1、第十一章三角形题型一题型一 三角形内角和定理的应用三角形内角和定理的应用 11.2与三角形有关的角8080例题例题1 1 填空：填空：(1)(1)在在ABCABC中中,若若A A8080,C,C2020,则则B B ；(2)(2)一个三角形的三个内角的度数之比为一个三角形的三个内角的度数之比为237,237,则这个三则这个三角形中最大内角的度数是角形中最大内角的度数是.105105分析分析 (1)(1)三角形的内角和为三角形的内角和为180180,已知两个角的度数可求第三个角的已知两个角的度数可求第三个角的度数；度数；11.2与三角形有关的角锦囊妙计锦囊妙计 三角形内角和定理的应用三角形内角和
2、定理的应用(1)(1)已知三角形中两个角的度数或两个角的度数和已知三角形中两个角的度数或两个角的度数和,直接求直接求出第三个角；出第三个角；(2)(2)已知三角形三个角之间的关系时已知三角形三个角之间的关系时(如度数之比、各角之间如度数之比、各角之间的倍分关系等的倍分关系等),),可结合三角形内角和定理列方程求出各角度数可结合三角形内角和定理列方程求出各角度数.11.2与三角形有关的角题型二题型二 直角三角形性质与判定的应用直角三角形性质与判定的应用A A例题例题2 2 如图如图11-2-12,11-2-12,在在ABCABC中中,BAC=90,BAC=90,ACAB,ADACAB,AD是斜边
3、是斜边BCBC上的高上的高,DEAC,DFAB,DEAC,DFAB,垂足分别为垂足分别为E,F,E,F,则图中与则图中与C C相等的角有相等的角有()A A3 3个个 B B4 4个个C C5 5个个 D D6 6个个11.2与三角形有关的角分析分析如图如图11-2-12,BAC=9011-2-12,BAC=90,AD,AD是斜边是斜边BCBC上的高上的高,DEAC,DFAB,DEAC,DFAB,C+B=90C+B=90,BDF+B=90,BDF+B=90,BAD+B=90,BAD+B=90,C=BDF=BAD.C=BDF=BAD.DAC+C=90DAC+C=90,DAC+ADE=90,DAC
4、+ADE=90,C=ADE,C=ADE,图中与图中与C C相等的角有相等的角有3 3个个.11.2与三角形有关的角锦囊妙计锦囊妙计直角三角形性质的应用直角三角形性质的应用(1)(1)根据直角三角形中两锐角互余的性质根据直角三角形中两锐角互余的性质,在已知一个锐角在已知一个锐角的条件下的条件下,可求另一个锐角；可求另一个锐角；(2)(2)根据同角根据同角(或等角或等角)的余角相等的余角相等,可判断多个直角三角形可判断多个直角三角形中角相等中角相等.11.2与三角形有关的角例题例题3 3 如图如图11-2-1311-2-13所示所示,ABCD,ABCD,直线直线EFEF分别交分别交AB,CDAB,
5、CD于点于点E,F,E,F,BEFBEF的平分线与的平分线与DFEDFE的平分线相交于点的平分线相交于点P.P.求证：求证：EPFEPF是直角是直角三角形三角形.11.2与三角形有关的角证明证明11.2与三角形有关的角锦囊妙计锦囊妙计判定一个三角形是直角三角形的方法判定一个三角形是直角三角形的方法(1)(1)证明三角形的一个内角等于证明三角形的一个内角等于9090；(2)(2)证明三角形的两个内角互余；证明三角形的两个内角互余；(3)(3)证明三角形的一个内角与已知的直角相等证明三角形的一个内角与已知的直角相等.11.2与三角形有关的角题型三题型三 三角形外角性质的应用三角形外角性质的应用B
6、B例题例题4 4 如图如图11-2-14,11-2-14,将一等边三角形沿虚线将一等边三角形沿虚线剪去一个角后剪去一个角后,1,12 2等于等于()A A120120 B B240240C C300300 D D36036011.2与三角形有关的角分析分析11.2与三角形有关的角锦囊妙计锦囊妙计 三角形外角性质的应用三角形外角性质的应用(1)(1)利用利用“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”这个性质这个性质,知道其中的两个角知道其中的两个角,可求第三个角；可求第三个角；(2)(2)利用利用“三角形的外角大于任意一个与它不相邻的外角三角形的外角大于
7、任意一个与它不相邻的外角”这个性质这个性质,可判断两个角的大小关系；可判断两个角的大小关系；(3)(3)三角形的内角和定理、三角形的外角性质常常与方程结三角形的内角和定理、三角形的外角性质常常与方程结合合,用于解决三角形中有关角度的计算和推理问题用于解决三角形中有关角度的计算和推理问题.11.2与三角形有关的角题型四题型四 三角形与平行线结合求角的度数三角形与平行线结合求角的度数C C例题例题5 5 德阳中考德阳中考 如图如图11-2-15,11-2-15,直线直线ab,Aab,A=38=38,1=461=46,则则ACBACB的度数是的度数是().).A A8484 B B106106C C
8、9696 D D10410411.2与三角形有关的角分析分析11.2与三角形有关的角锦囊妙计锦囊妙计三角形、平行线性质的综合应用三角形、平行线性质的综合应用探索图形特点探索图形特点,利用平行线的性质利用平行线的性质,抓住已知角和未知角抓住已知角和未知角的相等的相等(或互补或互补)关系关系,巧妙转化巧妙转化,再结合三角形的内角和定理、再结合三角形的内角和定理、外角的性质构造方程解决问题外角的性质构造方程解决问题.11.2与三角形有关的角题型五题型五 折叠中的角度计算折叠中的角度计算例题例题6 6 如图如图11-2-16,11-2-16,在在RtRtABCABC中中 ,ACB=90,ACB=90,
9、点点D D在在ABAB边上边上,将将CBDCBD沿沿CDCD折叠折叠,使点使点B B恰好落恰好落在在ACAC边上的点边上的点E E处处.若若A=26A=26,则则CDECDE的度的度数为数为().).A A7171B B6464C C8080D D4545A A11.2与三角形有关的角分析分析 由折叠的性质由折叠的性质,得得ACD=BCD,CDB=CDE.ACD=BCD,CDB=CDE.ACB=90ACB=90,ACD=45,ACD=45.A=26A=26,CDB=A+ACD=26,CDB=A+ACD=26+45+45=71=71,CDE=71CDE=71.11.2与三角形有关的角A A例题例
10、题7 7 梅州中考梅州中考 如图如图11-2-17,11-2-17,在折纸活在折纸活动中动中,小明制作了一张小明制作了一张ABCABC纸片纸片,点点D,ED,E分分别在边别在边AB,ACAB,AC上上,将将ABCABC沿着沿着DEDE折叠压平折叠压平,点点A A与点与点AA重合重合.若若A=75A=75,则则1+21+2等等于于().).A A150150B B210210C C105105 D D757511.2与三角形有关的角分析分析 ADEADE是由是由ADEADE翻折变换而成的翻折变换而成的,AED=AED,ADE=ADE,A=A=75AED=AED,ADE=ADE,A=A=75,AE
11、D+ADE=AED+ADE=180AED+ADE=AED+ADE=180-75-75=105=105,1+2=3601+2=360-2-2105105=150=150.11.2与三角形有关的角锦囊妙计锦囊妙计三角形折叠问题的解题策略三角形折叠问题的解题策略利用折叠前后图形存在的特点利用折叠前后图形存在的特点,实现角的等量转化实现角的等量转化,再结再结合三角形内、外角的性质解决问题合三角形内、外角的性质解决问题.11.2与三角形有关的角题型六题型六 利用三角形内角和定理及外角性质解决实际问题利用三角形内角和定理及外角性质解决实际问题例题例题8 8 一个零件的形状如图一个零件的形状如图11-2-1
12、811-2-18所示所示,按按规定规定A A应等于应等于9090,B,C,B,C应分别是应分别是2121和和3232.检验工人量得检验工人量得CDB=148CDB=148,就断定就断定这个零件不合格这个零件不合格,这是为什么呢？这是为什么呢？11.2与三角形有关的角解解如图如图11-2-1811-2-18所示所示,延长延长CDCD交交ABAB于点于点E.E.CDBCDB是是BDEBDE的一个外角的一个外角,CDB=B+BED.,CDB=B+BED.BEDBED是是AECAEC的一个外角的一个外角,BED=C+A,BED=C+A,CDB=A+B+C=90CDB=A+B+C=90+21+21+32
13、+32=143=143148148,可以断定这个零件不合格可以断定这个零件不合格.11.2与三角形有关的角锦囊妙计锦囊妙计三角形实际问题的解题策略三角形实际问题的解题策略当所求角或已知角不是三角形的内、外角时当所求角或已知角不是三角形的内、外角时,可利用转化可利用转化思想思想,适当添加辅助线适当添加辅助线,把原问题转化为三角形问题把原问题转化为三角形问题,再利用再利用三角形外角的性质三角形外角的性质,搭建起内、外角的搭建起内、外角的“桥梁桥梁”,结合三角形结合三角形内角和定理求解内角和定理求解.11.2与三角形有关的角题型七题型七 三角形内角和定理、角平分线和高的综合应用三角形内角和定理、角平
14、分线和高的综合应用例题例题9 9 如图如图11-2-1911-2-19所示所示 ,在在ABCABC中中 ,B=38B=38,C=54,C=54,AE,AE是是BCBC边上的高边上的高,ADAD是是ABCABC的角平分线的角平分线.求求DAEDAE的度数的度数.11.2与三角形有关的角解解11.2与三角形有关的角锦囊妙计锦囊妙计三角形的内角和、高、角平分线综合应用问题的解题策略三角形的内角和、高、角平分线综合应用问题的解题策略抓住角平分线平分角的特点抓住角平分线平分角的特点,结合直角三角形的性质求结合直角三角形的性质求角；结论：从三角形的一个顶点作高和角平分线角；结论：从三角形的一个顶点作高和角
15、平分线,它们的夹它们的夹角等于三角形另外两个角的差的一半角等于三角形另外两个角的差的一半.11.2与三角形有关的角题型八题型八 三角形内角和定理、外角性质和三角形的角平分线的综合应用三角形内角和定理、外角性质和三角形的角平分线的综合应用例题例题10 10 在在ABCABC中中,A=60,A=60.(1)(1)如图如图11-2-2011-2-20所示所示,ABC,ABC和和ACBACB的的平分线相交于点平分线相交于点P,P,求求BPCBPC的度数；的度数；(2)(2)如图如图11-2-2011-2-20所示所示,D,D为为BCBC延长线上延长线上一点一点,ABC,ABC和和ACDACD的平分线相交于点的平分线相交于点P,P,求求BPCBPC的度数的度数.11.2与三角形有关的角分析分析11.2与三角形有关的角解解11.2与三角形有关的角11.2与三角形有关的角锦囊妙计锦囊妙计 角平分线夹角的角平分线夹角的“三种关系三种关系”11.2与三角形有关的角11.2与三角形有关的角
