1、 郭辉萍郭辉萍 刘学观刘学观 编编电磁场与电磁波电磁场与电磁波第二版第二版 谢处方谢处方 饶克谨饶克谨 编编电磁场与电磁波电磁场与电磁波 焦其详焦其详 王道东王道东 编编电磁场理论电磁场理论 毕德显毕德显 编编电磁场理论电磁场理论 杨儒贵杨儒贵 编编电磁场与波电磁场与波参考教材参考教材应用教材应用教材王家礼王家礼 朱满座朱满座 路宏敏路宏敏 编编电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三版第三版 参考网站参考网站 col.njtu.edu/zskj/5019/EMF&W/see.xidian.edu/faculty/hmlu/index.html jpkc.nwpu.edu/jp2019/02/lyin
2、dex.html 理论体系严谨理论体系严谨 抽象抽象-看不见、摸不着看不见、摸不着 要求：要求：具有较深厚的数学功底具有较深厚的数学功底较强的空间想象能力较强的空间想象能力较好的逻辑推理能力较好的逻辑推理能力 应用广泛应用广泛电磁场与电磁波电磁场与电磁波无线通信无线通信信号与系统信号与系统普通物理普通物理高等数学高等数学复变函数复变函数线性代数线性代数通信原理通信原理微波技术与天线微波技术与天线波动光学波动光学光纤通信光纤通信课堂学习课堂学习课堂纪律课堂纪律师生互动师生互动出勤率出勤率教学安排教学安排课前预习课前预习熟悉教材内容熟悉教材内容复习先修课程复习先修课程课后复习课后复习复习教材内容复
3、习教材内容复习考试内容复习考试内容电磁学发展史 1.最早的记载：公元前 600年左右 2.1745年，荷兰莱顿大学教授马森布罗克制成了莱顿瓶，可以将电荷储存起来，供电学实验使用，为电学研究打下了基础。3.1752年7月，美国著名的科学家、文学家、政治家富兰克林的风筝试验，证实了闪电式放电现象，发明了避雷针，从此拉开了人们研究电学的序幕。电磁学发展史4.1638年，在我国的某些建筑学的书籍中就有关于避雷的记载：屋顶的四角都被雕饰成龙头的形状，仰头、张口，在它们的舌头上有一根金属芯子，其末端伸到地下，如有雷电击中房顶，会顺着龙舌引入地下，不会对房屋造成危险。5.1753年，俄国著名的电学家利赫曼在
4、验证富兰克林的实验时，被雷电击中，为科学探索献出了宝贵的生命。6.17711773年间，英国科学家卡文迪什进行了大量的静电试验，证明在静电情况下，导体上的电荷只分布在导体表面上。电磁学发展史 7.1785年，法国科学家库仑在实验规律的基础上，提出了第一个电学定律：库仑定律。使电学研究走上了理论研究的道路。8.1820年，由丹麦的科学家奥斯特在课堂上的一次试验中，发现了电的磁效应，从此将电和磁联系在一起。9.1822年，法国科学家安培提出了安培环路定律，将奥斯特的发现上升为理论。10.1825年，德国科学家欧姆得出了第一个电路定律：欧姆定律。11.1831年，英国实验物理学家法拉第发现了电磁感应
5、定律。并设计了世界上第一台感应发电机。电磁学发展史 12、1840年，英国科学家焦耳提出了焦耳定律，揭示了电磁现象的能量特性。13、1848年，德国科学家基尔霍夫提出了基尔霍夫电路理论，使电路理论趋于完善。奥斯特的电生磁和法拉第的磁生电奠定了电磁学的基础。14、电磁学理论的完成者英国的物理学家麦克斯韦（18311879）。麦克斯韦方程组用最完美的数学形式表达了宏观电磁学的全部内容。麦克斯韦从理论上预言了电磁波的存在。15.1866年，德国的西门子发明了使用电磁铁的发电机，为电力工业开辟了道路。16.1876年，美国贝尔发明了电话，实现了电声通信。17.1879年，美国发明家爱迪生发明了电灯，使
6、电进入了人们的日常生活。18.1887年，德国的物理学家赫兹首次用人工的方法产生了电磁波。19.随之，俄国的波波夫和意大利的马可尼，利用电磁波通信获得成功，开创了人类无线通信的新时代。静电场：利用静电场对带电粒子具有力的作用。静电场：利用静电场对带电粒子具有力的作用。如：如：静电复印、静电除尘以及静电喷漆静电复印、静电除尘以及静电喷漆 静磁场：利用磁场力的作用。静磁场：利用磁场力的作用。如：电磁铁、磁悬浮如：电磁铁、磁悬浮轴承以及磁悬浮列车等轴承以及磁悬浮列车等 时变电磁场：利用电磁波作为媒介传输信息。时变电磁场：利用电磁波作为媒介传输信息。如：如：无线通信、广播、雷达、遥控遥测、微波遥感、无
7、无线通信、广播、雷达、遥控遥测、微波遥感、无线因特网、无线局域网、卫星定位以及光纤通信等线因特网、无线局域网、卫星定位以及光纤通信等信息技术信息技术应用的三个主要方面应用的三个主要方面应用的各个领域应用的各个领域电磁理论电子对抗电子对抗无线通信无线通信广播、电视广播、电视雷达、导航、遥感雷达、导航、遥感工业无损探伤工业无损探伤射电天文射电天文强电（变压器、电机）等强电（变压器、电机）等电磁兼容等电磁兼容等电磁医疗仪器、电磁医疗电磁医疗仪器、电磁医疗探地雷达探地雷达磁悬浮技术磁悬浮技术微波烘干、杀菌微波烘干、杀菌静态场应用静态场应用时变场应用时变场应用阴极射线示波器阴极射线示波器喷墨打印机喷墨打
8、印机磁分离器磁分离器磁悬浮列车磁悬浮列车矿物的分选矿物的分选.变压器变压器蓝牙技术蓝牙技术卫星通信卫星通信微波炉微波炉/电磁炉电磁炉隐形飞机隐形飞机.应用实例应用实例所有带电粒子偏转都是通过两平行板间的电位差实现所有带电粒子偏转都是通过两平行板间的电位差实现原理应用：原理应用：阴极射线示波器阴极射线示波器回旋加速器回旋加速器喷墨打印机喷墨打印机速度选择器等速度选择器等 原理：通过控制带电粒子（电子或是质子）的轨迹。原理：通过控制带电粒子（电子或是质子）的轨迹。col.njtu.edu/zskj/5019/EMF&W/application/html/1_1.htmcol.njtu.edu/zs
9、kj/5019/EMF&W/application/html/1_1.htmcol.njtu.edu/zskj/5019/EMF&W/application/html/1_2.htmcol.njtu.edu/zskj/5019/EMF&W/application/html/1_2.htmcol.njtu.edu/zskj/5019/EMF&W/application/html/1_2.htmcol.njtu.edu/zskj/5019/EMF&W/application/html/1_2.htm2019.2.92019.2.9盘点世上最快的五大火车：中国火车入选盘点世上最快的五大火车：中国火车
10、入选 中国上海磁悬浮列车中国上海磁悬浮列车 基本原理：基本原理：卫星通信就是地球上（包括地球、水面和卫星通信就是地球上（包括地球、水面和低层大气中）的无线电通信站之间利用人造卫星做中低层大气中）的无线电通信站之间利用人造卫星做中继站而进行的通信。继站而进行的通信。通信地球站：通信地球站：可以是地面站、车载站、机载站可以是地面站、车载站、机载站 地球站的天线地球站的天线要始终对准卫星才能利用卫星进行通信，要始终对准卫星才能利用卫星进行通信，所以我们通常使用静止卫星，也即同步卫星。所以我们通常使用静止卫星，也即同步卫星。同步卫星：同步卫星：卫星处在距地面卫星处在距地面35600公里左右时，周期公里
11、左右时，周期T=24小时，时间与地球自转时间一致。小时，时间与地球自转时间一致。卫星通信卫星通信是二战之后发展起来的是二战之后发展起来的一种先进的无线通信技术。一种先进的无线通信技术。1、1970年年4月月24日成功发射日成功发射“东方红一号东方红一号”第一第一颗卫星。颗卫星。2、1984年年4月月 成功发射第一颗同步卫星成功发射第一颗同步卫星“东方红东方红二号二号”。3、1990年年4月月27日成功发射日成功发射“亚州一号亚州一号”通信卫通信卫星。星。加热原理：加热原理：采用磁场感应电流采用磁场感应电流(涡流涡流)加热，利用电流通加热，利用电流通过线圈产生磁场，当磁场内的磁力线通过金属器皿的
12、过线圈产生磁场，当磁场内的磁力线通过金属器皿的底部时即会产生无数小涡流，使器皿本身自行高速发底部时即会产生无数小涡流，使器皿本身自行高速发热，然后再加热于器皿内的食物。热，然后再加热于器皿内的食物。特点：特点：锅具自行发热，并煮食锅内食物。锅具自行发热，并煮食锅内食物。炉面不发热，当磁场内的磁力线通过非金属物休，不炉面不发热，当磁场内的磁力线通过非金属物休，不会产生涡流，故不会产生热力。炉面和人都是非金属会产生涡流，故不会产生热力。炉面和人都是非金属物体，本身不会发热，因此没有被电磁炉烧伤的危险，物体，本身不会发热，因此没有被电磁炉烧伤的危险，安全可靠。安全可靠。电磁炉的热效率极高，煮食时安全
13、、洁净、无火、无电磁炉的热效率极高，煮食时安全、洁净、无火、无烟、无废气、不怕风吹、不会爆炸或引致气体中毒。烟、无废气、不怕风吹、不会爆炸或引致气体中毒。内加热：内加热：微波炉中极性分子接受微波辐射的能量微波炉中极性分子接受微波辐射的能量后，通过分子偶极的每秒数十亿次的高速旋转产后，通过分子偶极的每秒数十亿次的高速旋转产生热效应，这种加热方式称为内加热生热效应，这种加热方式称为内加热 外加热：外加热：把普通热传导和热对流的加热过程称为把普通热传导和热对流的加热过程称为外加热。外加热。内加热特点：内加热特点：加热速度快、受热体系温度均匀等加热速度快、受热体系温度均匀等特点。特点。雷达工作原理：雷
14、达工作原理：雷达发出高频电磁波射到物体上。雷达发出高频电磁波射到物体上。物体把这个电磁波向各个方向反射，当然也有一部物体把这个电磁波向各个方向反射，当然也有一部分反射回发射点（雷达），在雷达处再设一个接收分反射回发射点（雷达），在雷达处再设一个接收装置就可接收到回波。根据回波可发现物体。装置就可接收到回波。根据回波可发现物体。隐形飞机原理：隐形飞机原理：使雷达无法探测到。飞机达到隐形使雷达无法探测到。飞机达到隐形效果的关键，在于采用隐形材料和隐形设计，尽量效果的关键，在于采用隐形材料和隐形设计，尽量把雷达波束吸收掉，或者向偏离原雷达的方向反射。把雷达波束吸收掉，或者向偏离原雷达的方向反射。这样
15、飞机就不容易被雷达探测到。这样飞机就不容易被雷达探测到。隐形飞机决不是指飞机将自隐形飞机决不是指飞机将自己的形体隐藏起来，让我们己的形体隐藏起来，让我们看不见它，而是说它可以使看不见它，而是说它可以使雷达雷达“看不到看不到”它。它。F-117AF-117A (第第1 1种可正式作战的隐形飞机种可正式作战的隐形飞机)1.1 1.1 场的概念场的概念1.2 1.2 标量场的方向导数和梯度标量场的方向导数和梯度1.3 1.3 矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度1.4 1.4 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度1.5 1.5 圆柱坐标系与球坐标系圆柱坐标系与球坐标系1.6 1.6 亥姆霍兹定理亥姆
16、霍兹定理本章要点本章要点标量场的方向导数和梯度标量场的方向导数和梯度 矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理本节要点本节要点标量和矢量的概念标量和矢量的概念 标量场和矢量场的概念标量场和矢量场的概念 矢量代数运算矢量代数运算 等值面和矢量线等值面和矢量线 标量：标量：只有大小而没有方向的量。如电压只有大小而没有方向的量。如电压U U、电荷量、电荷量Q Q 等。等。矢量：矢量：具有大小和方向特征的量。如具有大小和方向特征的量。如电场强度矢量、磁场强电场强度矢量、磁场强度矢量度矢量、作用力矢量、速度矢量等。、作用力矢量、速度矢量等。常矢
17、：常矢：若某一矢量的模和方向都保持不变，如重力若某一矢量的模和方向都保持不变，如重力 变矢：变矢：若模和方向二者至少一个发生变化，如弯道速度若模和方向二者至少一个发生变化，如弯道速度矢量描述：矢量描述：矢量可采用有向线段、文字、矢量可采用有向线段、文字、单位矢量、分量单位矢量、分量表示等多种方式来描述。表示等多种方式来描述。A A()A t A()AA t 矢性函数：矢性函数：设设t t是数性变量，是数性变量，为变矢，对于某区间为变矢，对于某区间GGa,ba,b 内的每一个数值内的每一个数值t t，都有一确定的矢量都有一确定的矢量 与之对应，则与之对应，则称称 为数性变量为数性变量t t的矢性
18、函数，记为：的矢性函数，记为：物理量：物理量：被赋予物理单位并具有一定物理意义的矢被赋予物理单位并具有一定物理意义的矢量和标量。如电压量和标量。如电压U、电荷量、电荷量Q等。等。场：场：在某一空间区域中，物理量数值的无穷集合，在某一空间区域中，物理量数值的无穷集合，如温度场，电位场等。如温度场，电位场等。标量场：标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定义一个标量场。如量唯一地描述，则该标量函数定义一个标量场。如温度、密度等。温度、密度等。矢量场：矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量
19、唯一地描述，则该矢量函数定义一个矢量场。如量唯一地描述，则该矢量函数定义一个矢量场。如电场、磁场、流速场等。电场、磁场、流速场等。场的属性：场的属性：占有一定空间，且在该空间区域内，除占有一定空间，且在该空间区域内，除有限个点和表面外，其物理量处处连续有限个点和表面外，其物理量处处连续 场的分类场的分类按与时间的关系分：按与时间的关系分：静态场静态场/时变场，各处物理量是时变场，各处物理量是否随时间变化否随时间变化按与方向关系分：按与方向关系分：标量场标量场/矢量场，各处物理量是标矢量场，各处物理量是标量还是矢量量还是矢量 空矢或零矢：空矢或零矢：一个大小为零的矢量一个大小为零的矢量 单位矢量
20、：单位矢量：一个大小为一个大小为1的矢量，在直角坐标系中，的矢量，在直角坐标系中，用单位矢量表征矢量分别沿用单位矢量表征矢量分别沿 x，y，z轴分量的方向。轴分量的方向。如：如：矢量的表示方法矢量的表示方法A AeA e 矢量一般表示：矢量一般表示：，A为矢量为矢量 的大小，的大小，为方向为方向,xyzeee 0 xxyyzzAe Ae Ae A 1 2222xyzAAAA 任一矢量可以表示为：任一矢量可以表示为：r 位置矢量：位置矢量：从原点指向空间任一点从原点指向空间任一点P的矢量的矢量 位置矢量能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影位置矢量能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定。
21、唯一地被确定。直角坐标系中点直角坐标系中点P(x,y,z)的位置矢量表达式为：的位置矢量表达式为：P(x,y,z)xyzre xe ye z结论：结论：若两不为零矢量的点积为零，则两矢量互相垂直若两不为零矢量的点积为零，则两矢量互相垂直数学知识补充数学知识补充矢量的代数运算矢量的代数运算 求和差求和差作图法：作图法：平行四边形法则平行四边形法则分量法：分量法：求点积求点积（标量积、内积）（标量积、内积）公式：公式：特点：特点：直角坐标系中：直角坐标系中：()()()xxxyyyzzzABeABeABeAB cosA BAB A BB A0 xyyzxzeeeeee 1xxyyzzeeeeee
22、求叉积求叉积（矢量积、外积）（矢量积、外积）结论：结论：若两不为零矢量的叉积为零，则两矢量互相平行若两不为零矢量的叉积为零，则两矢量互相平行公式：公式：sinxyznxyzxyzeeeABABeAAABBB nABeee其中：其中：右手螺旋法则右手螺旋法则特点：特点：ABBA 直角坐标系中：直角坐标系中：xyzyzxzxyeeeeeeeee 0 xxyyzzeeeeee 右手螺右手螺旋法则旋法则1113322123aaMaa 11133 232322123(1)aaAMaa ijaijaijA(1)ijijijAM (1)ij 代数余子式：代数余子式：的余子式前添加符号的余子式前添加符号 ，称
23、，称 的代数余子式，记为的代数余子式，记为 ，111213212223313233aaaaaaaaa32a例：求例：求 中元素中元素 的余子式和代数余子式的余子式和代数余子式ijAa ijaijaijM 余子式：余子式：在在 n 阶行列式阶行列式 中去掉元素中去掉元素 所在所在的行和列，剩下的的行和列，剩下的 n-1 阶行列式称为元素阶行列式称为元素 的余子的余子式。记为式。记为 n n阶行列式的计算：阶行列式的计算：等于它的任意一行（列）等于它的任意一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积的和，即的各元素与其对应代数余子式乘积的和，即ijAa 1(1,2,)nijijjAa Ain 1(1,
24、2,)nijijiAa Ajn 例：例：求求xyzxyzxyzeeeABAAABBB 1 11 21 3(1)(1)(1)yzxyxzxyzxzyzxyAAAAAAeeeBBBBBB ()()()xyzzyyzxxzzxyyxeA BA BeA BA BeA BA B 矩阵的乘法：矩阵的乘法：设设A=(aij)是是ms矩阵，矩阵，B=(bij)是是sn矩阵，作矩阵，作A的第的第i行与行与B的第的第j列的对应元素的乘积之列的对应元素的乘积之和和 ,则矩阵为矩阵则矩阵为矩阵A与与B的乘积的乘积1sijikkjkca b ()ijm nCc 11121112111211111221111212222
25、122212221222111222121122222ccaabbababababccaabbabababab 例：例：已知：已知：102124130102A 23100412B 求求AB解：解：1 2 0(1)2 0(1)11 3 0 02(4)(1)2172 2 4(1)1 03 12 32 0 1(4)3 2380 2(1)(1)0 02 1 0 3(1)0 0(4)2 234AB 方程组的矩阵表示方程组的矩阵表示11111221221122221122.nnnnnnnnnnya xa xa xya xa xaxya xaxa x 111212122212.nnnnnnaaaaaaAaa
26、a 12nxxXx 12nyyYy 设矩阵设矩阵可记为可记为Y=AX 则则 X=A-1Y，A-1为为A的逆矩阵，的逆矩阵，要求要求X，只需求只需求A-1，即求，即求A的逆矩阵的逆矩阵 逆矩阵的求法逆矩阵的求法1121112222*12.nnnnnnAAAAAAAAAA 其中其中为为A的的伴随矩阵伴随矩阵n阶方阵阶方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是|A|0,且当且当A可逆时，可逆时，有有1*1|AAA Aij是是|A|的元素的元素aij的代数余子式的代数余子式注意此矩阵行和注意此矩阵行和列的排列，转置矩阵列的排列，转置矩阵例：例：已知：已知：432321211A 求求A-1解：解：1
27、121111A|4321A 1231121A 1332121A 2132111A 2242021A2343221A 3132121A 3242231A 3343132A 1121311*1222321323331111111102102|121121AAAAAAAAAAAA 1、计算计算 04020048131001020215891702135 A 334212211A1 A2、已知已知 求：求：作业作业场的场的 场图场图 表示表示 研究标量场和矢量场时，用研究标量场和矢量场时，用“场图场图”表示场变量在表示场变量在空间逐点演变的情况具有很大的意义。空间逐点演变的情况具有很大的意义。对标量场
28、对标量场 等值面图表示：等值面图表示：空间内标量值相等的点集合形成的空间内标量值相等的点集合形成的曲面称等值面，如等温面等。等值面方程：曲面称等值面，如等温面等。等值面方程：等值线图表示：等值线图表示：等值面在二维空间称为等值线。如等值面在二维空间称为等值线。如等高线等。等值线方程：等高线等。等值线方程：(,)x y zconst (,)x yconst 100200300400等值面和等值线作用：等值面和等值线作用：帮助了解标量场在空间中的帮助了解标量场在空间中的分布情况。分布情况。等高线作用等高线作用根据等高线及其所标出的高度，了解该地区高度根据等高线及其所标出的高度，了解该地区高度2 2
29、根据等高线的疏密程度可以判断该地区各个方向上根据等高线的疏密程度可以判断该地区各个方向上地势的陡度地势的陡度A点高点高300B点高点高300A点比点比B点陡点陡越密就越陡越密就越陡AB 对矢量场对矢量场矢量线表示：矢量线表示：用一些有向矢量线来形象表示矢量在用一些有向矢量线来形象表示矢量在空间的分布，称为矢量线。如静电场的电力线等。空间的分布，称为矢量线。如静电场的电力线等。特点：特点：矢量线上任意点的切线方向必定与该点的矢矢量线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同量方向相同 矢量线方程（直角坐标系）：矢量线方程（直角坐标系）：xyzdxdydzAAA矢量线的作用矢量线的作用 根据矢量线
30、确定矢量场中各点矢量的根据矢量线确定矢量场中各点矢量的方向方向1 1 根据各处矢量线的疏密程度，判别出各处矢量的根据各处矢量线的疏密程度，判别出各处矢量的大大小及变化趋势小及变化趋势。ABA A点受到向下电场力点受到向下电场力B B点受到向下电场力点受到向下电场力A A点比点比B B点受到的力大点受到的力大越密矢量越大越密矢量越大例例1-1 求数量场求数量场=(x+y)2-z 通过点通过点 M(1,0,1)的等值面方的等值面方程。程。解：解：点点M的坐标是的坐标是x0=1,y0=0,z0=1，则该点的数量场值，则该点的数量场值为为=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为。其等值面方程为 2
31、()0 xyz 2()zxy或或：例例1-2 求矢量场求矢量场 的矢量线方程的矢量线方程解：解：矢量线应满足的微分方程为矢量线应满足的微分方程为 222dxdydzxyx yy z2222dxdyxyx ydxdzxyy z 1222zc xxyc 从而有从而有 c1和和c2是积分常数。是积分常数。222xyzAxy ex yezy e 1.2.1 标量场方向导数标量场方向导数(标量标量)Directional Derivative 设设M0是标量场是标量场=(M)中的一个已知点，从中的一个已知点，从M0出发出发沿某一方向引一条射线沿某一方向引一条射线l,在在l上上M0的邻近取一点的邻近取一点
32、M，MM0=，若当，若当M趋于趋于M0时时(即即趋于零时趋于零时)0()()MM 的极限存在，称此极限为函数的极限存在，称此极限为函数(M)在点在点M0处沿处沿l方向的方向导数，记为方向的方向导数，记为 000()()limMMMMMl 结论：结论：0Ml )(M 0Ml 方向导数方向导数 是函数是函数 在点在点 处沿方向处沿方向 对对距离的变化率距离的变化率0l 表明表明M0处函数处函数 沿沿l方向增加，反之减小方向增加，反之减小 若函数若函数=(x,y,z)在点在点M0(x0,y0,z0)处可微，处可微，cos、cos、cos为为l方向的方向余弦，则函数方向的方向余弦，则函数在点在点M0处
33、沿处沿l方向的方向导数必定存在，且为方向的方向导数必定存在，且为0coscoscosMlxyz1.2.1 标量场方向导数标量场方向导数证明：证明：M点的坐标为点的坐标为M(x0+x,y0+y,z0+z)，由于函，由于函数数在在M0处可微，故处可微，故 0()()MMxyzxyz 两边除以两边除以，可得，可得 xyzxyz 当当趋于零时对上式取极限，可得趋于零时对上式取极限，可得 coscoscoslxyz coscoscosxyz1.2.1 标量场方向导数标量场方向导数解：解：l方向的方向余弦为方向的方向余弦为122coscoscos333 22222(),uxuyuxyxzyzzz cosc
34、oscosuuuulxyz 122 2211333 43Ml 而而 数量场在数量场在 l 方向的方向导数为方向的方向导数为 点点M处沿处沿l方向的方向导数方向的方向导数 2221 22 22333xyxyzzz 例例1-3 求数量场求数量场 在点在点M(1,1,2)处沿处沿 方向的方向导数方向的方向导数22xyuz 22xyzleee 1.2.1 标量场方向导数标量场方向导数1.2.2 1.2.2 标量场的梯度标量场的梯度(矢量矢量)gradient)gradient在直角坐标系中在直角坐标系中xyzgradGeeexyz 梯度的定义：梯度的定义：在标量场在标量场 中的一点中的一点M处，其处，
35、其方向方向为为函数函数 在在M点处变化率最大的方向，其点处变化率最大的方向，其模模又恰好等又恰好等于最大变化率的于最大变化率的矢量矢量 ，称为标量场，称为标量场 在在M点处的点处的梯度，用梯度，用 表示。表示。()M()M()M G()gradM 方向：方向：函数函数 在在M点处变化率最大的方向点处变化率最大的方向()M|G 大小：大小：最大变化率的矢量的模最大变化率的矢量的模coscoscoslxyz 在直角坐标系中，令在直角坐标系中，令 xyzGeeexyz 已知：已知：证明：证明：标量场标量场 在任意方向在任意方向l上的方向导数为上的方向导数为()M 0coscoscosxyzleee
36、00cos(,)G lGG ll 证明沿证明沿 方向的方向导数方向的方向导数 最大，且最大，且G maxGl l xyzGeeexyz 已知：已知：0cos(,)1G l maxGl 与与 方向一致，且方向一致，且G l 1.2.2 标量场的梯度标量场的梯度0ll 梯度的性质：梯度的性质：)(M)(M 标量场标量场 中每一点中每一点M处的梯度垂直于过该点的等处的梯度垂直于过该点的等值面，且指向函数值面，且指向函数 的增大方向。即梯度为该等值的增大方向。即梯度为该等值面的法向矢量。面的法向矢量。在某点在某点M处沿任意方向的方向导数等于该点处的梯处沿任意方向的方向导数等于该点处的梯度在此方向上的投
37、影。度在此方向上的投影。任一点梯度的模等于该点各方向上方向导数最大值任一点梯度的模等于该点各方向上方向导数最大值1.2.2 标量场的梯度标量场的梯度梯度运算法则梯度运算法则2200()()()()()()11()()()()()()gradccgrad cucgraducuc ugrad uvgradugradvuvuvgrad uvvgraduugradvuvv uu vuugradvgraduugradvv uu vvvvvgrad f ufu gradvf ufuu 或或或或或或或或或或或或1.2.2 标量场的梯度标量场的梯度1()xyzgradrrxeyezer 点点M处的坐标为处的坐
38、标为 x=1,y=0,z=1,且且2222rxyz1122xzgradrree r在在M点沿点沿l方向的方向导数为方向的方向导数为 0Mrr ll 解：解：r的梯度为的梯度为例例1-5 求求r在在M(1,0,1)处沿处沿 的方向导数的方向导数22xyzleee 而而 0122333xyzlleeel 所以所以 1121210333222Mrl 所以所以r在在M点的梯度为点的梯度为1.2.2 标量场的梯度标量场的梯度证明见例证明见例1-41-4矢量单位化方法矢量单位化方法1.3.1 1.3.1 矢量场的通量（矢量场的通量（fluxflux）一、面元矢量：一、面元矢量：面积很小的有向曲面面积很小的
39、有向曲面dSnSd 方向：方向：1 1、开曲面上的面元、开曲面上的面元 2 2、闭合面上的面元、闭合面上的面元确定绕行确定绕行l的方向后，的方向后，沿绕行方向按右手沿绕行方向按右手螺旋螺旋拇指方向拇指方向闭合曲面的闭合曲面的外法线方向外法线方向二、通量（标量）二、通量（标量）ASd1、穿过面元穿过面元的通量的通量 A2、穿过整个曲面穿过整个曲面S的通量的通量A3、穿过闭合曲面穿过闭合曲面S的通量的通量dSASdA cos SSdSASdA cos SSdSASdA cos通量特性：通量特性：反映某一空间内场源总的特性反映某一空间内场源总的特性净流量净流量通过闭合面通过闭合面S S的通量的物理意
40、义的通量的物理意义（流出正，流入负）（流出正，流入负）0，穿出多于穿入，穿出多于穿入，S S内有发出矢量线的内有发出矢量线的正源正源0 0，穿出穿出少于穿入，少于穿入，S S内有内有汇集矢量线的汇集矢量线的负源负源=0 0，穿出穿出等于穿入，等于穿入，S S内内无源无源，或，或正源负源代数和正源负源代数和为为0 0A ndS1.3.1 矢量场的通量矢量场的通量VSdASV 0limA散度的定义：散度的定义：极限存在，此极限为矢量场极限存在，此极限为矢量场在某点的散度在某点的散度0limSVA dSdivAV 散度的定义式：散度的定义式：散度的物理意义：散度的物理意义：散度表征矢量场的通量源的分
41、布特性。散度表征矢量场的通量源的分布特性。散度值表征空间中通量源的密度散度值表征空间中通量源的密度通量密度通量密度0divA 有源点有源点汇点汇点0divA 无源点无源点0divA 若若矢量场为无散场矢量场为无散场0divA 散度的计算：散度的计算：在直角坐标系下：在直角坐标系下：()xyzxxyyzzeeeA eA eA exyzyzxAAAdivAxyz A 哈密尔顿算子哈密尔顿算子A 散度符合规则：散度符合规则：()ABAB ()AAA A 矢量恒等式矢量恒等式例例1-9 原点处点电荷原点处点电荷q产生电位移矢量产生电位移矢量试求电位移矢量试求电位移矢量 的散度。的散度。02344qqD
42、rrrr D 解：解：3334xyzqxyzDeeerrr 333,444xyzqxqyqzDDDrrr yzxDDDdivDDxyz 2222533()04qrxyzr 22534xDq rxxr 22534yDq ryyr 22534zDq rzzr 静电场的性质：静电场的性质：r=0=0以以外空间均为无源场外空间均为无源场222rxyz 注注意意思考：思考：r=0=0的空间呢？的空间呢？有散度源有散度源散度定理：散度定理：矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭曲面的总通量。围该体积的封闭曲面的总通量。VSSdAdVA应用：应用：将一个封闭面积分
43、变成等价的体积分将一个封闭面积分变成等价的体积分将一个体积分变成等价的封闭面积分将一个体积分变成等价的封闭面积分证明：证明：散度定理散度定理 VSSdAdVA证：证：将闭合曲面将闭合曲面S包围的体积包围的体积V分成许多小体积元分成许多小体积元dVi(i=1n)，计算每个体积元的小封闭曲面，计算每个体积元的小封闭曲面Si上的通量，上的通量，再叠加。由散度定义有：再叠加。由散度定义有：VSdAASV 0lim可得：可得：)()(niVASdAiSii 由于相邻体积元有一个公共表面，两体积元在公共由于相邻体积元有一个公共表面，两体积元在公共表面上的通量表面上的通量等值异号等值异号，求和时互相抵消。有
44、部分表面，求和时互相抵消。有部分表面在在S面上，这部分表面的通量没有被抵消，其总和刚好面上，这部分表面的通量没有被抵消，其总和刚好等于从封闭面等于从封闭面S穿出的通量。因此有：穿出的通量。因此有：SniSiSdASdAi1 SniVidVAVASdA1)(例例 1-10 球面球面S上任意点的位置矢量为上任意点的位置矢量为求求 Sr dS xyzrxeyeze SVr dSrdV 解：解：根据散度定理知根据散度定理知 而散度为而散度为 3xyzrxyz 所以所以 3343343SVVr dSrdVdVRR R为球面半径为球面半径1.4 1.4 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度1.4.1 1.
45、4.1 矢量场的环量（标量）矢量场的环量（标量）(circulation)(circulation)环量的定义：环量的定义：ccdlAl dA cos结论：结论：矢量的环量也是一个标量矢量的环量也是一个标量矢量的环量不等于零，则闭合曲线内必有旋涡源矢量的环量不等于零，则闭合曲线内必有旋涡源矢量的环量等于零，则闭合曲线内没有旋涡源矢量的环量等于零，则闭合曲线内没有旋涡源例如：例如：在磁场中，在环绕电流的闭合曲线上的环量不在磁场中，在环绕电流的闭合曲线上的环量不等于零，其电流就是产生磁场的旋涡源等于零，其电流就是产生磁场的旋涡源环量的性质：环量的性质：积分量，反映旋涡源总的分布特性积分量，反映旋涡
46、源总的分布特性解：解：由于在曲线由于在曲线l上上z=0，所以，所以dz=0。例例1-11 求矢量求矢量 (c是常数是常数)沿曲线沿曲线(x-2)2+y2=R2,z=0的环量的环量 xyzAyexece A dl ()lydxxdy 2200sin(2cos)(2cos)(sin)RdRRd R 222200sin(2cos)cosRdRRd 22220(sincos)2cosRRd 220(2cos)RRd 22 R 1.4.1 矢量场的环量矢量场的环量1.4.2 1.4.2 矢量场的旋度（矢量）矢量场的旋度（矢量）(rotation)(rotation)一、环量面密度的定义（标量）一、环量面
47、密度的定义（标量）若若Sl dAcS 0lim极限存在极限存在此极限即为该点的环量面密度。此极限即为该点的环量面密度。面元的方向：面元的方向：面元的方向与闭合曲线面元的方向与闭合曲线c的绕行方向成右手螺旋关系。的绕行方向成右手螺旋关系。说明：说明：由于面元是有方向的，它与闭合曲线由于面元是有方向的，它与闭合曲线l l的绕行方向成的绕行方向成右手螺旋关系，因此在给定点上，上述极限对于不右手螺旋关系，因此在给定点上，上述极限对于不同的面元是不同的。同的面元是不同的。二、旋度的定义（矢量）二、旋度的定义（矢量）max0limcSA dlrotAnS 旋度大小：旋度大小：最大环量面密度的数值最大环量面
48、密度的数值旋度方向：旋度方向：环量面密度最大时的面元的方向环量面密度最大时的面元的方向AArot 引入哈密尔顿算子引入哈密尔顿算子在直角坐标系中在直角坐标系中xyzxyzeeeAxyzAAA yyzzxxxyzAAAAAAeeeyzzxxy 1.4.2 矢量场的旋度矢量场的旋度00limnASl dAPcS A结论：结论：旋度描述矢量旋度描述矢量 在该点的旋涡源强度。在该点的旋涡源强度。nn矢量场在矢量场在P点处沿任一方向点处沿任一方向 的环量面密度为旋度的环量面密度为旋度在在 方向上的投影。方向上的投影。0 Arot若若 ，则为无旋场，反之为有旋场，则为无旋场，反之为有旋场1.4.2 矢量场
49、的旋度矢量场的旋度2()()()()()()()0()0()ABCBCACABABABAAAABBAABAAAA 22222222222xxyyzzxyzAA eA eA e 旋度的运算规则旋度的运算规则直角坐标系中直角坐标系中2 2为拉普拉斯算子为拉普拉斯算子1.4.2 矢量场的旋度矢量场的旋度解：解：矢量场的旋度矢量场的旋度 例例1-12 求矢量场求矢量场 在点在点M(1，0，1)处的旋度以及沿处的旋度以及沿 方向的方向的环量面密度。环量面密度。()()()xyzAx zy ey xz ez yz e 263xyzneee ()()()xyzeeeAxyzx zyy xzz yx()()(
50、)xyzzy exz eyx e 在点在点M(1，0，1)处的处的旋度旋度 2xyzMAeee 0222(263)263777263xyzxyzeeeneee 环量面密度环量面密度 方向的单位矢量方向的单位矢量 n 02631727777MAn 1.4.2 矢量场的旋度矢量场的旋度例例1-13 在坐标原点处放置一点电荷在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生，在自由空间产生的电场强度为的电场强度为 33()44xyzqqErxeyezerr 求自由空间任意点求自由空间任意点(r0)电场强度的旋度电场强度的旋度解：解：3334xyzeeeqExyzxyzrrr 33330334xyzqzyxz
