002505+=-233112lim154xxxx骣骣骣骣琪琪琪琪+琪琪琪琪琪琪琪琪桫桫桫桫骣骣琪琪-琪琪琪琪桫桫=23212lim54xxxx+-（）000050+=-233211lim154nxxxx骣骣骣骣琪琪琪琪+琪琪琪琪琪琪琪琪桫桫桫桫=骣骣琪琪-琪琪琪琪桫桫例例 1414l l i i m m1010()kkmmxkmxa xamkxaabbbxb+=+L LL L若若l l i i m m1010(0)kkmmxa xa xamkb xb xb+=+L L
5、L L若若重要结论重要结论:2 2lim()xxxx+-+-()()2 22 22 2limxxxxxxxxxx+=+-2 2limxxxxx +=+1 11 11lim1xx+=+1 112101=+说明说明:本题综合运用了本题综合运用了“有理化有理化”和和“消除无穷因消除无穷因子子”两种策略两种策略例例 1515x)(xf9.09.199.099.1999.0999.19999.09999.199999.099999.1x)(xf1.101.1001.10001.100001.11.201.2001.20001.200001.21221()1xf xx-=-1lim()2xf x=三、自变
6、量趋于某点时的函数极限三、自变量趋于某点时的函数极限()f x函数极限的定性描述函数极限的定性描述 lim(),xafxA=()()f xAxa 或或定义定义7 给定函数给定函数 ,当当 时时,函数值函数值 常数常数 则称常数则称常数 为为 自变量自变量 ,即即()f xx,AAx()f xaa函数极限的定量描述函数极限的定量描述 lim().xaf xA=(),f xA-0|xa-定义定义8则称常数则称常数 为为 ,并称并称 即即A()f xx()f xaa：2、函数在点函数在点 处是否有定义与函数在该点处是否有定义与函数在该点的极限值的极限值 存在与否没有必然联系。存在与否没有必然联系。A
7、xa=1、极限值极限值 仅与函数在点仅与函数在点 附近的函数值附近的函数值有关，反映的是自变量有关，反映的是自变量 趋于点趋于点 时函数时函数值值 的变化趋势值。的变化趋势值。Axa=()f xxa=x21()1xf xx-=-0()10 xxf xx =定理定理3 （函数极限的四则运算函数极限的四则运算 II）如果如果 ，则则000(1)lim()()lim()lim()xxxxxxf xg xgAxBfx=000(2)lim()()lim()lim()xxxxxxf xg xgAxBfx=000lim()()(3)lim(0)()lim()xxxxxxf xf xABBg xg x =四、
8、函数极限的四则运算四、函数极限的四则运算 II00lim(),lim()xxxxf xAg xB推论推论00(1)lim()lim()()xxxxkkkkf xf xAR=运算法则本质上仍然是运算法则本质上仍然是加加/减减/乘乘/除除和和求极限运算求极限运算交换次序交换次序 法则要求法则要求两函数必须先收敛两函数必须先收敛00(2)lim()lim()kxxxkxkf xf xA=注意：注意：3228(3)lim4xxx-2224lim32xxxx+=+22(24)li(m(22)(2)xxxxxx+-+=+-分母出现分母出现“零因子式零因子式”321lim(1)xx-（）32lim1xx=-
9、=-7.=223232lim23xxxxx+-（）l i ml i m()()xaP xP a=l i ml i m()()()0).()()xaP xP aQ aQ xQ a=()()2323lim2343lim 23xxxxxx +-+-=-例例 1717重要结论重要结论1:1:重要结论重要结论2:2:求下列极限：求下列极限：21(4)lim1xxxx-()()1222(1()(1)lim(1)xxxxxxxxxx+=-+-)()1)(1(lim221xxxxxxx 3 421()(1)lim(1)()xxxxxxx-+-+=-+-+解法一：解法一：原式原式=分解因式或有理化分解因式或有理
10、化,目的是消除目的是消除“零因子式零因子式”21(4)lim1xxxx-21(1)(1)lim1tt tttt-+-+=-3 41lim1tttt-解法二：解法二：原式原式=令令 ，则，则xt=2xt=21lim(1)tt tt=+=+（）且且 时时1x 11tx 例例 18 若若 求常数求常数221lim3,1xxaxbx+=-.ab、解解：222211limlim(1)1xxxaxbxaxbxx+=-（）3 00=10.ab+=即即221123limlim.1(1)(1)(1)(12)xxxxaxbaxaxxx+=-+8.a=-再由再由7.b=从而从而得得五、五、两个重要极限两个重要极限s
11、 si i n nl l i i m m1 10 0=、x xI Ix xx x()1 11 1l l i i m m1 1l l i i m m1 10 0骣骣琪琪+=+=琪琪琪琪琪琪桫桫、或或x xx xI II Ie ex xe ex xx xx xs si i n nl l i i m m1 10 0=W WW WW W()1 11 1l l i i m m1 1l l i i m m1 10 0骣骣琪琪+=+=琪琪琪琪琪琪桫桫W WW WW WW WW WW W或或e ee e例例 1 1已知已知 ，求极限，求极限0lim cos1xx=0tanlim.xxx 111.1=xxxxc
12、os1sinlim0 0tanlimxxx 例例 2 20sin2(1)limsin5xxx 022sin2lsin55im5xxxxx=鬃=鬃2.5=201cos(2)limxxx-222002sinsin12limlim222xxxxxx骣骣琪琪琪琪琪琪琪琪=琪琪琪琪琪琪琪琪桫桫1.2=例例 3 3已知已知 ，求极限，求极限0lim arctan0 xx=0arctanlim.xxx 1.=0limtanttt=0arctanlimxxx 分析分析：注意到：注意到arcttann()axx=令令 ，则，则arctanxt=tan(arctan)tanxxt=且且 时时0 x arctan0
13、tx 例例 4 41(1)lim 1xxx骣骣琪琪-琪琪琪琪桫桫1e-=11lim1xxx-轾轾骣骣犏犏琪琪=+=+琪琪犏犏琪琪桫桫犏犏臌臌-11lim 1xxx-轾轾骣骣犏犏琪琪=+=+琪琪犏犏琪琪桫桫犏犏臌臌-23(2)lim 1nnn骣骣琪琪+琪琪琪琪桫桫6e 633lim1nnn轾轾骣骣犏犏琪琪=+犏犏琪琪琪琪觇觇犏犏臌臌对任意实数对任意实数 ，证明：，证明：、证明：证明：0=时结论显然成立时结论显然成立。0 时，时，例例 5 5lim 1 xxex轾轾犏犏+=+=犏犏臌臌lim 1 xxx轾轾犏犏+犏犏臌臌lim(1)xxx轾轾犏犏=+=+犏犏臌臌lim(1).xxex轾轾犏犏=+=+=犏犏臌臌
