1、 （第一教时）1、函数的单调性的定义函数的单调性的定义在生活中，我们关心很多数据的变化规律，如水位高低、燃油价格、股票价格等。了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的从函数观点看，其实就是研究随着自变量的变化，函数值是变大还是变小的问题。既函数的单调性问题。对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，在初中，同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.xy从左至右图象呈从左至右图象呈_趋势趋势.上升上升xyy=x+1xy观察第一组函数图象，指出其变化趋势观察第一组函数图象，指出其变化趋势.OOO111111（1）借助图象，直观感知）借助图象，
2、直观感知y=-x+1xy从左至右图象呈从左至右图象呈_趋势趋势.下降下降xyxy观察第二组函数图象，指出其变化趋势观察第二组函数图象，指出其变化趋势.OOO111111xyy=x2y从左至右图象呈从左至右图象呈_趋势趋势.局部上升或下降局部上升或下降观察第三组函数图象，指出其变化趋势观察第三组函数图象，指出其变化趋势.xxy11-1-1OOO1111图像从左到右逐渐上升图像从左到右逐渐上升图像从左到右逐渐下降图像从左到右逐渐下降自变量自变量x增大增大,自变量自变量x增大增大,在定义域内的某个区间上在定义域内的某个区间上函数值函数值y也增大也增大函数值函数值y反而减小反而减小 如果函数在某个区间
3、上随自变量如果函数在某个区间上随自变量x的的增大增大，y也越也越来来越大越大，我们说函数在该区间上为，我们说函数在该区间上为增函数增函数；如果函数在某个区间上随自变量如果函数在某个区间上随自变量x的的增大增大，y越来越来越小越小，我们说函数在该区间上为，我们说函数在该区间上为减函数减函数 问题：问题：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数减函数?这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识调性的直观，描述性的认识对区间对区间I内内 x1，x2，当当x1x2时，时，有有f(x1)f(x2)都都
4、任意任意 区间区间I内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大区间区间I上从左到右上从左到右图象逐渐上升图象逐渐上升yxx1x2f(x1)f(x2)OMNIxIy(2)探究规律，理性认识探究规律，理性认识xx1x2Iyf(x1)f(x2)OMN(3)抽象思维，形成概念抽象思维，形成概念问题：你能用准确的数学符号语言表述出增问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗函数的定义吗?Oxyx1x2f(x1)f(x2)类比增函数的研究方法定义减函数类比增函数的研究方法定义减函数.xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为A,区间区间I A.如果对于属于定义
5、域如果对于属于定义域A内内某个区间某个区间I上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为A,区间区间I A.如果对于属于定义域如果对于属于定义域A内内某个区间某个区间I上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是这个区间上是 函数函数，I称为称为f(x)的的单调单调 区间区间.增增增增当当x1x2时，时，都有都有f(x1)f(x2)，当当x1x2时，时，都有都有f(x1)f(x2)，减减减减 那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是这个区间上是 函数函数，I称为称为f(x)的的单调单调
6、区间区间.增增增增单调区间单调区间判断判断2 2：函数：函数 f(x)在区间在区间11，22上满足上满足 f(1)(1)f(2)(2)，则函数，则函数 f(x)在在1，2上是增函数上是增函数.(.()yxO12f(1)f(2)判断判断1 1：函数函数 f(x)=x2 在在 是单调增函数；是单调增函数；(),xyo2yx13()(,0)(0,)(,0)(0,)f xx判断：因为函数在区间和上都是减函数，所以在上是减函数（）通过判断题，强调三点:1、确定单调性一定要相对于某个区间而言，而且该区间一定要在定义域内。如y=x2只可说在（0，+）上为增，在R上无单调性。2、在定义中，x1、x2是任意值，
7、不是特殊值，且同属于一个单调区间，如判断2。3、单调区间不能随便合并，两个区间之间加“，”或写“和”。如判断3。BA2、判断函数的单调性或求单调区间（1）、图像法：上升为增，下降为减()yf x例题例题1：根据图像指出：根据图像指出 单调增区间和单调减区间单调增区间和单调减区间单调单调增增区间是：区间是：单调单调减减区间是：区间是：2,1,3,5 5,2,1,3 1、函数函数 y=x2-2|x|-3 的单调递增区间的单调递增区间 ;-1,0,1,+)-2-21 1-1-1oxy2223,0,23,0.xxxyxxx 2、求函数求函数 y=|x+1|1x|的单调区间的单调区间.解解:由由 y=|
8、x+1|1x|,知知xy-112-2o故函数的增故函数的增区间区间为为1,1.1,12,2,2,11.xxxyx 小结1、函数单调性的定义2、判断函数单调性或求单调区间的方法：（1）图象法画出函数图象，再观察图象，上升为增，下降为减283022122 3 4P优化方案例 和跟踪训练，（），（）P 当堂检测作、：、业 （第二教时）一、复习回顾：1、函数单调性的定义画出函数图象，再观察图象，上升为增，下降为减1112()()()xxf xf xf xI当时，都有在区间 上为增函数；1112()()()xxf xf xf xI当时，都有在区间 上为减函数；12Ixx在区间 上任取、，2、判断函数单调
9、性或求单调区间的方法：（1）图象法强调三点:1、确定单调性一定要相对于某个区间而言，而且该区间一定要在定义域内。2、在定义中，x1、x2是任意值，不是特殊值，且同属于一个单调区间。3、单调区间不能随便合并，两个区间之间不能用并集符号，应加“，”或写“和”。283022122 3 4P二、评讲作业：优化方案例 和跟踪训练，（），（）P 当堂检测、（2）、直接法掌握一次函数、二次函数、反比例函数的单调性三、讲授新课例例1.指出下列函数的单调区间：指出下列函数的单调区间：(1)72yx(1)72yx 的单调增区间是(2)24yx(2)24yx 的单调减区间是 解解：),(),(无单调减区间无单调减区
10、间无单调增区间无单调增区间归纳：函数归纳：函数 的单调性的单调性(0)ykxb kK0bkxy),(K0),(yox2722o4yx归纳：归纳：函数函数 的单调性的单调性2(0)yaxbxc a2(1)2.yx 2yx+2的单调增区间是_;(,02yx+2的单调减区间是_.0,)例例2.指出下列函数的单调区间：指出下列函数的单调区间：xyy=-x2+21-1122-1-2-2O2(2)2.yx思考思考2：函数：函数 的单调区间呢？的单调区间呢？223yxx 思考思考1：函数：函数 的单调区间呢？的单调区间呢？2(1)2yx解：解：1（）222yx（）的单调增区间是.0,)2+12yx（）的单调
11、增区间是；单调增区间是。(,022yx的单调减区间是.1,)(,1 223yxx 的单调增区间是；单调增区间是。1,)(,12yaxbxc,2ba,2ba 2(0)yaxbx c a的对称轴为2bxa,2ba,2ba例例3.指出下列函数的单调区间：指出下列函数的单调区间：1yx1yx的单调减区间是_(,0)(0,),1(,0)(0,)yx能不能说在定义域上是单调减函数?x1yxyO思考思考1：思考思考2：函数函数 的单调区间是什么？的单调区间是什么？1yx1yx 的单调增区间是),0(),0,(归纳：归纳：在在 和和 上的单调性？上的单调性？0,(0)kykx,0解：没有单调增区间没有单调增区
12、间(0)kykx的单调区间xky 0k0k(,0)(0,)，(,0)(0,)，1.指出下列函数的单调区间？指出下列函数的单调区间？（1）()32f xx（3）3()f xx （2）2()231f xxx+（1）单调减区间（，），无单调增区间解：33+44（2）单调增区间，），单调减区间（-,（3）单调增区间（，0），(0,+),无单调减区间利用一些结论直接判断：函数在某个区间上单调，则在它的子区间上一定单调。1,yxyxxx如：1()()()()f xf xf xf x若为增，则为减；为减；为增。xg xxg xff若、为增函数，则为增函数。即增增增 xg xxg xff若、为减函数，则为减函
13、数。即减减减2()(0,)1,4f xx如：在区间上是增函数，那么它在区间上也是增函数。小结1、函数单调性的定义2、判断函数单调性或求单调区间的方法：（1）图象法2（）直接法掌握一次函数、二次函数、反比例函数的单调性利用一些结论直接判断函数在某个区间上单调，则在它的子区间上一定单调。27291,2,3,43P优化方案自我测评P业：跟踪训练作 （第三教时）一、复习回顾：1、函数单调性的定义2、判断函数单调性或求单调区间的方法：（1）图象法2（）直接法掌握一次函数、二次函数、反比例函数的单调性利用一些结论直接判断函数在某个区间上单调，则在它的子区间上一定单调。27291,2,3,43P优化方案自我
14、测二、评讲评P 跟作业踪训练：(3)、定义法要了解函数在某一区间是否具有单调性，从图像上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法。严格地来说，它需要根据单调函数的定义进行证明。下面来学习用定义来判断和证明函数的单调性。回顾定义：在区间D上任取两个实数x1、x2且假设x1x2,若f(x1）f(x2)f(x)为减函数三、讲授新课证明：证明：设设x1,x2是是上任意两个实数，上任意两个实数，且且x10,又由又由x10所以所以f(x1)-f(x2)0,即即f(x1)f(x2),0因此因此 f(x)=1/x 在在(0，+)上是减上是减函数。函数。取值定号作差变形结论22()1,1)1例、判断函数在区间(上的
15、单调性。xf xx 解解:设设则则 f(x1 1)f(x2 2)12221211xxxx )1)(1(222122121221 xxxxxxxx12212212(1)().(1)(1)x xxxxx 1x1x21,1+x1x20,x2x10,221210,10,xx f(x1)f(x2)0.即即 f(x1)f(x2).故此函数在故此函数在(-1,1)1,1)上是减函数上是减函数.1211,xx 物理学中的玻意耳定律物理学中的玻意耳定律 告告诉我们，对于一定量的气体，当其体积诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，减小时，压强压强p将增大。试用函数的单调性证明之。将增大。试用函数的单调性证明
16、之。)(为正常数kVkp 证明：证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+)上的任意两个实数，且V1V2，则21121212()()VVkkp Vp VkVVVV由V1，V2(0，+)且V10,V2-V10又k0,于是0)()(21VpVp)()(12VpVp 即所以，函数是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.),0(,VVkp取值定号结论结论作差变形例例31、任取任取x1，x2D，且，且x1x2；2、作差作差f(x1)f(x2)；3、变形（通常是因式分解和配方）；变形（通常是因式分解和配方）；4、定号（即判断差定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；的正负）；5、下
17、结论（即指出函数下结论（即指出函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的单调上的单调性）性）利用定义证明函数利用定义证明函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的单上的单调性的一般步骤：调性的一般步骤：判断函数的单调性可以用图像法、直接法、定义判断函数的单调性可以用图像法、直接法、定义法。而法。而证明函数的单调性只能用定义法。证明函数的单调性只能用定义法。小结1、函数单调性的定义2、判断函数单调性或求单调区间的方法：（1）图象法2（）直接法掌握一次函数、二次函数、反比例函数的单调性利用一些结论直接判断函数在某个区间上单调，则在它的子区间上一定单调。3（）定义法取值作差变形定号下结论练习：练习：
18、证明证明f(x)在定义域上是减函数在定义域上是减函数x课堂训练课堂训练2811P优化方案例，互动探究，作业跟踪训练：11其中把例 和跟踪训练（2）做在作业本上 （第四教时）一、复习回顾：1、函数单调性的定义2、判断函数单调性或求单调区间的方法：（1）图象法2（）直接法掌握一次函数、二次函数、反比例函数的单调性利用一些结论直接判断函数在某个区间上单调，则在它的子区间上一定单调。3（）定义法取值作差变形定号下结论3、函数单调性的应用二、讲授新课1（）利用单调性比较大小1212(),f xDx xDxx在区间 上为增函数且12()()f xf x1212(),f xDx xDxx在区间 上为减函数且
19、12()()f xf x11()(0,)(2)(3)f xff例、（）在上是增函数，则(),1(1)(0)f xff（2）在-2上是减函数，则2()(0,)(22)(1)f xf aaf（3）在上是减函数，则2222()(,).()(2).()().()().(1)()f xA f afaB f af aC f aaf aD f af a（4）在上是减函数，则（）D2()()211(1)(2)2(4)(3)(3)().2yf x xRxffffff 例、已知二次函数的图象是一条开口向上且对称轴为的抛物线，试比较以下各对数值的大小：（）与；（）与；（3）与(),2,-+,yf x 解：由已知的单
20、调减区间为(-）单调增区间为(2，）12,(1)(2)ff43,(4)(3)ff 111,(1)()22ff 又(3)(1)ff由二次函数的对称性知1(3)()2ff即3、函数的最大值与最小值（1）最大值和最小值的定义直观解释：函数f(x)在其定义域（某个区间）内的最大值，就是图像上最高点的纵坐标；最小值就是图像上最低点的纵坐标。严格定义：Oxy12 xy(0)=11、对任意的、对任意的 都有都有(x)12、存在、存在0，使得，使得(0)=1Rx12Rx(2）、求函数最值的常用方法利用二次函数的性质（配方法）求函数的最值、图像法：作出y=f(x)的图像，观察最高（低）点，则最高（低）点的纵坐标
21、即为函数的最大（小）值。、单调性法：运用函数单调性求最值是求解函数最值问题的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法.探究:函数单调性与函数的最值的关系 mn)(mf？xfy，nmnmxfy、的最值是什么则函数递增上单调在区间若函数,)1(nfxfnxmfxf，mx有最大值时当有最小值时当,Oxy)(nfmn)(mf？xfy，nmxfy、的最值是什么则函数上单调递减在区间若函数,)2(nfxfnxmfxf，mx有最小值时当有最大值时当,Oxy)(nf结论：函数的最值与单调性的关系若函数在闭区间m，n上是减函数，则f(x)在m，n上的最大值为f(m)，最小值为f(n)
22、.若函数在闭区间m，n上是增函数，则f(x)在m，n上的最大值为f(n)，最小值为f(m).注意：函数在闭区间上一定有最值，在开区间上不一定有。练习练习：上的最小值为在区间函数5,32422xxy、是函数的一个从图象上可以发现大致的图象的一个画出上递增在区间上递减在区间若上的函数是定义在区间设211,22,611,61f，xf，xf。xf、-2 的最小值为在区间函数,3113xxf、最小值最小值2322,6,1.yxx例1：已知函数求函数的最大值和最小值分析：先判断或证明出函数的单调性，再结合区分析：先判断或证明出函数的单调性，再结合区间端点对应的函数值大小得出最值间端点对应的函数值大小得出最
23、值 1111212126,2,211221212121xxxxxxxfxf，xx，xx：则且上的任意两个实数是区间任取解1122112xxxx011,062211221xxxxxx 21210 xfxf，xfxf即于是上的减函数是区间函数所以6,212xy，40622、，x，x最小值是时取得最小值在最大值是时取得最大值在例例2、求函数、求函数f(x)x 在在x1,3上的最大值与上的最大值与最小值最小值分析：先判断或证明出函数的单调性，再结合区分析：先判断或证明出函数的单调性，再结合区间端点对应的函数值大小得出最值间端点对应的函数值大小得出最值4x探究：探究：如果本例中的如果本例中的x1,3改为
24、改为x(1,3)，此函数的最值怎样？此函数的最值怎样？小结小结1、函数的最值：2、函数的最值的求法最大值最小值 （1）、利用二次函数的性质（配方法）求函数的最值（2）、利用图象求函数的最值 （3）、利用函数单调性求函数的最值 作业：已知函数，x2,5.(1)判断该函数在区间2,5上的单调性，并给予证明；(2)求该函数在区间2,5上的最大值与最小值.()1xf xx第五教时 【1】已知函数】已知函数f(x)在在(0,+)上是减函数上是减函数,则则 的大小关系为的大小关系为_.23()(1)4ff aa 与与2f(x)xbx1f(4t)f(-t),f(1),f(2),f(4)(2)、已知二次函数满
25、足试比较的大小。第六教时例例5.设函数设函数y=x2+2(a-1)x+2在区间在区间2,+)上是增函上是增函数数,求实数求实数a的取值范围的取值范围.解解:函数函数y=x2+2(a-1)x+2的对称轴方程为的对称轴方程为x=1-=1-a,函数的单调增区间是函数的单调增区间是1-a,+),2,+)是是1-a,+)的一个子集的一个子集,1 1-a22即即a-1.1.即所求的实数取值范围是即所求的实数取值范围是a-1.1.图象演示图象演示由二次函数性质知由二次函数性质知,5、利用函数单调性求参数的取值范围、利用函数单调性求参数的取值范围例6、已知 在区间（-2，+）上是增函数，求a的取值范围。1()
26、2axf xx 【1】函数】函数f(x)=x2+4ax+2在区间在区间(-,6内内递减递减,则则a的取值范围是的取值范围是()A.a3 B.a3 C.a-3 D.a-3D D （2）若）若 在区间在区间1,2上是减函数，上是减函数，求求a的取值范围的取值范围.()1af xx作业作业2f(x)x(2-a)x52a2、已知函数在，）上为增函数，求实数 的取值范围。2yxbxc0Ab0Bb0Cb0Db01、函数在，）上是单调函数的充要条件是（）、第七教时6、利用函数单调性解不等式、利用函数单调性解不等式 例例7.函数函数f(x)是定义在是定义在(0,+)上的递减函数上的递减函数,且且f(x)f(3-a),求实数求实数a 的取值范围的取值范围 【2】函数】函数y=f(x)是定义在是定义在(-1,1)上的减函数上的减函数,若若f(2-a)f(3-a),求实数求实数a 的取值范围的取值范围 课时作业本：8990页全部
